Oefening 2.2. Welke van de volgende beweringen zijn waar?

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Oefening 2.2. Welke van de volgende beweringen zijn waar?"

Transcriptie

1 Oefeningen op hoofdstuk 2 Verzamelingenleer 2.1 Verzamelingen Oefening 2.1. Beschouw A = {1, {1}, {2}}. Welke van de volgende beweringen zijn waar? Beschouw nu A = {1, 2, {2}}, zelfde vraag. a. 1 A c. {1} A e. {2} A g. {{2}} A b. {1} A d. {{1}} A f. {2} A Oefening 2.2. Welke van de volgende beweringen zijn waar? a. b. c. { } d. { } Bestaat er een verzameling A waarvoor P(A) =? Oefening 2.3. Noteer de volgende verzamelingen d.m.v. (eenvoudig) voorschrift voor de eerste helft en d.m.v. opsomming voor de tweede helft. a. {1, 4, 9, 16, 25,... } b. { 1 2, 3 4, 5 6, 7 8,... } c. {0, 3, 8, 15, 24,... } d. {x R : x 2 > x} e. {x R : x 2 ]0, 1[} f. {x N : 12 < x < 17} g. {y Z : y 2 2y is deelbaar door 2} h. {y Z : y 2 3y is deelbaar door 2} i. {z R : z 2 2 = 0} j. {z Z : z 2 2 = 0} Oefening 2.4. Beschouw volgende deelverzamelingen van Z. A = {2m + 1 m Z} D = {3r + 1 r Z} G = {mπ m Z} B = {2n + 3 n Z} E = {3r + 2 r Z} H = {2nπ n Z} C = {2p 3 p Z} F = {3r 2 r Z} J = {x R sin x = 0} Oefeningen Relaties en Structuren, Verzamelingenleer 19

2 Welke van de verzamelingen A, B en C zijn gelijk aan elkaar? Welke van de verzamelingen D, E en F zijn gelijk aan elkaar? Wat zijn de relaties tussen van de verzamelingen G, H en J? Oefening 2.5. Lijst alle deelverzamelingen op van {1, 2, 3, 4}. Doe hetzelfde voor {1, 2, 3, {1, 2}}. Oefening 2.6. Bewijs, voor willekeurige verzamelingen A, B en C: a. A A b. A B B A A = B c. A B B C A C d. A B P(A) P(B) Oefening 2.7. Waar of vals? Bewijs! a. A B B C A C b. A B B C A C c. A B B C A C d. A B B C A C e. A B B C A / C f. {x R 2x = 6} = 3 g. {3} {x R 2x = 6} h. y {x R x 2 = 1} y = 1 i. {x R x 2 = 4} { 2, 2} j. {x N 2x + 6 = 0} R \ N 2.2 Operaties op verzamelingen Oefening 2.8. Bewijs de eigenschappen in stelling 2.5. Oefening 2.9. Bewijs de volgende uitspraken over elementaire operaties op verzamelingen. Illustreer je bewijzen met een Venndiagram. Zijn A, B en C willekeurige verzamelingen. a. A B A A B b. A = A c. A = d. A A = A A = A e. A \ = A f. \ A = g. A \ B = A B c h. A B A \ C B \ C Oefening Zijn A, B en C willekeurige verzamelingen. Vul aan en bewijs. a. A B A B = b. A B A B = c. A \ B = d. A B A C e. A B B C f. A C B C g. A B C A B = Oefeningen Relaties en Structuren, Operaties op verzamelingen 20

3 h. A B C D C A A B = Oefening Gebruik de wetten uit de verzamelingenleer om de volgende gelijkheden aan te tonen. Hierbij zijn A, B, C Ω, met Ω een universele verzameling. a. A (B \ A) = b. (A \ B) (A B) = A c. (A \ B) c = A c B d. [A (B C)] C = (A B) C e. (A B) (C D) = (A C) (A D) (B C) (B D) ( ((A ) ) c c f. B) C B c = B C g. (A B) = (A B c ) (A c B) h. (A B) c = A c B c Oefening Bewijs dat (A B) c = A c B c en dat A B B c A c. Met welke tautologieën uit de logica komen deze wetten overeen? Geef de verzamelingtheoretische equivalenten van de tautologieën uit de lijst in de cursus. Oefening Bewijs dat P(A B) = P(A) P(B) en dat P(A B) P(A) P(B). Geef een voorbeeld om aan te tonen dat er niet altijd gelijkheid geldt. Willekeurige unies en doorsneden Oefening Bewijs stelling 2.7 uit de cursus. Veralgemeen eigenschappen van eindige unie en doorsnede (bijvoorbeeld uit de oefeningen hierboven) tot eigenschappen van willekeurige unie en doorsnede en bewijs ze. Oefening Wat zijn de volgende verzamelingen? a. b. c. d. e. f. {{a, e, i, o, u}, {a, b, c, d, e}, {b, e, r, t}} g. {{a, e, i, o, u}, {a, b, c, d, e}, {b, e, r, t}} h. z Z [z, z + 1] z Z [z, z + 1] ε R >0 ] ε, ε[ ε R >0 ] ε, ε[ i. j. k. l. λ {a,b,c} ] λ, λ[ (a, b, c R >0) λ {a,b,c} ] λ, λ[ (a, b, c R >0) a R {(x, y) R2 : y = ax} a R {(x, y) R2 : y = ax} r R {(x, y) R2 : x 2 + y 2 < r2 +2 r 2 +1 } r R {(x, y) R2 : x 2 + y 2 < r2 +2 r 2 +1 } Oefening Onderzoek de waarheid van de volgende uitspraken met betrekking tot inclusie en willekeurige unie en doorsnede. Bewijs de ware en geef tegenvoorbeelden voor de valse. Hierbij zijn I en J indexverzamelingen en {A i : i I} en {B i : i I} geïndexeerde families verzamelingen. Oefeningen Relaties en Structuren, Operaties op verzamelingen 21

4 a. A i B i i I A i i I B i b. A i B i i I A i i I B i c. I J i I A i j J A j d. I J i I A i j J A j Oefening Zij F een familie verzamelingen. Bewijs dat F de kleinste verzameling is die elke A F omvat, in de zin dat a. A F : A F b. Als voor een verzameling X geldt dat A F : A X, dan is F X Formuleer en bewijs een gelijkaardige karakterisatie voor F. Partities Oefening Bewijs dat {{1, 2}, {3}, {4, 5, 7}, {6}} een partitie is van {1,..., 7}. Bewijs dat {{3r r N}, {3r + 1 r N}, {3r + 2 r N}} een partitie is van N. Oefening Lijst alle partities van {1, 2, 3} op. Doe hetzelfde voor {1, 2, 3, 4}. Controleer dat het er drie keer zoveel zijn. Van de verzameling van alle uitkomsten van drie opeenvolgende kop-of-muntspelletjes (met bv. KMM als element), schrijf de partitie neer die overeenkomt met de classificatie naargelang het aantal keer kop. Oefening Geef voorbeelden van partities van N in 2, 11 en oneindig veel partitieklassen. Geef voorbeelden van partities van de verzameling van alle mensen. Welke twee extremale partities bestaan er op elke verzameling? Oefening Als A = {{A i : 1 i s} en B = {B j : 1 j t} partities zijn van eenzelfde verzameling Ω, bewijs dan dat de verzameling van alle nietledige A i B j, voor alle 1 i s en 1 j t weer een partitie vormen van Ω, de kruispartitie genoemd van A en B. Gebruik het concept van kruispartitie om de volgende breinbreker op te lossen. Gegeven negen objecten waarvan geweten is dat acht dezelfde massa hebben en één zwaarder is dan de andere, toon aan hoe men het zware object kan identificeren door gebruik te maken van twee wegingen met een weegbalans. Cartesisch product van verzamelingen Oefening Zij A = {1, 3, 5} en B = {2, 4}. Beschrijf A A, B B, A B en B A. Oefening Bewijs stelling Toon aan dat de inclusie (A B) (C D) (A C) (B D) niet kan uitgebreid worden tot een gelijkheid van verzamelingen. Oefening Toon de volgende eigenschappen aan van het cartesisch product (A en B willekeurige verzamelingen, I een indexverzameling, A, B bij 4.). Oefeningen Relaties en Structuren, Operaties op verzamelingen 22

5 a. A = = B. b. A B A C B C c. A B A B. d. A B = B A A = B e. A i I B i = i I (A B i) f. A i I B i = i I (A B i) Oefening Toon aan dat, als A m elementen heeft en B n, dat dan A B precies mn elementen heeft. Oefening Als A en B precies n N elementen gemeenschappelijk hebben, hoeveel elementen hebben A B en B A dan gemeenschappelijk? 2.3 Relaties Oefening Voor elk van de volgende relaties, geef aan welke eigenschappen voldaan zijn en welke niet (reflexiviteit/irreflexiviteit/..., symmetrie/antisymmetrie/..., transitiviteit). Welke relaties zijn orderelaties, welke equivalentierelaties? Zij A een willekeurige verzameling. a. De delingsrelatie op N b. < op Z c. = op A d. op P(A) e. Disjunctheid op P(A) f. De relatie R op N gedefinieerd door m R n m < 10n g. De relatie R op Z gedefinieerd door m R n m + n is even h. De relatie R op R gedefinieerd door m R n y = e x i. De relatie R op R gedefinieerd door m R n xy 0 j. De gelijkvormigheidsrelatie op de verzameling van alle driehoeken in het vlak k. De loodrechtheidsrelatie op alle rechten in het vlak l. De relatie is ouder van op de verzameling van alle mensen m. De relatie is broer van op de verzameling van alle mensen n. De relatie R op Q gedefinieerd door m R n x < 0 (x 0 x = y) o. De relatie R op R R gedefinieerd door (x, y) R (z, w) x + z y + w p. De relatie R op R R gedefinieerd door (x, y) R (z, w) x + y z + w Oefeningen Relaties en Structuren, Relaties 23

6 Oefening Beschouw A = {1, 2, 3, 6}. Geef een voorbeeld van elk van de gevraagde relaties (één keer met een pijlenvoorstelling en/of door expliciete opsomming van de koppels, één keer door een expliciet voorschrift indien mogelijk). a. Een reflexieve relatie over A. b. Een antireflexieve relatie over A. c. Een relatie over A die reflexief noch antireflexief is. d. Een symmetrische relatie over A. e. Een antisymmetrische relatie over A die niet asymmetrisch is. f. Een asymmetrische relatie over A. g. Een relatie over A die symmetrisch noch asymmetrisch is. h. Een transitieve relatie over A, die exact 4 koppels heeft. i. Een relatie over A die reflexief en symmetrisch is, maar niet transitief. j. Een relatie over A die reflexief en transitief is, maar niet symmetrisch. k. Een relatie over A die transitief en symmetrisch is, maar niet reflexief. Oefening Welke eigenschap van een relatie R op A wordt omschreven met {(x, x) : x A} R =? Druk de eigenschap van asymmetrie van een relatie uit in functie van twee andere eigenschappen van een relatie (definitie 2.14). Oefening Wat is fout bij volgende redenering? Elke symmetrische en transitieve relatie R over een verzameling A is reflexief. Bewijs. Beschouw (x, y) R. Aangezien de relatie symmetrisch is, is ook (y, x) R. Dus zijn zowel (x, y) als (y, x) koppels van de relatie. Transitiviteit heeft als gevolg dat (x, x) R. Dit toont aan dat de relatie ook reflexief is. Oefening Beschouw een niet-ledige relatie R over een verzameling A. Toon aan dat R nooit aan volgende drie eigenschappen tegelijk kan voldoen: anti-reflexief, symmetrisch en transitief. Oefening Zij A een willekeurige verzameling. Welke relatie op A is zowel een equivalentierelatie als een partiële orderelatie? Oefening In elke verzameling van verzamelingen is een orderelatie. Toon dit aan. Is deze orderelatie een totale ordening of een partiële ordening? Oefeningen Relaties en Structuren, Relaties 24

7 Equivalentierelaties Oefening Geef de bijhorende equivalentierelaties van de partities uit oefening Oefening Bewijs dat de volgende relaties equivalentierelaties zijn en beschrijf de quotiëntstructuur (geef een unieke representant voor elke equivalentieklasse). a. De relatie R op Z met a R b a 2 = b 2 b. De relatie op P(Ω) met A B A E = B E, voor een willekeurige maar vaste verzameling E Ω, met Ω een universele verzameling. c. De relatie op {(a, b) a, b Z, b 0}, gedefinieerd door (a, b) (c, d) ad = bc. d. De relatie op N N met (a, b) (c, d) a + d = b + c. e. De relatie R op R 2 met (x, y) R (u, v) x 2 + y 2 = u 2 + v 2. Oefening Zij {P i : i I} een partitie van een verzameling Ω. Ga na dat (P i P i ) Ω Ω i I een equivalentierelatie is op Ω en bewijs dat het precies de equivalentierelatie is, geïnduceerd door de partitie {P i : i I}. Oefening Zij A een niet-ledige verzameling. Wat is de kleinste equivalentierelatie op A (klein met betrekking tot inclusie)? Bewijs dat elke equivalentierelatie deze minimale equivalentierelatie bevat. Wat is de grootste equivalentierelatie op A (met betrekking tot inclusie)? Bewijs dat elke equivalentierelatie bevat is in deze maximale equivalentierelatie. Bewerkingen op relaties Oefening Is de doorsnede van twee relaties weer een relatie? Waarom (niet)? Zelfde vraag voor unie en complement. Oefening Bewijs voor relaties R 1 en R 2 op A A, dat R 1 R 2 een reflexieve relatie is als en slechts als R 1 en R 2 reflexieve relaties zijn. Oefening Waar of vals? Bewijs of tegenvoorbeeld! De symmetrische sluiting van de unie van twee relaties is de unie van hun symmetrische sluitingen. Oefening Toon aan dat de volgende twee definities van reflexieve sluiting R van een relatie R op A samenvallen: a. R = R I A Oefeningen Relaties en Structuren, Relaties 25

8 b. De kleinste reflexieve relatie die R bevat, d.w.z. de unieke relatie R die voldoet aan de eigenschappen R R R is reflexief Voor elke relatie R geldt dat, als R R en R is reflexief, dan is R R. Stel analoge definities op voor symmetrische en transitieve sluiting en bewijs de analoge equivalenties. Oefening Toon aan dat een relatie R reflexief is als en slechts de inverse relatie R 1 dat ook is. Bewijs hetzelfde voor symmetrie en transitiviteit. Oefening Men kan ook de samenstelling definiëren van twee relaties R 1 A B en R 2 B C als de relatie tussen A en C van koppels (a, c) waarvoor er een b B bestaat zodat a R 1 b R 2 c, m.a.w. R 2 R 1 = {(a, c) A C b B : (a, b) R 1 (b, c) R 2 }. Bewijs dat (R 2 R 1 ) 1 = R 1 1 R Afbeeldingen Oefening Zijn de volgende functies f : R R en g : R R, zoals hieronder gedefinieerd, gelijk aan elkaar of niet? Leg uit waarom. a. f(x) = max(x, x) g(x) = x b. f(x) = x 2 g(x) = x2 4 x+2 Oefening Geef voorbeelden van functies f : N N die voldoen aan de eigenschap a. m < n f(m) < f(n) b. m < n f(m) > f(n) c. m < n f(m) = f(n) d. Als m en n oneven zijn, dan m < n f(m) < f(n) en als m en n even zijn, dan f(m) = f(n). Oefening Gebruik de definitie van afbeelding als een bijzondere relatie om de volgende eigenschappen aan te tonen. a. Als f : A B en g : A B afbeeldingen zijn, dan is f = g als en slechts als x A : f(x) = g(x). Oefeningen Relaties en Structuren, Afbeeldingen 26

9 b. Als f : A B en g : C D afbeeldingen zijn, dan is f = g als en slechts als A = C en x A : f(x) = g(x). c. Als f 1 : A 1 B en f 2 : A 2 B afbeeldingen zijn met A 1 A 2 =, dan is f 1 f 2 een afbeelding van A 1 A 2 naar B. d. Als f 1 : A 1 B en f 2 : A 2 B afbeeldingen zijn met f(a) = g(a), a A 1 A 2, dan is f 1 f 2 een afbeelding van A 1 A 2 naar B. Waarom is de eis van disjunctheid essentieel bij 3? Oefening 2.47 (Over de karakteristieke functie). Zij Ω een verzameling en A Ω. Identificeer de verzamelingen {x Ω : 1 A (x) = 1}, {x Ω : 1 A (x) = 0} en {x Ω : 1 A (x) = 1}. Schets de grafiek van de functies 1 [1,5[, 1 [1,5[ c, 1 {2} en 1 N. Injecties en surjecties Oefening Lijst alle afbeeldingen op van {0, 1} naar {a, b, c}. Welke daarvan zijn injectief? Welke zijn surjectief? Doe hetzelfde voor alle afbeeldingen van {a, b, c} naar {0, 1}. Oefening Bepaal van de volgende afbeeldingen of ze injectief zijn en of ze surjectief zijn. Bewijs ook telkens deze (niet-)in/surjectiviteit en bepaal het beeld als ze niet surjectief zijn. Zijn A en B willekeurige verzamelingen. a. f : R R : x ax b (a 0 en b reële parameters) b. f : R R : x x 3 x c. f : R R : x x+ x 2 d. f : N N : x x+ x 2 e. f : C C : x x f. { 2n als n even is f : N N : n n als n oneven is g. : R Z : x x = het grootste geheel getal z zodat z x h. f : R [0, 1[: x x x i. f : N N : x x/2 j. f : {a, b, c, d} {c, d, e}; met f(a) = c, f(b) = d, f(c) = c, f(d) = e k. f : N N N <19 : x ( x/19, x mod 19) l. f : R 2 R 2 : (x, y) (x + 2y, x y) Oefeningen Relaties en Structuren, Afbeeldingen 27

10 m. 1 A : A A : a a n. f : Z Z Z : (m, n) m n o. π 1 : A B A : (a, b) a p. d : A A A : x (x, x) q. f : A A { } : a (a, ) r. s : A P(A) : a {a} s. min : P(N) N : S min(s) Oefening Zij 2N + 1 = {1, 3, 5, 7,... } de verzameling van oneven natuurlijke getallen en 2N = {2, 4, 6,... } de verzameling van even natuurlijke getallen. Geef voorbeelden van afbeeldingen van 2N + 1 naar 2N a. die bijectief zijn b. die injectief zijn maar niet surjectief c. die surjectief zijn maar niet injectief d. die injectief noch surjectief zijn Bepaal voor elk van je voorbeelden het beeld (van heel 2N + 1) en het beeld van {1, 3, 5, 7}. Oefening Zij f : A B een afbeelding. Bewijs dat f niet injectief is als en slechts als er verschillende elementen x en y in A bestaan zodat f({x, y}) een singleton is. Bewijs dat f niet surjectief is als en slechts als er een z B bestaat zodat f 1 (z) de ledige verzameling is. Oefening Bewijs dat de canonische projectie (bij een equivalentierelatie) altijd surjectief is en dat de canonische injectie (bij een inclusie van verzamelingen) altijd injectief is. Oefening Bewijs de eerste isomorfiestelling voor verzamelingen (stelling 2.26): zij f : X Y een afbeelding. Dan is KER(f) = {(x 1, x 2 ) X X f(x 1 ) = f(x 2 )} een equivalentierelatie. Bovendien induceert f een bijectie ˆf : X/ KER(f) I(f) Oefening Zij f : A B een afbeeldingen tussen verzamelingen. Deze induceert een afbeelding F : P(A) P(B) tussen de machtsverzamelingen door, voor een verzameling H A, te definiëren F (H) = {f(h) B : h H}. Bewijs: Oefeningen Relaties en Structuren, Afbeeldingen 28

11 a. Als f inverteerbaar is, dan ook F. b. Als f injectief is, dan ook F. c. Als f surjectief is, dan ook F. Oefening Als f : A B een afbeelding is, dan induceert deze twee afbeeldingen tussen P(A) en P(B). De afbeelding F : P(A) P(B) werd gedefinieerd in de cursus en in oefening 2.54 en noteren we doorgaans zelf ook met f. De afbeelding f 1 : P(B) P(A) is gedefinieerd voor T B, als f 1 (T ) = {a A f(a) T }. Bewijs de volgende uitspraken, voor een indexverzameling Λ, als S λ P(A), λ Λ en T λ P(B), λ Λ. [ ] a. f 1 T λ = [ ] f 1 [T λ ] c. f S λ = f [S λ ] λ Λ λ Λ λ Λ λ Λ [ ] b. f 1 T λ = [ ] f 1 [T λ ] d. f S λ f [S λ ] λ Λ λ Λ λ Λ Bewijs dat de laatste inclusie niet kan veralgemeend worden tot een gelijkheid. Stel een voldoende voorwaarde op f op, waaronder de laatste inclusie een gelijkheid wordt. λ Λ Samenstelling en inverse Oefening Ga na dat de inverse van een bijectie (volgens de definitie van inverse van een afbeelding), opgevat als relatie, inderdaad de inverse is van die relatie (volgens de definitie van inverse van een relatie). Ga na dat de samenstelling van afbeeldingen (volgens de definitie van samenstelling van afbeeldingen), opgevat als relaties, inderdaad de samenstelling is van die relatie (volgens de definitie uit oefening 2.43). Oefening Bewijs dat de volgende twee definities van inverteerbaarheid van een functie f : A B equivalent zijn. g : B A, zodat a A, b B : f(a) = b g(b) = a g : B A, zodat a A : g f(a) = a en b B : f g(b) = (b) Oefening Bewijs stelling 2.24 via linkse en rechtse inversen. Ga daarvoor als volgt te werk. Zij f : X Y een afbeelding. Een afbeelding g : Y X heet een rechtse inverse van f als f g = 1 Y. Een afbeelding g : Y X heet een linkse inverse van f als g f = 1 X. Een afbeelding g met f g = 1 Y én g f = 1 X heet een inverse. Bewijs: a. Als f zowel een rechtse inverse g als een linkse inverse h heeft, dan is g = h en g is een inverse van f. Oefeningen Relaties en Structuren, Afbeeldingen 29

12 b. Als f een inverse heeft, dan is die uniek. c. f is surjectief als en slechts als f een rechtse inverse g heeft. d. f is injectief als en slechts als f een linkse inverse g heeft. e. f is bijectief als en slechts als f een inverse g heeft. Oefening De samenstelling van in/sur/bijecties is weer een in/sur/bijectie. Om als samenstelling van twee afbeeldingen een injectie te zijn, is het echter niet noodzakelijk dat de componenten beiden injecties te zijn. Vind een voorbeeld waar dat niet zo is. Hetzelfde geldt voor surjecties, doe daarvoor hetzelfde. Geef tot slot een voorbeeld van twee functies f en g, beiden geen bijecties, waarvoor de samenstelling g f wel een bijectie is (tussen verzamelingen met weinig elementen, bijvoorbeeld). Oefening Bepaal de inversen van de bijecties in oefening Ordes Oefening Geef een voorbeeld van een keten in de orde (N, ). Oefening Geef een voorwaarde op A zodat de orderelatie (P(A), ) een totale orde zou zijn. Oefening 2.63 (Order theorem). Bewijs de ordestelling: zij X een verzameling. Als R een (niet-strikte) orderelatie is op X, dan is S = {(x, y) R x y} een strikt-orderelatie op X. Als S een strikt-orderelatie is op X, dan is R = S {(x, x) x X} een (niet-strikte) orderelatie op X. Deze constructies zijn elkaar inverse. 2.6 Kardinaliteiten Gelijkmachtigheid Oefening Bewijs dat een verzameling Peano-eindig is als en slechts als ze Dedekind-eindig is, d.i. het volgende. Zij A een verzameling. Er bestaat een n N zodat A = N <n als en slechts als er geen bijectie bestaat tussen A en een echte deelverzameling van A. Oefening Zij A en B eindige en gelijkmachtige verzamelingen ( A = B = n). Bewijs dat een afbeelding van A naar B injectief is als en slechts als ze surjectief is. Oefeningen Relaties en Structuren, Ordes 30

13 Oefening Zij A, B, C en D verzamelingen met A = C en B = D. Bewijs dat A B = C D. Oefening Zij G en S verzamelingen. Bewijs: er bestaat een H G met S = H als en slechts als er een injectie van S in G bestaat. Oefening De volgende uitspraken zijn niet algemeen geldig. Geef voor elk van de uitspraken een voorbeeld (waar het wel zo is) en een tegenvoorbeeld. a. De doorsnede van twee oneindige verzamelingen is een oneindige verzameling. b. Tussen een oneindige deelverzameling B en een echte oneindige deelverzameling A van B bestaat een bijectie. c. Voor gelijkmachtige verzamelingen A en B is ook A B = A = B. Aftelbaarheid Oefening Bewijs dat de volgende verzamelingen aftelbaar zijn. a. De verzameling van alle drievouden b. {n N : n } c. N \ {4, 5, 6} d. De verzameling van alle priemgetallen P Oefening Bewijs dat elke deelverzameling van een aftelbare verzameling ook aftelbaar is. Bewijs daarvoor eerst de volgende lemma s en gebruik deze in je bewijs. a. Elke deelverzameling van de natuurlijke getallen is aftelbaar. b. Als T aftelbaar is en er is een bijectie tussen A en T, dan is A aftelbaar. Oefening Werk de details uit van het bewijs van N N = N met behulp van de functie f(m, n) = 2 m 1 (2n + 1). Oefening Zijn A en B aftelbaar oneindige verzamelingen. Bewijs dat als A en B disjunct zijn, dan A B ook aftelbaar is. Bewijs daarna dat A B ook aftelbaar oneindig is als ze niet noodzakelijk disjunct zijn. Oefening Bewijs dat elke aftelbaar oneindige verzameling een partitie in paren toelaat. Oefening Oefening Oefeningen Relaties en Structuren, Kardinaliteiten 31

14 Overaftelbaarheid Oefening Bewijs dat elk open interval gelijkmachtig is met R (Hint: gebruik een boogtangens). Oefening Bewijs dat de volgende verzamelingen aftelbaar zijn. a. De verzameling van alle drievouden b. {n N : n } c. N \ {4, 5, 6} d. De verzameling van alle priemgetallen P Oefening Bewijs dat de volgende verzamelingen aftelbaar zijn. a. De verzameling van alle drievouden b. {n N : n } c. N \ {4, 5, 6} d. De verzameling van alle priemgetallen P Oefeningen Relaties en Structuren, Kardinaliteiten 32

Oefening 2.3. Noteer de volgende verzamelingen d.m.v. (eenvoudig) voorschrift voor de eerste helft en d.m.v. opsomming voor de tweede helft.

Oefening 2.3. Noteer de volgende verzamelingen d.m.v. (eenvoudig) voorschrift voor de eerste helft en d.m.v. opsomming voor de tweede helft. Oefeningen op hoofdstuk 2 Verzamelingenleer 2.1 Verzamelingen Oefening 2.1. Beschouw A = {1, {1}, {2}}. Welke van de volgende beweringen zijn waar? Beschouw nu A = {1, 2, {2}}, zelfde vraag. a. 1 A c.

Nadere informatie

opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): 2 a 2.

opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): 2 a 2. opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): ℵ 0 #A, B = {b 0,..., b n 1 } voor een zeker natuurlijk getal

Nadere informatie

II.3 Equivalentierelaties en quotiënten

II.3 Equivalentierelaties en quotiënten II.3 Equivalentierelaties en quotiënten Een belangrijk begrip in de wiskunde is het begrip relatie. Een relatie op een verzameling is een verband tussen twee elementen uit die verzameling waarbij de volgorde

Nadere informatie

Bewijzen en Redeneren voor Informatici

Bewijzen en Redeneren voor Informatici Bewijzen en Redeneren voor Informatici Reinoud Berkein 17 januari 2018 Samenvatting Een korte samenvatting van definities uit de cursus. Hoofdstuk 1 Doorsnede: De verzamerling die alle elementen bevat

Nadere informatie

Hoofdstuk 3. Equivalentierelaties. 3.1 Modulo Rekenen

Hoofdstuk 3. Equivalentierelaties. 3.1 Modulo Rekenen Hoofdstuk 3 Equivalentierelaties SCHAUM 2.8: Equivalence Relations Twee belangrijke voorbeelden van equivalentierelaties in de informatica: resten (modulo rekenen) en cardinaliteit (aftelbaarheid). 3.1

Nadere informatie

Enkele valkuilen om te vermijden

Enkele valkuilen om te vermijden Enkele valkuilen om te vermijden Dit document is bedoeld om per onderwerp enkele nuttige strategieën voor opgaven te geven. Ook wordt er op een aantal veelgemaakte fouten gewezen. Het is géén volledige

Nadere informatie

Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde. vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30

Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde. vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30 Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30 Naam: Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.

Nadere informatie

I.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules.

I.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules. I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situaties het begrip functie tegengekomen; vaak als een voorschrift dat aan elk getal een ander getal toevoegt, bijvoorbeeld de functie fx = x die aan elk

Nadere informatie

Getallensystemen, verzamelingen en relaties

Getallensystemen, verzamelingen en relaties Hoofdstuk 1 Getallensystemen, verzamelingen en relaties 1.1 Getallensystemen 1.1.1 De natuurlijke getallen N = {0, 1, 2, 3,...} N 0 = {1, 2, 3,...} 1.1.2 De gehele getallen Z = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1,

Nadere informatie

Relaties en Functies

Relaties en Functies Logica voor Informatica Relaties en Functies Mehdi Dastani m.m.dastani@uu.nl Intelligent Systems Utrecht University Geordende paren, productverzameling, relatie (a, b) geordend paar (a, b) = (c, d) a =

Nadere informatie

Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A

Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat

Nadere informatie

Dossier 1 SYMBOLENTAAL

Dossier 1 SYMBOLENTAAL Dossier 1 SYMBOLENTAAL basis voor wiskundige communicatie Dr. Luc Gheysens Wiskundigen hebben een eigen symbolentaal waarmee ze onderling communiceren, redeneringen en bewijzen neerschrijven, mathematische

Nadere informatie

Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A, met uitwerkingen

Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A, met uitwerkingen Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A, met uitwerkingen 8 december 2015, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is het totaal

Nadere informatie

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;

Nadere informatie

Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking

Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking 10 december 2013, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is

Nadere informatie

Wiskunde. Verzamelingen, functies en relaties. College 2. Donderdag 3 November

Wiskunde. Verzamelingen, functies en relaties. College 2. Donderdag 3 November Wiskunde Verzamelingen, functies en relaties College 2 Donderdag 3 November 1 / 17 Equivalentierelaties Def. Een relatie R heet reflexief als x xrx. R heet transitief als x y z (xry yrz xrz). R heet symmetrisch

Nadere informatie

Inleiding Analyse 2009

Inleiding Analyse 2009 Inleiding Analyse 2009 Inleveropgaven A). Stel f(, y) = In (0, 0) is f niet gedefinieerd. We bestuderen y2 2 + y 4. lim f(, y). (,y) (0,0) 1. Bepaal de waarde van f(, y) op een willekeurige rechte lijn

Nadere informatie

Topologie I - WPO Prof. Dr. E. Colebunders Dr. G. Sonck 24 september 2006

Topologie I - WPO Prof. Dr. E. Colebunders Dr. G. Sonck 24 september 2006 Topologie I - WPO Prof. Dr. E. Colebunders Dr. G. Sonck 24 september 2006 Inhoudsopgave 1 Topologische ruimten 2 2 Metriseerbaarheid en aftelbaarheid 7 3 Convergentie en continuïteit 8 4 Separatie-eigenschappen

Nadere informatie

III.3 Supremum en infimum

III.3 Supremum en infimum III.3 Supremum en infimum Zowel de reële getallen als de rationale getallen vormen geordende lichamen. Deze geordende lichamen zijn echter principieel verschillend. De verzameling R is bijvoorbeeld aanzienlijk

Nadere informatie

Ter Leering ende Vermaeck

Ter Leering ende Vermaeck Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel

Nadere informatie

Getallen, 2e druk, extra opgaven

Getallen, 2e druk, extra opgaven Getallen, 2e druk, extra opgaven Frans Keune november 2010 De tweede druk bevat 74 nieuwe opgaven. De nummering van de opgaven van de eerste druk is in de tweede druk dezelfde: nieuwe opgaven staan in

Nadere informatie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie 9 februari 2009 INLEIDING

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie   9 februari 2009 INLEIDING Discrete Structuren Piter Dystra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 9 februari 2009 INLEIDING Discrete Structuren Wee1: Inleiding Onderwerpen Elementaire

Nadere informatie

Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde. vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30. Auditorium L.00.07

Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde. vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30. Auditorium L.00.07 Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30 Auditorium L.00.07 Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.

Nadere informatie

Oplossingen Oefeningen Bewijzen en Redeneren

Oplossingen Oefeningen Bewijzen en Redeneren Oplossingen Oefeningen Bewijzen en Redeneren Goeroen Maaruf 20 augustus 202 Hoofdstuk 3: Relaties. Oefening 3..2 (a) Persoon p is grootouder van persoon q. (b) (p, q) O o O r P : [ (p, r) O (r, q) O ]

Nadere informatie

Wiskundige Structuren

Wiskundige Structuren wi1607 Wiskundige Structuren Cursus 2009/2010 Eva Coplakova en Bas Edixhoven i Inhoudsopgave I Verzamelingen en afbeeldingen..... 2 I.1 Notatie........3 I.2 Operaties op verzamelingen...7 I.3 Functies.......10

Nadere informatie

KU Leuven. Algebra. Notities. Tom Sydney Kerckhove

KU Leuven. Algebra. Notities. Tom Sydney Kerckhove KU Leuven Algebra Notities Tom Sydney Kerckhove Gestart 23 september 2014 Gecompileerd 28 oktober 2014 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 3 1.1 Basisbegrippen....................................... 3 1.2 De

Nadere informatie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie Discrete Structuren Piter Dystra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 12 februari 2008 INLEIDING Discrete Structuren Wee1: Inleiding Onderwerpen

Nadere informatie

Bewijzen en Redeneren voor Informatici Samenvatting

Bewijzen en Redeneren voor Informatici Samenvatting Bewijzen en Redeneren voor Informatici Samenvatting Robin Kelchtermans 17 februari 2018 1 Voorwoord In deze samenvatting komen alle onderdelen van de cursus Bewijzen en Redeneren voor Informatici (academiejaar

Nadere informatie

BEWIJZEN EN REDENEREN

BEWIJZEN EN REDENEREN BEWIJZEN EN REDENEREN voor Bachelor of Science in Fysica en Wiskunde Academiejaar 2012/2013 Arno KUIJLAARS Departement Wiskunde, Katholieke Universiteit Leuven, Celestijnenlaan 200 B, 3001 Heverlee Inhoudsopgave

Nadere informatie

Fundamenten. Lerarenprogramma Mastermath, versie 2015/12/02. Theo van den Bogaart Bas Edixhoven

Fundamenten. Lerarenprogramma Mastermath, versie 2015/12/02. Theo van den Bogaart Bas Edixhoven Fundamenten Lerarenprogramma Mastermath, versie 2015/12/02 Theo van den Bogaart Bas Edixhoven i Inhoudsopgave I Verzamelingen en afbeeldingen............................................... 3 I.1 Notatie.........................................................................

Nadere informatie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie 22 maart 2009 ONEINDIGHEID

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie   22 maart 2009 ONEINDIGHEID Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 22 maart 2009 ONEINDIGHEID. Paragraaf 13.3. De paradox van de oneindigheid ligt slechts

Nadere informatie

Verzamelingen deel 3. Derde college

Verzamelingen deel 3. Derde college 1 Verzamelingen deel 3 Derde college rekenregels Een bewerking op A heet commutatief als voor alle x en y in A geldt dat x y = y x. Een bewerking op A heet associatief als voor alle x, y en z in A geldt

Nadere informatie

Examen G0U13 - Bewijzen en Redeneren,

Examen G0U13 - Bewijzen en Redeneren, Examen G0U13 - Bewijzen en Redeneren, 2010-2011 bachelor in de Wisunde, bachelor in de Fysica, bachelor in de Economische Wetenschappen en bachelor in de Wijsbegeerte Vrijdag 4 februari 2011, 8u30 Naam:

Nadere informatie

College WisCKI. Albert Visser. 17 oktober, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Equivalentierelaties.

College WisCKI. Albert Visser. 17 oktober, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Equivalentierelaties. College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 17 oktober, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Wat is een equivalentierelatie? Een

Nadere informatie

Collegestof verzamelingenleer. Verzamelingenleer. Inhoud dit deel college. Verzamelingen. Universele en lege verzameling. Verzamelingen en elementen

Collegestof verzamelingenleer. Verzamelingenleer. Inhoud dit deel college. Verzamelingen. Universele en lege verzameling. Verzamelingen en elementen Collegesto verzamelingenleer Verzamelingenleer Pro dr J-J Ch Meyer UU - ICS Gebaseerd op (aantal hoodstukken van) het boek: Set Theory and Related Topics by Seymour Lipschutz Schaum s Outlines, McGraw-Hill

Nadere informatie

1 Verzamelingen en afbeeldingen

1 Verzamelingen en afbeeldingen Samenvatting Wiskundige Structuren, 2010 Aad Offerman, www.offerman.com 1 1 Verzamelingen en afbeeldingen Notaties: A = {1,2,3},, x A, y / A, A = B A B en B A, N = {0,1,2,...}, Z = {..., 3, 2, 1,0,1,2,...},

Nadere informatie

(Isomorfie en) RELATIES

(Isomorfie en) RELATIES Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 15 maart 2009 (Isomorfie en) RELATIES. Paragrafen 10.5,11.1,11.2,11.4,11.5 Discrete

Nadere informatie

Wiskunde. Verzamelingen, functies en relaties. College 6. Donderdag 7 Januari

Wiskunde. Verzamelingen, functies en relaties. College 6. Donderdag 7 Januari Wiskunde Verzamelingen, functies en relaties College 6 Donderdag 7 Januari 1 / 14 Kardinaliteit Def. A is de kardinaliteit van A. A = B : er is een bijectie van A naar B. A B : er is een injectie van A

Nadere informatie

HOOFDSTUK 0. = α g1 α g2

HOOFDSTUK 0. = α g1 α g2 HOOFDSTUK 0 Acties van groepen 0.1 Groep-actie Uit de cursus Meetkunde en Lineaire Algebra van 1ste jaar Bachelor Wiskunde ([KI] in de referentielijst) weten we reeds wat een permutatiegroep G op een verzameling

Nadere informatie

Uitwerkingen Tentamen Wat is Wiskunde (WISB101) Donderdag 10 november 2016, 9:00-12:00

Uitwerkingen Tentamen Wat is Wiskunde (WISB101) Donderdag 10 november 2016, 9:00-12:00 Uitweringen Tentamen Wat is Wisunde (WISB101) Donderdag 10 november 2016, 9:00-12:00 Docenten: Barbara van den Berg & Carel Faber & Arjen Baarsma & Ralph Klaasse & Vitor Blåsjö & Guido Terra-Bleeer Opgave

Nadere informatie

VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN

VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN I VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN Het begrip verzameling kennen we uit het dagelijks leven: een bibliotheek bevat een verzameling van boeken, een museum een verzameling van kunstvoorwerpen. We kennen verzamelingen

Nadere informatie

KU Leuven. Algebra. Notities. Tom Sydney Kerckhove. met dank aan: Katelijne Caerts Eline van der Auwera Anneleen Truijen

KU Leuven. Algebra. Notities. Tom Sydney Kerckhove. met dank aan: Katelijne Caerts Eline van der Auwera Anneleen Truijen KU Leuven Algebra Notities Tom Sydney Kerckhove met dank aan: Katelijne Caerts Eline van der Auwera Anneleen Truijen Gestart 23 september 2014 Gecompileerd 1 juni 2015 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 6 1.1

Nadere informatie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 15 februari 2009 RELATIES & GRAFEN Discrete Structuren Week 2: Relaties en Grafen

Nadere informatie

Vorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Aanbevolen opgaven. Wat is oneindigheid? College 5

Vorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Aanbevolen opgaven. Wat is oneindigheid? College 5 Vorig college College 5 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft Opsommers vs. Herkenners Church-Turing These Codering van problemen 23 april 2009 1 2 Aanbevolen opgaven Wat is oneindigheid? Sipser p. 163

Nadere informatie

Verzamelingen. Hoofdstuk 5

Verzamelingen. Hoofdstuk 5 Hoofdstuk 5 Verzamelingen In de meest uiteenlopende omstandigheden kan het handig zijn om een stel objecten, elementen, of wat dan ook, samen een naam te geven. Het resultaat noemen we dan een verzameling.

Nadere informatie

III.2 De ordening op R en ongelijkheden

III.2 De ordening op R en ongelijkheden III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.

Nadere informatie

1 Verzamelingen. en relaties. 1.1 De basisnotaties. Hoofdstuk

1 Verzamelingen. en relaties. 1.1 De basisnotaties. Hoofdstuk Inhoudsopgave Inhoudsopgave iii 1 Verzamelingen en relaties 1 1.1 De basisnotaties.......................... 1 1.2 Relaties.............................. 4 1.2.1 Basisdefinities.......................

Nadere informatie

Tellen. K. P. Hart. Delft, Faculty EEMCS TU Delft. K. P. Hart Tellen

Tellen. K. P. Hart. Delft, Faculty EEMCS TU Delft. K. P. Hart Tellen Tellen Tá scéiĺın agam K. P. Hart Faculty EEMCS TU Delft Delft, 16-9-2015 Dingen om te tellen afbeeldingen injecties surjecties bijecties deelverzamelingen van diverse pluimage Wat notatie Afkorting: n

Nadere informatie

1 Symmetrieën van figuren

1 Symmetrieën van figuren 1 Symmetrieën van figuren 1.1 Het mysterie van de hoge eik Als je door een met water gevulde reageerbuis heen de woorden DIE HOHE EICHE FÄLLT LANGSAM UM leest, waarbij de eerste drie woorden rood en de

Nadere informatie

V.4 Eigenschappen van continue functies

V.4 Eigenschappen van continue functies V.4 Eigenschappen van continue functies We bestuderen een paar belangrijke stellingen over continue functies. Maxima en minima De stelling over continue functies die we in deze paragraaf bewijzen zegt

Nadere informatie

Opmerking. TI1300 Redeneren en Logica. Met voorbeelden kun je niks bewijzen. Directe en indirecte bewijzen

Opmerking. TI1300 Redeneren en Logica. Met voorbeelden kun je niks bewijzen. Directe en indirecte bewijzen Opmerking TI1300 Redeneren en Logica College 2: Bewijstechnieken Tomas Klos Algoritmiek Groep Voor alle duidelijkheid: Het is verre van triviaal om definities te leren hanteren, beweringen op te lossen,

Nadere informatie

V.2 Limieten van functies

V.2 Limieten van functies V.2 Limieten van functies Beschouw een deelverzameling D R, een functie f: D R en zij c R. We willen het gedrag van f in de buurt van c bestuderen. De functiewaarde in c is daarvoor niet belangrijk, de

Nadere informatie

Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015

Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015 Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. Elk vraagstuk is maximaal 10 punten waard. Begin elke opgave op een nieuw vel papier. µkw uitwerkingen 12 juni 2015 Vraagstuk 1. We kunnen

Nadere informatie

RAF belangrijk te onthouden

RAF belangrijk te onthouden RAF belangrijk te onthouden Auteur: Daan Pape Hoofdstuk 1 symbool omschrijving lees als negatie (ontkenning) p niet p het is niet zo dat p conjunctie p q p en q disjunctie p q p of q implicatie p q als

Nadere informatie

Definitie 1.1. Een groep is een verzameling G, uitgerust met een bewerking waarvoor geldt dat:

Definitie 1.1. Een groep is een verzameling G, uitgerust met een bewerking waarvoor geldt dat: Hoofdstuk 1 Eerste begrippen 1.1 Wat is een groep? Definitie 1.1. Een groep is een verzameling G, uitgerust met een bewerking waarvoor geldt dat: 1. a, b G : a b G 2. a, b, c G : a (b c) = (a b) c = a

Nadere informatie

Opgaven Inleiding Analyse

Opgaven Inleiding Analyse Opgaven Inleiding Analyse E.P. van den Ban Limieten en continuïteit Opgave. (a) Bewijs direct uit de definitie van iet dat y 0 y = 0. (b) Bewijs y 0 y 3 = 0 uit de definitie van iet. (c) Bewijs y 0 y 3

Nadere informatie

1 Limiet van een rij Het begrip rij Bepaling van een rij Expliciet voorschrift Recursief voorschrift 3

1 Limiet van een rij Het begrip rij Bepaling van een rij Expliciet voorschrift Recursief voorschrift 3 HOOFDSTUK 6: RIJEN 1 Limiet van een rij 2 1.1 Het begrip rij 2 1.2 Bepaling van een rij 2 1.2.1 Expliciet voorschrift 2 1.2.2 Recursief voorschrift 3 1.2.3 Andere gevallen 3 1.2.4 Rijen met de grafische

Nadere informatie

equivalentie-relaties

equivalentie-relaties vandaag equivalentie-relaties reflexief, symmetrisch, transitief 1 1. gelijkmachtigheid / aftelbaarheid 2. modulo rekenen 3. theorie Gelijkmachtigheid en aftelbaarheid 3.7 aleph 2 intuitie Amst Brux Roma

Nadere informatie

Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Uitwerking en opmerkingen

Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Uitwerking en opmerkingen Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 en opmerkingen November 10, 2009 Opgave 1 Gegeven een vectorruimte V met deelruimtes U 1 en U 2. Als er geldt dim U 1 = 7, dimu 2 = 9, en dim(u 1 U 2 ) = 4, wat

Nadere informatie

Basiswiskunde. P.J.I.M. de Paepe Korteweg de Vries Instituut Universiteit van Amsterdam

Basiswiskunde. P.J.I.M. de Paepe Korteweg de Vries Instituut Universiteit van Amsterdam Basiswiskunde P.J.I.M. de Paepe Korteweg de Vries Instituut Universiteit van Amsterdam 22 augustus 2007 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 2 2 Taal van de wiskunde 6 3 Afbeeldingen 11 4 Relaties 15 5 Inductie

Nadere informatie

Notatie van verzamelingen. Lidmaatschap. Opgave. Verzamelingen specificeren

Notatie van verzamelingen. Lidmaatschap. Opgave. Verzamelingen specificeren Overzicht TI1300: Redeneren en Logica College 10: Verzamelingenleer Tomas Klos Algoritmiek Groep Colleges 1 2: Bewijstechnieken Colleges 3 9: Propositielogica Vandaag en morgen: Verzamelingenleer Colleges

Nadere informatie

232 NAW 5/6 nr. 3 september 2005 Te Moeilijk? Welnee! Hans Finkelnberg

232 NAW 5/6 nr. 3 september 2005 Te Moeilijk? Welnee! Hans Finkelnberg 232 NAW 5/6 nr. 3 september 2005 Te Moeilijk? Welnee! Hans Finkelnberg illustratie: Rye Tajiri Hans Finkelnberg Te moeilijk? Welnee! NAW 5/6 nr. 3 september 2005 233 Hans Finkelnberg Mathematisch Instituut

Nadere informatie

Vergelijkingen van cirkels en lijnen

Vergelijkingen van cirkels en lijnen Vergelijkingen van cirkels en lijnen Rechthoekig coördinatenstelsel! Cartesisch coördinatenstelsel! René Descartes (1596-1650) Van hem is de uitspraak: Ik denk, dus ik besta! September 12, 2009 1 Vergelijkingen

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan

Nadere informatie

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal

Nadere informatie

6 Ringen, lichamen, velden

6 Ringen, lichamen, velden 6 Ringen, lichamen, velden 6.1 Polynomen over F p : irreducibiliteit en factorisatie Oefening 6.1. Bewijs dat x 2 + 2x + 2 irreducibel is in Z 3 [x]. Oefening 6.2. Ontbind x 5 + x 4 + x 3 + x in irreducibele

Nadere informatie

Multicriteria Optimization and Decision Making. Michael Emmerich and André Deutz

Multicriteria Optimization and Decision Making. Michael Emmerich and André Deutz 2 Relaties 1 Multicriteria Optimization and Decision Making Michael Emmerich and André Deutz 2 motivatie We bestuderen relaties: de terminologie, representaties (de manieren om relaties weer te geven)

Nadere informatie

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s. Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt

Nadere informatie

(iii) Enkel deze bundel afgeven; geen bladen toevoegen, deze worden toch niet gelezen!

(iii) Enkel deze bundel afgeven; geen bladen toevoegen, deze worden toch niet gelezen! Examen Wiskundige Basistechniek, reeks A 12 oktober 2013, 13:30 uur Naam en Voornaam: Lees eerst dit: (i) Naam en voornaam hierboven invullen. (ii) Nietje niet losmaken. (iii) Enkel deze bundel afgeven;

Nadere informatie

College WisCKI. Albert Visser. 10 oktober, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Equivalentierelaties.

College WisCKI. Albert Visser. 10 oktober, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Equivalentierelaties. College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 10 oktober, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Wat is een equivalentierelatie? Een equivalentie

Nadere informatie

Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis)

Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis) Verslag ten behoeve

Nadere informatie

LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE. G. Van Steen

LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE. G. Van Steen LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE G. Van Steen 13 november 2001 Inhoudsopgave 1 Verzamelingenleer 3 1.1 Bewerkingen met verzamelingen................. 4 1.2 Relaties.............................. 7 1.3 Functies..............................

Nadere informatie

M1 Wiskundig taalgebruik en notaties

M1 Wiskundig taalgebruik en notaties M1 Wiskundig taalgebruik en notaties Verzamelingenleer Verzameling = aantal objecten samengebracht tot een geheel - Lege verzameling = verzameling die geen elementen bevat A = - Singleton verzameling =

Nadere informatie

2. Ga voor volgende relaties na of het al dan niet functies, afbeeldingen, bijecties, injecties, surjecties zijn :

2. Ga voor volgende relaties na of het al dan niet functies, afbeeldingen, bijecties, injecties, surjecties zijn : HOOFDSTUK. VERZAMELINGEN, RELATIES EN FUNCTIES Opgaven verzamelingen, relaties en functies. Toon aan : a) (A B) C = A (B C) b) A (B C) = (A B) (A C) c) (A B) c = A c B c d) A B B c A c. Ga voor volgende

Nadere informatie

Functies deel 1. Vijfde college

Functies deel 1. Vijfde college 3 Functies deel 1 Vijfde college 1 Ch.3 Functions and Algorithms Hoofdstuk 3 uit Schaum gaat over functies en algoritmen. Het gedeelte over algoritmen ( 3.8 en 3.9) komt uitgebreid aan de orde bij toekomstige

Nadere informatie

Functievergelijkingen

Functievergelijkingen Functievergelijkingen Trainingsweek juni 2008 Basistechnieken Je mag alle getallen in het domein invullen in je functievergelijking. Wat er precies handig is, hangt af van het domein en van de functievergelijking.

Nadere informatie

Affiene ruimten. Oefeningen op hoofdstuk Basistellingen

Affiene ruimten. Oefeningen op hoofdstuk Basistellingen Oefeningen op hoofdstuk Affiene ruimten. Basistellingen Oefening.. Er zijn maar een eindig aantal lineaire afbeeldingen op een eindigdimensionale vectorruimte F n q over een eindig veld F q. Tel het aantal

Nadere informatie

Tentamen Discrete Wiskunde

Tentamen Discrete Wiskunde Discrete Wiskunde (WB011C) 22 januari 2016 Tentamen Discrete Wiskunde Schrijf op ieder ingeleverd blad duidelijk leesbaar je naam en studentnummer. De opgaven 1 t/m 6 tellen alle even zwaar. Je hoeft slechts

Nadere informatie

iii Tristan Kuijpers Claudine Lybaert december 2013

iii Tristan Kuijpers Claudine Lybaert december 2013 Voorwoord De wiskundige vorming die in de wiskundig sterke richtingen van het Vlaamse secundair onderwijs wordt aangeboden, vormt een zeer degelijke basis voor hogere studies in wetenschappelijke, technologische

Nadere informatie

Eerstebachelorstudenten moeten heel wat nieuwe kennis verwerven. Het pleidooi voor een abstracte aanpak sluit niet uit dat we meestal met concrete

Eerstebachelorstudenten moeten heel wat nieuwe kennis verwerven. Het pleidooi voor een abstracte aanpak sluit niet uit dat we meestal met concrete Voorwoord Deze cursusnota s horen bij het opleidingsonderdeel Relaties en structuren uit de eerste Bachelor wiskunde. Alles wat aan bod zal komen tijdens de theorielessen, is bevat in deze nota s. De student

Nadere informatie

EERSTE DEELTENTAMEN ANALYSE C

EERSTE DEELTENTAMEN ANALYSE C EERSTE DEELTENTAMEN ANALYSE C 0 november 990 9.30.30 uur Zet uw naam op elk blad dat u inlevert en uw naam en adres op de enveloppe. De verschillende onderdelen van de vraagstukken zijn zoveel als mogelijk

Nadere informatie

Eigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde

Eigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde Faculteit Wetenschappen Vakgroep Wiskunde Eigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde Magali Victoor Promotor: Prof. dr. Hendrik Van Maldeghem Masterproef ingediend tot het behalen van de academische

Nadere informatie

Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 26 augustus 2010, , Examenzaal

Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 26 augustus 2010, , Examenzaal Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 26 augustus 2010, 14.00 17.00, Examenzaal Het gebruik van een rekenmachine en/of telefoon is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek

Nadere informatie

Tentamen Grondslagen van de Wiskunde B met uitwerkingen

Tentamen Grondslagen van de Wiskunde B met uitwerkingen Tentamen Grondslagen van de Wiskunde B met uitwerkingen 19 januari 2012, 13.30-16.30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is het totaal

Nadere informatie

Tentamen TI1300 en IN1305-A (Redeneren en) Logica

Tentamen TI1300 en IN1305-A (Redeneren en) Logica TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Tentamen TI1300 en IN1305-A (Redeneren en) Logica 21 Januari 2011, 8.30 11.30 uur LEES DEZE OPMERKINGEN AANDACHTIG DOOR

Nadere informatie

Vectorruimten en deelruimten

Vectorruimten en deelruimten Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie

Nadere informatie

(ii) Zij e 0 een geheel getal. Bewijs: de code C is e-fouten-verbeterend d(x, y) 2e + 1 voor alle x, y C met x y.

(ii) Zij e 0 een geheel getal. Bewijs: de code C is e-fouten-verbeterend d(x, y) 2e + 1 voor alle x, y C met x y. Opgaven bij het college Topologie 1 Metrische ruimten Opgave 1.1. Geef een voorbeeld waaruit blijkt dat de doorsnede van oneindig veel open verzamelingen in een metrische ruimte niet open hoeft te zijn.

Nadere informatie

Hoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen

Hoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen Hoofdstuk 9 Vectorruimten 9.1 Scalairen In de lineaire algebra tot nu toe, hebben we steeds met reële getallen als coëfficienten gewerkt. Niets houdt ons tegen om ook matrices, lineaire vergelijkingen

Nadere informatie

Examenvragen Hogere Wiskunde I

Examenvragen Hogere Wiskunde I 1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies

Nadere informatie

Opgave 1.1. Geef een voorbeeld waaruit blijkt dat de doorsnede van oneindig veel open verzamelingen in een metrische ruimte niet open hoeft te zijn.

Opgave 1.1. Geef een voorbeeld waaruit blijkt dat de doorsnede van oneindig veel open verzamelingen in een metrische ruimte niet open hoeft te zijn. Opgaven bij het college Topologie 1 Metrische ruimten Opgave 1.1. Geef een voorbeeld waaruit blijkt dat de doorsnede van oneindig veel open verzamelingen in een metrische ruimte niet open hoeft te zijn.

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 13 Ongelijkheden en absolute waarde (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 13 Ongelijkheden en absolute waarde (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 13 Ongelijkheden en absolute waarde (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 De relaties en < in R 2 2 Oplossen van ongelijkheden met behulp van het

Nadere informatie

NATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN

NATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN II NATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN Iedereen ent getallen: de natuurlije getallen, N = {0,1,2,3,...}, gebruien we om te tellen, om getallen van elaar af te unnen treen hebben we de gehele getallen,

Nadere informatie

INLEIDING GROEPENTHEORIE

INLEIDING GROEPENTHEORIE INLEIDING GROEPENTHEORIE 2013-2014 webstek: http://homepages.vub.ac.be/ efjesper HOC: woensdag 8-10 uur, sem 2 WPO: donderdag 13-15 uur, sem 2 E. Jespers Vakgroep Wiskunde Vrije Universiteit Brussel Faculteit

Nadere informatie

Tentamen algebra 1. 8 juni 2005, , zaal A.404

Tentamen algebra 1. 8 juni 2005, , zaal A.404 Tentamen algebra 1 8 juni 2005, 13.30 16.30, zaal A.404 Schrijf je naam en collegekaartnummer of het werk dat je inlevert. Het tentamen bestaat uit 5 opgaven. Beargumenteer telkens je antwoord. Veel succes!

Nadere informatie

Bespreking Examen Analyse 1 (Augustus 2007)

Bespreking Examen Analyse 1 (Augustus 2007) Bespreking Examen Analyse 1 (Augustus 2007) Vooraf: Zoals het stilletjes aan een traditie is geworden, geef ik hier bedenkingen bij het examen van deze septemberzittijd. Ik zorg ervoor dat deze tekst op

Nadere informatie

(b) Formuleer het verband tussen f en U(P, f), en tussen f en L(P, f). Bewijs de eerste. (c) Geef de definitie van Riemann integreerbaarheid van f.

(b) Formuleer het verband tussen f en U(P, f), en tussen f en L(P, f). Bewijs de eerste. (c) Geef de definitie van Riemann integreerbaarheid van f. Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 2 juli 2015, 08:30 11:30 (12:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek Analysis

Nadere informatie

Deelgroepen en normaaldelers

Deelgroepen en normaaldelers Hoofdstuk 2 Deelgroepen en normaaldelers 2.1 Wat is een deelgroep? Definitie 2.1. Een deelverzameling H van een groep G, is een deelgroep van G als en slechts als H niet leeg is en H, zelf een groep is.

Nadere informatie

3 De duale vectorruimte

3 De duale vectorruimte 3 De duale vectorruimte We brengen de volgende definitie in de herinnering. Definitie 3.1 (hom K (V, W )) Gegeven twee vectorruimtes (V, K) en (W, K) over K noteren we de verzameling van alle lineaire

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W

Nadere informatie

b) Niet geldig. Zij π(n)(p) = 1 als n is even, anders π(n)(p) = 0. Schrijf

b) Niet geldig. Zij π(n)(p) = 1 als n is even, anders π(n)(p) = 0. Schrijf opgave 2.1 a) Geldig. Zij n N en π een willekeurige valuatie. Schrijf T = (N, π). Stel, T, n p. Dan bestaat m > n zodat T, m p. Dus voor k > m geldt altijd T, k p. Nu geldt T, n p, want voor alle x > n

Nadere informatie