Topologie I - WPO. Prof. Dr. E. Colebunders
|
|
- Carla Moens
- 4 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Topologie I - WPO Prof. Dr. E. Colebunders Academiejaar
2 Inhoudsopgave 1 Topologische ruimten 2 2 Metriseerbaarheid en aftelbaarheid 7 3 Convergentie en continuïteit 8 4 Separatie-eigenschappen 12 5 Compactheid 14 6 Samenhang 15 7 Initiale en finale structuren 16 8 Stabiliteit voor constructies 19 9 Compact Hausdorff en lokaal compact 21 1
3 Hoofdstuk 1 Topologische ruimten 1. Beschouw een topologische ruimte (X, T ). Beschrijf expliciet de overgangen tussen de open delen T en de omgevingen V. 2. Beschouw een topologische ruimte (X, T ). Beschrijf expliciet de overgangen tussen de open delen T en de sluiting-operator cl. 3. Indien (T i ) i I een verzameling topologieën is op een verzameling X, zijn dan i I T i en i I T i topologieën op X? 4. Toon dat T = {U N x N : x U (2N + 1) x + 1 U} een topologie is op N. 5. Toon dat T = {U [0, 1] x [0, 1] : x U x 2 U} een topologie is op [0, 1]. Vergelijk deze met de Euclidische topologie op [0, 1]. 6. Bewijs dat de verzameling een topologie is op R. {A R x A ɛ > 0 [x, x + ɛ[ A} 7. Zij X een verzameling en x X. Bewijs dat de verzameling een topologie is op X. {A X A = X of x / A} 2
4 HOOFDSTUK 1. TOPOLOGISCHE RUIMTEN 3 8. Toon dat T = {U R 2 (x, y) R 2 : (x, y) U {(λx, λy) λ [0, 1]} U} een topologie is op R 2. Vergelijk deze met de Euclidische topologie op R Toon dat T = {U R 0 U R \ U Q} een topologie is op R. Vergelijk T met de Euclidische topologie op R. 10. Voor m N en U N N stellen we Sm U = {n N (m, n) / U}. Toon dat {U N N (0, 0) U {m N Sm U is oneindig} is eindig} een topologie is op N N. 11. Voor m N en U N N stellen we Sm U = {n N (m, n) / U} en voor U N N stellen we T U = {m N (m, 0) / U}. Toon dat T = {U N N (0, 0) U T U is eindig en (m, 0) U Sm U is eindig} een topologie is op N N. 12. Toon dat T = {U R 3 (0, 0, 0) U R 3 \ U is hoogstens aftelbaar} een topologie is op R Bewijs dat de verzamelingen {[x, y] x y, x Q, y Q}, {[x, y] x y, x Q, y R \ Q}, en {[x, y] x y, x R \ Q, y R \ Q} basissen zijn voor drie verschillende topologieën op R.
5 HOOFDSTUK 1. TOPOLOGISCHE RUIMTEN Is B = {]q, + [ q Q} {, R} een topologie op R? Zo niet, beschrijf expliciet de unieke topologie T op R waarvoor B een subbasis is. Is B een basis voor T? 15. Zij d een metriek op een verzameling X. Voor elke x X en A P(X) \ { } definieert men de afstand van x tot A als d(x, A) = inf{d(x, a) a A}. Bewijs de equivalentie van volgende uitspraken: (a) x is afsluitingspunt van A in (X, T d ) (b) d(x, A) = Indien D en D dicht zijn in de topologische ruimte X, is dan ook D D dicht in X? 17. Zij X een topologische ruimte en B een willekeurig deel van X. Bewijs dan: (a) voor een open deel A van X geldt A B = A clb = (b) B is gesloten in X als en slechts als voor elk deel C van X geldt dat B clc = cl(b C). 18. Als X een topologische ruimte is en (A i ) i I een familie deelverzamelingen van X, welke inclusie geldt dan i.h.a. tussen cl( i I A i) en i I cla i? Wat als I eindig is? 19. Indien T en T topologieën zijn op een verzameling X, toon dan de equivalentie van volgende uitspraken: (a) T T, (b) A X : int T A int T A, (c) A X : cl T A cl T A, (d) x X : V T (x) V T (x). 20. Toon dat in een topologische ruimte (X, T ) volgende voorwaarden equivalent zijn: (a) x, x X : x cl{x } x cl{x}, (b) x X, G T : x G cl{x} G, (c) elk open deel in (X, T ) is een unie van gesloten delen, (d) x, x X : V(x) V(x ) V(x) = V(x ), (e) x X : cl{x} = V(x).
6 HOOFDSTUK 1. TOPOLOGISCHE RUIMTEN 5 Topologische ruimten die aan een van vorige (en dus aan alle vorige) voorwaarden voldoen, heten symmetrische of R 0 -ruimten. 21. Een deelverzameling van een topologische ruimte heet regulier open als ze samenvalt met het inwendige van haar sluiting. Een topologische ruimte heet semiregulier als ze een basis bezit bestaande uit regulier open verzamelingen. (a) Toon dat het inwendige van een gesloten verzameling in een topologische ruimte steeds een regulier open verzameling is. (b) Indien een overaftelbare verzameling X de topologie {G X X \ G is hoogstens aftelbaar} { } draagt, toon dan dat er slechts twee deelverzamelingen van X regulier open zijn. 22. Indien A een deelverzameling is van een topologische ruimte X, toon dan de equivalentie van volgende eigenschappen: (a) A =, (b) A is open en gesloten in X. Indien A open is in X, bewijs dan dat A een leeg inwendige heeft. 23. Zij X een topologische ruimte. Toon dat, voor elk deel A van X, de elementen uit de collectie G = {inta, A, int(x \ A)} twee aan twee disjunct zijn en dat G = X. 24. Zij X een topologische ruimte en A X. Toon dat inta (X \ A) dicht is in X. 25. Zij (X, T ) een topologische ruimte, A X, T A de spoortopologie van T op A. Bewijs dan voor een deel B van A: cl (A,TA )(B) = cl (X,T ) (B) A. 26. Toon dat voor een deel A X in een topologische ruimte (X, T ) de volgende voorwaarden equivalent zijn: (a) Er bestaat een open deel B in (X, T ) en een gesloten deel C in (X, T ) zodat A = B C. (b) A is open in de deelruimte cla van (X, T ). (c) Voor elke a A bestaat een open omgeving U van a in (X, T ) zodat U A open is in de deelruimte cla van (X, T ).
7 HOOFDSTUK 1. TOPOLOGISCHE RUIMTEN 6 Een deel A dat aan de vorige equivalente eigenschappen voldoet heet lokaal gesloten in (X, T ). De ruimte (X, T ) heet gecomplementeerd indien elk lokaal gesloten deel van (X, T ) gesloten is. 27. Indien X en Y topologische ruimten zijn, A X, B Y, toon dan dat voor de rand (A B) van A B in de productruimte X Y geldt (A B) = ( A clb) (cla B).
8 Hoofdstuk 2 Metriseerbaarheid en aftelbaarheid 1. Zij X een verzameling met #X 2. Indien A P(X) \ {, X}, toon dan dat {, A, X} een niet metrizeerbare topologie is op X. 2. Bewijs dat een topologische ruimte met eindige drager metrizeerbaar is als en slechts als ze discreet is. 3. Onderzoek voor volgende topologieën of ze aan het eerste en/of het tweede aftelbaarheidsaxioma voldoen en of ze separabel zijn: (a) de topologie in oefening 4 in Hoofdstuk 1, (b) de topologie in oefening 5 in Hoofdstuk 1, (c) de topologie in oefening 6 in Hoofdstuk 1, (d) de topologie in oefening 9 in Hoofdstuk 1, (e) de topologie in oefening 12 in Hoofdstuk 1. 7
9 Hoofdstuk 3 Convergentie en continuïteit 1. Zij T de in oefening 11 in Hoofdstuk 1 gedefinieerde topologie op X = N N. Bewijs dan: (a) De rij N X : n (n, 0) is convergent naar (0, 0) in (X, T ). (b) Voor elke m N is de rij N X : n (m, n) convergent naar (m, 0) in (X, T ). (c) In (X, T ) is (0, 0) een afsluitingspunt van Y = N 0 N 0, hoewel er geen rij bestaat in Y die in (X, T ) naar (0, 0) convergeert. 2. Beschouw de in oefening 12 in Hoofdstuk 1 ingevoerde topologische ruimte (R 3, T ). Bewijs dat (0, 0, 0) een afsluitingspunt is van Y = R 3 \ {(0, 0, 0)}, hoewel er geen rij bestaat in Y die naar (0, 0, 0) convergeert. 3. Zij F een filter op een verzameling X en B een eindige, niet lege deelverzameling van F, toon dan dat B F. 4. Zij (F i ) i I een niet lege familie filters op een verzameling X. Toon dat de intersectie i I F i opnieuw een filter is op X en dat i I F i = { i I F i ; i I : F i F i }. Toon dat de unie van (F i ) i I in het algemeen geen filter op X hoeft te zijn. 5. Zij X een verzameling, U een ultrafilter op X en F 1 en F 2 filters op X, toon dan F 1 F 2 U F 1 U of F 2 U. 6. Bewijs: 8
10 HOOFDSTUK 3. CONVERGENTIE EN CONTINUÏTEIT 9 (a) De doorsnede van twee filters met hoogstens aftelbare basis op X is een filter met hoogstens aftelbare basis op X. (b) Voor een overaftelbare verzameling X heeft de filter {A X; X \ A is eindig} geen hoogstens aftelbare basis. 7. Een filter A op een verzameling X heet een elementaire filter op X indien een rij (x n ) n in X bestaat zodat A = {A X; {n; x n / A} is eindig}. Bewijs: (a) De doorsnede van twee elementaire filters op X is een elementaire filter op X. (b) Indien een filter F op X een aftelbare basis heeft, dan bestaat een elementaire filter A op X zodat F A en F is de intersectie van alle elementaire filters op X die F omvatten. 8. Zij (X, T ) een topologische ruimte en B een filterbasis op X. Toon de equivalentie van volgende voorwaarden: (a) B is convergent in (X, T ), (b) voor iedere open overdekking G van X bestaat er B B en G G zodat B G. 9. Zij (X, T ) een topologische ruimte, A X en x A. Toon de equivalentie van volgende voorwaarden: (a) x inta, (b) voor iedere filterbasis B op X die convergeert naar x in (X, T ) geldt A stackb. 10. Beschouw de topologische ruimte (R, T ) zoals ingevoerd in oefening 9 in Hoofdstuk 1. Bepaal in (R, T ) alle convergentie- en adherentiepunten van de filter stack{r \ Q}. 11. Zij X een topologische ruimte. Als F een filter is op X en x X, stellen we F x = {F F; x F }. Bewijs: (a) F x is een filter op X, (b) F x F, (c) voor elke x X geldt F x x F x, (d) F x x F x. Toon verder dat voor een topologische ruimte X de volgende voorwaarden equivalent zijn: (a) X is symmetrisch, (b) voor elke filter F op X en voor elke x X geldt F x F x is convergent.
11 HOOFDSTUK 3. CONVERGENTIE EN CONTINUÏTEIT Zij X een topologische ruimte. Indien F een filter is op X, ga na dat {O X; O is open in X en O F} basis is voor een filter F op X. Bewijs dat voor x X de filter F naar x convergeert als en slechts als de filter F naar x convergeert. Toon dat de filter F aan x adhereert indien de filter F aan x adhereert. 13. Bewijs voor een topologische ruimte X de equivalentie van volgende voorwaarden: (a) Elke filter op X convergeert in X, (b) {cl{x}; x X}, (c) elke open overdekking van X bevat X, (d) er bestaat een x X met V(x) = {X}. 14. Zijn (X, T ) en (Y, S) topologische ruimten en f : X Y een afbeelding. Toon de equivalentie van volgende voorwaarden: (a) f : (X, T ) (Y, S) is continu, (b) voor elke deelverzameling B van Y geldt cl (X,T ) f 1 (B) f 1 (cl (Y,S) B). 15. Als op [0, 1] de topologie T = {U [0, 1]; x [0, 1] : x U x 2 U} uit oefening 5 van Hoofdstuk 1 beschouwd wordt, onderzoek dan of de afbeeldingen ([0, 1], T ) ([0, 1], T ) : x x 2 en continu zijn. ([0, 1], T ) ([0, 1], T ) : x 1 x 16. Zijn (X, T ) en (Y, U) topologische ruimten, S een subbasis voor U, f : X Y een afbeelding en D de deelverzameling van X bestaande uit alle punten waarin f niet continu is, bewijs dan D = f 1 (S) \ intf 1 (S). S S 17. Als f : X Y een continue afbeelding is tussen topologische ruimten X en Y, en als D een dicht deel is van X, is dan f(d) een dicht deel van Y? 18. Bewijs dat voor een bijectie f : X Y tussen topologische ruimten (X, T ) en (Y, S) de volgende voorwaarden equivalent zijn: (a) f : (X, T ) (Y, S) is een homeomorfisme,
12 HOOFDSTUK 3. CONVERGENTIE EN CONTINUÏTEIT 11 (b) voor elke basis B van T is {f(b); B B} een basis van S. 19. Zijn X en Y twee homeomorfe topologische ruimten. Toon dat uit de metrizeerbaarheid van X de metrizeerbaarheid van Y volgt. 20. Voor een deel A van een verzameling X is I A de indicatorfunctie van A { 1 als x A X R : x 0 als x / A. Indien nu A een deel is van een topologische ruimte (X, T ), x X en T E de Euclidische topologie op R, toon dan de equivalentie van volgende voorwaarden: (a) x A, (b) I A : (X, T ) (R, T E ) is niet continu in x. 21. Bewijs dat, indien (X, T ) een symmetrische topologische ruimte is, (Y, S) een willekeurige topologische ruimte en f : (X, T ) (Y, S) een continue gesloten surjectie, (Y, S) een symmetrische topologische ruimte is. 22. Zijn (X, T ) en (Y, S) topologische ruimten, A een basis van T en f : X Y een afbeelding. Bewijs de equivalentie van volgende voorwaarden: (a) f is open, (b) voor elke A A is f(a) open in (Y, S). Geldt de equivalentie ook in het geval dat A slechts een subbasis van T is? 23. Toon dat, met de Euclidische topologieën op [0, 2π], [ 1, 1] en op R, de afbeelding [0, 2π] R : x sin x gesloten is, maar niet open en dat de afbeelding open is, maar niet gesloten. R [ 1, 1] : x sin x 24. Indien (X, T ) en (Z, S) topologische ruimten zijn, (Y, T Y ) een deelruimte van (X, T ), en f : Z X een functie met f(z) Y, bewijs dan dat volgende uitspraken equivalent zijn: (a) f : (Z, S) (X, T ) is continu, (b) f : (Z, S) (Y, T Y ) is continu.
13 Hoofdstuk 4 Separatie-eigenschappen 1. Zij X een topologische ruimte. Bewijs de equivalentie van volgende voorwaarden: (a) X is T1, (b) voor elk element x X en elk deel A X is x een ophopingspunt van A in X als en slechts als elke omgeving van x oneindig veel elementen van A bevat. 2. Toon dat in een A1-ruimte X de volgende voorwaarden equivalent zijn: (a) X is een Hausdorff-ruimte, (b) elke convergente rij in X heeft juist een convergentiepunt. 3. Zij (X, T ) en (Y, S) topologische ruimten met (Y, S) Hausdorff. Indien f : (X, T ) (Y, S) en g : (X, T ) (Y, S) continue afbeeldingen zijn, toon dan dat {x X; f(x) = g(x)} gesloten is in (X, T ). 4. Zij (X, T ) en (Y, S) topologische ruimten met (X, T ) Hausdorff. Indien f : (X, T ) (Y, S) en g : (Y, S) (X, T ) continue afbeeldingen zijn met f g = id Y, bewijs dan dat dat g(y ) gesloten in (X, T ). 5. In een topologische ruimte X definiëren we voor elk deel A van X een deel w(a) van X door w(a) = {x X; elke omgeving van x snijdt elke omgeving van A}. Bewijs de volgende eigenschappen: (a) voor elk deel A van X geldt cla w(a), (b) als A open is, geldt cla = w(a), (c) X is regulier als en slechts als voor elk deel A van X geldt dat cla = w(a). 12
14 HOOFDSTUK 4. SEPARATIE-EIGENSCHAPPEN Met de notaties van opgave 3.12, toon de equivalentie van: (a) X is regulier, (b) voor elke filter F op X en voor elke x X adhereert F aan x als en slechts als de filter F aan x adhereert. 7. Bewijs dat de Sierpinski normaal is maar niet regulier.
15 Hoofdstuk 5 Compactheid 1. Bewijs dat elke compacte metriseerbare ruimte separabel is. 2. Zij T cof de topologie der eindige complementen op een oneindige verzameling X. Bepaal alle convergentiepunten van de filter T cof \ { } en van een willekeurige ultrafilter op X in (X, T cof ). Leid af dat (X, T cof ) compact is. 3. Beschouw topologische ruimten (X, T ) en (Y, S), een afbeelding f : X Y en veronderstel dat de grafiek G f = {(x, f(x)) X Y ; x X} van f een gesloten deel is van de productruimte (X Y, T S). Bewijs dan dat f(k) gesloten is in (Y, S) voor elk compact deel K van (X, T ). 4. Zijn X en Y twee topologische ruimten, A een compact deel van X, B een compact deel van Y en zij W een omgeving van A B in de productruimte X Y. Bewijs dat er omgevingen U van A in X en V van B in Y bestaan zodat U V W. 5. Toon dat voor een convergente rij (x n ) n met convergentiepunt x in een topologische ruimte X de verzameling {x n ; n} {x} compact is in X. 6. Zij (X, T ) een topologische ruimte en A X, bewijs dan de equivalentie van volgende voorwaarden: (a) De deelruimte (A, T A ) is compact, (b) elk deel G T met A G bezit een eindig deel G A G. G met 7. Toon dat in een A1-ruimte X de volgende voorwaarden equivalent zijn: (a) X is een Hausdorff-ruimte, (b) elke convergente rij in X heeft juist een convergentiepunt, (c) X is T1 en elk compact deel van X is gesloten in X. 14
16 Hoofdstuk 6 Samenhang 1. Laat door tegenvoorbeelden zien dat, indien A en B samenhangende delen zijn van een topologische ruimte X, de delen A B, A B, A en inta niet samenhangend hoeven te zijn. 2. Wordt een verzameling X voorzien van de topologie T cof = {A X; X \ A is eindig} { }, bewijs dan dat (X, T cof ) samenhangend is als en slechts als X ten hoogste een element bevat of oneindig is. 3. Zij X een topologische ruimte. Bewijs dat de ring C(X, R) meer dan twee idempotenten heeft (f(x).f(x) = f(x) voor alle x X) als en slechts als X niet samenhangend is. 15
17 Hoofdstuk 7 Initiale en finale structuren 1. Zij T E de Euclidische topologie op R. Bepaal de initiale topologie op R voor de afbeelding f : R (R, T E ) gedefinieerd door f(x) = x. 2. Is (f i : (X, T ) (X i, T i )) i I een initiale bron, J een verzameling met I J en (f j : (X, T ) (X j, T j )) j J\I een bron van continue afbeeldingen, bewijs dan dat ook (f j : (X, T ) (X j, T j )) j J een initiale bron is. 3. Zij (f i : (X, T ) (X i, T i )) i I een continue bron zodat, voor een k I, f k : (X, T ) (X k, T k ) een homeomorfisme is, bewijs dan dat (f i : (X, T ) (X i, T i )) i I een initiale bron is. 4. Zij (f i : (X, T ) (X i, T i )) i I een continue bron zodat voor elk deel A van X en elk element x X \ cl X A een i I bestaat met f i (x) / cl Xi f i (A). Bewijs dat (f i : (X, T ) (X i, T i )) i I initiaal is. 5. Zij X een verzameling, T een topologie op X en (T i ) i I een verzameling topologieën op X, toon dan dat de bron (id X : (X, T ) (X, T i )) i I initiaal is als en slechts als T de supremumtopologie is van de familie (T i ) i I. 6. Zij (X, T ) een topologische ruimte, S 2 = ({0, 1}, {, {1}, {0, 1}}) de Sierpinski ruimte, I de verzameling van alle continue afbeeldingen (X, T ) S 2 en, voor elke i I, f i = i, bewijs dan dat de bron initiaal is. (f i : (X, T ) (X i, T i )) i I 7. Beschouw een verzameling X, een topologische ruimte (Y, S) en een afbeelding f : X Y. Stel verder G = {G X; f(g) S}, T de topologie op X met G als subbasis en I de initiale topologie op X voor de bron (f : X (Y, S)). Bewijs dan: 16
18 HOOFDSTUK 7. INITIALE EN FINALE STRUCTUREN 17 (a) indien f surjectief is, dan is f : (X, T ) (Y, S) continu, (b) indien f injectief is, dan is T I, (c) indien f bijectief is, dan is G = T = I. 8. Bewijs dat een inbedding f : (X, T ) (Y, S) open (resp. gesloten) is als en slechts als f(x) open (resp. gesloten) is in (Y, S). 9. Beschouw een familie ((X i, T i )) i I van topologische ruimten en een element (a i ) i I Π i I X i. Stel D = {(x i ) i I Π i I X i ; {i I; x i a i } is eindig} en bewijs dat D dicht is in de productruimte (Π i I X i, Π i I T i ). 10. (a) Geef een voorbeeld van een projectie pr k : (Π i I X i, Π i I T i ) (X k, T k ) die niet gesloten is. (b) Geef een voorbeeld van een deel A van Π i I X i dat niet open is voor Π i I T i maar waarvoor toch alle projecties pr i (A) open zijn. 11. Is (f i : (X i, T i ) (X, T )) i I een finale sink, J een verzameling met I J en (f j : (X j, T j ) (X, T )) j J\I een sink van continue afbeeldingen, bewijs dan dat (f j : (X j, T j ) (X, T )) j J een finale sink is. 12. Zij (f i : (X i, T i ) (X, T )) i I een continue sink zodat, voor een k I, f k : (X k, T k ) (X, T ) een homeomorfisme is, bewijs dan dat (f i : (X i, T i ) (X, T )) i I een finale sink is. 13. Zij D 2 een discrete topologische ruimte met twee punten. Bewijs dat D 2 een quotiënt is van Q met de Euclidische topologie. 14. Bewijs dat N (als deelruimte van R met de Euclidische topologie) een quotiënt is van R \ Q (als deelruimte van R met de Euclidische topologie). 15. Beschouw een groep G van homeomorfismen van een topologische ruimte X. Bewijs dat door xry g G : g(x) = y een equivalentierelatie R op X wordt gedefinieerd. Toon dat de canonische quotiëntafbeelding X X R open is. 16. Zij (X, T ) een topologische ruimte, R een equivalentierelatie op X, X R de quotiëntverzameling, ϕ : X X R de canonische quotiëntafbeelding en T R de quotiënttopologie op X R. Voor A X stellen we S(A) = {x X; y X : yrx y A}. Bewijs dat ϕ : (X, T ) (X R, T R) open is als en slechts als voor elk gesloten deel A van (X, T ), S(A) een gesloten deel is van (X, T ).
19 HOOFDSTUK 7. INITIALE EN FINALE STRUCTUREN Neem ξ / [0, 1], stel Y = [0, 1] {ξ} en beschouw de deelruimte [ 1, 1] van de R met de Euclidische topologie. Stel Q de quotiënttopologie op Y voor de surjectie { ξ als x = 1 f : [ 1, 1] R : x x als x 1 Bewijs: (a) f : [ 1, 1] (Y, Q) is een open afbeelding, (b) (Y, Q) is geen Hausdorffruimte, (c) {(x, x ) [ 1, 1] 2 ; f(x) = f(x )} is niet gesloten in [ 1, 1] Zij X een topologische ruimte. Bewijs de equivalentie van volgende uitspraken: (a) X is homeomorf met een coproduct van indiscrete ruimten. (b) In X is elk open deel gesloten.
20 Hoofdstuk 8 Stabiliteit voor constructies 1. Laat R de Euclidische topologie dragen en Q de spoortopologie. Definieer de equivalentie R op R door xry x y Q. Bewijs dat de quotiëntruimte R R indiscreet is. 2. Zij (X, T ) een topologische ruimte. Beschouw de equivalentierelatie R = {(x, x ) X X; cl{x} = cl{x }} op X, X R de quotiëntverzameling, ϕ R : X X R de quotiëntafbeelding en T R de quotiënttopologie op X R voor R. Bewijs dat ϕ R : (X, T ) (X R, T R) zowel initiaal als finaal is. Toon verder, indien (X, T ) regulier is, dat (X R, T R) een reguliere Hausdorffruimte is. (Toon dat alle open delen van (X, T ) R-verzadigd zijn.) 3. Neem een gesloten deel A van een T3-ruimte X en definieer de equivalentie R op X door xrx x = x of {x, x } A. Toon dat de quotiëntruimte X R Hausdorff is. 4. Een topologische ruimte X heet een T0-ruimte indien voor elke x, y X geldt: (cl{x} = cl{y}) y = x. (a) Geef een voorbeeld van een T0-ruimte die geen T1-ruimte is. (b) Toon voor een willekeurige topologische ruimte (X, T ) de quotiëntruimte (X R, T R), zoals geconstrueerd in opgave 2, een T0-ruimte is. 19
21 HOOFDSTUK 8. STABILITEIT VOOR CONSTRUCTIES 20 (c) Toon voor een willekeurige topologische ruimte (X, T ) de equivalentie van volgende eigenschappen: i. (X, T ) is een T0-ruimte, ii. elke initiale bron (f i : (X, T ) (X i, T i )) i I is puntenscheidend, iii. elke initiale afbeelding f : (X, T ) (Y, S) is injectief. 5. Zij (f i : (X, T ) (X i, T i )) i I een initiale bron met voor elke i I (X i, T i ) een Hausdorffruimte. Toon dat (X, T ) Hausdorff is als en slechts als (X, T ) T0 is. 6. Stel X = {0, 1, 2, 3} en T = {, {0}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 1, 2}, X}. Bewijs dat (X, T ) normaal is maar dat niet iedere deelruimte van (X, T ) normaal is.
22 Hoofdstuk 9 Compact Hausdorff en lokaal compact 1. Bewijs dat Q als deelruimte van R met de Euclidische topologie niet lokaal compact is. 2. Toon dat voor een lokaal compacte Hausdorffruimte (X, T ) en een deel A van X de volgende voorwaarden equivalent zijn: (a) (A, T A ) is lokaal compact, (b) A is lokaal gesloten in (X, T ). (zie opgave 26 in Hoofdstuk 1) 3. Indien X lokaal compact is en Y een retract van X, bewijs dan dat ook Y lokaal compact is. 4. Zij gegeven een niet-compacte topologische ruimte (X, T ). Bewijs dat (X, T ) T1 is indien (X, T ) T1 is. 21
Topologie I - WPO Prof. Dr. E. Colebunders Dr. G. Sonck 24 september 2006
Topologie I - WPO Prof. Dr. E. Colebunders Dr. G. Sonck 24 september 2006 Inhoudsopgave 1 Topologische ruimten 2 2 Metriseerbaarheid en aftelbaarheid 7 3 Convergentie en continuïteit 8 4 Separatie-eigenschappen
Nadere informatie(ii) Zij e 0 een geheel getal. Bewijs: de code C is e-fouten-verbeterend d(x, y) 2e + 1 voor alle x, y C met x y.
Opgaven bij het college Topologie 1 Metrische ruimten Opgave 1.1. Geef een voorbeeld waaruit blijkt dat de doorsnede van oneindig veel open verzamelingen in een metrische ruimte niet open hoeft te zijn.
Nadere informatieOpgave 1.1. Geef een voorbeeld waaruit blijkt dat de doorsnede van oneindig veel open verzamelingen in een metrische ruimte niet open hoeft te zijn.
Opgaven bij het college Topologie 1 Metrische ruimten Opgave 1.1. Geef een voorbeeld waaruit blijkt dat de doorsnede van oneindig veel open verzamelingen in een metrische ruimte niet open hoeft te zijn.
Nadere informatieTopologie. (Voorjaar 2002) (Geheel herziene versie) Dr A.J.M. van Engelen Dr K. P. Hart
Topologie (Voorjaar 2002) (Geheel herziene versie) Dr A.J.M. van Engelen Dr K. P. Hart Inhoudsopgave 0. Inleiding..................................................................... 1 Een paar soorten
Nadere informatieDe stelling van Hahn en Mazurkiewicz
Radboud Universiteit Nijmegen Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica De stelling van Hahn en Mazurkiewicz Naam: Studentnummer: Studie: Begeleider: Datum: Lennaert Stronks 4062175 Wiskunde
Nadere informatieFaculteit Wetenschappen Vakgroep Wiskunde. Baire ruimten. Bachelor Project I. Wouter Van Den Haute. Prof. Eva Colebunders
Faculteit Wetenschappen Vakgroep Wiskunde Baire ruimten Bachelor Project I Wouter Van Den Haute Promotor: Prof. Eva Colebunders Academiejaar 2011-2012 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Ruimten van eerste en
Nadere informatiewi4041 Functieruimten dr. K.P. Hart
wi4041 Functieruimten dr. K.P. Hart Cursus 2003/2004 Inhoud I. TOPOLOGISCHE RUIMTEN 1 1. Topologische Eigenschappen......................................................... 1 2. Topologische Ruimten................................................................
Nadere informatieTopologie. (Voorjaar 2007) Dr K. P. Hart
Topologie (Voorjaar 2007) Dr K. P. Hart Inhoudsopgave 0. Metrische ruimten.......................................................... 1 Metrische ruimten..............................................................
Nadere informatieOefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A
Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat
Nadere informatieWanneer zijn alle continue functies uniform continu?
Faculteit Wetenschappen Vakgroep Wiskunde Wanneer zijn alle continue functies uniform continu? Bachelor Project I Stijn Tóth Promotor: Prof. Eva Colebunders Academiejaar 2011-2012 Inhoudsopgave 1 Inleiding
Nadere informatieHertentamen Topologie, Najaar 2009
Hertentamen Topologie, Najaar 2009 Toelichting: 06.05.2010 Je mag geen hulpmiddelen (zoals aantekeningen, rekenmachine etc.) gebruiken, behalve het boek van Runde en het aanvullende dictaat. Als je stellingen
Nadere informatieTentamen Topologie, Najaar 2011
Tentamen Topologie, Najaar 2011 27.01.2012, 08:30-11:30, LIN 8 (HG00.308) Toelichting: Je mag geen hulpmiddelen (zoals aantekeningen, rekenmachine, telefoon, etc.) gebruiken, behalve de boeken van Gamelin/Greene
Nadere informatieopgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): 2 a 2.
opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): ℵ 0 #A, B = {b 0,..., b n 1 } voor een zeker natuurlijk getal
Nadere informatieOefening 2.2. Welke van de volgende beweringen zijn waar?
Oefeningen op hoofdstuk 2 Verzamelingenleer 2.1 Verzamelingen Oefening 2.1. Beschouw A = {1, {1}, {2}}. Welke van de volgende beweringen zijn waar? Beschouw nu A = {1, 2, {2}}, zelfde vraag. a. 1 A c.
Nadere informatieTentamen Grondslagen van de Wiskunde A, met uitwerkingen
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A, met uitwerkingen 8 december 2015, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is het totaal
Nadere informatieLebesgues overdekkingslemma en Cantors intersectiestelling voor Atsuji metrische ruimten
Faculteit Wetenschappen en Bio-Ingenieurswetenschappen Departement Wiskunde Lebesgues overdekkingslemma en Cantors intersectiestelling voor Atsuji metrische ruimten Proefschrift voor het behalen van de
Nadere informatieTopologie. Peter Bruin
Topologie Peter Bruin Inhoudsopgave Inleiding........................... 5 1. Metrische ruimten....................... 6 2. Convergentie van rijen..................... 10 3. Continue afbeeldingen tussen
Nadere informatieInleiding Analyse 2009
Inleiding Analyse 2009 Inleveropgaven A). Stel f(, y) = In (0, 0) is f niet gedefinieerd. We bestuderen y2 2 + y 4. lim f(, y). (,y) (0,0) 1. Bepaal de waarde van f(, y) op een willekeurige rechte lijn
Nadere informatieComplexe functies 2019
Complexe functies 019 Extra opgaves Opgave A Laat zien dat R voorzien van de bewerkingen a + b := (a 1 +b 1,a +b ) a b := (a 1 b 1 a b,a 1 b +a b 1 ) isomorf is met C. Wat is i in deze representatie? Opgave
Nadere informatieII.3 Equivalentierelaties en quotiënten
II.3 Equivalentierelaties en quotiënten Een belangrijk begrip in de wiskunde is het begrip relatie. Een relatie op een verzameling is een verband tussen twee elementen uit die verzameling waarbij de volgorde
Nadere informatieI.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules.
I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situaties het begrip functie tegengekomen; vaak als een voorschrift dat aan elk getal een ander getal toevoegt, bijvoorbeeld de functie fx = x die aan elk
Nadere informatieOpgaven Inleiding Analyse
Opgaven Inleiding Analyse E.P. van den Ban Limieten en continuïteit Opgave. (a) Bewijs direct uit de definitie van iet dat y 0 y = 0. (b) Bewijs y 0 y 3 = 0 uit de definitie van iet. (c) Bewijs y 0 y 3
Nadere informatieTentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking 10 december 2013, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is
Nadere informatieSupplement Verzamelingenleer. A.J.M. van Engelen en K. P. Hart
Supplement Verzamelingenleer A.J.M. van Engelen en K. P. Hart 1 Hoofdstuk 1 Het Keuzeaxioma Het fundament van de hedendaagse verzamelingenleer werd in de vorige eeuw gelegd door Georg Cantor. Cantor gebruikte
Nadere informatieTer Leering ende Vermaeck
Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel
Nadere informatieTopologie. Voorjaar 2017 Docent: Peter Bruin Versie van 9 juni 2017
Topologie Voorjaar 2017 Docent: Peter Bruin P.J.Bruin@math.leidenuniv.nl Versie van 9 juni 2017 Dit dictaat wordt regelmatig bijgewerkt, maar kan nog fouten bevatten. Commentaar, suggesties en correcties
Nadere informatieTopologie. Voorjaar 2015 Docent: Peter Bruin Versie van 30 mei 2015 Commentaar en correcties worden op prijs gesteld.
Topologie Voorjaar 2015 Docent: Peter Bruin P.J.Bruin@math.leidenuniv.nl Versie van 30 mei 2015 Commentaar en correcties worden op prijs gesteld. Inhoudsopgave Inleiding........................... 1 1.
Nadere informatieMETRISCHE RUIMTEN EN CONTINUE AFBEELDINGEN aanvullend materiaal voor het college Analyse 1 Dr J. Hulshof (R.U.L.)
METRISCHE RUIMTEN EN CONTINUE AFBEELDINGEN aanvullend materiaal voor het college Analyse 1 Dr J. Hulshof (R.U.L.) 1. Inleiding. In deze syllabus behandelen we een aantal fundamentele onderwerpen uit de
Nadere informatieTuyaux 3de Bachelor Wiskunde WINAK
Tuyaux 3de Bachelor Wiskunde WINAK Eerste Semester 2011-2012 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Maattheorie 3 2.1 Theorie....................................... 3 2.2 Oefeningen.....................................
Nadere informatieWiskunde. Verzamelingen, functies en relaties. College 2. Donderdag 3 November
Wiskunde Verzamelingen, functies en relaties College 2 Donderdag 3 November 1 / 17 Equivalentierelaties Def. Een relatie R heet reflexief als x xrx. R heet transitief als x y z (xry yrz xrz). R heet symmetrisch
Nadere informatieStefan Pouwelse. Epimorfismen. Bachelorscriptie, 10 september Scriptiebegeleider: prof.dr. H.W. Lenstra
Stefan Pouwelse Epimorfismen Bachelorscriptie, 10 september 2009 Scriptiebegeleider: prof.dr. H.W. Lenstra Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden 2 Inhoudsopgave 1. Diagrammen en colimieten 4 2. Geamalgameerde
Nadere informatieNiet-archimedische structuren en hun extensies. (Didier Deses)
Niet-archimedische structuren en hun extensies (Didier Deses) V.U.B. 1998-1999 Niet-archimedische structuren en hun extensies. Didier Deses 1998-1999 Dankwoord Ik dank eerst en vooral mijn promotor, prof.
Nadere informatieTweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Uitwerking en opmerkingen
Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 en opmerkingen November 10, 2009 Opgave 1 Gegeven een vectorruimte V met deelruimtes U 1 en U 2. Als er geldt dim U 1 = 7, dimu 2 = 9, en dim(u 1 U 2 ) = 4, wat
Nadere informatieOpgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban
Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele
Nadere informatieExamen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde. vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30
Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30 Naam: Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.
Nadere informatieExamen Complexe Analyse (September 2008)
Examen Complexe Analyse (September 2008) De examenvragen vind je op het einde van dit documentje. Omdat het hier over weinig studenten gaat, heb ik geen puntenverdeling meegegeven. Vraag. Je had eerst
Nadere informatieDrie problemen voor de prijs van één
Drie problemen voor de prijs van één Of: één probleem voor de prijs van drie K. P. Hart Faculty EEMCS TU Delft Delft, 30 oktober, 2012: 10:15 10:45 Eenvoudig begin Opgave Bewijs dat voor m, n N het volgende
Nadere informatieSemi-continuïteit: Theorie en Toepassingen
Semi-continuïteit: Theorie en Toepassingen P. H. M. v. Mouche 2005 Verbeterde versie 1.2 (juni 2019) Voorwoord Dit typoscript gaat over semi-continuïteit van reëelwaardige functies. Het is omlaag te laden
Nadere informatieLineaire Algebra C 2WF09
Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H.A. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09
Nadere informatieOplossingen Oefeningen Bewijzen en Redeneren
Oplossingen Oefeningen Bewijzen en Redeneren Goeroen Maaruf 20 augustus 202 Hoofdstuk 3: Relaties. Oefening 3..2 (a) Persoon p is grootouder van persoon q. (b) (p, q) O o O r P : [ (p, r) O (r, q) O ]
Nadere informatieOefening 2.3. Noteer de volgende verzamelingen d.m.v. (eenvoudig) voorschrift voor de eerste helft en d.m.v. opsomming voor de tweede helft.
Oefeningen op hoofdstuk 2 Verzamelingenleer 2.1 Verzamelingen Oefening 2.1. Beschouw A = {1, {1}, {2}}. Welke van de volgende beweringen zijn waar? Beschouw nu A = {1, 2, {2}}, zelfde vraag. a. 1 A c.
Nadere informatieGetallen, 2e druk, extra opgaven
Getallen, 2e druk, extra opgaven Frans Keune november 2010 De tweede druk bevat 74 nieuwe opgaven. De nummering van de opgaven van de eerste druk is in de tweede druk dezelfde: nieuwe opgaven staan in
Nadere informatieExamen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde. vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30. Auditorium L.00.07
Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30 Auditorium L.00.07 Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.
Nadere informatieConvexe Analyse en Optimalisering
Convexe Analyse en Optimalisering Bernd Heidergott Vrije Universiteit Amsterdam and Tinbergen Institute WEB: http://staff.feweb.vu.nl/bheidergott.htm Overzicht Boek: Optimization: Insights and Applications,
Nadere informatieEnige informatie over groepen ten bate van het college Topologie en Meetkunde (Jaap van Oosten, Juni 2003)
Enige informatie over groepen ten bate van het college Topologie en Meetkunde (Jaap van Oosten, Juni 2003) Een groep is een verzameling G met daarop een operatie : G G G (die we schrijven als g, h g h),
Nadere informatieTentamen Grondslagen van de Wiskunde A met uitwerking
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A met uitwerking 9 december 2014, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is het totaal
Nadere informatieV.4 Eigenschappen van continue functies
V.4 Eigenschappen van continue functies We bestuderen een paar belangrijke stellingen over continue functies. Maxima en minima De stelling over continue functies die we in deze paragraaf bewijzen zegt
Nadere informatieEnkele valkuilen om te vermijden
Enkele valkuilen om te vermijden Dit document is bedoeld om per onderwerp enkele nuttige strategieën voor opgaven te geven. Ook wordt er op een aantal veelgemaakte fouten gewezen. Het is géén volledige
Nadere informatie1 Verzamelingen en afbeeldingen
Samenvatting Wiskundige Structuren, 2010 Aad Offerman, www.offerman.com 1 1 Verzamelingen en afbeeldingen Notaties: A = {1,2,3},, x A, y / A, A = B A B en B A, N = {0,1,2,...}, Z = {..., 3, 2, 1,0,1,2,...},
Nadere informatieCategorieëntheorie. Gerrit Oomens Bachelorproject Wiskunde. Begeleiding: dr. Jochen Heinloth F (X) F (Y ) G(Y ) G(X)
Categorieëntheorie Gerrit Oomens 17-07-2009 Bachelorproject Wiskunde Begeleiding: dr. Jochen Heinloth F (φ) F (X) F (Y ) ζ X ζ Y G(X) G(φ) G(Y ) Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der
Nadere informatieBrown s Representeerbaarheidsstelling
Brown s Representeerbaarheidsstelling Gesche Nord 11 september 2008 Bachelorscriptie Begeleiding: dr. Jochen Heinloth KdV Instituut voor wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica
Nadere informatieOpgaven Inleiding Analyse
Opgaven Inleiding Analyse E.P. van den Ban Limieten en continuïteit Opgave. (a) Bewijs direct uit de definitie van limiet dat lim y 0 y = 0. (b) Bewijs lim y 0 y 3 = 0 uit de definitie van limiet. (c)
Nadere informatieOverzicht Fourier-theorie
B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van
Nadere informatieConvexe Analyse en Optimalisering
Convexe Analyse en Optimalisering Bernd Heidergott Vrije Universiteit Amsterdam en Tinbergen Institute WEB: http://staff.feweb.vu.nl/bheidergott Overzicht Literatuur Calculus, a complete course, Robert
Nadere informatieHoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen
Hoofdstuk 9 Vectorruimten 9.1 Scalairen In de lineaire algebra tot nu toe, hebben we steeds met reële getallen als coëfficienten gewerkt. Niets houdt ons tegen om ook matrices, lineaire vergelijkingen
Nadere informatieInleiding Analyse. Opgaven. E.P. van den Ban. c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Voorjaar 2003, herzien
Inleiding Analyse Opgaven E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Voorjaar 2003, herzien 0 1 1 Limieten en continuïteit Opgave 1.1 (a) Bewijs direct uit de definitie van limiet dat
Nadere informatieUitwerkingen Tentamen Wat is Wiskunde (WISB101) Donderdag 10 november 2016, 9:00-12:00
Uitweringen Tentamen Wat is Wisunde (WISB101) Donderdag 10 november 2016, 9:00-12:00 Docenten: Barbara van den Berg & Carel Faber & Arjen Baarsma & Ralph Klaasse & Vitor Blåsjö & Guido Terra-Bleeer Opgave
Nadere informatieFaculteit Wetenschappen Departement Wiskunde. Fixpuntstellingen. Bachelor Project I. Lies Leemans. Prof. Eva Colebunders
Faculteit Wetenschappen Departement Wiskunde Fixpuntstellingen Bachelor Project I Lies Leemans Prof.: Prof. Eva Colebunders Academiejaar 2012-2013 Inhoudsopgave 1 Inleiding 1 2 Inleidende begrippen 1 3
Nadere informatieTentamen Grondslagen van de Wiskunde B met uitwerkingen
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde B met uitwerkingen 19 januari 2012, 13.30-16.30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is het totaal
Nadere informatieVorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Aanbevolen opgaven. Wat is oneindigheid? College 5
Vorig college College 5 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft Opsommers vs. Herkenners Church-Turing These Codering van problemen 23 april 2009 1 2 Aanbevolen opgaven Wat is oneindigheid? Sipser p. 163
Nadere informatieFUNCTIONAAL ANALYSE I
FUNCTIONAAL ANALYSE I 2009-2010 Eric Jespers http://homepages.vub.ac.be/ efjesper http://www.vub.ac.be/osc/pointcarre/teleleerplatform Inhoudsopgave 1 INLEIDING 1 2 INLEIDING TOT HILBERTRUIMTEN 3 2.1 Banachruimten..........................
Nadere informatieCALCULUS & ANALYSE. Stefaan Poedts. CmPA, Dept. Wiskunde, KU Leuven
CALCULUS & ANALYSE Stefaan Poedts CmPA, Dept. Wiskunde, KU Leuven Monitoraat Kaat Zeeuwts (Kaatje.Zeeuwts@wet.kuleuven.be) Annouk Van Vlierden (Annouk.VanVlierden@wet.kuleuven.be) Oefeningen Berdien, Dina,
Nadere informatieInleiding Analyse. Opgaven. E.P. van den Ban. c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Voorjaar 2009, herzien
Inleiding Analyse Opgaven E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Voorjaar 2009, herzien 0 1 1 Limieten en continuïteit Opgave 1.1 (a) Bewijs direct uit de definitie van limiet dat
Nadere informatieInleiding Analyse. Opgaven. E.P. van den Ban. c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Voorjaar 2010, herzien
Inleiding Analyse Opgaven E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Voorjaar 2010, herzien 1 Limieten en continuïteit Opgave 1.1 (a) Bewijs direct uit de definitie van limiet dat
Nadere informatieEindige topologische ruimten
R.A.C.H. Wols Eindige topologische ruimten Bachelorscriptie, 8 juni 2010 Scriptiebegeleider: dr. R.S. de Jong Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Inhoudsopgave 1 Inleiding 1 2 Eindige ruimten
Nadere informatieDossier 1 SYMBOLENTAAL
Dossier 1 SYMBOLENTAAL basis voor wiskundige communicatie Dr. Luc Gheysens Wiskundigen hebben een eigen symbolentaal waarmee ze onderling communiceren, redeneringen en bewijzen neerschrijven, mathematische
Nadere informatieOpgaven Hilbert-ruimten en kwantummechanica (2006)
Opgaven Hilbert-ruimten en kwantummechanica (2006) Altijd: Opgave 1 is om te oefenen (niet om in te leveren), Opgave 2 is de inleveropgave, Opgave 3 is de bonusopgave (inleveren niet verplicht maar wel
Nadere informatieExamen G0U13 - Bewijzen en Redeneren,
Examen G0U13 - Bewijzen en Redeneren, 2010-2011 bachelor in de Wisunde, bachelor in de Fysica, bachelor in de Economische Wetenschappen en bachelor in de Wijsbegeerte Vrijdag 4 februari 2011, 8u30 Naam:
Nadere informatieDe p-adische completeringen
De p-adische completeringen Jaco Ruit 13 september 2017 1. Completeringen van lichamen Definitie 1.1. Zij K een lichaam. : K [0, [ zodanig dat: A1. x K, x = 0 x = 0. A2. x, y K, xy = x y. A3. x, y K, x
Nadere informatieTopologische eigenschappen in selectieve universa
Faculteit Wetenschappen Vakgroep Wiskunde Topologische eigenschappen in selectieve universa Charlotte DECONINCK Promotor: Prof. dr. H. Vernaeve Masterproef ingediend tot het behalen van de academische
Nadere informatieKU Leuven. Algebra. Notities. Tom Sydney Kerckhove
KU Leuven Algebra Notities Tom Sydney Kerckhove Gestart 23 september 2014 Gecompileerd 28 oktober 2014 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 3 1.1 Basisbegrippen....................................... 3 1.2 De
Nadere informatieIII.3 Supremum en infimum
III.3 Supremum en infimum Zowel de reële getallen als de rationale getallen vormen geordende lichamen. Deze geordende lichamen zijn echter principieel verschillend. De verzameling R is bijvoorbeeld aanzienlijk
Nadere informatieMaat en Integraal. Deborah Cabib, Alex Kuiper, Andries Lenstra, Gerrit Oomens, Suzanne Sniekers Syllabus Integratietheorie
Maat en Integraal Deborah Cabib, Alex Kuiper, Andries Lenstra, Gerrit Oomens, Suzanne Sniekers 2008-2009 Syllabus Integratietheorie Met dank aan Arnoud van Rooij, Jan Smit, Richard Dudley en Heinz Bauer
Nadere informatieEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I MAANDAG 17 JANUARI 2011 1. Theorie Opgave 1. (a) In Voorbeelden 2.1.17 (7) wordt gesteld dat de maximale lineair onafhankelijke deelverzamelingen van
Nadere informatieExamenvragen Hogere Wiskunde I
1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies
Nadere informatieRelevante vragen , eerste examenperiode
Relevante vragen 2006 2007, eerste examenperiode OEFENING y = x 2 2, y = x, z = x 2 + y 2, z = x + 6 omvatten, indien we ons tot het gedeelte binnen de parabolische cilinder beperken, twee verschillende
Nadere informatieNiet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis)
Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis) Verslag ten behoeve
Nadere informatieTopologische en Analytische Begrippen
Inhoudsopgave 1 Topologische en Analytische Begrippen 1 1.1 Topologische Ruimten................................... 1 1.2 Compactheid, Samenhang, Relatieve Topologie..................... 2 1.3 Convergentie
Nadere informatieHuiswerk Hints&Tips Analyse 2, College 26
Huiswerk Hints&Tips Analyse, College 6 [K..]. Tip : Toon aan dat er punten (x, y ) en (x, y ) en scalars m, M R bestaan zo dat m = f(x, y ) f(x, y) f(x, y ) = M. Laat dan zien dat m(b a)(d c) = m f M =
Nadere informatieEERSTE DEELTENTAMEN ANALYSE C
EERSTE DEELTENTAMEN ANALYSE C 0 november 990 9.30.30 uur Zet uw naam op elk blad dat u inlevert en uw naam en adres op de enveloppe. De verschillende onderdelen van de vraagstukken zijn zoveel als mogelijk
Nadere informatieSyllabus Integratietheorie. A. A. Balkema
Syllabus Integratietheorie A. A. Balkema grondig herzien door T. H. Koornwinder, T.H.Koornwinder@uva.nl Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde, Universiteit van Amsterdam laatst gewijzigd 12 augustus
Nadere informatieTOPOLOGIE. Prof. Dr. B.J.J. Moonen
TOPOLOGIE Prof. Dr. B.J.J. Moonen Versie van 31 oktober 2013 VOORAF Deze syllabus is geschreven als tekst bij het tweedejaars college Topologie aan de UvA. Het onderwerp van dit vak is de elementaire topologie.
Nadere informatieProjectieve Meetkunde
Projectieve Meetkunde W M O p W L A M A door H.Finkelnberg en M.Lübke Inhoudsopgave 1 Projectieve ruimtes 4 1.1 De categorie der projectieve ruimtes.......................... 4 1.1.1 De verzamelingen.................................
Nadere informatieFundamenten. Lerarenprogramma Mastermath, versie 2015/12/02. Theo van den Bogaart Bas Edixhoven
Fundamenten Lerarenprogramma Mastermath, versie 2015/12/02 Theo van den Bogaart Bas Edixhoven i Inhoudsopgave I Verzamelingen en afbeeldingen............................................... 3 I.1 Notatie.........................................................................
Nadere informatieMartin s axioma en ccc-ruimten
WETENSCHAPPEN WISKUNDE Martin s axioma en ccc-ruimten Sandra Van Vooren Promotor : Eva Colebunders 22 maart 2010 Inhoudsopgave 1 Inleidende begrippen 4 1.1 De ZFC-axioma s...................................
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Donderdag 8 juli 4. Tijd: 14. 17. uur. Plaats: MA 1.44/1.46 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je
Nadere informatieWiskundige Structuren
wi1607 Wiskundige Structuren Cursus 2009/2010 Eva Coplakova en Bas Edixhoven i Inhoudsopgave I Verzamelingen en afbeeldingen..... 2 I.1 Notatie........3 I.2 Operaties op verzamelingen...7 I.3 Functies.......10
Nadere informatieArno Kret. Bachelorscriptie wiskunde onder begeleiding van professor S.J. Edixhoven Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden
"!# $% &' Arno Kret Bachelorscriptie wiskunde onder begeleiding van professor S.J. Edixhoven Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Op de voorkant: Een compacte en totaal onsamenhangende deelruimte
Nadere informatieGeef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.
Tentamen Lineaire Algebra maandag 3--27, 3.3-6.3 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken. Schrijf op elk
Nadere informatieTopologie. Peter Bruin
Topologie Peter Bruin Inhoudsopgave Inleiding........................... 5 1. Metrische ruimten....................... 6 2. Convergentie van rijen..................... 14 3. Continue afbeeldingen tussen
Nadere informatieV.2 Limieten van functies
V.2 Limieten van functies Beschouw een deelverzameling D R, een functie f: D R en zij c R. We willen het gedrag van f in de buurt van c bestuderen. De functiewaarde in c is daarvoor niet belangrijk, de
Nadere informatieDe Dekpuntstelling van Brouwer
De Dekpuntstelling van Brouwer Non impeditus ab ulla scientia K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Twente, 19 oktober 2009: 18:00 20:00 Outline 1 2 3 4 De formulering Dekpuntstelling van Brouwer Zij n een
Nadere informatieCollege WisCKI. Albert Visser. 17 oktober, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Equivalentierelaties.
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 17 oktober, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Wat is een equivalentierelatie? Een
Nadere informatiecollege 6: limieten en l Hôpital
126 college 6: ieten en l Hôpital In dit college herhalen we enkele belangrijke definities van ieten, en geven we belangrijke technieken om ieten van functies (eigenlijk en oneigenlijk) te bepalen. In
Nadere informatieJe mag Zorich deel I en II gebruiken, maar geen ander hulpmiddelen (zoals andere boeken, aantekeningen, rekenmachine etc.)!
Tentamen Analyse II. Najaar 6 (.1.7) Toelicting: Je mag Zoric deel I en II gebruiken, maar geen ander ulpmiddelen (zoals andere boeken, aantekeningen, rekenmacine etc.)! Als je bekende stellingen gebruikt
Nadere informatie3 De duale vectorruimte
3 De duale vectorruimte We brengen de volgende definitie in de herinnering. Definitie 3.1 (hom K (V, W )) Gegeven twee vectorruimtes (V, K) en (W, K) over K noteren we de verzameling van alle lineaire
Nadere informatieWPO Differentiaalmeetkunde I
1 Vrije Universiteit Brussel Academiejaar 006-007 Prof. Dr. R. Kieboom Dr. G. Sonck WPO Differentiaalmeetkunde I Krommen in R n 1. Neem R met een orthonormale basis en a R + 0. Voor elk punt p o, gelegen
Nadere informatieQuizAnalyseHoofdstuk3 - wv -Brackx
QuizAnalyseHoofdstuk3 - wv -Brackx Als: dan is: Als f discontinu is in x 0 en dan zijn de linker- en rechterlimieten van f(x) in x 0 aan elkaar gelijk maar verschillend van L. Als voor alle x in ]a,b [
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.6, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 2 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 38 Outline 1 Rekenregels 2 K. P. Hart TW2040: Complexe
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie 22 maart 2009 ONEINDIGHEID
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 22 maart 2009 ONEINDIGHEID. Paragraaf 13.3. De paradox van de oneindigheid ligt slechts
Nadere informatie