2IA05 Functioneel Programmeren

Transcriptie

1 2IA05 Functioneel Programmeren wk1: Introductie Rik van Geldrop, Jaap van der Woude

2 Declaratieve programmeerstijl 2/13 2 H C H = A A H I JE A 1 F A H = JEA B, A? = H = JEA B D A M = J. K? JE A A C EI? D J A I I L A A HE C A A? JEA BK? A BE EJEA I? A? JEA F E? = = A BE EJEA I

3 FP-wetenswaardigheden 3/13 Berust op wiskundige theorie (λ-calculus, herschrijfsysteem). Functies als argument/resultaat mogelijk (first class citizens). Functies met één argument: Currying. Type en Structuur zijn de leidraad bij ontwerp en analyse. Redeneren over programma s/functies d.m.v. equational reasoning: constructie/verificatie/transformatie/executie. Recursie i.p.v. repetitie. Compacte programma s/specificaties. (Haskell) Type-systeem ondersteunt Polymorfie/Overloading. (Haskell) Lazy evaluation.

4 Notatie en terminologie 4/13 Bij voorkeur de gebruikelijke wiskundige notatie voor functies (met applicatie en compositie als elementaire operaties), maar voor implementatie doeleinden Haskell (herkenbaar aan teletype font ). Applicatie-voorbeeld: een puntsgewijze definitie van kwadrateren wiskunde sqr.x = x x of sqr(x) = x 2 (twice.f).x = f.(f.x) haskell sqr x = x * x twice f x = f (f x) Compositie-voorbeeld: een puntvrije definitie van 4 e -machtsverheffing wiskunde quad = sqr sqr haskell quad = sqr.sqr

5 Notatie en terminologie 5/13 In dit vak gaan we rekenen met functies. Puntsgewijs, maar ook puntvrij. De belangrijkste operatie hierbij is functie-gelijkheid: Definitie [Extensionaliteit] Voor alle functies f en g met hetzelfde domein geldt f = g x :: f.x = g.x Een andere nuttige operatie heet λ-abstractie: Definitie[λ-abstractie] Als x een variabele is van type X and E een expressie van type Y, dan heet (λx E) een λ-abstratie. Verder geldt en (λx E) X Y (λx E).a = E(x := a) voor alle a X I.h.b. f = λx f.x (simplificatie)

6 puntsgewijs <-> puntvrij 6/13 Gebruik extensionaliteit en λ-abstractie. Van puntvrij naar puntsgewijs: extensionaliteit: Voor alle x quad.x = (sqr sqr).x = {def compositie } sqr.(sqr.x) Van puntsgewijs naar puntvrij: λ-abstractie en/of extensionaliteit: sqr = λ x x x en

7 puntsgewijs <-> puntvrij 7/13 (twice.f).x = = { abstractie } f.(f.x) twice.f = λx f.(f.x) = { compositie } twice.f = λx (f f).x = { simplificatie } twice.f = f f = { abstractie } twice = λf f f

8 Notationele conventies 8/13 Reduceer haakjes door het gebruik van de volgende conventies Applicatie heeft de hoogste prioriteit, dus f g.x = f (g.x) Applicatie associeert naar links, dus f.g.h = (f.g).h Abstractie associeert naar rechts, dus λx λy E = λx (λy E)

9 Secties: speciale λ-abstracties Zij X Y Z, x X en y Y, dan 9/13 x y Z Door λ-abstractie, bijvoorbeeld over y, ontstaat λy x y Y Z bij vaste x Bij applicaties van deze functie verandert alleen het 2 e argument, i.e (λy x y).a = x a Gebruikelijke afkorting is (x ) sectie van Idem voor ( y)

10 Type, polymorfie, overloading 10/13 basis 1 unit type (singleton set) samengesteld: Voor typen A en B A B functieruimte A B cartesisch product met projecties π 1 en π 2 A + B disjuncte som met injecties/constructoren in 1 en in 2 Polymorfie Een polymorfe functie is één functie die op verschillende typen kan worden toegepast.voorbeeld: swap.(x, y) = (y, x) Overloading Er is sprake van overloading als er aan verschillende functies dezelfde naam gegeven wordt. De keuze van de juiste definitie wordt gemaakt op grond van beschikbare environment-informatie. Voorbeeld: =

11 Curry en uncurry 11/13 Currying is een functietransformatie die de isomorfie X Y Z = X (Y Z) aangeeft. De constructie 1. Bepaal (uit de typering!) een functie, genaamd curry curry : (X Y Z) (X (Y Z)) 2. Bepaal (uit de typering!) een functie, genaamd uncurry uncurry : (X (Y Z)) (X Y Z) 3. Ga na dat curry uncurry = id en uncurry curry = id

12 Curry en uncurry 12/13 Vanwege de isomorfie is het onbelangrijk welke view op functietypering gekozen wordt. In de wiskunde is een ongecurriede versie gebruikelijk. Bijvoorbeeld + Z Z Z en +.(2, 3) Functionele talen prefereren een gecurriede versie omdat daarbij slechts een argument nodig is om voortgang van evaluatie/programmaexecutie te bewerkstelligen. In Haskell: (+) :: Int -> Int -> Int en (+) 2 3 met verband (+) = curry.+

13 Haskell classes 13/13 Eq Show Read Ord Num Bounded Enum Real Fractional Integral RealFrac Floating RealFloat Monad Functor