FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE

Transcriptie

1 FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE Tentamen Analyse 6 januari 203, duur 3 uur. Voeg aan het antwoord van een opgave altijd het bewijs, de berekening of de argumentatie toe. Als je een onderdeel van een opgave niet kunt maken, ga dan toch door met de volgende onderdelen. Je mag daarbij de in eerdere onderdelen verschafte informatie gebruiken. De (grafische) rekenmachine mag gebruikt worden bij het tentamen. De rekenmachine kan gebruikt worden om numerieke berekeningen uit te voeren. De rekenmachine kan echter NIET gebruikt worden om argumenten te geven voor verkregen oplossingen. Opgave a) Beschouw een functie f en een c IR zó, dat er een a < c bestaat met (a,c) D f of een b > c met (c,b) D f en een l IR. Geef de definitie van lim f() l. c b) Toon aan, met behulp van de definitie, dat de volgende limiet bestaat: + lim. 0 Opgave 2 Toon aan, met behulp van de Middelwaarde-stelling (Mean Value Theorem), dat voor elke > 0 a) + < ln( + ) ln() < ; b) + < + 2. Je mag bij deze opgave gebruik maken van het feit dat de functies f() ln() en g() differentieerbaar zijn op (0, ). zie ommezijde voor de overige opgaven Cijferbepaling: Puntentelling tentamen: opgave : 7 ptn; opgave 2: 6 ptn; opgave 3: 7 ptn; opgave 4: 6 ptn; opgave 5: 7 ptn; opgave 6: 7 ptn. Het cijfer voor het tentamen is de som van de punten gedeeld door 4. De toets telt voor 20 % mee bij de bepaling van het cijfer voor Analyse.

2 Opgave 3 Beschouw de functie f op IR, gedefinieerd door voor iedere IR. f() a) Bepaal het eerste orde Taylor polynoom van f in 0 en in. b) Laat zien dat f inverteerbaar is. c) Laat zien dat de inverse f differentieerbaar is en bepaal (f ) (3). Opgave 4 Bepaal, indien mogelijk, de volgende limieten: a) lim ( ) ; b) lim Vergeet ook hier jouw argumentatie niet. Opgave 5 a) Ga na of de rij sommeerbaar is of niet. ( ) n + n 3 + b) Toon aan dat de volgende bewering waar is: als (a n ) een niet-negatieve, sommeerbare rij is, dan is de rij ( ) an n ook sommeerbaar. (Hint: voor getallen a 0, b 0 geldt dat a b 2 (a2 + b 2 ).) Opgave 6 Beschouw de machtreeks 2 n n. a) Bepaal de convergentiestraal R van deze machtreeks. b) Bepaal de uitkomst van de oneindige som ( R,R). 2 n n voor elke c) Onderzoek of de oneindige som 2 n n bestaat voor R.

3 FOR NON-DUTCH STUDENTS! Eam Mathematical Analysis 2 January 6, 203, duration 3 hours. For every eercise you have to provide the full proof, calculation and/or arguments. If you can t solve an item of some eercise, continue with the net items. It is allowed to use the information that you have obtained before. The (graphical) calculator can be used during the eam. However, the graphical calculator can only be used for numerical calculations. It CANNOT be used to provide arguments for the solutions obtained. Eercise a) Let f be a function and let c IR be such that an a < c eists with (a,c) D f or a b > c eists with (c,b) D f and let l IR. Provide the definition of lim f() l. c b) Show, by using the definition, that eists. lim 0 + Eercise 2 Show, by using the Mean Value Theorem, that for every > 0 we have a) + < ln( + ) ln() < ; b) + < + 2. Here you can use the fact that the functions f() ln() and g() are differentiable on (0, ). Turn this page for the other eercises. 2 Grading: Grading eam: eercise : 7 pts; eercise 2: 6 pts; eercise 3: 7 pts; eercise 4: 6 pts; eercise 5: 7 pts; eercise 6: 7 pts. The grade for the eam is the sum of the points scored, divided by 4. The midterm counts for 20 % in the determination of the final grade for Mathematical Analysis.

4 Eercise 3 Consider the function f on IR, defined by for every IR. f() a) Determine the first order Taylor polynomial of f in 0 and in. b) Show that f is invertible. c) Show that the inverse f is differentiable and determine (f ) (3). Eercise 4 Determine, if possible, the following limits: a) lim ( ) ; b) lim Also here do not forget your arguments. Eercise 5 a) Check whether the sequence is summable or not. ( ) n + n 3 + b) Show that the following statement is true: if (a n ) summable sequence, then the sequence is a nonnegative, ( ) an n is summable as well. (Hint: for numbers a 0, b 0 we have that a b 2 (a2 + b 2 ).) Eercise 6 Consider the power series 2 n n. a) Determine the radius of convergence R of this power series. b) Determine the value of the infinite sum 2 n n for every ( R,R). c) Check whether the infinite sum 2 n n eists for R.

5 Solutions Eam Mathematical Analysis, January 6, 203 Eercise a) For every ε > 0 there eists a δ > 0 such that for every D f with 0 < c < δ we have f() l < ε. b) Let ε > 0. Choose δ 2ε. Let (, )\{0} be such that 0 < 0 < δ. Then we have + 2 ( + )( + + ) ( + + ) 2 ( + ) ( + + ) 2 ( + + ) ( + + ) 2( + + ) + 2( + + ) ( + )( + + ) 2( + + ) 2 ( + ) 2( + + ) 2 2( + + ) 2 2 < δ 2 ε. So lim Eercise 2 Let > 0. a) The function f(t) ln(t) is continuous on [, + ] and differentiable on (, + ). According to the Mean Value Theorem there is a ξ (, + ) such that ln(+) ln() f(+) f() f (ξ) ((+) ) f (ξ) ξ. Now + < ξ < which finishes the proof. b) The function f(t) t + is continuous on [0,] and differentiable on (0,). According to the Mean Value Theorem there is a ξ (0,) such that + f() f(0) f (ξ) ( 0) f (ξ) + < ξ+ < 2, hence

6 Eercise 3 Note that f () for every IR. a) The first order Taylor polynomial p of f in 0 is given by p() f(0) + f (0)( 0) 0+ ( 0) for every IR. The first order Taylor polynomial q of f in is given by q() f()+f ()( ) 3+9 ( ) 9 6 for every IR. b) f () > 0 for every IR, so f is strictly increasing on IR and hence invertible on IR. c) Since f () > 0 for every IR we have, according to the Inverse Function Theorem, that f is differentiable and that (f ) (y) /f (f (y)) for every y. In particular we get (f ) (3) /f (f (3)) /f () /9. Eercise 4 a) For every > 0 we have ( )( ) (2 + 4) Now with the arithmetic rules for limits we obtain lim ( ) 2. lim b) Define, say on interval I (0, ), the functions f and g by f() 203 and g() 202 for every I. Note that f and g are differentiable on I and that f () and g () for every I. Since g () 0 for every I and f() g() 0 we have, according to l Hôpital s rule (first version): lim lim 0 f() g() f () g () Eercise 5 a) For every n IN we have n+ n 3 + n+ n+ n 3 +n 2 n 2 (n+) n 2 n. Since ( n ) is not summable we can conclude, according to the Comparison Test, that ( n+ n 3 + ) is not summable as well. b) Let (a n ) be a nonnegative, summable sequence. For every n IN we an have that n a n n 2 (( a n ) 2 + ( n )2 ) 2 (a n + ). Since (a n 2 n ) and ( ) n 2 are summable, the sequence ( 2 (a n + )) n 2 is summable as

7 an well. According to the Comparison Test the sequence ( summable. n ) is also Eercise 6 a) R b) For every ( 2,2) we have lim n lim a n a n+ 2 n n 2 n+ lim n lim n nn 2 2 n+ 2 n ( 2 )n ( 2 )n c) For 2 the infinite sum becomes, which does not eist.