Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 1) Inleverdatum: 28 februari 2002
|
|
- Guido Verhoeven
- 4 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 1) Inleverdatum: 28 februari We vatten {0, 1} op als het lichaam F 2. Een schuifregisterrij is een rij {s n } n=0 in F 2 gegeven door r startwaarden s 0,..., s r 1 F 2 en door een recurrentie s n = f(s n 1,..., s n r ) (n r) waarbij f een functie van F r 2 naar F 2 is. Schuifregisterrijen worden gebruikt als bouwsteen van conventionele cryptosystemen. a) Definieer de afbeelding T : F r 2 F r 2 door T (x 1, x 2,..., x r ) = (x 2, x 3,..., x r, f(x r, x r 1,..., x 1 )). Beschouw de vectoren s n = (s n, s n+1,..., s n+r 1 ) F r 2 (n 0). Laat zien dat s n+1 = T s n voor alle n 0. Bewijs hiermee dat de rij {s n } (n 0) uiteindelijk periodiek is met periode 2 r, d.w.z. er zijn getallen n 0 en p met n 0 0 en 1 p 2 r zodat s n+p = s n voor alle n n 0. (Aanwijzing: er zijn i, j met 0 i < j 2 r en s i = s j ; pas nu T toe.) Laat dan zien dat de rij {s n } ook uiteindelijk periodiek is met periode 2 r. b) Veronderstel dat f(x 1,..., x r ) = x 1 + g(x 2,..., x r ) voor zekere functie g : F r 1 2 F 2, waarbij + de optelling in F 2 is. Bewijs dat de bovengenoemde afbeelding T inverteerbaar is. Laat zien dat de rij {s n } periodiek is met periode 2 r, d.w.z. er is een getal p met 1 p 2 r zodat s n+p = s n voor alle n 0. Laat dan zien dat de rij {s n } ook periodiek is met periode 2 r. 2. Een lineaire schuifregisterrij is een rij {s n } n=0 in F 2 gegeven door r startwaarden s 0,..., s r 1 F 2, niet alle gelijk aan 0, en door een lineaire recurrentie s n = c 1 s n 1 + c 2 s n c r s n r (n r) waarbij c 1, c 2,..., c r F 2, c r 0, en waarbij de optelling en vermenigvuldiging die van F 2 zijn. We definiëren het karakteristieke polynoom van deze rij door f(x) = X r + c 1 X r c t. 1
2 a) Beschouw de vectoren s n = (s n, s n+1,..., s n+r 1 ) (n 0). Bewijs met inductie naar n dat s n 0 voor alle n 0 (gebruik de aannamen s 0 0 en c r 0). Leid hieruit af dat de rij {s n } periodiek is met periode 2 r 1. b) We nemen nu aan dat het karakteristieke polynoom f primitief is. Bewijs dat in dat geval de rij {s n } periodiek is met periode gelijk aan 2 r 1, m.a.w. het kleinste getal p zodat s n+p = s n voor alle n 0 is p = 2 r 1. Aanwijzingen: De aanname dat f primitief is impliceert dat we het eindige lichaam F 2 r kunnen representeren als F 2 r ={x 0 + x 1 α + x 2 α x r 1 α r 1 : x 0,..., x r 1 F 2 } met f(α) = 0 (1) en dat α een voortbrenger is van F 2r. Met andere woorden, F 2 r = {1, α, α2,..., α 2r 2 }, α 2r 1 = 1 (2) en voor elke vector x = (x 0,..., x r 1 ) F r 2 met x 0 is er een t met 0 t 2 r 2 zodat x 0 + x 1 α + + x r 1 α r 1 = α t. (3) Een functie ϕ : F 2 r F 2 heet lineair als ϕ(λx + µy) = λϕ(x) + µϕ(y) voor λ, µ F 2, x, y F 2 r. Bewijs nu het volgende: b1) Definieer de functie ϕ : F 2 r F 2 door ϕ(x 0 + x 1 α + + x r 1 α r 1 ) =s 0 x 0 + s 1 x s r 1 x r 1 (x 0,..., x r 1 F 2 ). Laat zien dat ϕ lineair is en bewijs met inductie naar n dat ϕ(α n ) = s n voor alle n 0. b2) Zij 1 p < 2 r 1. Bewijs dat er een t met 0 t < 2 r 1 bestaat zo dat s n+p s n = s n+t voor alle n 0. Gebruik b1), (2) en de lineariteit van ϕ. b3) Bewijs dat de rij {s n } n=0 periodiek is met periode 2 r 1. 2
3 3. Zij {s n } een lineaire schuifregisterrij als in Opgave 2 waarbij het karakteristieke polynoom f primitief is. De bedoeling is aan te tonen dat zulke rijen enkele mooie statistische eigenschappen hebben. a) Beschouw de vectoren s n = (s n, s n+1,..., s n+r 1 ). Bewijs dat alle vectoren s n (n = 0, 1,..., 2 r 2) verschillend zijn en dat {s 0,..., s 2r 2} = F r 2\{0}. b) Bewijs dat onder de termen s n (n = 0, 1, 2,..., 2 r 2) 2 r 1 1 keer een 0 voorkomt en 2 r keer een 1. (Aanwijzing: laat zien dat er onder de vectoren in F r 2\{0} precies 2 r 1 1 zijn waarvan de eerste coördinaat gelijk is aan 0. Deze vectoren corresponderen met 2 r 1 1 indices n.) c) Bewijs dat onder de paren (s n, s n+1 ) (n = 0, 1, 2,..., 2 r 2) het patroon (0, 0) 2 r 2 1 keer voorkomt, en elk van de patronen (0, 1), (1, 0), (1, 1) 2 r 2 keer. Bewijs een generalisatie voor drietallen (s n, s n+1, s n+2 ) (n = 0, 1,..., 2 r 2), viertallen (s n, s n+1, s n+2, s n+3 ),..., r-tallen? (Aanwijzing voor paren: bekijk van alle vectoren in F r 2\{0} de eerste twee coordinaten.) 4. Zijn V, W vectorruimten over F 2. Een afbeelding ψ : V W heet lineair als ψ(λx + µy) = λψ(x + µψ(y) voor alle λ, µ F 2, x, y V. Een afbeelding ϕ : V W heet affien als er een lineaire afbeelding ψ : V W en een vector b W bestaan zodat ϕ(x) = ψ(x) + b voor x V. a) Bewijs dat de samenstelling van twee affiene afbeeldingen weer affien is. b) Zij ϕ : V V een affiene afbeelding, gegeven door ϕ(x) = ψ(x) + b waarbij ψ : V V lineair is. Bewijs dat ϕ inverteerbaar is dan en slechts dan als ψ inverteerbaar is. c) Zij ϕ : V W een affiene afbeelding. Laat zien dat ϕ(x+y)+ϕ(0) = ϕ(x)+ϕ(y) voor x, y V. 5.a) Laat zien dat het polynoom F = X 8 + X 4 + X 3 + X + 1 F 2 [X] dat in Rijndael gebruikt wordt irreducibel is. b) Zij f de functie van F 2 8 F 2 8 gedefinieerd door f(0) = 0, f(x) = x 1 voor x 0. Bewijs: als x, y F 2 8, f(x + y) + f(0) = f(x) + f(y), x y, xy 0 dan is x 2 + xy + y 2 = 0. 3
4 c) Bepaal het aantal paren (x, y) F 2 8 F 2 8 waarvoor f(x + y) + f(0) = f(x) + f(y). Concludeer hieruit dat f niet affien is. Laat dan zien dat de afbeelding S : F 2 8 F 2 8 gedefinieerd op blz van het dictaat (in de beschrijving van BS) niet affien is. Aanwijzing: neem x, y F 2 8 met f(x + y) + f(0) = f(x) + f(y), x y, xy 0 en laat β = x/y. Zij F het kleinste deellichaam van F 2 8 dat β bevat. Hoeveel elementen heeft dit lichaam? d) Om de implementatie te vereenvoudigen is het blokcijfer Rijndael zo geconstrueerd dat ontcijferen op bijna dezelfde manier gaat als vercijferen. De klare-tekstruimte, cijfertekstruimte en sleutelruimte zijn alle gelijk aan V, waarbij V de vectorruimte is bestaande uit alle 4 4-matrices met elementen uit F 2 8. Voor gegeven klare tekst M V en sleutel K V wordt de Rijndael-cijfertekst C = E K (M) als volgt berekend: (de operatie + geeft de optelling in V aan): 1) bereken K 0, K 1,..., K 10 uit K m.b.v. KE. 2) bereken achtereenvolgens M 1, M 2,..., M 10 door Definieer nu M 1 = MC SR BS(M + K 0 ), M i = MC SR BS(M i 1 + K i 1 ) voor i = 2,..., 9, M 10 = SR BS(M 9 + K 9 ), C = E K (M) = M 10 + K 10. K 0 = K 10, K 1 = MC 1 (K 9 ), K 2 = MC 1 (K 8 ),..., K 9 = MC 1 (K 1 ), K 10 = K 0, M 1 = MC 1 (M 9 + K 9 ), M 2 = MC 1 (M 8 + K 8 ),..., M 9 = MC 1 (M 1 + K 1 ), M 10 = M + K 0. 4
5 Bewijs dat M 1 = MC 1 SR 1 BS 1 (C + K 0), M i = MC 1 SR 1 BS 1 (M i 1 + K i 1) voor i = 2,..., 9, M 10 = SR 1 BS 1 (M 9 + K 9), M = D K (C) = M 10 + K 10 (dus ontcijferen gaat op precies dezelfde manier als vercijferen, met dien verstande dat BS, SR, MC moeten worden vervangen door hun inversen BS 1, SR 1, MC 1 ). Aanwijzing: laat eerst zien dat SR BS = BS SR en dat MC lineair is. 5
Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002
Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002 19.a) Laat zien dat 5 een voortbrenger is van F 37. b) In het sleuteldistributiesysteem van Diffie en Hellman (met G = F 37, α =
Nadere informatieTentamen Grondslagen van de Wiskunde A met uitwerking
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A met uitwerking 9 december 2014, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is het totaal
Nadere informatieEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I MAANDAG 17 JANUARI 2011 1. Theorie Opgave 1. (a) In Voorbeelden 2.1.17 (7) wordt gesteld dat de maximale lineair onafhankelijke deelverzamelingen van
Nadere informatieUitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015
Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen
Nadere informatieTentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)
Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N
Nadere informatieLineaire algebra I (wiskundigen)
Lineaire algebra I (wiskundigen) Voorbeelden van toetsopgaven, 011 en (1) (a) Bepaal de afstand van het punt Q = (1,, ) R 3 tot het vlak gegeven door x + y z = 1. (b) Bepaal de hoek tussen de vectoren
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)
Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren
Nadere informatieOefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A
Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat
Nadere informatieUitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra 1, najaar y y = 2x. P x. L(P ) y = x. 2/3 1/3 en L wordt t.o.v de standaardbasis gegeven door
Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra, najaar 007. Gegeven is de lineaire afbeelding L : R R, die een punt P = (x, y) langs de lijn y = x projecteert op de lijn y = x: y y = x P x L(P ) y = x Bepaal
Nadere informatieCollege WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 16 januari, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Zij V een deelruimte met basis v 1,..., v k.
Nadere informatieONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.
ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding
Nadere informatieTentamen Grondslagen van de Wiskunde A, met uitwerkingen
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A, met uitwerkingen 8 december 2015, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is het totaal
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 215 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan. Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt
Nadere informatieHERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D00. Datum: vrijdag 3 juni 008. Tijd: 09:00-:00. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer
Nadere informatieTer Leering ende Vermaeck
Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel
Nadere informatie3 De duale vectorruimte
3 De duale vectorruimte We brengen de volgende definitie in de herinnering. Definitie 3.1 (hom K (V, W )) Gegeven twee vectorruimtes (V, K) en (W, K) over K noteren we de verzameling van alle lineaire
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 2015 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt
Nadere informatie6 Ringen, lichamen, velden
6 Ringen, lichamen, velden 6.1 Polynomen over F p : irreducibiliteit en factorisatie Oefening 6.1. Bewijs dat x 2 + 2x + 2 irreducibel is in Z 3 [x]. Oplossing 6.1 Aangezien de veelterm van graad 3 is,
Nadere informatie34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN
34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 1.11 Vraagstukken Vraagstuk 1.11.1 Beschouw het beginwaardeprobleem = 2x (y 1), y(0) = y 0. Los dit beginwaardeprobleem op voor y 0 R en maak een
Nadere informatieVectorruimten met inproduct
Hoofdstuk 3 Vectorruimten met inproduct 3. Inleiding In R 2 en R 3 hebben we behalve de optelling en scalairvermenigvuldiging nog meer structuur ; bij een vector kun je spreken over zijn lengte en bij
Nadere informatieVierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1
Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra December, 00 Opgave : Voor positieve gehele getallen m, n schrijven we Mat(m n, R) voor de vectorruimte van alle m n matrices, met de gebruikelijke optelling en
Nadere informatieJe hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015
Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. Elk vraagstuk is maximaal 10 punten waard. Begin elke opgave op een nieuw vel papier. µkw uitwerkingen 12 juni 2015 Vraagstuk 1. We kunnen
Nadere informatieHoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen
Hoofdstuk 9 Vectorruimten 9.1 Scalairen In de lineaire algebra tot nu toe, hebben we steeds met reële getallen als coëfficienten gewerkt. Niets houdt ons tegen om ook matrices, lineaire vergelijkingen
Nadere informatieHoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen
Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D020. Datum: vrijdag 17 maart 2006. Tijd: 14:00 17:00. Plaats: SC C. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L Habets HG 809, Tel: 040-2474230, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y650 1 Herhaling: Oplossing homogene DV ẋ = Ax Aanname: A is diagonaliseerbaar
Nadere informatieExamenvragen Hogere Wiskunde I
1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies
Nadere informatie168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN
168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN 5.7 Vraagstukken Vraagstuk 5.7.1 Beschouw de differentiaalvergelijking d2 y d 2 = 2 y. (i) Schrijf y = a k k. Geef een recurrente betrekking voor de coëfficienten a
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen
Nadere informatieUitwerkingen toets 12 juni 2010
Uitwerkingen toets 12 juni 2010 Opgave 1. Bekijk rijen a 1, a 2, a 3,... van positieve gehele getallen. Bepaal de kleinst mogelijke waarde van a 2010 als gegeven is: (i) a n < a n+1 voor alle n 1, (ii)
Nadere informatieextra sommen bij Numerieke lineaire algebra
extra sommen bij Numerieke lineaire algebra 31 oktober 2012 1. Stel, we willen met een rekenapparaat (dat arithmetische bewerkingen uitvoert met een relatieve nauwkeurigheid ξ, ξ ξ) voor twee getallen
Nadere informatieAntwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding
Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y65 Docent: L Habets HG 89, Tel: 4-247423, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y65 1 Herhaling: bepaling van eigenwaarden en eigenvectoren (1) Bepaal het
Nadere informatieVectorruimten en deelruimten
Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN
Tentamen Lineaire Algebra 29 januari 29, 3:3-6:3 uur UITWERKINGEN Gegeven een drietal lijnen in R 3 in parametervoorstelling, l : 2, m : n : ν (a (/2 pt Laat zien dat l en m elkaar kruisen (dat wil zeggen
Nadere informatieOpgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban
Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele
Nadere informatieHERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Vrijdag juli 3. Tijd: 9.. uur. Plaats: AUD 5. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer
Nadere informatieDiscrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma Voorwoord Dit zijn aantekeningen voor het vak Discrete Wiskunde (2WC15), gegeven in het lentesemester van 2010. Dit vak bestaat uit twee delen: algoritmische
Nadere informatieLineaire algebra I (wiskundigen)
Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie
Nadere informatieIII.2 De ordening op R en ongelijkheden
III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.
Nadere informatieUitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00
Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 3 januari 07, 0:00 3:00 Hint: Alle karakteristiek polynomen die je nodig zou kunnen hebben, hebben gehele nulpunten. Als dat niet het geval lijkt, dan heb je dus
Nadere informatieWe beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.
II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;
Nadere informatieStelsels Vergelijkingen
Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit
Nadere informatieGeef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.
Tentamen Lineaire Algebra maandag 3--27, 3.3-6.3 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken. Schrijf op elk
Nadere informatieTentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking 10 december 2013, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007,
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, 000-300 Bij elke vraag dient een berekening of mo- Dit tentamen bestaat uit vijf opgaven tivering te worden opgeschreven Grafische en programmeerbare rekenmachines
Nadere informatieUITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,
UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht
Nadere informatieLineaire afbeeldingen
Les 2 Lineaire afbeeldingen Als een robot bij de robocup (het voetbaltoernooi voor robots een doelpunt wil maken moet hij eerst in de goede positie komen, d.w.z. geschikt achter de bal staan. Hiervoor
Nadere informatieEerste deeltentamen Lineaire Algebra A
Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A 8 november 2011, 13u30-16u30 Bij dit tentamen mag het dictaat niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, studnr en naam practicumleider (Victor Blasjo, Esther
Nadere informatieEERSTE DEELTENTAMEN ANALYSE C
EERSTE DEELTENTAMEN ANALYSE C 0 november 990 9.30.30 uur Zet uw naam op elk blad dat u inlevert en uw naam en adres op de enveloppe. De verschillende onderdelen van de vraagstukken zijn zoveel als mogelijk
Nadere informatieWeek 22: De macht van het spoor en het spoor van de macht
Week 22: De macht van het spoor en het spoor van de macht Een belangrijke invariant van een lineaire afbeelding is het spoor. Als we een basis kiezen dan is het spoor simpelweg de som van de elementen
Nadere informatieEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I Theorie Opgave 1. In deze opgave wordt gevraagd om een aantal argumenten of overgangen uit de cursusnota s in detail te verklaren. In delen (a) (b) peilen we naar
Nadere informatieLineaire afbeeldingen
Hoofdstuk 4 Lineaire afbeeldingen In de algebra spelen naast algebraïsche structuren zelf ook de afbeeldingen ertussen die (een deel van de structuur bewaren, een belangrijke rol Voor vectorruimten zijn
Nadere informatieHERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D2. Datum: woensdag 28 juni 26. Tijd: 4: 7:. Plaats: HG. C. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam
Nadere informatieAanwijzingen bij vraagstukken distributies
Aanwijzingen bij vraagstukken distributies Vraagstuk 9.7 Voor het eerste deel, test x x + iε 1 met een testfunctie. Voor het laatste deel: vind eerst bijzondere oplosssingen door de gesuggereerde procedure
Nadere informatieCollege WisCKI. Albert Visser. 21 november, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Vectorruimte
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 21 november, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Lichaam Lichaam (Körper, Field):
Nadere informatieOpgaven Inleiding Analyse
Opgaven Inleiding Analyse E.P. van den Ban Limieten en continuïteit Opgave. (a) Bewijs direct uit de definitie van iet dat y 0 y = 0. (b) Bewijs y 0 y 3 = 0 uit de definitie van iet. (c) Bewijs y 0 y 3
Nadere informatieInleiding Analyse. Opgaven. E.P. van den Ban. c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Voorjaar 2009, herzien
Inleiding Analyse Opgaven E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Voorjaar 2009, herzien 0 1 1 Limieten en continuïteit Opgave 1.1 (a) Bewijs direct uit de definitie van limiet dat
Nadere informatieOverzicht Fourier-theorie
B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van
Nadere informatieLineaire Algebra C 2WF09
Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H.A. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09
Nadere informatieV.2 Limieten van functies
V.2 Limieten van functies Beschouw een deelverzameling D R, een functie f: D R en zij c R. We willen het gedrag van f in de buurt van c bestuderen. De functiewaarde in c is daarvoor niet belangrijk, de
Nadere informatieKies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen
Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet
Nadere informatieBekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Nadere informatien=0 en ( f(y n ) ) ) n=0 equivalente rijen zijn.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 8 juli 2011, 14.00 17.00 Het gebruik van een rekenmachine en/of telefoon is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek Analysis I. Geef
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra
Tentamen Lineaire Algebra 3 januari 214, 8:3-11:3 uur - Bij dit tentamen mogen dictaten en boeken niet gebruikt worden - Een eenvoudige rekenmachine, hoewel niet nodig, is toegestaan, maar geen grafische
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper
Nadere informatieRingen en Galoistheorie, 1e deel, 19 april 2012
Ringen en Galoistheorie, 1e deel, 19 april 2012 Bij dit tentamen mag het dictaat niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, studnr en naam practicumleider. Laat bij elke opgave zien hoe je aan je
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra B
Tentamen Lineaire Algebra B 29 juni 2012, 9-12 uur OPGAVEN Uitwerkingen volgen na de opgaven 1. Gegeven is de vectorruimte V = R[x] 2 van polynomen met reële coefficienten en graad 2. Op V hebben we een
Nadere informatieAlgebra. Oefeningen op hoofdstuk Groepentheorie Cayleytabellen van groepen van orde Cyclische groepen
Oefeningen op hoofdstuk 5 Algebra 5.2 Groepentheorie 5.2.1 Cayleytabellen van groepen van orde 8 Oefening 5.1. Stel de Cayleytabel op voor de groep van de symmetrieën van een vierkant. Bewijs dat deze
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Algebra 3 8 juni 2017, 14:00 17:00
Uitwerkingen tentamen Algebra 3 8 juni 207, 4:00 7:00 Je mocht zoals gezegd niet zonder uitleg naar opgaven verwijzen. Sommige berekeningen zijn hier weggelaten. Die moest je op je tentamen wel laten zien.
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Eigenwaarden en eigenvectoren Zij A een n n matrix.
Nadere informatieFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De
Nadere informatieLineaire Algebra SUPPLEMENT I
Lineaire Algebra SUPPLEMENT I F.Beukers 22 Departement Wiskunde UU Hoofdstuk 2 Vectorruimten 2. Axioma s Tot nu toe hebben we het uitsluitend over R n gehad. In de geschiedenis van de wiskunde blijkt
Nadere informatieKwantummechanica Donderdag, 13 oktober 2016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4. Bestudeer Appendix A, bladzijden van het dictaat.
1 Kwantummechanica Donderdag, 1 oktober 016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4 VECTOREN OVER DE REËLE RUIMTE DUS DE ELEMENTEN ZIJN REËLE GETALLEN Bestudeer Appendix A, bladzijden 110-114 van het dictaat. Opgave 1:
Nadere informatieHet karakteristieke polynoom
Hoofdstuk 6 Het karakteristieke polynoom We herhalen eerst kort de definities van eigenwaarde en eigenvector, nu in een algemene vectorruimte Definitie 6 Een eigenvector voor een lineaire transformatie
Nadere informatieRuimtewiskunde. college. De determinant en lineaire afbeeldingen. Vandaag. De determinant van een matrix. Toepassing: oppervlakte en inhoud
college 6 en lineaire collegejaar college build slides Vandaag : : : : 6-7 6 9 juni 27 3 2 3 van een matrix Toepassing: oppervlakte en inhoud.6-7[6] vandaag van de 2 2-matrix a b c d is gelijk aan ad bc.
Nadere informatieInleiding Analyse 2009
Inleiding Analyse 2009 Inleveropgaven A). Stel f(, y) = In (0, 0) is f niet gedefinieerd. We bestuderen y2 2 + y 4. lim f(, y). (,y) (0,0) 1. Bepaal de waarde van f(, y) op een willekeurige rechte lijn
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D020. Datum: Vrijdag 26 maart 2004. Tijd: 14.00 17.00 uur. Plaats: MA 1.41 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf
Nadere informatieGeef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.
Tentamen Lineaire Algebra donderdag 29 januari 205, 9.00-2.00 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken.
Nadere informatieGelijkvormigheid en de Jordan normaalvorm Aanvullende leerstof Lineaire Algebra C (2WF09)
Gelijkvormigheid en de Jordan normaalvorm Aanvullende leerstof Lineaire Algebra C (2WF09) LCGJM Habets Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven Abstract In de syllabus bij het
Nadere informatieCombinatoriek groep 1
Combinatoriek groep 1 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Getallenrijen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een directe formule geeft a n in
Nadere informatieEigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid
Hoofdstuk 3 Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid 31 Diagonaliseerbaarheid Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit
Nadere informatieLineaire Algebra C 2WF09
Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09
Nadere informatieOpgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Uitwerkingen worden beschikbaar gesteld op de dinsdagavond voorafgaande aan het volgende college
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 5 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieIngela Mennema. Roosters. Bachelorscriptie. Scriptiebegeleider: Dr. R.M. van Luijk en H.D. Visse MSc. Datum Bachelorexamen: 28 juni 2016
Ingela Mennema Roosters Bachelorscriptie Scriptiebegeleider: Dr. R.M. van Luijk en H.D. Visse MSc Datum Bachelorexamen: 28 juni 2016 Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Inhoudsopgave 1 Inleiding
Nadere informatiea) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.
. Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn
Nadere informatieOefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december A =
Oefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december 2012 Opg 1 De schaakbordmatrix A is de 8 bij 8 matrix 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 A = 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1
Nadere informatieFuncties van vectoren
Functies van vectoren Alexander Ly Psychological Methods University of Amsterdam 15 September 2014 Overview 1 Notatie 2 Overview 1 Notatie 2 Matrices Een matrix schrijven we vaak met een hoofdletter A.
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 8
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los
Nadere informatieOPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010
OPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010 1. Zij V een vectorruimte en A = {v 1,..., v m } een deelverzameling van m vectoren uit V die voortbrengend is voor V, m.a.w. V = A.
Nadere informatieCoördinatiseringen. Definitie 1. Stel dat B = {b 1,..., b n } een basis is van een vectorruimte V en dat v V. iedere vector v V :
Coördinatiseringen Het rekenen met vectoren in R n gaat erg gemakkelijk De coördinaten bieden de mogelijkheid om handig te rekenen (vegen Het is nu ook mogelijk om coördinaten in te voeren voor vectoren
Nadere informatieOpgaven bij Numerieke Wiskunde I
Opgaven bij Numerieke Wiskunde I 7 november 8 1. (a) Gegeven verschillende interpolatiepunten x, x 1, x [a, b], en getallen y, y 1, y, z 1, toon aan dat er hooguit 1 polynoom p P 3 is met p(x i ) = y i,
Nadere informatieVerzameling die door PlotPar maar niet door PlotZer geplot kan worden:
Oplossingen It s a plot! Verzameling die door PlotZer maar niet door PlotPar geplot kan worden: Merk op dat elke niet-constante veelterm willekeurig grote (absolute) waarden bereikt De enige begrensde
Nadere informatie(vi) Als u een stelling, eigenschap,... gebruikt, formuleer die dan, toon aan dat de voorwaarden vervuld zijn, maar bewijs die niet.
Examen Functieruimten - Deel theorie 15 januari 2016, 08:30 uur Naam en Voornaam: Lees eerst dit: (i) Naam en voornaam hierboven invullen. (ii) Nietje niet losmaken. (iii) Enkel deze bundel afgeven; geen
Nadere informatieOefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.
4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen
Nadere informatieTentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C Juni uur
Tentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C110 8 Juni 010-900-100 uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 7 opgaven verdeeld over 3 pagina s Op pagina 3 staat voor iedere opgave
Nadere informatie3 Modulorekenen. 3.1 De eulerfunctie en de kleine stelling van Fermat. Oefening 3.1. Bepaal Φ(1992), Φ(2011) en Φ(2048) (83 en 2011 zijn priem).
3 Modulorekenen 3.1 De eulerfunctie en de kleine stelling van Fermat Oefening 3.1. Bepaal Φ(1992), Φ(2011) en Φ(2048) (83 en 2011 zijn priem). Oplossing 3.1 1992 = 2 3 3 83. Φ(1992) = 2 2 2 82 = 656. 2048
Nadere informatieHoofdstuk 1 : Vectoren (A5D)
1 Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) Les 1 : Stelsels en Echelon vorm DOEL : WE GAAN EEN AANTAL VERGELIJKINGEN MET EEN AANTAL VARIABELEN PROBEREN OP TE LOSSEN. Definities Stelsel
Nadere informatie