Automaten en Berekenbaarheid

Transcriptie

1 Automaten en Berekenbaarheid Bart Demoen KU Leuven Les 3: Myhill-Nerode relaties; regulier pompen

2 Myhill-Nerode equivalentieklassen in Σ I 2/10 belangrijk te verstaan: een equivalentie-relatie induceert een partitie en omgekeerd: een partitie induceert een equivalentie-relatie twee manieren om over hetzelfde concept te praten speciale klasse van equivalentie-relaties over Σ : de MN(L)-relaties; L Σ de partitie is eindig (1) als x y dan xa ya voor alle a Σ (2) 1 verfijnt de partitie {L, L} of meer formeel: als x y dan x L y L (3) Een relatie (of partitie) die aan (1), (2) en (3) voldoet heet een Myhill-Nerode relatie voor L of een MN(L)-relatie. 1 dit heet rechts-congruentie

3 Rechts-congruentie in beeld 3/10 Voorbeeld: Σ * sa wa wb sb s w sc wc partitie van Σ ; s en w in dezelfde equivalentieklasse s w, dan ook (voor a, b, c Σ) sa wa, sb wb en sc wc,

4 Myhill-Nerode equivalentieklassen in Σ II 4/10 gegeven een DFA D met volledige δ die L bepaalt voor q Q: definieer reach(q) = {s Σ δ (start, s) = q} de verzameling van alle reach(q) s vormt een partitie van Σ, of bepaalt een equivalentie-relatie de reach(q) s vormen een eindige partitie van Σ (1) de geïnduceerde equivalentie-relatie D is dus: x D y alss x en y behoren tot dezelfde reach(q) als x D y dan xa D ya voor alle a (2) als x D y en x L D dan y L D (3) D is dus een MN(L)-relatie

5 Myhill-Nerode equivalentieklassen in Σ III 5/10 elke DFA bepaalt een MN(L)-relatie (net gezien) omgekeerd: een MN(L)-relatie bepaalt een DFA voor L - constructie zie tekst de elementen van de partitie komen overeen met toestanden in de DFA MN(L)-relatie... dus is L regulier! die DFA is uniek op isomorfisme na

6 Myhill-Nerode theorie gebruiken 6/10 van twee relaties (of partities) kan het supremum gedefinieerd en geconstrueerd worden het supremum van twee MN(L)-relaties is een MN(L)-relatie en bevat niet meer elementen in de partitie in termen van de overeenkomstige DFAs: het supremum van twee DFAs voor L, bepaalt ook L en heeft niet meer toestanden uniciteit van de minimale DFA volgt nu bijna vanzelf

7 Is een taal regulier of niet... 7/10 zonet: als een MN(L)-relatie bestaat dan is L regulier (en omgekeerd) hoe bewijzen we dat een taal niet regulier is? bewijs dat die taal L geen MN(L)-relatie heeft of gebruik het pompend lemma voor reguliere talen...

8 Het pompen van een reguliere taal 8/10 gegeven: een DFA die L bepaalt basisidee: als een string s L groot is t.o.v. de DFA, dan volg je minstens één lus in de DFA terwijl je met s naar F gaat de string over die lus kan je wegknippen uit s of zo dikwijls herhalen (pompen) als je wil: je bekomt altijd een string uit L ruwweg: als s L en s is lang genoeg dan is s = αβγ en αβ i γ L met bijkomende eigenschappen exacte formulering van het pompend lemma: zeer belangrijk exact gebruik van het pompend lemma: zeer belangrijk

9 Afsluitend i.v.m. reguliere talen en DFA s 9/10 algemene constructie van de doorsnede, unie, (symmetrisch) verschil van twee DFA s toont o.a. dat het complement van een reguliere taal ook regulier is varianten van DFA s hebben beperkte rekenkracht door op elke boog een output symbool te laten uitschrijven een transducer berekent een resultaat: zet inputstring om in outputstring een transducer kan optellen, maar niet vermenigvuldigen ondertussen heb je door dat er ook niet-reguliere talen bestaan hoeveel niet-reguliere talen bestaan er?

10 Belangrijk: kennen en kunnen. 10/10 De verzameling van partities van een gegeven verzameling kunnen structureren als een tralie, met een partiële orde (fijner dan). Kunnen uitleggen wat het supremum is van twee partities. Het verband van partitie met equivalentie-relatie en equivalentie-klasse kunnen uitleggen en gebruiken tijdens de latere constructies (dat impliceert ook def 13.2) Uitleggen op welke manier een DFA een partitie van Σ bepaalt (mbv reach(q)). De definitie van een MN(L)-relatie kunnen reproduceren en bewijzen dat de DFA een MN(L)-relatie is. Van stelling 13.3 zelf de opgave kunnen geven, ttz de constructie van Q, q s, F en δ, vertrekkend van een MN(L)-relatie, en aantonen dat die constructie een DFA voor L oplevert. Stelling 13.4 kunnen uitleggen. Definitie 13.5 kunnen uitleggen en gebruiken om stelling 13.6 te bewijzen. Gebruik maken van MN(L)-relaties en stelling 12.3 om nu (pas) te bewijzen dat een minimale DFA uniek is (op isomorfisme na). Het concept van MN(L)-relatie gebruiken om van sommige talen te bewijzen dat ze niet regulier zijn. Het pompend lemma voor reguliere talen kunnen formuleren, bewijzen en gebruiken om van sommige talen te laten zien dat ze niet regulier zijn. De diverse constructies van nieuwe DFA s uit gegeven DFA s kunnen reproduceren en uitleggen. Kunnen uitleggen wat een transducer is en laten zien dat je ermee kan optellen.