Automaten en Berekenbaarheid

Transcriptie

1 Automaten en Berekenbaarheid Bart Demoen KU Leuven Les 8: orakels en reducties met orakels Turing-berekenbare functies de bezige bever

2 Orakelmachines I 2/14 we kennen al: een TM die een andere M oproept als subroutine beschouw subroutine M als zwarte doos: alleen input is belangrijk, en de accept/reject noem zulk een subroutine ORAKEL en laat ook orakels toe die sterker zijn dan gelijk welke TM Definition Een orakelmachine werkt als een Turing machine die toegang heeft tot een orakel.

3 Orakelmachines II 3/14 een orakelmachine kan zo dikwijls als nodig een string op de band zetten en dan aan het orakel vragen accepteer jij die string? het orakel geeft onmiddellijk antwoord (en gaat nooit in een lus) de orakelmachine kan het antwoord van het orakel gebruiken het orakel beslist zijn taal L een orakelmachine met toegang tot dat orakel duiden we aan met O L soms betekent O L de verzameling van alle TMs met toegang tot het orakel voor L :-(

4 Orakelmachines III 4/14 zorg dat je begrijpt: als L beslisbaar is, dan is O L niet sterker dan de Turingmachines als L herkenbaar is, en niet beslisbaar, dan is O L sterker dan de Turingmachines er zijn aftelbaar veel orakelmachines O L met een O L kan je L beslissen, gelijk wat L is in cursustext: met een O A TM kan je ETM beslissen we zeggen: E TM is beslisbaar relatief t.o.v. A TM

5 Nieuwe reductie: de Turingreductie 5/14 Definition A is Turingreduceerbaar naar B, indien A beslisbaar is relatief t.o.v. B, t.t.z. er bestaat een orakelmachine O B die A beslist. We schrijven A T B zelf bewijzen: als A T B en B is beslisbaar, dan is A beslisbaar als A m B dan is A T B de Turing-reductie geeft een nieuwe manier om (on)beslisbaarheid aan te tonen kan O ATM elke taal beslissen? er bestaat een oneindige hiërarchie van onbeslisbaarheid...

6 Turing-berekenbare functies 6/14 vorige les al kennis mee gemaakt kleine aanpassing: ook partiële functies kunnen welke functies kan je berekenen met een TM met een ander rekenformalisme (later λ-calculus) axiomatisch... Kurt Gödel deed het laatste in twee stappen

7 De primitief recursieve functies: totaal en N i N j 7/14 de basisaxiomas: de volgende basisfuncties zijn berekenbaar de nul-functie: nul(x) = 0 de succesor-functie: succ(x) = x + 1 de projectie-functies: vb. p 4 2(a, b, c, d) = b de volgende constructies leveren berekenbare functies newh vertrekkend van berekenbare functies f, g, g 1,..., g m : compositie: bv. newh(x) = f (g 1 (x), g 2 (x),..., g m (x)) notatie: newh = Cn[f, g 1,..., g m ] primitieve recursie: bv. newh(x, 0) = f (x) newh(x, y + 1) = g(x, y, newh(x, y)) notatie: newh = Pr[f, g]

8 De primitief recursieve functies 8/14 Definition Alle functies die je kan maken door te vertrekken van de basisfuncties en door gebruikmaking van compositie en primitieve recursie, noemen we primitief recursief. de axioma s en de constructies zijn intuïtief correct: sluiten aan bij intuïtie van wat we berekenbaar vinden primitief recursieve functies zijn overal gedefinieerd een primitief recursieve functie kan je implementeren met een for-programma 1 het Haltingprobleem voor for-programma s is beslisbaar 2 er zijn heel veel nuttige primitief recursieve functies, maar helaas niet genoeg... gaat terug tot Dedekind en Skolem 1 wasda? 2 oeps!

9 De Ackermann functie 9/14 Ack(0, y) = y + 1 Ack(x + 1, 0) = Ack(x, 1) Ack(x + 1, y + 1) = Ack(x, Ack(x + 1, y )) (leest als een Haskell programma!) Ack is berekenbaar volgens onze intuïtie Ack is zelfs overal gedefiniëerd maar Ack is niet primitief recursief Gödel moest dus nog wat sleutelen aan zijn concept van berekenbaar

10 Onbegrensde minimisatie 10/14 vb. gegeven berekenbare f : N 2 N, maak newh : N N indien f (x, y) = 0 en voor alle z < y f (x, z) 0 dan newh(x) = y anders newh(x) = niet gedefinieerd sloppy en in woorden newh(x) is de kleinste y waarvoor f (x, y) = 0 notatie: newh = Mn[f ]

11 Alles samen nu 11/14 Definition De µ-recursieve functies zijn de functies die geconstrueerd kunnen worden met de basisfuncties, Pr, Cn en Mn. kunnen partieel zijn kan je met while-programma s implementeren H while programma is niet beslisbaar wat bleek later... µ-recursief == Turingberekenbaar == λ-calculus berekenbaar... versterking van de Turing-Church these

12 De bezige bever: een niet berekenbare functie 12/14 Tibor Rádo 1962 leg een Σ, Γ vast; definieer de grootte van een TM als #Q definieer de BB-functie als volgt laat alle machines van grootte n op ɛ los van alle machines die stoppen, bepaal het aantal δ-overgangen het grootste aantal δ-overgangen = BB(n) het aantal machines van grootte n is eindig BB(n) heeft een waarde voor elke n BB kan niet met een Turingmachine berekend worden essentieel omdat je niet kan beslissen welke machines stoppen

13 Snel stijgen = niet-berekenbaar? 13/14 BB stijgt zeer snel: geeft schijnbaar intuïtie over waarom BB niet berekenbaar is maar... er bestaan begrensde functies die niet berekenbaar zijn denk zeker na over de selfies op pagina 125

14 Belangrijk: kennen en kunnen. 14/14 Kunnen uitleggen wat een TM is die een orakel gebruikt. Stelling 17.1 kunnen bewijzen. De definitie van Turing-reduceerbaar kunnen geven, de stellingen 17.3 en 17.4 kunnen bewijzen. De opbouw van de primitief recursieve functies kunnen uitleggen, en van sommige functies kunnen aantonen dat ze primitief recursief zijn. Kunnen laten zien dat primitief recursieve functies kunnen berekend worden met for-programmas. De constructie met onbegrensde minimizatie kunnen reproduceren en uitleggen. Ook kunnen uitleggen waarom zulke constructie niet altijd leidt tot een totale functie. Kunnen laten zien dat de µ-recursieve functies met while-programmas kunnen berekend worden. De bezige bever kunnen uitleggen en de onberekenbaarheid van zijn aantal stappen beargumenteren.