Functies deel 1. Vijfde college

Transcriptie

1 3 Functies deel 1 Vijfde college 1

2 Ch.3 Functions and Algorithms Hoofdstuk 3 uit Schaum gaat over functies en algoritmen. Het gedeelte over algoritmen ( 3.8 en 3.9) komt uitgebreid aan de orde bij toekomstige vakken als Algoritmiek, Datastructuren, en Complexiteit. Daarom behandelen we dit niet bij FI1. Maar het kan dienen als achtergrond en motivatie,in het bijzonder 3.8, die twee concrete voorbeelden bevat van methoden/algoritmen om bepaalde veelgebruikte functies slim te berekenen. 2

3 temperatuur d T d d { , } T d R Elke dag d één temperatuur T d 3

4 oneindige rij binair n tail(n) , 1 1, 2 0, 3 2, 4 0, 5 1, 6 0, 7 3, 8 0, 9 1, 10 0, 0,1,0,2,0,1,0,3,0,1,0,2, 0,1,0,4,0,1,0,2,0,1,0,3, 0,1,0,2,0,1,0,5,

5 oneindige rij De vorige twee slides bevatten elk een voorbeeld van een functie. De eerste (temperatuur als functie van de datum) hadden we al gezien. Ook de oneindige rij (van objecten ) is een functie: namelijk van de natuurlijke getallen naar de verzameling van die objecten. In dit geval zijn de objecten ook natuurlijke getallen, dus stelt de rij een functie van N naar N voor. 5

6 functies Informeel is een functie een voorschrift dat aan origineel x een beeld y=f(x) toevoegt. Twee verschillende voorschriften kunnen tot hetzelfde resultaat leiden, en daarom wordt er op een andere manier naar functies gekeken. Formeel is een functie een functionele en totale (binaire) relatie, dus elke x heeft precies één beeld. De relatie bij een voorschrift heet soms de grafiek van dat voorschrift: { ( x,f(x) ) x in het domein van f } 6

7 informeel Een functie van A naar is een voorschrift dat aan ieder element van A één element van toevoegt. 7 0,1,0,2,0,1,0, 3,0,1,0,2,0,1, 0,4, f b d e a a b c d e 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x c notatie f: A f(x) = y x y

8 Gegeven een functie f: A. De grafiek van f is verzameling { (x,f(x) ) x A } in A x. f(x) = 2(x+1); g(x) = 2x+2 h(x) = (x+1) 2 - (x+3)(x-2) + (x-5) grafiek van een functie Voor alle x geven deze dezelfde uitkomsten inaire relatie functies zijn gelijk als hun grafieken gelijk zijn, d.w.z. hun uitkomsten : f = g f(a)=g(a) voor alle a A 8 informeel voorschrift formeel relatie relatie binaire relatie functie

9 Een relatie R A heet een functie van A naar als voor iedere x A er precies één paar xry bestaat. f: A y = f(x) functie als relatie totaal & functioneel A y x 9 geen functie niet op geen functie

10 constante functie Gegeven een functie f: A. Als f(x) = f(y) voor alle x,y A heet f constant. a s d f g ,6,6,6,6,6,6, bob bas ben bor

11 identiteit De functie f: A A met f(x) = x voor alle x A noemen we de identieke functie, of identiteit op A. bob bob notatie 1 A id A bas ben bor bas ben bor bob bas ben bor ,1,2,3,4,5,6, 11

12 f:a origineel A f f(a) bereik range x f(x) beeld image A: domein : codomein 12

13 origineel & beeld bereik functie f: A origineel beeld van één element a: f(a) van de verzameling A: f(a) (bereik van f) A f(a) Algemener: het beeld van V A f 13

14 origineel & beeld Het beeld van V A functie f: A { y y = f(x) voor zekere x V } f(v) = { f(x) x V } V A f f(v) V A f(v) beeld 14

15 origineel & beeld Het origineel van W functie f: A { x A f(x) = y voor zekere y W } f -1 (W) = { x A f(x) W } A f W f -1 (W) A f -1 (W) W volledig origineel 15

16 V A f f(v) V A f(v) beeld A f W f -1 (W) A f -1 (W) W volledig origineel 16

17 heen-en-weer ij een functie f: A kunnen we bij een deelverzameling V A van het domein het beeld f(v) bepalen, maar ook bij een verzameling W uit het codomein de originelen f -1 (W) (voor zover die bestaan). De volgende slides leggen uit wat er kan gebeuren als je de twee achter elkaar uitvoert: heen-en-weer, zeg maar. Hoe verhouden zich V en f -1 (f(v))? Idem, voor W en f(f -1 (W))? In het algemeen geldt een inclusie (één kant op) maar als de functie f een speciale eigenschap heeft is er gelijkheid. 17

18 V A f f(v) V A V? f -1 (f(v)) f -1 (f(v)) A f W f(f -1 (W))? W f -1 (W) W 18

19 A V f f(v) V A V f -1 (f(v)) f -1 (f(v)) A f W f(f -1 (W)) W f -1 (W) W f(f -1 (W))=W f(a) 19

20 & op Een functie f: A heet surjectief (of 'op') als f(a) =, met andere woorden, als er voor iedere y een origineel x A bestaat. Een functie f: A heet injectief (of eeneenduidig of een-op-een) als voor alle x,y A geldt dat uit f(x) = f(y) volgt dat x = y. niet 1-1 niet injectief niet op niet surjectief 20

21 voorbeeld f:r R f(x) = x 2 y surjectief injectief x noch surjectief, noch injectief 21

22 A V f -1 (f(v)) f(v) V A V f -1 (f(v)) A f surjectief op f -1 (W) W W f(f -1 (W)) = W 22

23 A f injectief 1-1 V f -1 (f(v)) f(v) V A V = f -1 (f(v)) A f -1 (W) W W f(f -1 (W)) W 23

24 bijectie Een functie f: A heet bijectief als f zowel surjectief als injectief is. V A, W V = f -1 (f(v)) W = f(f -1 (W)) In het bijzonder: f -1 (f(a)) = a f(f -1 (b)) = b f:r R x f:r R + 24

25 bijectie tussen R en R + bijectie tussen 0,1 en R voorbeeld 25

26 nog een voorbeeld F I NL G f Amst rux Roma Pari Lond Am r Lo Pa Ro x F x G x I x NL x landen hoofdsteden 26

27 R A R -1 A inverse relatie br -1 a desda arb. bekend: inverse relatie R -1 = { (y,x) (x,y) R } SF D F NL Du Fr En Nl Fy 27

28 inverse De inverse van een relatie is altijd gedefinieerd. De inverse van een functie is dan ook altijd een relatie, maar wanneer is het weer een functie? 28

29 f functie f -1 functie!? inverse functie F I NL f f -1 Amst rux Roma Pari f:r R + f -1 :R + R G Lond 29 Theorem 3.1 dwz. als functie De inverse functie van f: A bestaat desda f een bijectie is (1-1 en op)

30 samenstelling f: A en g: C functies. De samenstelling van f en g, genoteerd g f ( g na f ) van A naar C is gedefinieerd door (g f)(x) = g(f(x)) voor alle x A volgorde! x R S y, maar y = g f (x) f 2534 g den haag 2530 stnr pc woonplts 30

31 samenstelling De notatie van samenstelling is wat ambigu. Dat komt omdat functies van rechts naar links gelezen worden: y = g f(x) = g(f(x)). vergelijk x R S y g f ( g na f ) voor functies (eerst f dan g) R S ( R dan S ) voor relaties (eerst R dan S) 31

32 haakjes niet nodig Samenstellen van functies is associatief: als f: A, g: C en h: C D functies zijn, dan (h g) f = h (g f). A f g C h D 32

33 samenstelling laat f: A, g: C functies zijn als f en g surjectief op zijn, dan ook g f. als f en g injectief 1-1 zijn, dan ook g f. A f g C Problem

34 sommetje A = { a, b, c }, = { x, y, z }, C = { r, s, t, u } f : A, g : A A en h : C A zijn als volgt gedefinieerd: f = { (a, y), (b, x), (c, y) } g = { (a, b), (b, c), (c, a) } h = { (r,c), (s,b), (t,b), (u,a) } - estaat g f? - epaal f g h - Geef het bereik van f g h - estaan de functies f -1,g -1 en h -1? Zo ja, geef de inverse functie als verzameling geordende paren 34

35 f A functie ( x A)[ ( y )( y=f(x) ) ( y )( z )(y z y=f(x) z=f(x)) ] voor alle op ( y )( x A)( y=f(x) ) er is ( y) ( x) A ( xfy ) alternatief 1-1 ( x A)( y A)( f(x)=f(y) x=y ) ( x) A ( y) A ( f(x)=f(y) x=y ) ( x) A ( y) A ( x y f(x)=f(y) )? ( y) ( x) A ( y=f(x) ) formules 36? ( y) ( x) A ( y f(x) )

36 formules Op de vorige sheet zie je de basiseigenschappen van functies gedefinieerd middels logische formules. Met wat gezond verstand kun je die wellicht lezen. Meer over deze notatie en de betekenis bij het vak Logica 37

37 (werk)college College volgende week: dinsdag 9 oktober, in zaal C2 (Gorlaeus) Werkcollege deze week: vrijdag 5 oktober, in zalen 401, 402, 405, 408 (Snellius)