Automaten en Berekenbaarheid

Transcriptie

1 Automaten en Berekenbaarheid Bart Demoen KU Leuven Les 2: reguliere expressies NFA DFA minimalisatie

2 Van RE naar NFA I 2/11 structureel (als algebra s) zijn RegExp en de NFA s gelijk voor unie, concatenatie en : ze zijn isomorf ook de manier waarop een RE een taal bepaalt NFA sterkere overeenkomst door expliciete constructie de 3 basisgevallen van de RegExp met hun NFA ε φ a in Σ a

3 Van RE naar NFA II 3/11 E1 E2 de 3 inductieve gevallen van RegExp met hun NFA unie(nfa1,nfa2) E1 E2 concat(nfa1,nfa2) E* ster(nfa) kijk op pagina voor de constructie van unie, concat en ster van NFA s

4 Van NFA naar RE 4/11 gebaseerd op een veralgemening van de NFA - de GNFA op een boog mag een RE begintoestand heeft slechts één inkomende boog en is verbonden met alle andere knopen slechts één eindtoestand met enkel inkomende bogen van alle knopen alle andere knopen zijn met elkaar verbonden een algoritme neemt toestanden weg tot enkel begin- en eindtoestand overblijven ondertussen worden de RE s op de bogen aangepast zodat de taal niet verandert op het einde houden we een GNFA over met slechts één boog met een RE die equivalent is met de initiële NFA

5 De deterministische NFA: DFA 5/11 DFA is een NFA waarin geen ɛ-bogen voorkomen en er nooit keuze is signatuur van δ in de formele definitie verandert! direct duidelijk de verzameling DFA s is een deel van de verzameling NFA s dus elke DFA bepaalt een reguliere taal Vraag: wordt elke reguliere taal door een DFA bepaald?

6 De deterministische NFA: DFA 5/11 DFA is een NFA waarin geen ɛ-bogen voorkomen en er nooit keuze is signatuur van δ in de formele definitie verandert! direct duidelijk de verzameling DFA s is een deel van de verzameling NFA s dus elke DFA bepaalt een reguliere taal Vraag: wordt elke reguliere taal door een DFA bepaald?

7 Van NFA naar DFA 6/11 Algoritme gebaseerd op idee voer de NFA breedte-eerst uit hou verzamelingen van toestanden bij waarin je geraakt door een string te gebruiken zulke verzamelingen zijn de toestanden van de DFA overgangen in de DFA komen overeen met overgangen tussen verzamelingen NFA toestanden technisch ambetantste probleem: de ɛ-bogen belangrijk: het bewijs dat de NFA en de bekomen DFA dezelfde taal bepalen

8 Minimale DFA I 7/11 een DFA is minimaal als er geen equivalente DFA bestaat met minder toestanden we bekijken dit voor DFA s met een volledige δ voor je verder gaat moet het duidelijk zijn dat elke reguliere taal een minimale DFA heeft wat nog niet duidelijk is hoe construeer je een minimale DFA? is een minimale DFA uniek? waaraan kan je zien dat een DFA minimaal is? basisconcept: f-gelijke toestanden

9 Minimale DFA II: f-gelijke toestanden 8/11 p en q zijn f-gelijk indien... intuïtie: de toekomst van p en q zijn gelijk als je vanuit p en q met dezelfde string vertrekt, dan kom je aan in toestanden p en q die beide in F zitten of geen van beide dat geldt voor alle strings f-gelijke toestanden samennemen: de DFA wordt kleiner algoritme zoekt eerst de f-verschillende toestanden als p F en q / F, dan is p zeker f- van q

10 nog eens f-gelijke toestanden 9/11 p s p q s q voor elke s in Σ * p of s p q s q

11 Uniciteit van een minimale DFA 10/11 de DFA die het algoritme bekomt kan niet kleiner gemaakt worden karakterisatie: alle toestanden zijn bereikbaar en f-verschillend elke kleinere DFA bepaalt een andere taal uniciteit kan niet, maar op isomorfisme na... in volgende les

12 Belangrijk: kennen en kunnen. 11/11 De constructie van een NFA vertrekkend van een RE kunnen geven: in het algemeen en op een voorbeeld RE. Stelling 9.1 kunnen bewijzen gebaseerd op de hint. De informele definitie van een GNFA kunnen geven, en daarna gebruiken in de constructie van een RE uit een NFA. De correctheid van die constructie aantonen door te laten zien dat de reductie van de inwendige knopen de taal niet verandert. DFA als beperking van NFA kunnen uitleggen. Het algoritme om van een NFA een DFA te maken kunnen beschrijven, maar ook de details van de constructie, met inbegrip van de behandeling van epsilon-bogen. Kunnen uitleggen wat minimale DFA betekent, en uitleggen waarom dit niet apriori betekent dat die uniek is. De definitie van f-gelijke (en f-verschillende) toestanden exact kunnen verwoorden. Een algoritme dat alle koppels f-gelijke toestanden vindt kunnen uitleggen, argumenteren waarom het stopt en correct is. Kunnen aantonen dat het samennemen van f-gelijke toestanden de geaccepteerde taal niet wijzigt. Stelling 12.3 correct kunnen verwoorden en het bewijs reproduceren. Ook de reikwijdte van die stelling kunnen verwoorden, in het bijzonder kunnen argumenteren dat stelling 12.3 nog altijd niet aantoont dat het algoritme dat f-gelijke toestanden samenneemt een unieke minimale DFA oplevert. De definitie van isomorfisme van DFA s kennen en juist gebruiken - in het bijzonder dat begrip nooit verwarren met equivalentie van DFA s.