Relaties deel 2. Vierde college

Transcriptie

1 2 Relaties deel 2 Vierde college 1

2 n-tupels & Cartesisch product A 1, A 2,, A n verzamelingen Een n-tupel is een geordend rijtje (ook wel: geordend n-tal) (a 1,a 2,...,a n ) met a 1 A 1, a 2 A 2,, a n A n Er geldt: (a 1, a 2,, a n ) = (b 1, b 2,, b n ) desda a 1 = b 1, a 2 = b 2,, a n = b n 2.2 Cartesisch product A 1 x A 2 x x A n = verzameling van alle n-tupels (a 1,a 2,...,a n ) met a i A i (i = 1, 2,, n) 2

3 A x B = verzameling van alle geordende paren (a,b) met a A en b B. Ofwel: A x B = { (a,b) a A en b B } n=2 Notatie: A 2 = A x A A n = A x A x x A Voorbeeld (eindig): A = { 1, 3, 5, 7 } B = { a, b, c } A x B = { (1,a), (1,b), (1,c), (3,a), (3,b), (3,c), (5,a), (5,b), (5,c), (7,a), (7,b), (7,c) } B x A = { (a,1), (a,3), (a,5), (a,7), (b,1), (b,3), (b,5), (b,7), (c,1), (c,3), (c,5), (c,7) } B x B = { (a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b), (c,c) } 3

4 tellen Voor eindige verzamelingen A en B geldt: n(a B) = n(a) + n(b) als A en B disjunct n(a B) = n(a) + n(b) n(a B) algemeen; principe van inclusie&exclusie n(a x B) = n(a) n(b) n(a 1 x A 2 x x A m ) = n(a 1 ) n(a 2 ) n(a m ) n(a m ) = (n(a)) m 4

5 2.3 relaties Een relatie is een deelverzameling van een Cartesisch product: R A 1 x A 2 x x A n y { (0,0,0), (0,1,1), (0,2,2), (1,1,2), (0,3,3), (1,2,3), (0,4,4), (1,3,4), (2,2,4), (0,5,5), (1,4,5), (2,3,5), } x R x R = { (x,y,z) N 3 x+y=z } N x N x N = N 3 R = { (1,b), (1,c), (3,a), (7,b) } A B Relatie van A naar B 5

6 relaties Relaties zijn dus deelverzamelingen van een Cartesisch product. Dat product geeft alle mogelijke tupels, de relatie de gekozen deelverzameling daarvan. n=2: binaire relatie R A B gebruikelijk: R is een relatie van A naar B. Notatie: meestal arb in plaats van (a,b) R. Bijvoorbeeld 3<7, en niet (3,7) <. In dat laatste geval zouden we liever iets als (3,7) R < schrijven. 6 Opmerking: we zullen in het vervolg vrijwel altijd binaire relaties bekijken, dus relaties R waarvoor geldt dat R A B

7 tellen - Een verzameling met n elementen heeft 2 n deelverzamelingen - Voor eindige verzamelingen A en B geldt: A B heeft n(a) n(b) elementen - Er zijn dus 2 n(a) n(b) verschillende relaties van A naar B mogelijk (A en B eindig) 7

8 de relatie De relatie is een binaire relatie van U naar P(U) Voorbeeld: Laat U = { 1, 2, 3, 4, 5 } en bekijk de (binaire) relatie. Er geldt 2 {1,2}, ook te noteren als (2,{1,2}) R. Links een element van U, rechts een deelverzameling van U, dus een element van P(U) Bij universum U is de relatie derhalve een deelverzameling van U P(U). 8

9 speciale relaties Speciale gevallen: - lege relatie - relatie in A: R A A (is dus een relatie van A naar A) - inverse relatie: R -1 = { (b,a) (a,b) R } B = { a, b, c } B x B = { (a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b), (c,c) } R = { (a,a), (b,b), (c,c) } B B is een relatie in B 9

10 inverse relatie A = { 1, 3, 5, 7 } B = { a, b, c } R = { (1,b), (1,c), (3,a), (7,b) } A B is een relatie van A naar B, dan R -1 = { (b,1), (c,1), (a,3), (b,7) } B A (is dus een relatie van B naar A) 10

11 2.4 representaties Veelgebruikte representaties zijn: pijldiagram en matrix voor een relatie R A B (als A en B eindig zijn). gerichte graaf voor een relatie R A A d.w.z van en naar zijn gelijk (als A eindig is). grafiek: alleen voor geschikte verzamelingen zoals R R en redelijk continue plaatjes. 11

12 4 1 representaties y gerichte graaf grafiek x pijldiagram 5 i matrix 5 j

13 twee of meer erbij De gerichte graaf (knopen en pijlen), het pijldiagram en de matrix op de vorige slide zijn alle representaties voor de relatie R = { (1,3), (1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (3,5) } A A, met A = { 1, 2, 3, 4, 5 }. R is dus een relatie in A. R kan ook geschreven worden als: { (i,j) i,j A en j i+2 } 13

14 domein & bereik 2.3 A B R bereik x origineel y beeld domein 14 R A B

15 domein & bereik De begrippen domein en bereik zijn precies gedefinieerd, maar worden soms wat slordig gebruikt (ook door uw docent). Voor de relatie R A B - is formeel het domein de verzameling dom(r) = { x A er is een y B met xry } d.w.z. de punten waar pijlen vertrekken - slordiger noemen we soms A het domein - idem voor bereik (range) ran(r) = { y B er is een x A met xry } d.w.z. de punten waar pijlen aankomen 15 Als xry heten x en y vaak origineel en beeld, net als bij functies.

16 R = { (x,x) x A } gelijkheid, identiteit, diagonaal identiteit 2.3 bob bob bas bas bob ben bor ben bor bas ben bor Notaties: id A 1 A A 16

17 identiteit op elk domein bestaat de identiteit (ook geheten diagonaal of gelijkheid) de naam diagonaal wordt duidelijk als we de relatie tekenen in het getallenvlak (reëel of geheel) of als matrix (op een eindig domein) als we de relatie tekenen als een gerichte graaf, dan lopen alle pijlen van een knoop naar zichzelf: lussen 17

18 Key Constraints name since dname ssn lot did budget Consider Works_In: An employee can work in many departments; a dept can have many employees. In contrast, each dept has at most one manager, according to the key constraint on Manages. Employees Manages 1-to-1 1-to Many Many-to-1 Departments Many-to-Many Database Management Systems 3ed, R. Ramakrishnan and J. Gehrke 18

19 relatie-typen R A B Definitie. R heet functioneel als voor elke x A er ten hoogste één y B is met xry R heet totaal als voor elke x A er ten minste één y B is met xry R heet injectief als voor elke y B er ten hoogste één x A is met xry R heet surjectief als voor elke y B er ten minste één x A is met xry 19

20 functioneel R A B Definitie. R heet functioneel als voor elke x A er ten hoogste één y B is met xry, ofwel: elke x A heeft ten hoogste één beeld. Wiskundigen gebruiken vaak een andere methode om ten hoogste uit te drukken, eigenlijk zonder te hoeven tellen: R is functioneel als uit xry en xrz volgt dat y=z. Een zelfde soort methode wordt hierna ook gebruikt voor de definitie van anti-symmetrisch. 20

21 totaal, injectief, surjectief R A B Definitie. R heet totaal als voor elke x A er ten minste één y B is met xry, ofwel: elke x A heeft ten minste één beeld. Definitie. R heet injectief (ook wel: 1-1) als voor elke y B er ten hoogste één x A is met xry, ofwel: elke y B heeft ten hoogste één origineel. Definitie. R heet surjectief (ook wel: op) als voor elke y B er ten minste één x A is met xry, ofwel: elke y B heeft ten minste één origineel. 21

22 niet functioneel A B relatie-typen niet injectief 1-1 niet totaal niet surjectief op 22

23 eenvoudige opgave A = { 1, 2, 3} B = { a, b, c, d } R = { (1,b), (2,a), (2,d), (3,b) } is R: - functioneel? - totaal? - injectief? - surjectief? 23

24 functies (Schaum H3) functie van A naar B als voor iedere x A er precies één y B bestaat waarvoor xry. f: A B y = f(x) A totaal & functioneel y x geen functie 24 geen functie niet op

25 hier spreekt men R = { (B,Du), (B,Fr), (B,Nl), (D,Du), (F,Fr), (NL,Nl), (NL,Fy) } Du En Fr Fy Nl B x x x D x F x NL x x SF SF B D F NL Du Fr En Nl Fy 25

26 hier spreekt men De relatie R A B in het voorbeeld van de vorige slide is die tussen land en officiële taal. Hier A = { B, D, F, NL, SF } en B = { Du, En, Fr, Fy, Nl }. Natuurlijk wordt er wel een taal in Finland (SF) gesproken (in ieder geval Fins en Zweeds) maar vertrekken er geen pijlen omdat die talen niet rechts voorkomen. Op dezelfde manier heeft Engels (En) geen inkomende pijlen. De relatie R is niet functioneel, niet totaal, niet injectief en niet surjectief. 26

27 R A B R -1 B A inverse relatie Dan geldt: br -1 a desda arb inverse R -1 = { (y,x) (x,y) R } SF B D F NL Du Fr En Nl Fy 27

28 inverse Voorbeeld: R = { (B,Du), (B,Fr), (B,Nl), (D,Du), (F,Fr), (NL,Nl), (NL,Fy) } R -1 = { (Du,B), (Du,D), (Fr,B), (Fr,F), (Nl,B), (Nl,NL), (Fy,NL) } De inverse is intuïtief: in een grafiek: het spiegelen in de diagonaal x=y in een pijldiagram of een graaf: het omklappen van de pijlen 28

29 eigenschappen Er geldt: (R -1 ) -1 = R dom(r -1 ) = ran(r) en ran(r -1 ) = dom(r) R is injectief desda R -1 is functioneel R is totaal desda R -1 is surjectief Formeel bewijs van (R -1 ) -1 = R: x(r -1 ) -1 y desda y(r -1 )x desda xry 29

30 2.5 samenstelling Eva broer/zus Liv Tim Zoë Mees Bram is een neefje van Eva; Daan trouwens ook oomzegger Sem Zoë is een zus van Eva Tess Liv Zoë Mees kind Daan Emma Bram Bram is een kind van Zoë Tess Thijs Mila 30

31 samenstellen relaties alternatief voorbeeld: databases persoon straat, nr, postcode postcode plaatsnaam om het adres te weten moeten we de plaatsnaam bepalen door twee relaties samen te stellen persoon postcode plaatsnaam in dit voorbeeld zijn de relaties helaas functioneel (dus niet zo algemeen als we hier willen) 31

32 Samenstelling samenstelling R A B en S B C, x A, z C x(r S)z desda xry en ysz voor een y B x R y S A B C z x z 32 A R S C

33 33 Samenstelling R = { (a, ), (a, ), (a, ), (b, ), (d, ) } samenstelling R A B en S B C, x A, z C x(r S)z desda xry en ysz voor een y B A A c c d a d a b b R B C S C S = { (,1), (,2), (,0), (,0), (,4) } R S = { (a,0), (a,1), (a,2), (a,4), (b,1), (b,2), (d,0) }

34 voorbeeld R = { (1,1), (1,2), (2,3), (3,2), (3,4) } R -1 = { (1,1), (2,1), (2,3), (3,2), (4,3) } R R = R 2 = { (1,1),(1,2),(1,3), (2,2),(2,4),(3,3) } R -1 R = { (1,1),(1,2),(2,1), (2,2),(2,4),(3,3), (4,2),(4,4) } R -1 R is symmetrisch (altijd) zie verderop voor de definitie 34

35 voorbeeld A R A R 3 4 A 1 2 R R = R 2 = { (1,1),(1,2),(1,3), (2,2),(2,4),(3,3) } twee-staps relatie (in graaf, resp. in pijldiagram) 35

36 voorbeeld A R -1 A R 3 4 A 1 2 R -1 R = { (1,1),(1,2),(2,1),(2,2), (2,4),(3,3),(4,2),(4,4) } achteruit vooruit (in graaf, resp. in pijldiagram) eerst R -1, dan R! 36

37 matrixvermenigvuldiging R A B en S B C, x A, z C x(s R)z als er een y B is waarvoor xry en ysz kind Da Em Br Th Mi Li x x Zo x x Me x x Te x Ev Ti Se Li Zo Me Te x x x x x Da Em Br Th Mi Ev x x x x x Ti x x Se x broer/zus 37

38 matrixvermenigvuldiging Er is een verband tussen samenstelling van relaties en matrixvermenigvuldiging [mocht je dat al ergens geleerd hebben]. Matrices * vermenigvuldig je in de rekenkunde/ lineaire algebra met behulp van optellen en vermenigvuldigen; bij samenstellen van relaties gebruik je booleans (0 true, 1 false) en disjunctie ( óf) en conjunctie ( én). Of zie Schaum 2.5 Composition of Relations and Matrices. * het meervoud van matrix is matrices 38

39 Theorem 2.1 associativiteit Het samenstellen van relaties is associatief: als R A B, S B C en T C D, dan (R S) T = R (S T). A R B S C T D zie Schaum opgave 2.8 volgorde!? x R S y y = g f (x) 39

40 volgorde Notatie: richting van origineel x naar beeld y Bij relaties schrijven we xry wanneer er een pijl van x naar y vertrekt. Bij functies schrijven we y=f(x). Bij relaties x(r S)y, eerst R dan S, bij functies y=(g f)x, eerst f dan g toepassen. Dat is verwarrend als we ons realiseren dat elke functie ook een (speciale) relatie is. volgorde!? x R S y y = g f (x) 40

41 2.6 eigenschappen (van binaire relaties) kleiner (-gelijk) gelijke kleur 41

42 binaire relaties Bekend: een binaire relatie is een deelverzameling van een Cartesisch product A B: R A B. We spreken van een relatie in A als R A A, dus als B = A. Notatie: xry of (x,y) R (geordende paren) Er zijn twee typen relaties (equivalentierelatie, partiële ordening; zie 2.8 en 2.9 van Schaum) die vaak voorkomen. Ze zijn gedefinieerd op binaire relaties in een verzameling (en niet tussen twee verschillende). Ze onderscheiden zich doordat ze voldoen aan speciale eigenschappen ( 2.6 en hierna). 42

43 2.6 eigenschappen De karakteristieken/eigenschappen van deze twee speciale typen binaire relaties liggen vast met behulp van de relatie tussen één, twee en drie objecten: (ir)reflexiviteit, (anti)symmetrie, en transitiviteit. De plaatjes hieronder zijn slechts intuitief! De echte definitie volgt. 43 partiële ordening equivalentierelatie,

44 reflexief Een relatie R V V heet reflexief als geldt: xrx voor alle x V irreflexief als geldt: xrx voor geen enkele x V Z x y R AS T Z x<y IR AS T P(U) x y= S P(U) x y IR T V x=y R S AS T Z + 2x y R gelijke kleur R S T 44 Een relatie R V V is niet reflexief als er een x V bestaat waarvoor xrx niet geldt. Merk op dat: niet reflexief irreflexief

45 symmetrisch Een relatie R V V heet symmetrisch als geldt: als xry dan yrx ( voor alle x,y V ) anti-symmetrisch als geldt: als xry en yrx dan x=y ( voor alle x,y V ) Z x y R AS T Z x<y R AS T P(U) x y= P(U) x y IR AS T V x=y R S AS T Z + 2x y R gelijke kleur R S T Equivalent: R is anti-symmetrisch: als x y en xry, dan niet yrx S (!) 45

46 equivalent symmetrisch symmetrisch: wanneer tussen twee punten de pijl in de ene richting loopt dan ook omgekeerd antisymmetrisch: tussen twee punten loopt nooit een pijl in twee richtingen, tenzij die punten samenvallen (en het dus over dezelfde pijl gaat) x x y niet allebei y x=y pijl OK als xry en yrx gelden, dan x=y AS als x y en xry, dan niet yrx AS let op: zowel als < is een antisymmetrische relatie, idem en. 46

47 transitief Een relatie R V V heet transitief als xry en yrz impliceren dat xrz ( voor alle x,y,z V ) Z x y R AS T Z x<y R AS T P(U) x y= S P(U) x y IR T V x=y R S AS T Z + 2x y R gelijke kleur R S T 47

48 (werk)college Volgende college: Dinsdag 2 oktober (!!!), in zaal C1 (Gorlaeus) Werkcollege a.s. vrijdag: Geen werkcollege i.v.m. De Leidsche Flesch eerstejaarsweekend Werkcollege volgende week: Vrijdag 28 september, in zalen 401, 402, 405, 408 (Snellius)