equivalentie-relaties

Transcriptie

1 vandaag equivalentie-relaties reflexief, symmetrisch, transitief 1 1. gelijkmachtigheid / aftelbaarheid 2. modulo rekenen 3. theorie

2 Gelijkmachtigheid en aftelbaarheid 3.7 aleph 2

3 intuitie Amst Brux Roma Pari Lond 3

4 intuitie f Amst Brux Roma Pari Lond 4

5 intuitie A eindige verzameling. tellen van de elementen van A is het geven van een bijectie tussen { 1,2,, n } en A f Amst Brux Roma Pari Lond 1 Brux 2 Pari 3 Roma 4 Amst 5 Lond 5

6 intuitie A eindige verzameling. tellen van de elementen van A is het geven van een bijectie tussen { 1,2,, n } en A f Amst Brux Roma Pari Lond 1 Brux 2 Pari 3 Roma 4 Amst 5 Lond oneindige verzamelingen? meer/evenveel elementen R, Q, Z, N 6

7 7 Hilberts hotel

8 oneindig Z N

9 oneindig Z N Z

10 even E N E Zoiets geldt ook voor de even getallen: dat zijn er minder dan de natuurlijke getallen (als deelverzameling) maar toch evenveel (als gelijkmachtig). 10

11 oneindig Er bestaat een bijectie tussen N en Z f(n) = n/2 als n even -(n+1)/2 als n oneven Definitie Een verzameling A heet oneindig aftelbaar als er een bijectie is van N naar A. A is aftelbaar als A eindig is of oneindig aftelbaar Z is aftelbaar. 11

12 N en Q /1 2/1 3/1 4/1 5/1 6/1 1/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2 1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 6/3 1/4 2/4 3/4 4/4 5/4 6/4 12

13 Er bestaat een bijectie tussen N en Q , 2, 1/2, 3, 1/3, 4, 3/2, 2/3, 1/4, 5, 1/5, 6, 5/2, 4/3, 1/1 2/1 3/1 4/1 5/1 6/1 1/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2 1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 6/3 1/4 2/4 3/4 4/4 5/4 6/4 Q is aftelbaar. breuken zijn aftelbaar surjectie vs. bijectie! Cantorwandeling 13

14 Er bestaat een bijectie tussen N en Q + breuken zijn aftelbaar Calkin-Wilf: oneindige binaire boom waarin elke (positieve) breuk precies één keer voorkomt. Voordeel: geen herhalingen, toch super-simpel. Nadeel: hoe weten we die precies één keer? a/b a/a+b a+b/b 14 Calkin, N. and Wilf, H. S. "Recounting the Rationals." Amer. Math. Monthly 107, , 2000.

15 algemener f: N A zie volgende slides formeel: aftelbaar bijectie surjectie aftelling met herhaling máár herhalingen kun je verwijderen vereniging twee aftelbare verzamelingen ook aftelbaar: om-en-om (en herhalingen verwijderen) vereniging aftelbaar veel aftelbare ook aftelbaar: cantor wandeling 15

16 generalisatie (oneindig) aftelbaar bijectie met N N surjectie Als een surjectie f: N A bestaat is A aftelbaar vgl. breuken N bijectie Als A en B aftelbaar dan ook A B aftelbaar f: N A g: N B A: B:

17 generalisatie Als een surjectie f: N A bestaat is A aftelbaar N A eindig geen bijectie mogelijk! aftelbaar eindig of bijectie met N 17

18 generalisatie A aftelbaar: eindig oneindig bijectie f: N A aftelling zonder herhaling f(0),f(1),f(2), Als een surjectie f: N A bestaat is A aftelbaar oneindig: bijectie maken, herhalingen verwijderen g(0) = f(0) g(n) = f(i) eerste waarde ongelijk aan g(0),g(1),, g(n-1) Als A en B aftelbaar dan ook A B aftelbaar f: N A g: N B om-en-om: f(0),g(0),f(1),g(1),f(2), vgl. breuken 18

19 Als A i aftelbaar dan i N A i aftelbaar generalisatie vgl. breuken f i : N A i f 0 (0) f 0 (1) f 0 (2) f 0 (3) f 0 (4) f 1 (0) f 1 (1) f 1 (2) f 1 (3) f 1 (4) f 2 (0) f 2 (1) f 2 (2) f 2 (3) f 2 (4) f 3 (0) f 3 (1) f 3 (2) f 3 (3) f 3 (4) de eindige deelverzamelingen van N zijn aftelbaar. 19

20 Er bestaat géén bijectie tussen N en R overaftelbaar (zonder bewijs) diagonalisatie probleempje: = 1 = maw R is niet aftelbaar R is overaftelbaar Cantor 20

21 diagonalisatie Men gebruikt diagonalisatie om te laten zien dat de reële getallen niet aftelbaar zijn. Dat heeft technisch een vervelende kant. Je moet eigenlijk weten dat elk rijtje cijfers achter de komma een uniek getal vastlegt. We gaan iets anders doen. We laten zien dat de machtsverzameling van N niet aftelbaar is. Sterker: geen enkele machtsverzameling is gelijkmachtig met de verzameling zelf! 21

22 22

23 paradoxen leugenaarsparadox ik lieg Barber paradox. paradox van Russell: er bestaat geen verzameling van alle verzamelingen! (Kies maar eens de verzameling van alle verzamelingen die zichzelf niet bevatten ) 23

24 Er bestaat géén bijectie tussen N en (N) diagonalisatie V 0, V 1, V 2, V 3, V 4, V 5, V 6, V 7, V V V V V V V V i V i V i 24

25 generalisatie: theorem 3.4 Er bestaat géén bijectie tussen A en (A) f a a f(a) f f(a) a a A A A A V = { a A a f(a) } b f V A 25

26 generalisatie: theorem 3.4 Er bestaat géén bijectie tussen A en (A) f a a f(a) f f(a) a a A A A A V = { a A a f(a) } V A f surjectief: V = f(b) b f V A 26

27 generalisatie: theorem 3.4 Er bestaat géén bijectie tussen A en (A) f a a f(a) f f(a) a a A A A A V = { a A a f(a) } V A f surjectief: V = f(b) def b V b f(b) b f V A 27

28 generalisatie: theorem 3.4 Er bestaat géén bijectie tussen A en (A) f a a f(a) f f(a) a a A A A A V = { a A a f(a) } V A f surjectief: V = f(b) def b V b f(b) b f V máár V = f(b)! b f(b) b f(b) A 28 tegenspraak

29 Twee verzamelingen A en B heten gelijkmachtig als er een bijectie tussen A en B bestaat. Er bestaat een bijectie tussen R en R + Er bestaat een bijectie tussen 0,1 en R gelijkmachtigheid R en R +, en 0,1 en R zijn gelijkmachtig 29 A en (A) zijn niet gelijkmachtig

30 R en R +, en 0,1 en R zijn gelijkmachtig gelijkmachtigheid R 0,1 R 0,1 R R + reflexief id : A A symmetrisch f : A B dan f -1 : B A transitief f : A B en g : B C dan g f : A C equivalentierelatie 30

31 onze helden Georg Cantor Alan Turing Turing-jaar 31

32 32 enigma

33 berekenbaar wanneer berekenbaar? Champernowne constant = Sloane A = Sloane A = Sloane A programma dat elke decimaal kan berekenen zijn alle getallen berekenbaar? NEE 33

34 halting problem bestaat er een programma dat nagaat of een programma in een oneindige loop zal raken? 34

35 halting problem loop detected X A running on your bestaat er een? computer programma has been trapped dat in an nagaat of een infinite loop programma in een oneindige loop zal raken? Would you like to stop it? stop it cancel huh? 35

36 halting problem loop detected A bestaat er een? whoops running on your X computer programma has been trapped dat in an nagaat of een infinite loop your loop detection program has programma in een! oneindige loop zal raken? reached an infinite loop Would you like to stop it? stop it nothing we can do about that cancel huh? X ctr-alt-del ignore duh! 36

37 modulo rekening ook 3.4 modular arithmetic

38 congruentie 11.8 modulo n klokrekenen 17 u. 8 uur later: 01 u (24) 38

39 congruentie optellen modulo n met de klok = = 25 39

40 congruentie modulo n klokrekenen n N + a en b heten congruent modulo n als a-b deelbaar is door n a b (mod n) dezelfde rest equivalentierelatie: a a a-a = 0 a b dan b a b-a = -(a-b) a b en b c dan a c a-c = (a-b)+(b-c) 40

41 restklassen n N + ; a en b heten congruent modulo n als a-b deelbaar is door n a b (mod n) De equivalentieklasse van x is [x] R = { y V xry } restklassen modulo 7 0 [0] = { } 1 [1] = { } 2 [2] = { } 3 [3] = { } 6 [6] = { } = [-8] etc. notatie (mod 7) of -8 = 13 getallen klassen 41

42 congruentie als a a en b b (modulo n) dan a+b a +b en a-b a -b en a b a b (modulo n) dus: het maakt niet uit, welk element uit de restklasse gekozen wordt vb. modulo & = =5 maar = =-1 maar = =6 maar want veelvouden van n (a+b)-(a +b ) = (a-a )+(b-b ) (a-b)-(a -b ) = (a-a )-(b-b ) a b-a b = a(b-b )+b (a-a )

43 laatste cijfer wat is het laatste cijfer van 3 234? modulo 10 machten van = = (mod 10) = = (3 4 )^

44 1 1 jan 00 za [1] 2 2 jan 00 zo [2] jan feb 00 di [4] dec 00 zo [2] xxx 13 mei 23?? [?] weekdagen 1 za 2 zo 3 ma 4 di 5 wo 6 do 7 vr jaar 365 dagen/jaar + 6 schrikkels dagen zaterdag modulo 7

45 voor oneven x: x 2-1 deelbaar door 8 basis =0 inductiestap (x+2) 2-1 = x 2 +4x+3 = x (x+1) 8 x 2-1 aanname 2 x+1 (even!) 8 4(x+1) deelbaarheid modulo 8 oneven x x dwz x 2 1 klassen : 1 2 = = = =49 1 als x y dan x 2 y 2 45 zonder modulo-rekenen: (8k+5) 2 =64k 2 +80k+24+1 is 8-voud + 1

46 voor oneven x: x 2-1 deelbaar door 8 deelbaarheid inductie, modulo rekenen, nog een manier x 2-1 = (x-1)(x+1) twee opvolgende even getallen één deelbaar door vier (andere door 2) 46

47 m deelbaar door 9 als som cijfers m deelbaar door 9 negenproef = = 18 modulo n 1 n 1 c k c 2 c 1 c 0 = c k 10 k + + c c c k + + c 1 + c 0 k n=0 c n 10 n k n=0 c n getal som cijfers 47

48 rekenen met restklassen modulo [1] 1 Z 6 48 gewone rekenregels: commutatief, associatief, distributief, een, nul maar niet x y=0 x=0 y=0 nuldelers

49 rekenen met restklassen modulo [1] 1 Z 7 49 gewone rekenregels: commutatief, associatief, distributief, een, nul en wel x y=0 x=0 y=0 nuldelers

50 relaties 2 a Equivalentie- aftelbaarheid modulo rekening 50

51 vergelijkingen oplossen 3x 2-4x+6 = 2x 2-2x+9 x 2-2x-3 = 0 (x-3)(x+1) = 0 x-3=0 v x+1=0 x=3 v x=-1 schakelen? a b c a b c a b c a b c paden in grafen *ongericht! p- q q- r p- r p- p p- q q- p (*) samenhangscomponent gelijkmachtigheid f:a B g:b C g f:a C f:a B f -1 :B A id:a A breuken 1/2 = 2/4 = 3/6 = (1,2)~(2,4)~(3,6) zoeken boomstructuur dertig < drie 51

52 4 1 intuitieve representatie 3 y 2 5 gerichte graaf grafiek x pijldiagram i matrix 5 j

53 eigenschappen kleiner gelijke kleur 53

54 54 blokkenwereld even groot zelfde vorm * zelfde kleur

55 Een relatie R V V heet reflexief als xrx voor alle x V irreflexief als xrx voor geen x V eigenschappen symmetrisch als xry impliceert dat yrx ( voor alle x,y V ) anti-symmetrisch als xry en yrx impliceren dat x=y ( voor alle x,y V ) transitief als xry en yrz impliceren dat xrz ( voor alle x,y,z V ) 55

56 Definitie karakterisatie binaire relatie R A A R reflexief id R R irreflexief id R = R symmetrisch R -1 R R anti-symmetrisch R R -1 id R transitief R 2 R R n R voor alle n N + 56

57 2.8 equivalentie Een relatie R V V heet equivalentierelatie als R - reflexief - symmetrisch, en - transitief is gelijkheid gelijkmachtig (verzamelingen) breuken (paren gehelen) zelfde letters (strings) congruentie (figuren) evenwijdig (lijnen) gelijke kleur rest modulo n (gehele getallen) f:v P f(x)=f(y) pad (knopen ongerichte graaf) 57

58 equivalentieklassen Een relatie R V V heet equivalentierelatie als R reflexief, symmetrisch, en transitief is y y y x x x z z z xry & xrz yrx yrz 58

59 theorem 2.6 equivalentierelatie:reflexief,symmetrisch,transitief De equivalentieklasse van x is [x] R = { y V xry } partitie! x [x] 59 x [x] equivalent: 1. xry 2. y [x] 3. [x]=[y] 4. [x] [y] x y [x] [y]

60 equivalentieklassen De equivalentieklasse van x is [x] R = { y V xry } kleur [b] blokken met gelijke kleur als b wordt bepaald door kleur gelijke rest na deling door 7 [3] = {, -11, -4, 3, 10, 17, } bepaald door rest : 7 klassen [0] = {, -14, -7, 0, 7, 14, } zeven-vouden 60 afstand tot oorsprong R 2 (x 1,y 1 ) R (x 2,y 2 ) als x 12 +y 1 2 = x 22 +y 2 2 [ (2,1) ] alle punten afstand 5 cirkels!

61 62 end...