TECHNISOHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 25 januari 2012, uur.

Transcriptie

1 TECHNISOHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 25 januari 2012, uur. Ceef op het eerste vel met uitwerkingen aan welk programma (Schakelprogramma of TU/e-minor) u volgt. De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk opge sebreven te worden. U mag géén gebruik maken van laptop, grafische rekenmachine en formulekaart. U mag géén gebruik maken van het boek en ander schriftelijk of gedrukt materiaal. 1. Los de volgende ongelijkheid op: ln(x + 2) + ln(1o x) S 51n(2). 2. Het polynoom p(x) = 8w + 12 heeft x = 2 als nulpunt. (a) Bepaal alle nulpunten. (b) Los op: p(x) Teken de grafieken van y = arccos(x) en y = arcsin(x). (a) Los op: arccos(x) > arcsinqc). (b) Bewijs dat: arcsin(x) + arccos(x) = voor alle x met 1 5 x (a) Bepaal het Taylor polynoom van de derde orde om x = 2 van f(x) = ~ x + 3. (b) Bepaal het Taylor polynoom van de derde orde om x = 0 van g(x) = In (x + 2). 5. Beschouw de kromme k met vergelijking x3y xy3 24. Bepaal de vergelijking van de raaklijn aan de kromme in het punt P(3,1). Bepaal ook de vergelijking van de normaal in het punt P(3,1). zie volgende pagina

2 Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 25 januari 2012, uur 6. Besehouw de functie f met f(x) = arctan(j-~r) 2 arctan(x). Bereken en vereenvoudig f (x). 7. Toon aan dat In(1 + z) S x voor alle x> 1. Pas de Middelwaardestelling toe. 8. Besehouw de functie f met f(x) = (a) Bepaal de linearisatie L van f om x = 1. (b) Cebruik deze linearisatie L om een schatting van f(1.01) te geven en bepaal ook een schatting van de error E(1.01). Is deze error positief of negatief? Zoals bekend is f(x) = L(x) + E(x). pe Bereken I dt. Je tin (t) 10. Bepaal fxcos(4x)dx. 11. Beschouw de functie F met F(x) = dt. Bereken en vereenvoudig F (x). 12. Bepaai f cos(ln(x))dx. zie volgende pagina

3 Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 25 januari 2012, uur Voor de opgaven kunnen de volgende aantalien punten worden behaald: Opgave 1: 4 punten Opgave 5: 5 punten Opgave 11: 5 punten Opgave 2a: 3 punten Opgave 6: 5 punten Opgave 12: 5 punten Opgave 2b: 1 punten Opgave 7: 5 punten Opgave 3a: 3 punten Opgave 8: 5 punten Opgave 3b: 3 punten Opgave 9a: 2 punten Opgave 4a: 3 punten Opgave 9b: 3 punten Opgave 4b: 3 punten Opgave 10: 5 punten Het cijfer voor het tentamen wordt bepaald door het totaal der behaalde punten door 6 te delen en tot een geheel getal af te ronden.

4 Integratietabel g(x) Z~,TL# 1 1(x) fg(z)dz n+ 1 lngxi) ln(if(x)i) ax, a> 0, a ~ 1 sin(x) cos(x) sin2(x) cos2(x) tan(x) sin(x) cos(x) e sin(bz),a2 + b2 >0 e ~ cos(bz), a2 + b2 > 0 >0 >0 Va2 x2, a> 0 ~Ja2 + x2, a> 0 a2, a > 0 sinh(x) cosh(x) tanh(x) a In(a) cos(x) sin(x) cot(x) tan(x) ln(i cos(x)l) no tan(~)i) mu tan(~ + UI) 9b (asin(bx) bcos(bx)) fj~ (acos(bx) + bsin(bx)) ~ arctan(~) ~ 2a \a x arcsin(~) In(x + v ~i- a2) Opmerkingen De parameters in de tabel zijn reele getallen. De integratieconstanten zijn weggelaten. ln(lx + VIz2 a2j) ~ v a~ z2 + ~ arcsin(~) ~ \/a~ + z2 + ln(z + v x2 + a2) tv~ a2+~- In(Iz+Vz2~~a2I) cosh(x) sinh(z) In(cosh(z))

5 Taylorpolynomen Functie j Taylorpolynoom plus grote-o-term 1 + x + x x~ + O(x ~1) 1 x2 + x4 + + x2 + O(x2 ~ ) 1 x x Fl) 2n+l (2n+ 1)! + O@2~~+2) 1 x+x2+.+( 1) x +O(x~ ) + ~ + ( 1) O(x~2) 2 3 n+1 1_x2+x4+..+(_1)1tx2hl+O(x21~) 1 1 I i\ x ax3 + xs + + ~ + O(x2 ~2) (2n+ 1) 2 (a Ti x 1 + O(x ~) Alle Taylorpolynomen zijn polynomen rond het punt 0. De binomiaalcoefficienten worden gedefinieerd door (an a.(a-1).(a 2) (a k-i)) \.~k) i 2 3 k (U= k 1,2,3,...

6

7 EINDHOVEN University of Technology Department of Mathematics and Computer Science Examination Basic Mathematics, 2DL03, Wednesday January 25~ 2012, Write properly the program (Pre-master program or TU/e-minor) which you are following on the first page of your work. Formulate the computations and the results of the exercises properly. It is not allowed to use a laptop, graphical calculator or chart with formulas. It is not allowed to use a book or copies (printed or hand-written). 1. Solve for all x with x R the following inequality: ln(x+2)+ln(lo x) 5ln(2). 2. Consider the polynomial p(x) = z3 x2 8x + 12 with given zero z 2. (a) Find the other zeros. (b) Solve the inequality p(x) ~ Sketch the graphs of y = arccos(x) and y arcsin(x (a) Solve the inequality arccos(x) > arcsin(x). (b) Prove that arcsin(x) + arccos(x) = ~ for l x < (a) Find the Taylor polynomial of third order about x = 2 of f(x) = ~1x + 3. (b) Find the Taylor polynomial of third order about x = 0 of g(x) = In (x + 2). 5. Consider the curve k given by the equation x3y xy3 = 24. Find the equation of the tangent line to the given curve at the point P(3,1). Find the equation of the normal line at the point P 3,1) as well. see next page

8 Examination Basic Mathematics, 2DL03, Wednesday January 25th 2012, Consider the function f with f(x) arctan(1-2~r) 2arctan(z). Evaluate and simplify f (x). 7. Show that ln(1 + x) x for all x> 1. Apply the Mean-Value Theorem. 8. Consider the function f with f(x) (a) Find the linearization L of f about x = 1. (b) Use this linearization L to approximate f(1.01 and find an approximation of the error E(1.01). Is the error positive or negative? It is well-known that f(x) = L(x) + E(x). ~ Compute f t1n3(t) dt. 10. Evaluate fxcos(4z)dz. 11. Consider the function F with F(x) = f 22 1r42 dt. Evaluate and simplify F (x). 12. Evaluate fcos(ln(x))dx. see next page

9 Examination Basic Mathematics, 2DL03, Wednesday January ~ 2012, For the problems you can get the following points: Problem 1: 4 points Problem 5: 5 points Problem 11: 5 points Problem 2a: 3 points Problem 6: 5 points Problem 12: 5 points Problem 2b: 1 points Problem 7: 5 points Problem 3a: 3 points Problem 8: 5 points Problem 3b: 3 points Problem 9a: 2 points Problem 4a: 3 points Problem 9b: 3 points Problem 4b: 3 points Problem 10: 5 points The mark for the exam is obtained as follows: the total of the scored points is divided by 6 and is rounded off to the nearest integer.

10 Integral Table g(x) x,n 0 1 f(x) fg(x)dx silt 71+1 InUzI) ln( lf(x) I) a5,a> O,aO 1 sin(x) cos(x) sin2fr) cos2 (x) tan(x) sin(s) cos(x) ~ sin(bx), a2 + b2 > 0 e ~5 cos(bx), a2 + b2 > 0 a > 0 a > 0 a> 0 a > 0 s/a2 + x2, a> 0 v x2 a2,a > 0 sinh(x) cosh(x) tanh(x) a5 In(a) cos(x) sin(x) cot(x) tan(x) ln(j cos(x)i) mu tan(!)i) 1n(Itan(!+~)I) _~J~ (asin(bx) bcos(bx)) ~s2 (acos(bx) + bsin(bx)) 1 arctan(~) Remarks All parameters are real numbers. The constants of integration have been omitted. ~- ln(~~~) arcsin( ~) ln(x +.,/~2 + a2) mdx + q x2 a21) ~ s/a2 x2 + ~ arcsin(~) ~ i/a2 + z2 + ln(x + Vx2 + a2) ~ cosh(x) sinh(x) ln(cosh(z))

11 Taylor Polynomials Function cos(x) Taylor polynomial plus 0-term x+ x x +O(x~ ) 2 1_~x2+~x4+...+~1x2n+O(x2n+1) 1 1 ( 1) ~ 2n+1 sin(x) X ~X+j-~X++ (2n:1)! +O(x2~ ~2) 1 1+x ln(1+x) x2 x_~x2+~x3+...+(_1)x~1 O(xT~2) 2 3 n+1 arctan(x)~ (2+l)x+O~) (1+x) All Taylor polynomials are polynomials around the point 0. The binomial coefficients are defined by k k 123

12