Relaties deel 1. Derde college

Transcriptie

1 2 Relaties deel 1 Derde college 1

2 Carl Friedrich Gauss Carl Friedrich Gauss (30 april februari 1855) was een Duits wiskundige en natuurkundige, die een zeer belangrijke bijdrage heeft geleverd aan een groot aantal deelgebieden van de wiskunde en de exacte wetenschappen, waaronder de getaltheorie, statistiek, analyse, differentiaalmeetkunde, geodesie, elektrostatica, astronomie en de optica. Gauss had een opmerkelijke invloed op vele deelgebieden binnen zowel de wiskunde als andere exacte wetenschappen. Hij wordt soms de koning der wiskunde genoemd. Gauss wordt gezien als een van de meest invloedrijke wiskundigen uit de geschiedenis. (Wikipedia) Gauss bedacht de representatie van complexe getallen als punten in het platte vlak. 2

3 motivatie We bestuderen relaties (Schaum H2): de terminologie, representaties (de manieren om relaties weer te geven) en speciale eigenschappen. De meest voorkomende toepassing is te vinden bij (relationele) databases. De volgende slides laten voorbeelden zien van verschillende soorten relaties: een discrete relatie (met eindige verzamelingen, en verschillende manieren om weer te geven) puntverzamelingen in het vlak (meer continu) een functie (zie later en Schaum H3) waarvan domein en bereik verschillen een database: dit is een ternaire relatie, dus met drie componenten, de voorgaande zijn binair. 3

4 twee of meer erbij V = { 1,2,3,4,5 } E = { (i,j) j i+2 } 1 1 j i

5 in het vlak in R: E = { (x,y) y x+2 } C = { (x,y) (x-1) 2 + (y-3) 2 = 4 } y y x x 5

6 temperatuur (d,t d ) d { ,, } T d R 6

7 7 V stnr cuco cf 8303 M T B S T M B M C T U A M V400 6 stnr S = { 0000,, 9999 } cuco C = { A000,, Z999 } cf J = { 0, 1,, 9, 10 } V = { (8303,M250,7), (8303,T350,8), (2592,V400,6) } V S C J cijferlijst

8 (a 1,a 2,...,a n ) n-tupel 2.2 n-tupels & producten a 1 A 1, a 2 A 2,, a n A n Volgorde is van belang: geordend rijtje (a 1, a 2,, a n ) = (b 1, b 2,, b n ) desda a 1 = b 1, a 2 = b 2,, a n = b n Cartesisch product A 1 x A 2 x x A n n=2: product A x B Notatie: A 2 = A x A (geordend) paar (a,b) A n = A x A x x A 8

9 voorbeeld (eindig) A = { 1, 3, 5, 7 } B = { a, b, c } A x B = { (1,a), (1,b), (1,c), (3,a), (3,b), (3,c), (5,a), (5,b), (5,c), (7,a), (7,b), (7,c) } B x A = { (a,1), (a,3), (a,5), (a,7), (b,1), (b,3), (b,5), (b,7), (c,1), (c,3), (c,5), (c,7) } Relatie (voorbeeld) van A naar B: R = { (1,b), (1,c), (3,a), (7,b) } A B 9

10 rooster (0,0) (3,2) rooster vs. vlak vlak y x Z Z = Z 2 = { (x,y) x,y Z } R R = R 2 = { (x,y) x,y R } 10 R 3 ruimte

11 2.3 relaties Een relatie is een deelverzameling van een Cartesisch product: R A 1 x A 2 x x A n y x R = { (1,b), (1,c), (3,a), (7,b) } V = { (8303,M250,7), (8303,T350,8), (2592,V400,6) } { (0,0,0), (0,1,1), (0,2,2), (1,1,2), (0,3,3), (1,2,3), (0,4,4), (1,3,4), (2,2,4), (0,5,5), (1,4,5), (2,3,5), } = { (x,y,z) N 3 x+y=z } 2 11

12 relaties Relaties zijn dus deelverzamelingen van een Cartesisch product. Dat product geeft alle mogelijke tupels, de relatie de gekozen deelverzameling daarvan. Notatie: voor een binaire relatie R A B schrijven we meestal arb in plaats van (a,b) R. Bijvoorbeeld 3<7, en niet (3,7) <. In dat laatste geval zouden we liever iets als (3,7) R < schrijven. 12 Speciale gevallen: - lege relatie - relatie in A: R A A - inverse relatie: R -1 = { (b,a) (a,b) R }

13 de relatie Voorbeeld: Laat U = { 1, 2, 3, 4, 5 } en bekijk de relatie. Er geldt 2 {1,2}, ook te noteren als (2,{1,2}) R. Links een element van U, rechts een deelverzameling van U. Bij universum U is de relatie dus een deelverzameling van U P(U). 13

14 2.4 representaties veelgebruikte representaties zijn: pijldiagram en matrix voor een relatie R A B (als A en B eindig zijn). gerichte graaf voor een relatie R A A d.w.z van en naar zijn gelijk. grafiek: alleen voor geschikte verzamelingen zoals R R en redelijk continue plaatjes. 14

15 4 1 representaties y gerichte graaf grafiek x pijldiagram 5 i matrix 5 j

16 twee of meer erbij De gerichte graaf (knopen en pijlen), het pijldiagram en de matrix op de vorige slide zijn alle representaties voor de relatie R = { (1,3), (1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (3,5) } A A, met A = { 1, 2, 3, 4, 5 }. R is dus een relatie in A. R kan ook geschreven worden als: { (i,j) i,j A en j i+2 } 16

17 domein & bereik A B R bereik x origineel y beeld domein 17 R A B

18 domein & bereik De begrippen domein en bereik zijn precies gedefinieerd, maar worden soms wat slordig gebruikt (ook door uw docent). Voor de relatie R A B - is formeel het domein de verzameling dom(r) = { x A er is een y B met xry } d.w.z. de punten waar pijlen vertrekken - slordiger noemen we soms A het domein - idem voor bereik (range) ran(r) = { y B er is een x A met xry } Als xry heten x en y vaak origineel en beeld, net als bij functies. 18

19 R = { (x,x) x A } gelijkheid, identiteit, diagonaal identiteit bob bob bas bas bob ben bor ben bor bas ben bor Notaties: id A 1 A A 19

20 identiteit op elk domein bestaat de identiteit (ook geheten diagonaal of gelijkheid) de naam diagonaal wordt duidelijk als we de relatie tekenen in het getallenvlak (reëel of geheel) of als matrix (op een eindig domein) als we de relatie tekenen als een gerichte graaf, dan lopen alle pijlen van een knoop naar zichzelf: lussen 20

21 Key Constraints name since dname ssn lot did budget Consider Works_In: An employee can work in many departments; a dept can have many employees. In contrast, each dept has at most one manager, according to the key constraint on Manages. Employees Manages 1-to-1 1-to Many Many-to-1 Departments Many-to-Many Database Management Systems 3ed, R. Ramakrishnan and J. Gehrke 21

22 relatie-typen R A B Definitie. R heet functioneel als voor elke x A er ten hoogste één y B is met xry R heet totaal als voor elke x A er ten minste één y B is met xry R heet injectief als voor elke y B er ten hoogste één x A is met xry R heet surjectief als voor elke y B er ten minste één x A is met xry 22

23 functioneel R A B Definitie. R heet functioneel als voor elke x A er ten hoogste één y B is met xry Wiskundigen gebruiken vaak een andere methode om ten hoogste uit te drukken, eigenlijk zonder te hoeven tellen: R is functioneel als uit xry en xrz volgt dat y=z. Een zelfde soort methode wordt hierna ook gebruikt voor de definitie van anti-symmetrisch. 23

24 niet functioneel A B relatie-typen niet injectief 1-1 niet totaal niet surjectief op 24

25 functies (Schaum H3) functie van A naar B als voor iedere x A er precies één y B bestaat waarvoor xry. f: A B y = f(x) A totaal & functioneel y x 25 geen functie niet op

26 hier spreekt men R = { (B,Du), (B,Fr), (B,Nl), (D,Du), (F,Fr), (NL,Nl), (NL,Fy) } Du En Fr Fy Nl B x x x D x F x NL x x SF SF B D F NL Du Fr En Nl Fy 26

27 hier spreekt men De relatie R A B in het voorbeeld van de vorige slide is die tussen land en officiële taal. Hier A = { B, D, F, NL, SF } en B = { Du, En, Fr, Fy, Nl }. Natuurlijk wordt er wel een taal in Finland (SF) gesproken (in ieder geval Fins en Zweeds) maar vertrekken er geen pijlen omdat die talen niet rechts voorkomen. Op dezelfde manier heeft Engels (En) geen inkomende pijlen. De relatie R is niet functioneel, niet totaal, niet injectief en niet surjectief. 27

28 R A B R -1 B A inverse relatie Dan geldt: br -1 a desda arb inverse R -1 = { (y,x) (x,y) R } SF B D F NL Du Fr En Nl Fy 28

29 Voorbeeld: R = { (B,Du), (B,Fr), (B,Nl), (D,Du), (F,Fr), (NL,Nl), (NL,Fy) } R -1 = { (Du,B), (Du,D), (Fr,B), (Fr,F), (Nl,B), (Nl,NL), (Fy,NL) } inverse De inverse is intuïtief: in een grafiek: het spiegelen in de diagonaal x=y in een pijldiagram of een graaf: het omklappen van de pijlen 29

30 eigenschappen Er geldt: (R -1 ) -1 = R dom(r -1 ) = ran(r) en ran(r -1 ) = dom(r) R is injectief desda R -1 is functioneel R is totaal desda R -1 is surjectief Formeel bewijs van (R -1 ) -1 = R: x(r -1 ) -1 y desda y(r -1 )x desda xry 30

31 Eva Tim broer/zus Liv Zoë Mees 2.5 samenstelling Bram is een neefje van Eva oomzegger Sem Tess Liv Zoë kind Daan Emma Mees Bram Tess Thijs Mila 31

32 samenstellen relaties alternatief voorbeeld: databases persoon straat, nr, postcode postcode plaatsnaam om het adres te weten moeten we de plaatsnaam bepalen door twee relaties samen te stellen persoon postcode plaatsnaam in dit voorbeeld zijn de relaties helaas functioneel (dus niet zo algemeen als we hier willen) 32

33 Samenstelling samenstelling R A B en S B C, x A, z C x(r S)z desda xry en ysz voor een y B x R y S A B C z x z 33 A R S C

34 34 Samenstelling R = { (a, ), (a, ), (a, ), (b, ), (d, ) } samenstelling R A B en S B C, x A, z C x(r S)z desda xry en ysz voor een y B A A c c d a d a b b R B C S C S = { (,1), (,2), (,0), (,0), (,4) } R S = { (a,0), (a,1), (a,2), (a,4), (b,1), (b,2), (d,0) }

35 voorbeeld R = { (1,1), (1,2), (2,3), (3,2), (3,4) } R -1 = { (1,1), (2,1), (2,3), (3,2), (4,3) } R R = R 2 = { (1,1),(1,2),(1,3), (2,2),(2,4),(3,3) } R -1 R = { (1,1),(1,2),(2,1), (2,2),(2,4),(3,3), (4,2),(4,4) } is symmetrisch (altijd) 35

36 voorbeeld A R A R 3 4 A 1 2 R R = R 2 = { (1,1),(1,2),(1,3), (2,2),(2,4),(3,3) } twee-staps relatie (in graaf, resp. in pijldiagram) 36

37 voorbeeld A R -1 A R 3 4 A 1 2 R -1 R = { (1,1),(1,2),(2,1),(2,2), (2,4),(3,3),(4,2),(4,4) } achteruit vooruit (in graaf, resp. in pijldiagram) 37

38 matrixvermenigvuldiging R A B en S B C, x A, z C x(s R)z als er een y B is waarvoor xry en ysz kind Da Em Br Th Mi Li x x Zo x x Me x x Te x Ev Ti Se Li Zo Me Te x x x x x Da Em Br Th Mi Ev x x x x x Ti x x Se x broer/zus 38

39 matrixvermenigvuldiging Er is een verband tussen samenstelling van relaties en matrixvermenigvuldiging [mocht je dat al ergens geleerd hebben]. Matrices * vermenigvuldig je in de rekenkunde met behulp van optellen en vermenigvuldigen; bij samenstellen van relaties gebruik je booleans (0 true, 1 false) en disjunctie ( óf) en conjunctie ( én). Of zie Schaum 2.5 Composition of Relations and Matrices. * het meervoud van matrix is matrices 39

40 Theorem 2.1 associativiteit Het samenstellen van relaties is associatief: als R A B, S B C en T C D, dan (R S) T = R (S T). A R B S C T D volgorde!? x R S y y = g f (x) 40

41 volgorde Notatie: richting van origineel x naar beeld y Bij relaties schrijven we xry wanneer er een pijl van x naar y vertrekt. Bij functies schrijven we y=f(x). Bij relaties x(r S)y, eerst R dan S, bij functies y=(g f)x, eerst f dan g toepassen. Dat is verwarrend als we ons realiseren dat elke functie ook een (speciale) relatie is. volgorde!? x R S y y = g f (x) 41

42 2.6 eigenschappen (van binaire relaties) kleiner (-gelijk) gelijke kleur 42

43 2.6 eigenschappen (van binaire relaties) Er zijn twee typen relaties (equivalentierelatie, partiële ordening zie volgende paragrafen van Schaum) die vaak voorkomen. Ze zijn gedefinieerd op binaire relaties in een verzameling (en niet tussen twee verschillende). De karakteristieken liggen vast met behulp van de relatie tussen één, twee en drie objecten: (ir)reflexiviteit, (anti)symmetrie, en transitiviteit. De plaatjes hieronder zijn slechts intuitief! De echte definitie volgt. 43 partiële ordening equivalentierelatie,

44 Een relatie R V V heet reflexief als xrx voor alle x V irreflexief als xrx voor geen x V reflexief Z x y R AS T Z x<y IR AS T P(U) x y= S P(U) x y IR T V x=y R S AS T Z + 2x y R gelijke kleur R S T Een relatie R V V is niet reflexief als er een x V bestaat waarvoor xrx niet geldt. 44

45 symmetrisch Een relatie R V V heet symmetrisch als xry impliceert dat yrx ( voor alle x,y V ) anti-symmetrisch als xry en yrx impliceren dat x=y ( voor alle x,y V ) Z x y R AS T Z x<y R AS T P(U) x y= P(U) x y IR AS T V x=y R S AS T Z + 2x y R gelijke kleur R S T S (!) Equivalent: R is anti-symmetrisch: als x y en xry, dan niet yrx 45

46 symmetrisch symmetrisch: wanneer tussen twee punten de pijl in de ene richting loopt dan ook omgekeerd antisymmetrisch: tussen twee punten loopt nooit een pijl in twee richtingen, tenzij die punten samenvallen (en het dus over dezelfde pijl gaat) x x y niet allebei y x=y pijl OK als xry en yrx gelden, dan x=y let op: zowel als < is een antisymmetrische relatie, idem en. 46

47 transitief Een relatie R V V heet transitief als xry en yrz impliceren dat xrz ( voor alle x,y,z V ) Z x y R AS T Z x<y R AS T P(U) x y= S P(U) x y IR T V x=y R S AS T Z + 2x y R gelijke kleur R S T 47

48 (werk)college College volgende week: Dinsdag 26 september, in zaal DS (Huygens) Werkcollege deze week: I en I&E: woensdag 20 september, in zalen 403, 408, 312 (Snellius); indeling wordt ter plekke bekendgemaakt I&B: woensdag 20 september, in zaal 403 (Snellius) Let op: I en I&E volgende week weer werkcollege op vrijdag: zie de roosters

49 Indeling werkgroepen I en I&E 20/9 Indeling op achternaam: - A t/m E in zaal Lo t/m R in zaal F t/m Li en S t/m Z in zaal