equationeel programmeren college 1

Transcriptie

1 equationeel programmeren college 1

2 schema praktische zaken opmerkingen vooraf lambda termen materiaal

3 schema praktische zaken opmerkingen vooraf lambda termen materiaal

4 wie hoorcolleges: Femke van Raamsdonk f.van.raamsdonk at vu.nl T446 werkcolleges en practica: Christian Ouwehand en Roy Overbeek

5 lessen hoorcolleges: week 2 5 maandag in F654 donderdag in hoofdgebouw 02A06 werkcolleges: week 2 5 dinsdag in hoofdgebouw 04A05 vrijdag in P647 practica: week 2 5 maandag in P323 donderdag in P323 zaalreservering (check welke zaal) voor ma, di, do, vr middag

6 toetsing 3 (of 4) inleveropgaven programmeren 4 inleveropgaven theorie schriftelijk tentamen vrijdag 30 januari 2015 minimaal 5,5 voor de deelcijfers geldigheid deelcijfers zijn alleen dit jaar ( ) geldig eindcijfer een 30% programmeeropgaven, 70% tentamen, ten hoogste 0,5 bonus voor theorie-opgaven op tentamencijfer

7 materiaal dictaat, slides, opdrachten webpage van het vak via web extra soms extra materiaal via slides en links (niet voor tentamen)

8 schema praktische zaken opmerkingen vooraf lambda termen materiaal

9 equationeel programmeren grondslagen van functioneel programmeren

10 functioneel programmeren een functioneel programma is een expressie, en wordt uitgevoerd door de expressie te evalueren (gebruik definities van links naar rechts) focus op het wat en minder op het hoe de functies zijn puur (wiskundig) eenzelfde input geeft altijd dezelfde output

11 voorbeeld in Haskell: sum [ ] in Java: total = 0; for (i = 1; i <= 10; ++i) total = total + i;

12 functioneel programmeren: eigenschappen hoog abstractieniveau (meer) vertrouwen in correctheid (lezen, checken, correct bewijzen)

13 Lisp Lisp John McCarthy ( ), Turing Award 1971

14 ML ML Robin Milner ( ), Turing Award 1991, et al

15 Haskell Haskell een groep met onder andere Philip Wadler en Simon Peyton Jones

16 functionele programeertalen getypeerd ongetypeerd strict ML Lisp lazy Haskell

17 functioneel programmeren en lambda calculus Based on the lambda calculus, Lisp rapidly became... (uit: wikipedia page John McCarthy) Haskell is based on the lambda calculus, hence the lambda we use as a logo. (uit: the Haskell website) Historically, ML stands for metalanguage: it was conceived to develop proof tactics in the LCF theorem prover (whose language, pplambda, a combination of the first-order predicate calculus and the simply typed polymorphic lambda calculus, had ML as its metalanguage). (uit: wikipedia page of ML)

18 functioneel programmeren en algebraïsche specificaties Programming languages with algebraic data types: Haskell, OCaml (geparafraseerd van wikipedia page van algebraic data type)

19 andere functionele programmeertalen F# (Microsoft) Erlang (Ericsson) Scala (Java plus ML)

20 equationeel programmeren lambda calculus algebraïsche specificaties opdrachten functioneel programmeren: Haskell

21 schema praktische zaken opmerkingen vooraf lambda termen materiaal

22 lambda calculus bedenker: Alonzo Church (1936) fundament van de wiskunde fundering begrip berekenbaar beperken tot functies basis van functioneel programmeren

23 notatie voor functies wiskundig: f : nat nat f (x) = square(x) ook wiskundig: f : nat nat f : x square(x) lambda notatie: λx. square x

24 lambda termen: intuitie abstractie: λx. M is de functie die x afbeeldt op M λx. square x is de functie die x afbeeldt op square x applicatie: F M is de toepassing (niet het resultaat van het toepassen) van de functie F op zijn argument M

25 lambda termen: inductieve definitie variabele x constante c abstractie (λx. M) applicatie (F M)

26 termen als x λx y x

27 termen als bomen: algemeen

28 beroemde termen I = λx. x K = λx. λy. x S = λx. λy. λz. x z (y z) Ω = (λx. x x) (λx. x x)

29 haakjes (M N P) in plaats van ((M N) P) applicatie is associatief naar links (λx. λy. M) in plaats van (λx. (λy. M)) (λx. M N) in plaats van (λx. (M N)) (M λx. N) in plaats van (M (λx. N))

30 nog meer notatie-vereenvoudigingen λxy. M in plaats van λx. λy. M meer in het algemeen λx 1... x n. M in plaats van λx λx n. M

31 lambda termen: voorbeelden (λxyz. y (x y z)) λvw. v w (λxy. x x y) (λzu. u (u z)) λw. w

32 inductieve definitie van termen definities met recursie naar de definitie van termen voorbeeld: definitie van vrije variabelen van een term, straks bewijzen met inductie naar de definitie van termen voorbeeld: elke term heeft eindig veel vrije variabelen

33 lambda notatie van verzameling naar predikaat: karakteristieke functie { true als x S χ S (x) = false als x S van predikaat naar verzameling P(x) = {x P(x) = true} Russell s Paradox R = {x x x} Russell s Paradox in lambda notatie R = λx. (x x) dan R R = β (R R)

34 getypeerd en ongetypeerd getypeerde lambda-calculus oa om paradoxen te vermijden hier: eerst ongetypeerd, later (simpel) getypeerd Haskell (en ML): getypeerd

35 termen in Haskell: getypeerd zoals lambda termen maar getypeerd, bijvoorbeeld: sum : natlist nat [1, 2] : natlist sum [1, 2] : nat plus : nat (nat nat) 2 : nat plus 2 : nat nat plus 2 5 : nat 3 : nat

36 termen in Haskell: meer primitieven zoals lambda termen maar meer primitieven, bijvoorbeeld: δ 5 let x = s in t

37 gebonden variabelen: intuitie x in de scope van λx is gebonden voorbeelden: de onderstreepte x is gebonden in λx. x λx. x x (λx. x) x λx. y x

38 vrije variabelen: definitie notatie: FV(M) voor de verzameling van vrije variabelen in M definitie: FV(x) = {x} FV(c) = FV(λx. M) = FV(M)\{x} FV(F P) = FV(F ) FV(P) een voorkomen van een variabele is gebonden als het niet vrij is

39 alpha conversie alpha conversie: gebonden variabelen mogen herbenoemd worden voorbeeld: λx. x = α λy. y vergelijk: f : x x 2 is f : y y 2 x. P(x) is y. P(y) identificatie van alpha-equivalente termen we werken met equivalentieklassen modulo α

40 beta reductie: voorbeelden (λx. x) y β y (λx. x x) y β y y (λx. x z) y β y z (λx. z) y β z

41 beta reductie regel: definitie (λx. M) N β M[x := N] hier is: x een variabele M een term, en N ook [x := N] de substitutie van N voor x (moet gedefinieerd)

42 substitutie M[x := N] betekent: vervang in M alle vrije voorkomens van x door N α-conversie wordt gebruikt om te voorkomen dat vrije variabelen in N gevangen worden definitie met inductie naar termopbouw

43 substitutie: formele definitie x[x := N] = N y[x := N] = y met x y (λy. M 0 )[x := N] = λy. (M 0 [x := N]) met x y en y FV(N) (M 1 M 2 )[x := N] = (M 1 [x := N]) (M 2 [x := N])

44 beta reductie: definitie een toepassing van de beta-reductie-regel ergens in een term

45 reductietheorie redex sub-term van de vorm (λx. M) N reductiestap toepassing van beta-reductieregel in term reductierij 0, 1 of meer reductiestappen achter elkaar normaalvorm term waar geen β-reductie mogelijk is oftewel: term zonder redex

46 δ-reductie voor de voorbeelden gebruiken we soms contanten voor sommige constanten zijn δ-regels redexen: β-redex (λx. M) N δ-redex plus 3 5 reductiestappen: (λx. f x x) y β f y y plus 3 5 δ 8

47 hoe moet je reduceren? hoe vind je een normaalvorm (als die bestaat)? hoe vind je een oneindige reductierij (als die bestaat)? hoe vind je de kortste reductierij naar normaalvorm? hoe voorkom je het kopiëren van redexen?

48 schema praktische zaken opmerkingen vooraf lambda termen materiaal

49 materiaal dictaat hoofdstuk 1 Haskell pagina

50 extra materiaal paper: Why functional programming matters door John Hughes paper: History of Lambda-calculus and Combinatory Logic door Felice Cardone en J.Roger Hindley