De klasse van recursief opsombare talen is gesloten onder en. Dit bewijzen we met behulp van een recursieve opsomming
|
|
- Bram Verlinden
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Recursieve talen De klasse van recursief opsombare talen is gesloten onder en. Echter, het is niet zo dat L recursief opsombaar is voor alle recursief opsombare talen L. Dit bewijzen we met behulp van een recursieve opsomming M 1, M 2, M 3,... van alle TMs: Iedere TM kan worden gerepresenteerd als een input-string. Een parseer-algoritme checkt voor iedere mogelijk input-string of die een TM representeert. Zoja, voeg deze TM toe aan de opsomming.
2 Recursieve talen Een taal L is recursief als L en L recursief opsombaar zijn. Stelling: Niet iedere recursief opsombare taal is recursief. Bewijs: Zij M 1, M 2, M 3,... een recursieve opsomming van alle TMs. We definiëren L = {a i a i L(M i ), i 1}. L is recursief opsombaar. Stel, L is recursief opsombaar: L = L(M k ) voor een k 1. Dan a k L a k L(M k ) a k L. Tegenspraak, dus L is niet recursief opsombaar.
3 TMs zijn aftelbaar, talen niet Stelling: Er zijn aftelbaar veel TMs over een input alfabet Σ. Stelling: Er zijn overaftelbaar veel talen over Σ. Bewijs: Stel, L 0, L 1, L 2,... is een aftelling is van alle talen over {a}. Definieer a i L a i L i, voor alle i 0. L zit duidelijk niet in bovenstaande aftelling. Conclusie: Niet alle talen zijn recursief opsombaar.
4 Halting probleem (1936) Als een TM in toestand q een a op de tape leest terwijl δ(q, a) ongedefinieerd is, dan bereikt het een halt state. (Als q eindtoestand is, dan is het voor alle a een halt state.) Het halting probleem is of, gegeven een (deterministische) TM M en een input-string w, geen halt state wordt bereikt. De taal die bij het halting probleem hoort bevat string (M, w) dan en slechts dan als TM M geen halt state bereikt op input-string w.
5 Halting probleem is onbeslisbaar Stelling: Het halting probleem is onbeslisbaar. Bewijs: Stel dat een TM H bestaat die, gegeven een TM en een input-string, bepaalt of geen halt state wordt bereikt. Gegeven een TM M en input-string w. Executeer in parallel M op w en H op (M, w). Eén van de volgende drie gevallen zal plaatsvinden: M op w bereikt een eindtoestand: w L(M). M op w bereikt een niet-accepterende halt state: w / L(M). H op (M, w) bereikt een eindtoestand: w / L(M). Dus L(M) is recursief opsombaar. Tegenspraak, want niet alle recursief opsombare talen zijn recursief.
6 Stelling van Rice (1951) Een eigenschap van een klasse K is triviaal als hij geldt voor alle óf voor geen enkele k K. Stelling van Rice: Iedere niet-triviale eigenschap P voor recursief opsombare talen is onbeslisbaar. Bewijs: Stel dat P( ) (zoniet, neem P) en P(L 0 ) voor een niet-lege, recursief opsombare L 0. Zij L recursief opsombaar. Gegeven een string x, bouwen we een TM M x met L(M x ) is als x L, en L 0 als x L als volgt. L(M x ) bevat string y als 1. x L, en 2. y L 0. Beslisbaarheid van P(L(M x )) zou impliceren dat L altijd recursief is, omdat we kunnen bepalen of x / L. Tegenspraak!
7 Stelling van Rice: voorbeelden Voor recursief opsombare talen L zijn a L? en is L eindig? onbeslisbaar.
8 Post correspondence probleem (1946) PCP: Gegeven twee rijen van n strings over Σ: w 1,..., w n en v 1,..., v n Is er een niet-lege rij indices j,..., k zo dat w j w k = v j v k? Emil Post ( ) Vraag: Geef een oplossing voor w 1 = 01 w 2 = 1 w 3 = 110 v 1 = 100 v 2 = 011 v 3 = 1
9 Modified Post correspondence probleem We gaan bewijzen dat het PCP onbeslisbaar is. We bewijzen eerst dat het Modified PCP (MPCP) onbeslisbaar is. MPCP: Gegeven twee rijen van n strings over Σ: w 1,..., w n en v 1,..., v n Is er een niet-lege rij indices j,..., k zo dat w 1 w j w k = v 1 v j v k?
10 Modified Post correspondence probleem Stelling: Als het MPCP beslisbaar zou zijn, dan zou de vraag w L(G)? beslisbaar zijn voor onbeperkte grammatica s G. Bewijs: G = (V, T, S, P). We definiëren de volgende rijen strings (met F en E verse symbolen): FS F a a (a T ) A A (A V ) y x (x y P) E we Er is een MPCP-oplossing (met w 1 = FS en v 1 = F ) dan en slechts dan als w L(G). Conclusie: Het MPCP is onbeslisbaar.
11 Modified Post correspondence probleem: voorbeeld S AA A ab Bb BB aa S AA aba abbb aaab i w i v i i w i v i 1 FS F 7 2 a a 8 AA S 3 b b 9 ab A 4 A A 10 Bb A 5 B B 11 aa BB 6 S S 12 E aaabe w 1 w 8 w 7 w 9 w 10 w 7 w 2 w 11 w 3 w 12 F S A A a B B b a a a b E v 1 v 8 v 7 v 9 v 10 v 7 v 2 v 11 v 3 v 12
12 Post correspondence probleem Stelling: Het PCP is onbeslisbaar. Bewijs: Gegeven twee rijen van n strings w 1,..., w n en v 1,..., v n, met w i = a i1 a imi en v i = b i1 b iri (en m i + r i > 0) voor alle i. We definiëren twee nieuwe rijen y 0,..., y n+1 en z 0,..., z n+1 : y 0 = $y 1 y i = a i1 $a i2 $ a imi $ (1 i n) y n+1 = # z 0 = z 1 z i = $b i1 $b i2 $b iri (1 i n) z n+1 = $# $ en # zijn vers, dus iedere PCP-oplossing is van de vorm y 0 y j y k y n+1 = z 0 z j z k z n+1 Zo n oplossing bestaat dan en slechts dan als w 1 w j w k = v 1 v j v k een MPCP-oplossing is voor de w i s en v i s. Aangezien het MPCP onbeslisbaar is, is ook het PCP onbeslisbaar.
13 Reduction of MPCP tot PCP: example Consider the following instance of the MPCP: w 1 = 11 w 2 = 1 v 1 = 1 v 2 = 11 To which instance of the PCP does it reduce? y 0 = $1$1$ y 1 = 1$1$ y 2 = 1$ y 3 = # z 0 = $1 z 1 = $1 z 2 = $1$1 z 3 = $# The original MPCP instance has a solution if and only if the resulting PCP instance has a solution.
14 Lege doorsnede van contextvrije talen is onbeslisbaar Stelling: De vraag L 1 L 2 =? voor contextvrije talen L 1 en L 2 is onbeslisbaar. Bewijs: We reduceren het PCP naar bovenstaand probleem. Gegeven twee rijen van n strings w 1,..., w n en v 1,..., v n over Σ. a 1,..., a n Σ zijn verschillende terminals. We definiëren twee contextvrije grammatica s G 1 en G 2 : S 1 w i S 1 a i w i a i (1 i n) S 2 v i S 2 a i v i a i (1 i n) L(G 1 ) = {w j w k a k a j j,..., k willekeurig} L(G 2 ) = { v j v k a k a j j,..., k willekeurig} L(G 1 ) L(G 2 ) = het PCP is onoplosbaar voor de w i s en v i s.
15 Ambiguïteit van contextvrije grammatica s is onbeslisbaar Stelling: Ambiguïteit van contextvrije grammatica s is onbeslisbaar. Bewijs: We reduceren het PCP naar bovenstaand probleem. Gegeven twee rijen van n strings w 1,..., w n en v 1,..., v n over Σ. a 1,..., a n Σ. We definiëren een contextvrije grammatica G: S S 1 S 2 S 1 w i S 1 a i w i a i (1 i n) S 2 v i S 2 a i v i a i (1 i n) G is ambigu het PCP is oplosbaar voor de w i s en v i s.
16 Gelijkheid van contextvrije grammatica s is onbeslisbaar Stelling: De vraag L = Σ? voor contextvrije talen L is onbeslisbaar. Bewijs: Gegeven twee rijen strings over Σ: w 1,..., w n en v 1,..., v n, en a 1,..., a n Σ. Stap 1: De volgende taal is contextvrij : {wa k a j w Σ \{w j w k }} Stap 2: ˆΣ = Σ {a 1,..., a n }. De volgende taal is regulier : {xa i cy x, y ˆΣ c Σ} Stap 3: De volgende uitspraken zijn equivalent: (1) ˆΣ is gelijk aan {wa k a j w Σ \{w j w k }} {va k a j v Σ \{v j v k }} {xa i cy x, y ˆΣ c Σ} {λ} (2) PCP voor w 1,..., w n en v 1,..., v n heeft geen oplossing.
17 Semi-beslisbaarheid Het halting probleem, het PCP, lege doorsnede van contextvrije talen, ambiguïteit van contextvrije grammatica s, en of een contextvrije taal alle strings bevat, zijn semi-beslisbaar. Namelijk, deze vragen zijn beslisbaar als: een deterministische TM op een input wel een halt state bereikt het PCP wel een oplossing heeft twee contextvrije talen een niet-lege doorsnede hebben een contextvrije grammatica wel ambigu is een contextvrije taal niet alle strings bevat
18 Nog meer onbeslisbare problemen Afleidbaarheid van een formule φ in predicatenlogica is onbeslisbaar. (Logica en Modelleren) In 1900 formuleerde David Hilbert ( ) 23 wiskundige problemen. Diophantische vergelijkingen bestaan uit polynomen met één of meer variabelen en coëfficiënten in Z. Bijv: 3X 2 Y 7Y 2 Z 3 18 = 0 7Y 2 + 8Z 3 = 0 Hilberts 10e probleem: Geef een algoritme om te bepalen of een systeem van Diophantische vergelijkingen een oplossing heeft in Z. In 1970 bewees Yuri Matiyasevich dat dit probleem onbeslisbaar is.
19 Terugblik halting probleem is onbeslisbaar stelling van Rice Post correspondence probleem is onbeslisbaar onbeslisbare problemen voor contextvrije talen (lege doorsnede, ambiguïteit, gelijkheid) afleidbaarheid in predicatenlogica is onbeslisbaar oplossen van Diophantische vergelijkingen in Z is onbeslisbaar
20 Vooruit kijken Maak: Linz 12.1: 3, 7, 9 Linz 12.3: 1, 3 Linz 12.4: 3, 7, 8 Lees: Linz H14 (optioneel van Sudkamp) (optioneel 7.2 van Lewis en Papadimitriou) Volgend college: complexiteitsklassen P en NP NP-compleetheid bounded tiling probleem / satisfiability probleem andere complexiteitsklassen
TENTAMEN Basismodellen in de Informatica VOORBEELDUITWERKING
TENTAMEN Basismodellen in de Informatica vakcode: 211180 datum: 2 juli 2009 tijd: 9:00 12:30 uur VOORBEELDUITWERKING Algemeen Bij dit tentamen mag gebruik worden gemaakt van het boek van Sudkamp, van de
Nadere informatieAutomaten & Complexiteit (X )
Automaten & Complexiteit (X 401049) Inleiding Jeroen Keiren j.j.a.keiren@vu.nl VU University Amsterdam Materiaal Peter Linz An Introduction to Formal Languages and Automata (5th edition) Jones and Bartlett
Nadere informatieLogische Complexiteit Hoorcollege 4
Logische Complexiteit Hoorcollege 4 Jacob Vosmaer Bachelor CKI, Universiteit Utrecht 8 februari 2011 Contextvrije grammatica s Inleiding + voorbeeld Definities Meer voorbeelden Ambiguiteit Chomsky-normaalvormen
Nadere informatieGödels theorem An Incomplete Guide to Its Use and Abuse, Hoofdstuk 3
Gödels theorem An Incomplete Guide to Its Use and Abuse, Hoofdstuk 3 Koen Rutten, Aris van Dijk 30 mei 2007 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 2 1.1 Definitie................................ 2 1.2 Eigenschappen............................
Nadere informatieAutomaten & Complexiteit (X )
Automaten & Complexiteit (X 401049) Beschrijven van reguliere talen Jeroen Keiren j.j.a.keiren@gmail.com VU University Amsterdam 5 Februari 2015 Talen Vorig college: Talen als verzamelingen Eindige automaten:
Nadere informatieAlgoritmen abstract bezien
Algoritmen abstract bezien Jaap van Oosten Department Wiskunde, Universiteit Utrecht Gastcollege bij Programmeren in de Wiskunde, 6 april 2017 Een algoritme is een rekenvoorschrift dat op elk moment van
Nadere informatieTalen & Automaten. Wim Hesselink Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie 9 mei 2008
Talen & Automaten Wim Hesselink Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.cs.rug.nl/~wim 9 mei 2008 Talen & automaten Week 1: Inleiding Dit college Talen Automaten Berekenbaarheid Weekoverzicht
Nadere informatieVorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie College 4. Opsommers versus herkenners (Th. 3.21) Opsommers
Vorig college College 4 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft Vervolg NDTM s Vergelijking rekenkracht TM s en NDTM s Voorbeelden NDTM s 20 april 2009 1 2 Opsommers Opsommers versus herkenners (Th. 3.21)
Nadere informatiec, X/X a, c/λ a, X/aX b, X/X
ANTWOORDEN tentamen FUNDAMENTELE INFORMATICA 3 vrijdag 25 januari 2008, 10.00-13.00 uur Opgave 1 L = {x {a,b,c} n a (x) n b (x)} {x {a,b,c} n a (x) n c (x)}. a. Een stapelautomaat die L accepteert: Λ,
Nadere informatieBerekenbaarheid 2013 Uitwerkingen Tentamen 23 januari 2014
erekenbaarheid 2013 Uitwerkingen Tentamen 23 januari 2014 1. Geef een standaard Turing-machine die de taal L 1 := {a n b n n N} = {λ, ab, aabb,... } herkent door stoppen. Je mag in je machine hulpsymbolen
Nadere informatieBerekenbaarheid 2016 Uitwerkingen Tentamen 26 januari 2017
erekenbaarheid 2016 Uitwerkingen Tentamen 26 januari 2017 1. Geef een standaard Turing-machine M 1 die de volgende taal herkent door eindtoestand: L 1 := {w {a, b, c} w a + w b = w c } Hierin is w a een
Nadere informatieTentamen in2505-ii Berekenbaarheidstheorie
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Tentamen in2505-ii Berekenbaarheidstheorie 16 juni 2008, 14.00 17.00 uur Dit tentamen bestaat uit 5 open vragen. Totaal
Nadere informatieIN2505 II Berekenbaarheidstheorie Tentamen Maandag 2 juli 2007, uur
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4 2628 CD Delft IN2505 II Berekenbaarheidstheorie Tentamen Maandag 2 juli 2007, 14.00-17.00 uur BELANGRIJK Beschikbare
Nadere informatieUitwerking Opgaven Formele talen, grammaticas en automaten Week 1
Uitwerking Opgaven Formele talen, grammaticas en automaten Week 1 Bas Westerbaan bas@westerbaan.name 24 april 2012 1 Opgave 1.1 Een goed en voldoende antwoord is: L 1 = L 2, want L 1 en L 2 zijn alle woorden
Nadere informatieTU Delft. TU Delft. TU Delft. TU Delft. IN3100 Fundamentele Informatica. Practicum. Practicum: Inschrijven. Practicum: LET OP
1 2 IN3100 Fundamentele Informatica Docenten: Hans Tonino (IN3110) & Cees Witteveen (IN3120) Colleges: Maandag 1 + 2, in zaal D, Mekelweg 4. Boek: Michael Sipser, Introduction to the Theory of Computation,
Nadere informatieBerekenbaarheid 2015 Uitwerkingen Tentamen 5 november 2015
erekenbaarheid 2015 Uitwerkingen Tentamen 5 november 2015 1. Definieer een standaard Turing-machine M 1 met input alfabet Σ = {a, b} die twee a s voor zijn input plakt, dus met M 1 (w) = aaw voor alle
Nadere informatieFormeel Denken 2014 Uitwerkingen Tentamen
Formeel Denken 2014 Uitwerkingen Tentamen (29/01/15) 1. Benader de betekenis van de volgende Nederlandse zin zo goed mogelijk (6 punten) door een formule van de propositielogica: Als het regent word ik
Nadere informatieLimits of algorithmic computation. Introductie 213. Leerkern 214. Zelftoets 222. Terugkoppeling 223
Limits of algorithmic computation Introductie 213 Leerkern 214 1 Some problems that cannot be solved by Turing machines 214 1.1 Computability and decidability 214 1.2 The Turing machine halting problem
Nadere informatieopgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): 2 a 2.
opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): ℵ 0 #A, B = {b 0,..., b n 1 } voor een zeker natuurlijk getal
Nadere informatieModule Limieten van de berekenbaarheid : antwoorden
Module Limieten van de berekenbaarheid : antwoorden Gilles Coremans 2018 This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International license. Dit werk is gebaseerd
Nadere informatieAutomaten en Berekenbaarheid 2016 Oplossingen #4
Automaten en Berekenbaarheid 2016 Oplossingen #4 28 oktober 2016 Vraag 1: Toon aan dat de klasse van context vrije talen gesloten is onder concatenatie en ster. Antwoord Meerdere manieren zijn mogelijk:
Nadere informatieBeslisbare talen (1) IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Beslisbare talen (2) Beslisbare talen (3) De talen: College 7
Beslisbare talen (1) College 7 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft 10 mei 2009 De talen: A DFA = { M, w M is een DFA die w accepteert} A NFA = { M, w M is een NFA die w accepteert} E DFA = { M M is
Nadere informatieLogische Complexiteit
Logische Complexiteit Universele Turing machines College 12 Donderdag 18 Maart 1 / 11 Hoog-niveau beschrijvingen en coderen Vanaf nu: hoog-niveau beschrijvingen van TM s. Daarbij worden objecten die geen
Nadere informatieAutomaten en Berekenbaarheid
Automaten en Berekenbaarheid Bart Demoen KU Leuven 2016-2017 Les 8: 118-125 orakels en reducties met orakels Turing-berekenbare functies de bezige bever Orakelmachines I 2/14 we kennen al: een TM die een
Nadere informatieInhoud eindtoets. Eindtoets. Introductie 2. Opgaven 3. Terugkoppeling 6
Inhoud eindtoets Eindtoets Introductie 2 Opgaven 3 Terugkoppeling 6 1 Formele talen en automaten Eindtoets I N T R O D U C T I E Deze eindtoets is bedoeld als voorbereiding op het tentamen van de cursus
Nadere informatieNegende college complexiteit. 9 april NP-volledigheid I: introductie
College 9 Negende college complexiteit 9 april 2019 NP-volledigheid I: introductie 1 Handelbaar/onhandelbaar -1- N 10 50 100 300 1000 log 2 N 3 5 6 8 9 5N 50 250 500 1500 5000 N log 2 N 33 282 665 2469
Nadere informatieVorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Turingmachines. Turingmachine en Taal. College 2
Vorig college College 2 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft Welke problemen zijn (niet) algoritmisch oplosbaar? Wat is een probleem? Wat is een algoritme? 13 april 2009 1 2 Turingmachines Turingmachine
Nadere informatieParadox van zelfreproductie. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Zelfreproductie? Programma s en zelfreproductie. College 11.
Paradox van zelfreproductie College 11 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft 27 mei 2009 1 Levende wezens zijn machines. 2 Levende wezens kunnen zich reproduceren. 3 Machines kunnen zich niet reproduceren.
Nadere informatieOpgaven 1. Verwijzingen in deze opgaven betreffen het boek van Peter Linz.
Opgaven Verwijzingen in deze opgaven betreffen het boek van Peter Linz.. Toon de volgende eigenschappen uit de verzamelingenleer aan: Exercises, 3, 5, 6, 7, 0 blz. 2-3 (neem aan dat er een universele verzameling
Nadere informatieDiscrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 2 Gröbnerbases 1. Vragen We hebben gezien dat de studie van stelsels polynoomvergelijkingen in meerdere variabelen op natuurlijke manier leidt
Nadere informatieopgaven formele structuren deterministische eindige automaten
opgaven formele structuren deterministische eindige automaten Opgave. De taal L over het alfabet {a, b} bestaat uit alle strings die beginnen met aa en eindigen met ab. Geef een reguliere expressie voor
Nadere informatieAutomaten. Informatica, UvA. Yde Venema
Automaten Informatica, UvA Yde Venema i Inhoud Inleiding 1 1 Formele talen en reguliere expressies 2 1.1 Formele talen.................................... 2 1.2 Reguliere expressies................................
Nadere informatieOpdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010
Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010 Rick van der Zwet 8 december 2010 Samenvatting Dit schrijven zal uitwerkingen van opgaven behandelen uit het boek [JS2009]
Nadere informatieFormeel Denken 2013 Uitwerkingen Tentamen
Formeel Denken 201 Uitwerkingen Tentamen (29/01/1) 1. Benader de betekenis van de volgende Nederlandse zin zo goed mogelijk (6 punten) door een formule van de propositielogica: Het is koud, maar er ligt
Nadere informatieVorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Aanbevolen opgaven. Wat is oneindigheid? College 5
Vorig college College 5 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft Opsommers vs. Herkenners Church-Turing These Codering van problemen 23 april 2009 1 2 Aanbevolen opgaven Wat is oneindigheid? Sipser p. 163
Nadere informatieTentamen TI2310 Automaten en Talen. 19 april 2012, uur
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica TP Delft Tentamen TI2310 Automaten en Talen 19 april 2012, 14.00-17.00 uur Totaal aantal pagina's (exclusief dit titelblad):
Nadere informatieStelling. SAT is NP-compleet.
Het bewijs van de stelling van Cook Levin zoals gegeven in het boek van Sipser gebruikt niet-deterministische turing machines. Het is inderdaad mogelijk de klasse NP op een alternatieve wijze te definiëren
Nadere informatieTwaalfde college complexiteit. 7 mei NP-volledigheid IV Cook-Levin Savitch 1
college 12 Twaalfde college complexiteit 7 mei 2019 NP-volledigheid IV Cook-Levin Savitch 1 Turing machine {0 n 1 n n 0} q Y 0/b, +1 b/b, 0 q N 0/0, +1 1/1, +1 b/b, 1 q 1 q 2 q 0 1/1, 0 b/b, +1 0/0, 0
Nadere informatieHilberts Tiende Probleem en aanverwante kwesties
FACULTEIT WETENSCHAPPEN Departement Wiskunde Afdeling Algebra Hilberts Tiende Probleem en aanverwante kwesties door Frank FEYS Promotor: prof. dr. J. Denef Proefschrift ingediend tot het behalen van de
Nadere informatieIN2505 II Berekenbaarheidstheorie. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Practicum: Inschrijven. Practicum
IN2505 II Berekenbaarheidstheorie College 1 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft 7 april 2009 Docent: Colleges/oefeningen: dinsdag 5 + 6 (EWI-A), vrijdag 1 + 2 (AULA-A) Boek: Michael Sipser, Introduction
Nadere informatieNotatie van verzamelingen. Lidmaatschap. Opgave. Verzamelingen specificeren
Overzicht TI1300: Redeneren en Logica College 10: Verzamelingenleer Tomas Klos Algoritmiek Groep Colleges 1 2: Bewijstechnieken Colleges 3 9: Propositielogica Vandaag en morgen: Verzamelingenleer Colleges
Nadere informatieKennisrepresentatie & Redeneren. Piter Dykstra Instituut voor Informatica en Cognitie
Kennisrepresentatie & Redeneren Piter Dykstra Instituut voor Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 8 oktober 2007 GRAMMATICA S Kennisrepresentatie & Redeneren Week6: Grammatica
Nadere informatieHoe Gödel de wiskunde liet schrikken
p. 1/1 Hoe Gödel de wiskunde liet schrikken Stefaan Vaes CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE K.U.Leuven C.N.R.S. Paris p. 2/1 De leugenaarsparadox Ik ben aan het liegen p. 2/1 De leugenaarsparadox
Nadere informatieOpdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010
Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010 Rick van der Zwet 13 november 2010 Samenvatting Dit schrijven zal uitwerkingen van opgaven behandelen uit het boek [JS2009]
Nadere informatieElfde college complexiteit. 23 april NP-volledigheid III
college 11 Elfde college complexiteit 23 april 2019 NP-volledigheid III 1 TSP Als voorbeeld bekijken we het Travelling Salesman/person Problem, ofwel het Handelsreizigersprobleem TSP. Hiervoor geldt: TSP
Nadere informatieVorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Voorbeeld NDTM. Aanbevolen opgaven. College 3
Vorig college College 3 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft Multi-tape TM s Vergelijking rekenkracht 1-TM en k-tm (k >1) Niet-deterministische TM s Berekeningsboom 16 april 2009 1 2 Aanbevolen opgaven
Nadere informatieMededelingen. TI1300: Redeneren en Logica. Waarheidstafels. Waarheidsfunctionele Connectieven
Mededelingen TI1300: Redeneren en Logica College 4: Waarheidstafels, Redeneringen, Syntaxis van PROP Tomas Klos Algoritmiek Groep Voor de Fibonacci getallen geldt f 0 = f 1 = 1 (niet 0) Practicum 1 Practicum
Nadere informatieLogica voor Informatica
Logica voor Informatica 10 Predikatenlogica Wouter Swierstra University of Utrecht 1 Vorige keer Syntax van predikatenlogica Alfabet Termen Welgevormde formulas (wff) 2 Alfabet van de predikatenlogica
Nadere informatieDe Resolutiemethode (Logica, hoofdstuk 15) Robinson (1965) TI1300 Redeneren en Logica
De Resolutiemethode (Logica, hoofdstuk 15) Robinson (1965) TI1300 Redeneren en Logica College 7: Resolutie Tomas Klos Algoritmiek Groep De Resolutiemethode De resolutiemethode is een methode waarmee je
Nadere informatieOefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A
Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat
Nadere informatieTentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking 10 december 2013, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is
Nadere informatieGetallensystemen, verzamelingen en relaties
Hoofdstuk 1 Getallensystemen, verzamelingen en relaties 1.1 Getallensystemen 1.1.1 De natuurlijke getallen N = {0, 1, 2, 3,...} N 0 = {1, 2, 3,...} 1.1.2 De gehele getallen Z = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1,
Nadere informatieHet omzetten van reguliere expressies naar eindige automaten, zie de vakken Fundamentele Informatica 1 en 2.
Datastructuren 2016 Programmeeropdracht 3: Patroonherkenning Deadlines. Woensdag 23 november 23:59, resp. vrijdag 9 december 23:59. Inleiding. Deze opdracht is gebaseerd op Hoofdstuk 13.1.7 in het boek
Nadere informatieDiscrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 3 De Nullstellensatz 1. De zwakke Nullstellensatz Stelling 1.1. Zij K een algebraïsch gesloten lichaam en zij I een ideaal in K[x] = K[x 1,...,
Nadere informatieGödels Onvolledigheidsstellingen
Gödels Onvolledigheidsstellingen Jaap van Oosten Department Wiskunde, Universiteit Utrecht Symposium A-eskwadraat, 11 december 2014 De Onvolledigheidsstellingen van Gödel zijn verreweg de beroemdste resultaten
Nadere informatieFormeel Denken. Herfst 2004
Formeel Denken Herman Geuvers Deels gebaseerd op het herfst 2002 dictaat van Henk Barendregt en Bas Spitters, met dank aan het Discrete Wiskunde dictaat van Wim Gielen Herfst 2004 Contents 1 Talen 1 1.1
Nadere informatieCombinatoriek groep 1 & 2: Recursie
Combinatoriek groep 1 & : Recursie Trainingsweek juni 008 Inleiding Bij een recursieve definitie van een rij wordt elke volgende term berekend uit de vorige. Een voorbeeld van zo n recursieve definitie
Nadere informatieFinite automata. Introductie 35. Leerkern 36. Zelftoets 44. Terugkoppeling 45
Finite automata Introductie 35 Leerkern 36 1 Deterministic finite accepters 36 2 Nondeterministic finite accepters 38 3 Equivalence of deterministic and nondeterministic finite accepters 41 Zelftoets 44
Nadere informatieTweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Uitwerking en opmerkingen
Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 en opmerkingen November 10, 2009 Opgave 1 Gegeven een vectorruimte V met deelruimtes U 1 en U 2. Als er geldt dim U 1 = 7, dimu 2 = 9, en dim(u 1 U 2 ) = 4, wat
Nadere informatieVerzamelingen deel 2. Tweede college
1 Verzamelingen deel 2 Tweede college herhaling Deelverzameling: AB wil zeggen dat elk element van A ook in B te vinden is: als x A dan x B Er geldt: A=B AB en BA De lege verzameling {} heeft geen elementen.
Nadere informatieBerekenbaarheid, onberekenbaarheid en complexiteit: een aanvullende studie. Gijs Vermeulen
Berekenbaarheid, onberekenbaarheid en complexiteit: een aanvullende studie Gijs Vermeulen gijs.vermeulen@gmail.com 25 augustus 2005 Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Niet context vrije talen 5 2.1 Pumping
Nadere informatieTopologie I - WPO Prof. Dr. E. Colebunders Dr. G. Sonck 24 september 2006
Topologie I - WPO Prof. Dr. E. Colebunders Dr. G. Sonck 24 september 2006 Inhoudsopgave 1 Topologische ruimten 2 2 Metriseerbaarheid en aftelbaarheid 7 3 Convergentie en continuïteit 8 4 Separatie-eigenschappen
Nadere informatieCombinatoriek groep 1
Combinatoriek groep 1 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Getallenrijen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een directe formule geeft a n in
Nadere informatieFundamenten van de Informatica
Fundamenten van de Informatica Luc De Raedt Academiejaar 2006-2007 naar de cursustekst van Karel Dekimpe en Bart Demoen A.1: Talen en Eindige Automaten 1 Deel 1: Inleiding 2 Motivatie Fundamenten van de
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 11 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 25 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 25 november 2015 1 / 28 Vandaag Vraag Voor welke problemen
Nadere informatieTaaltechnologie. Januari/februari Inhoud
Taaltechnologie Januari/februari 2002 1 Finite state............................................... 4 1.1 Deterministic finite state automata.................... 4 1.2 Non-deterministic finite state automata................
Nadere informatieTentamen Grondslagen van de Wiskunde A, met uitwerkingen
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A, met uitwerkingen 8 december 2015, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is het totaal
Nadere informatieOneindige spelen. Dion Coumans. Begeleider: dr. W. Veldman
Oneindige spelen ion Coumans Begeleider: dr. W. Veldman Inhoudsopgave 1 Voorwoord 3 2 efinities 4 3 A is aftelbaar 6 4 Gale-Stewart-stelling 7 5 Stelling van Wolfe 11 2 1 Voorwoord Banach, Mazur en Ulam
Nadere informatieWaarmaken van Leibniz s droom
Waarmaken van Leibniz s droom Artificiële intelligentie Communicatie & internet Operating system Economie Computatietheorie & Software Efficiënt productieproces Hardware architectuur Electronica: relais
Nadere informatieSemantiek (2IT40) Jos Baeten. HG 7.19 tel.: Hoorcollege 3 (12 april 2007)
Jos Baeten josb@wintuenl http://wwwwintuenl/~josb/ HG 719 tel: 040 247 5155 Hoorcollege 3 (12 april 2007) Voorbeeld [Bewijstechniek 2 niet altijd succesvol] Executie van commands is deterministisch: c
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Algebra 3 8 juni 2017, 14:00 17:00
Uitwerkingen tentamen Algebra 3 8 juni 207, 4:00 7:00 Je mocht zoals gezegd niet zonder uitleg naar opgaven verwijzen. Sommige berekeningen zijn hier weggelaten. Die moest je op je tentamen wel laten zien.
Nadere informatieUitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, juni 2017
Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, juni 017 Opgave 1. a. Een pad van de wortel naar een blad stelt de serie achtereenvolgende arrayvergelijkingen voor die het algoritme doet op zekere invoer.
Nadere informatieR.P. Thommassen. Whitehead Groepen. Bachelorscriptie, 10 Augustus Scriptiebegeleider: prof.dr. K.P. Hart
R.P. Thommassen Whitehead Groepen Bachelorscriptie, 10 Augustus 2014 Scriptiebegeleider: prof.dr. K.P. Hart Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Binnen ZFC 6 2.1 Eigenschappen
Nadere informatieCombinatoriek groep 2
Combinatoriek groep 2 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Homogene lineaire recurrente betrekkingen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een
Nadere informatieDeeltentamen Grammatica s en ontleden 22 december 2005
Tentamen Grammatica s en ontleden 22 december 2005 1 Deeltentamen Grammatica s en ontleden 22 december 2005 Let op: opgave 1 t/m 4 tellen voor (slechts) 5 punten mee, opgave 5 voor maar liefst 50 punten,
Nadere informatieAutomaten & Complexiteit (X )
Automten & Complexiteit (X 401049) Eigenschppen vn reguliere tlen Jeroen Keiren j.j..keiren@vu.nl VU University Amsterdm 9 Februri 2015 Reguliere tlen Vorig college: De volgende beweringen zijn equivlent:
Nadere informatieGetaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)
Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk
Nadere informatieExamen Datastructuren en Algoritmen II
Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2012 2013, tweede zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees de hele
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN
Tentamen Lineaire Algebra 29 januari 29, 3:3-6:3 uur UITWERKINGEN Gegeven een drietal lijnen in R 3 in parametervoorstelling, l : 2, m : n : ν (a (/2 pt Laat zien dat l en m elkaar kruisen (dat wil zeggen
Nadere informatieEr zijn alle soorten modificaties hoe je deze FST beter kan maken. Bijvoorbeeld, door - teen van thirteen - nineteen in het algemeen te lezen.
3. FST Het antwoord is: Er zijn alle soorten modificaties hoe je deze FST beter kan maken. Bijvoorbeeld, door - teen van thirteen - nineteen in het algemeen te lezen. Het idee is duidelijk hoop ik: voor
Nadere informatieTentamen TI1300 en IN1305-A (Redeneren en) Logica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Tentamen TI1300 en IN1305-A (Redeneren en) Logica 21 Januari 2011, 8.30 11.30 uur LEES DEZE OPMERKINGEN AANDACHTIG DOOR
Nadere informatieCredit cards, computationele complexiteit en consistentie uitspraken
Credit cards, computationele complexiteit en consistentie uitspraken Joost J. Joosten 14 december 2005 Praag en bier Sinds enkele maanden werk ik als post-doc aan de Czech Academy of Sciences in Praag.
Nadere informatieTentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)
Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N
Nadere informatieRadboud Universiteit Nijmegen
Radboud Universiteit Nijmegen Faculteit der natuurwetenschappen, wiskunde en informatica juli 07 Matchingtheorie op grafen Jorrit Bastings S6556 Begeleider: Wieb Bosma Inhoudsopgave Het huwelijksprobleem
Nadere informatieVorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Intermezzo / kleine opfriscursus. Deterministische eindige automaten (DFA) College 6
Vorig college College 6 Algoritmiekgroep Fculteit EWI TU Delft Hotel Hilbert Aftelbrheid vs. Overftelbrheid Digonlisering Overftelbrheid vn R 6 mei 2009 1 2 Intermezzo / kleine opfriscursus Deterministische
Nadere informatieFormele talen. Elfde college
12 Formele talen Elfde college 1 verkeerslicht? 신호등을지킵시다 (Automatische) Vertaling van het Koreaans You should observe the traffic lights Is Koreaans een formele taal? Nee natuurlijk niet! Alleen, voor
Nadere informatieFP-theorie. 2IA50, Deel B. Inductieve definities 1/19. / department of mathematics and computer science
FP-theorie 2IA50, Deel B Inductieve definities 1/19 Inductieve definitie Definitie IL α, (Cons-)Lijsten over α Zij α een gegeven verzameling. De verzameling IL α van eindige (cons-)lijsten over α is de
Nadere informatieHoofdstuk 15. In dit hoofdstuk geven we een inleiding op het gebied van het automatisch bewijzen
Resolutie in de Propositielogica Hoofdstuk 15 In dit hoofdstuk geven we een inleiding op het gebied van het automatisch bewijzen van theorema's. Het idee daarbij is dat een computerprogramma nagaat of
Nadere informatieHet probleem van Hilbert
René Pannekoek Imperial College (Londen) 31 januari 2014 Motto Leopold Kronecker (1823-1891) Motto Leopold Kronecker (1823-1891): Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.
Nadere informatieAutomaten en Berekenbaarheid
Automaten en Berekenbaarheid Bart Demoen KU Leuven 2016-2017 Les 2: 20-35 reguliere expressies NFA DFA minimalisatie Van RE naar NFA I 2/11 structureel (als algebra s) zijn RegExp en de NFA s gelijk voor
Nadere informatieE.T.G. Schlebusch. Het Hasse-principe. Bachelorscriptie, 20 juni Scriptiebegeleider: dr. R.M. van Luijk
E.T.G. Schlebusch Het Hasse-principe Bachelorscriptie, 20 juni 2012 Scriptiebegeleider: dr. R.M. van Luijk Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Inhoudsopgave 1. Inleiding 2 2. Het lichaam van p-adische
Nadere informatie3 De stelling van Kleene
18 3 De stelling van Kleene Definitie 3.1 Een formele taal heet regulier als hij wordt herkend door een deterministische eindige automaat. Talen van de vorm L(r) met r een reguliere expressie noemen we
Nadere informatieReguliere Expressies
Reguliere Expressies Een reguliere expressie (regexp, regex, regxp) is een string (een woord) die, volgens bepaalde syntaxregels, een verzameling strings (een taal) beschrijft Reguliere expressies worden
Nadere informatieIII.3 Supremum en infimum
III.3 Supremum en infimum Zowel de reële getallen als de rationale getallen vormen geordende lichamen. Deze geordende lichamen zijn echter principieel verschillend. De verzameling R is bijvoorbeeld aanzienlijk
Nadere informatieTer Leering ende Vermaeck
Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel
Nadere informatieLineaire algebra I (wiskundigen)
Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie
Nadere informatieUitwerkingen toets 12 juni 2010
Uitwerkingen toets 12 juni 2010 Opgave 1. Bekijk rijen a 1, a 2, a 3,... van positieve gehele getallen. Bepaal de kleinst mogelijke waarde van a 2010 als gegeven is: (i) a n < a n+1 voor alle n 1, (ii)
Nadere informatieKies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen
Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet
Nadere informatieMededelingen. TI1300: Redeneren en Logica. Metavariabelen Logica, p Minder connectieven nodig
Mededelingen TI1300: Redeneren en Logica College 5: Semantiek van de Propositielogica Tomas Klos Algoritmiek Groep Tip: Als ik je vraag de recursieve definitie van een functie over PROP op te schrijven,
Nadere informatieGetallen, 2e druk, extra opgaven
Getallen, 2e druk, extra opgaven Frans Keune november 2010 De tweede druk bevat 74 nieuwe opgaven. De nummering van de opgaven van de eerste druk is in de tweede druk dezelfde: nieuwe opgaven staan in
Nadere informatie