Verzamelingen deel 1. Eerste college

Transcriptie

1 1 Verzamelingen deel 1 Eerste college

2 Set = Verzameling

3 verzamelingenleer Verzamelingen vormen de basis van de moderne wiskunde. De grondslag voor het begrip verzameling werd gelegd door Georg Cantor, die ook belangrijke inzichten over oneindigheid heeft ontwikkeld (waarover later meer). We behandelen begrippen, notaties, en technieken hoe we ermee kunnen rekenen (Venn diagrammen, verzamelingenalgebra). Er zijn o.a. overeenkomsten met rekenen met logische formules (zie ook het vak Logica). 3

4 Georg Cantor (St Petersburg Halle 1918) Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen. Über eine Eigenschaft des Imbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen. Crelles Journal für Mathematik, 77 ( )

5 verzameling {,,,,,,,, } 5

6 verzameling verzameling is een concept. Om van verschillende losse objecten één geheel, een nieuw object te maken. {,,,,,,,, } 6

7 Een verzameling is het resultaat van het samennemen tot één geheel van een aantal onderscheidbare objecten. - volgorde, duplicaten 1.2 definitie (?) a set may be viewed as any well-defined collection of objects - element van x A x A { 0,2,4,6 } extensional { 0,2,4, } - notaties { x x is even } intensional { x P(x) } eigenschap P 7 - gelijkheid A=B x A desda x B

8 1.2 definities/notaties Een verzameling is een ongeordende collectie objecten. Meestal gaat het om soortgelijke objecten (objecten die eenzelfde eigenschap hebben), maar dat hoeft niet. Een verzameling bevat elementen. x A betekent: x in A. Ofwel, x is bevat in A, x zit in A, x is een element van A, In een verzameling is de volgorde of de aanwezigheid van duplicaten niet van belang, de verzameling wordt bepaald door zijn elementen. {1,2} = {2,1} = {1,2,1} 8

9 set <-> multiset In een verzameling komt in feite elk element maar 1 keer voor. Dus {1,2,1} is als verzameling gezien gelijk aan {1,2}, of aan {2,1} (volgorde is niet van belang} Als duplicaten wel van belang zijn, dan kun je multisets gebruiken. In de wiskunde is een multiset een generalisatie van het concept verzameling. Een element van een multiset kan meer dan één keer in de multiset voorkomen, dit in tegenstelling tot een verzameling, waarin elk element precies één keer voorkomt. Wikipedia Als multisets gezien zijn {1,2,1} en {1,2} niet gelijk. 9

10 1.2 definities/notaties Een verzameling wordt gegeven door de elementen expliciet te noemen (met behulp van puntjes als het moet) of door een eigenschap van de elementen te geven. 10

11 1.2 definities/notaties Bijvoorbeeld 1: { 0,2,4, } = { x x is een geheel getal 0 en x is even } { x P(x) } wordt uitgesproken als de verzameling van alle elementen x waarvoor geldt dat Bijvoorbeeld 2: { x x is een kwadraat } wordt ook wel geschreven als { x x = y 2 voor een gehele y } of zelfs als { y 2 y is geheel } Maar kan ook als { 0, 1, 4, 9, 16, } 11

12 gelijkheid { x P(x) } eigenschap P - element van x A - gelijkheid van twee verzamelingen: A=B x A desda x B Merk op dat volgens deze definitie {1,2} en {1,2,1} inderdaad gelijk zijn! Voorbeeld: A = { x x is even } B = { x x 2 is even } x is even desda x 2 is even 12 als x even dan x 2 even en als x 2 even dan x even als x even dan x 2 even en als x oneven dan x 2 oneven

13 gelijkheid Twee verzamelingen zijn gelijk als ze dezelfde elementen bevatten. Hier zijn A en B verschillend gedefinieerd, maar als verzameling getallen gelijk. Het domein (universum) is hier stilzwijgend N (positieve gehele getallen). x is even desda x 2 is even De definierende eigenschappen van A en B gelden voor dezelfde x-en. desda dan en slechts dan als. wiskundig dialect voor: als het één waar is, is ook het ander waar (twee richtingen op). In het Engels vaak iff (met dubbel f) if and only if 13

14 U en universum U universal set lege verzameling empty set Om te redeneren over een bepaald domein kiezen we de verzameling van alle mogelijke elementen, het universum. De lege verzameling {} heeft geen elementen. Notatie gewoonlijk. 14

15 deelverzameling deelverzameling A B echt A B (!) inclusie, bevat in { 3,5,7,11,13 } { 1,3,5,7,9,11,13,15 } Dit is zelfs een echte inclusie { 2,3,5,7 } / { 1,3,5,7,9,11,13,15 } geen deelverzameling van gelijkheid A=B desda A B en B A 15

16 deelverzameling Deelverzameling A B wil zeggen dat elk element van A ook in B te vinden is: als x in A dan x ook in B. Als A B, dan geldt of A=B (gelijkheid: ook alle elementen van B zitten in A) of A B (echte inclusie: er is een element in B dat niet in A zit). Vergelijk met getallen: als x y dan ofwel x=y ofwel x<y. 16

17 lege verzameling Er geldt overigens dat de lege verzameling een deelverzameling is van elke andere verzameling: Theorem 1.2 Voor elke verzameling A geldt: A 17

18 getalsverzamelingen N natuurlijke getallen N + { 0,1,2,3, } Z gehele getallen {,-3,-2,-1,0,1,2,3, } integers Q rationale getallen { p/q p Z, q N + } maar: 2/3 = 4/6 rationals R reële getallen 3,, e, reals 18

19 getalsverzamelingen In dit college is nul (0) een natuurlijk getal. Daar is niet iedereen het mee eens. Maar met een duidelijke afspraak ontstaan geen problemen. Bij breuken (rationale getallen) is het duidelijk dat je dezelfde breuk op meerdere manieren kunt schrijven. Ik bedoel: 2/4 ziet er anders uit dan 1/2, maar is hetzelfde getal. Bij getallenparen ( coordinaten, zie hoofdstuk relaties) zijn (2,4) en (1,2) echter verschillend. 19

20 eigenschap Theorem 1.1 (i) A A (ii) als A B en B A dan A = B (iii) als A B en B C dan A C 20

21 eigenschap Theorem 1.1 (i) A A (ii) als A B en B A dan A = B (iii) als A B en B C dan A C Vergelijk: (i) x x (ii) als x y en y x dan x = y (iii) als x y en y z dan x z partiële ordening (zie later) reflexief anti-symmetrisch transitief 21

22 toelichting De relatie deelverzameling heeft een aantal belangrijke eigenschappen, namelijk beweringen die gelden voor élke verzameling A, B, C (binnen elk domein). De eigenschappen in Thm 1.1 komen zo vaak voor dat ze een naam gekregen hebben: (i) reflexief, (ii) anti-symmetrisch en (iii) transitief. Samen heet zo n relatie dan een partiële ordening. (zie later, bij relaties) partiëel omdat niet elk tweetal objecten geordend hoeft te worden: er geldt niet voor elke twee verzamelingen A en B dat A B of B A. 22 Toevallig geldt dat wel voor kleiner-gelijk: voor elke twee getallen x en y geldt x y of y x (of allebei, maar dan zijn ze gelijk)

23 1.3 Venn diagram U universum U A A U 23

24 1.3 Venn diagram We nemen aan dat we altijd binnen een universum werken, een super-verzameling die uit alle mogelijke elementen bestaat. Weergave: verzameling A in universum U A U 24

25 Venn diagram N E P U = N P priemgetallen E even getallen

26 toelichting Twee (oneindige) deelverzamelingen van N in een Venn-diagram getekend, samen met een aantal getallen in de juiste gebieden. P priemgetallen, E even getallen Nul is even. Want 0 = 2 0. Eén is geen priemgetal, dat is een afspraak. Het enige even priemgetal is 2. Buiten beide ovalen staan de oneven getallen die geen priemgetal zijn. Dit is een concreet Venn diagram, met expliciete verzamelingen. We zullen ook redeneren met onbekende verzamelingen in een Venn diagram om algemene eigenschappen van verzamelingen te bewijzen. 26

27 A B Venn diagram A B algemeen (vier! gebieden) A B deelverzameling subset 27 disjunct disjoint

28 toelichting In het algemeen bestaat een Venn-diagram van twee verzamelingen uit vier gebieden: drie binnen de ovalen, en één erbuiten. Die laatste wordt soms vergeten. Al deze gebieden kunnen elementen bevatten (of niet). Zie het voorbeeld met P en E. Drie verzamelingen, dan acht gebieden. Als we iets concreets weten van de verzamelingen kunnen we het diagram anders weergeven indien daar aanleiding toe is: bv. disjuncte verzamelingen of deelverzameling. 28

29 de Volkskrant Douwe Douwes, Raymond van der Meij de grote drie

30 de grote drie Ook de krant gebruikt Venn-diagrammen! Inderdaad jaartal Geen commentaar. De illustratie lijkt zeven gebieden te geven, maar het is beter er acht te zien. Buiten de drie ovalen is nog de verzameling van plannen die géén van de grote drie heeft de Volkskrant Douwe Douwes, Raymond van der Meij

31 de strijd op rechts (2016) Actueel Venn diagram! aan het politieke front is het weer ouderwets dringen op rechts. VVD, PVV, VNL (Jan Roos), Forum voor Democractie (Baudet) - het zijn partijen die (grotendeels) in dezelfde vijver vissen. VK Let op de woorden die in één van de gebieden nodig zijn om de lege verzameling aan te geven de Volkskrant ib

32 A B (1) Venn quiz A B A B x. 32 (3) (2)

33 toelichting (1) Als het gemeenschappelijke deel [de doorsnede] van A en B leeg is zijn A en B disjunct. We kunnen ze ook expliciet niet-doorsnijdend weergeven. (2) Als er geen elementen zijn in B buiten A, dan is B een deelverzameling van A: B A. We kunnen ook expliciet B binnen A tekenen. (3) Als er een element x is in B maar niet in A, dan weten we dat B geen deelverzameling is van A: B A. 33

34 inclusie A B B A A B A B A B x. 34 B A B=A B A

35 toelichting Het geval B A apart. Er zijn nu twee mogelijkheden - B=A als er geen elementen in A\B zijn. - B A, dus echte inclusie, als er een element in A\B is. We kunnen B binnen A tekenen om de inclusie expliciet te maken. De notatie A\B wordt verderop uitgelegd. 35

36 John Venn (Hull 1834 Cambridge 1923) On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings. Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 9, 1 18,

37 John Venn Naamgever van de Venn-diagrammen. De diagrammen werden ingevoerd om redeneringen weer te geven, zie Schaum (saucepans are tin objects). 37

38 38 Venn diagram

39 Venn diagram met 7 verzamelingen Het is goed te doen om Venn diagrammen met drie of vier verzamelingen te tekenen (zie ook Karnaugh diagram bij Dite). Daarna wordt het onoverzichtelijk, of kunst. Op de slide hiervoor een symmetrisch diagram met 7 verzamelingen en 2^7 gebieden. 39

40 1.4 operaties op verzamelingen Uit bestaande verzamelingen kunnen we nieuwe maken met operaties op verzamelingen. De basisoperaties zijn de Boolese operaties vereniging, doorsnede en complement. Zij komen in zekere zin overeen met de logische operaties of, en en niet Een operatie als A B geeft bij (een of) twee verzamelingen een nieuwe verzameling. Een relatie als B A is een bewering, dwz. zij is waar of nietwaar. 40

41 1.4 operaties: vereniging A B vereniging A B = { x x A x B } of cup nion De vereniging van twee verzamelingen is de verzameling die alle elementen bevat die in ten minste één van de verzamelingen liggen. Hier gearceerd weergegeven. 41

42 doorsnede A B doorsnede door A B = { x x A x B } en cap i tersection De doorsnede van twee verzamelingen is de verzameling die alle elementen bevat die in allebei de verzamelingen liggen. Hier gearceerd weergegeven. 42

43 disjunct Twee verzamelingen heten disjunct als hun doorsnede leeg is. disjunct A B = A B disjunct disjoint 43

44 eigenschap Theorem 1.4 equivalent zijn: (i) A B (ii) A B = A (iii) A B = B 44

45 eigenschap Theorem 1.4 equivalent zijn: (i) A B (ii) A B = A (iii) A B = B vergelijk: equivalent zijn: (i) A B (ii) A min B = A (iii) A max B = B minimum van A en B is A maximum van A en B is B Boolean Algebras as Lattices (=tralie)

46 eigenschap De deelverzamelingsrelatie kan beschreven worden met behulp van de verzamelingsoperaties vereniging en doorsnede. Zie de Stelling. Vergelijkbaar bij getallen: de operatie maximum is gerelateerd aan de relatie kleiner-gelijk. De theorie hierachter staat in Ch.14 van Schaum, ordered sets and lattices. Dat behandelen we hier niet. (In het Nederlands heet dat overigens een tralie.) 46

47 complement A U complement universum U A c = { x U x A } niet A B verschil A-B A\B A~B A-B = { x x A x B } difference relative complement 47

48 complement en verschil Het verschil van A en B is alles wat in A zit, maar niet in B. Er geldt dan ook A-B = A B c Er zijn diverse notaties voor in omloop. 48

49 (symmetrisch) verschil A-B = A B c A c = U-A A-B A A B symmetrisch verschil A B = (A-B) (B-A) xor A B 49

50 (symmetrisch) verschil De operatie verschil kan uitgedrukt worden in complement en doorsnede. Omgekeerd kan complement geschreven worden als verschil (tov. het universum) Ook gebruikt wordt de operatie symmetrisch verschil, voor elementen die in precies één van A of B zitten. quiz: welke elementen zitten in A B C? 50

51 A-B = A B c U = { 1, 2, 3, 4, 5 } A = { 2, 3 } B = { 1, 3, 5 } A voorbeeld 4 U B B c = { 2, 4 } A B c = { 2 } (A B c ) c = { 1,3,4,5 } = A c B Algemeen bewijs (zie college): m.b.v. Venn diagrammen (arceren) 51

52 Redeneren met Venn diagrammen Toon aan met behulp van Venn diagrammen: (i) A-B = A B c (ii) (A B) c = A c B c (iii) (A B c ) c = A c B Gelijkheden tussen verzamelingen kunnen ook bewezen worden door twee inclusies te laten zien. Voor (ii) betekent dat dat je moet aantonen dat: (A B) c A c B c en A c B c (A B) c 52

53 eigenschap Theorem 1.4 equivalent zijn: (i) A B (ii) A B = A (iii) A B = B maar ook: (iv) B c A c (v) A B c = (vi) A c B = U Zie Schaum, Problem 1.8 en

54 Volgende keer Volgende college: Vrijdag 7 september, in zaal C2 (Gorlaeus) Werkcollege: Begint pas volgende week (op vrijdagochtenden)