Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen
|
|
|
- Lodewijk Dirk Veenstra
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge Roland van der Veen
2 Modulorekenen Twee getallen a en b zijn gelijk modulo p als ze een veelvoud van p verschillen. Notatie: a = b mod p Bijvoorbeeld: 11 = 1 mod
3 Modulorekenen Rekenen modulo een getal p lijkt sterk op gewoon rekenen. Het enige probleem is dat bijvoorbeeld voor p = = 0 mod 12 Als p een priemgetal is treedt dit probleem niet op
4 Kwadratische vergelijkingen Kunnen we ook kwadratische vergelijkingen oplossen modulo een priemgetal p? Bijvoorbeeld voor p = 11 x 2 = 2 mod 11 x 2 = 5 mod 11 Is er een ABC-formule modulo p?
5 Welke getallen zijn kwadraten modulo p? Hoeveel oplossingen zijn er van x 2 = a mod p? Notatie (Legendre): (spreek uit: a op p) { 1 als a een kwadraat is ( a p ) = 1 als a geen kwadraat is ( ) 5 We hebben gezien dat = 1 11 ( ) 2 Maar = 1 zullen we zo zien. 11 mod p
6 Welke getallen zijn kwadraten modulo p? Voorbeeld: p = 11: x mod x 2 mod 11 0
7 Welke getallen zijn kwadraten modulo p? Voorbeeld: p = 11: x mod x 2 mod
8 Welke getallen zijn kwadraten modulo p? Voorbeeld: p = 11: x mod x 2 mod
9 Welke getallen zijn kwadraten modulo p? Voorbeeld: p = 11: x mod x 2 mod
10 Welke getallen zijn kwadraten modulo p? Voorbeeld: p = 11: x mod x 2 mod
11 Welke getallen zijn kwadraten modulo p? Voorbeeld: p = 11: x mod x 2 mod
12 Welke getallen zijn kwadraten modulo p? Voorbeeld: p = 11: x mod x 2 mod
13 Welke getallen zijn kwadraten modulo p? Voorbeeld: p = 11: x mod x 2 mod Dus de kwadraten modulo 11 zijn 0, 1, 3, 4, 5 en 2. Het getal 2 is dus geen kwadraat modulo 11: ( ) 2 met andere woorden = 1 11
14 Welke getallen zijn kwadraten modulo p? Kwadratische reciprociteit (Gauss) Voor (oneven) priemgetallen p en q geldt: ( p q )( q p ) Voorbeeld: p = 5 en q = 11. Het rechterlid is ( 1) p 1 q = 1 = ( 1) p 1 q een kwadraat modulo een kwadraat modulo 5. Inderdaad 11 = 1 2 en ook 5 = 4 2 mod 11
15 Voorbeeld kwadratische reciprociteit ( p q Nog een voorbeeld: )( q p ) = ( 1) p 1 q Het rechterlid is 1 dus p = 5 en q = een kwadraat modulo een kwadraat modulo 5. Omdat = 3 geen kwadraat is, kan 5 ook geen kwadraat zijn modulo
16 Bewijs van de Kwadratische reciprociteit ( ) a Stap 1 Leg een verband met hogere machten modulo p p Stap 2 Herken deze machten in een mooi product m Stap 3 Bereken m op een alternatieve manier
17 Stap 1: Kijk naar hogere machten x mod x 2 mod
18 Stap 1: Kijk naar hogere machten x mod x 2 mod x 3 mod
19 Stap 1: Kijk naar hogere machten x mod x 2 mod x 3 mod x 4 mod
20 Stap 1: Kijk naar hogere machten x mod x 2 mod x 3 mod x 4 mod x 5 mod
21 Stap 1: Kijk naar hogere machten x mod x 2 mod x 3 mod x 4 mod x 5 mod De laatste rij van de tabel bepaalt of een getal een kwadraat is. x 5 = ( x 11 ) mod 11 In het algemeen is dit de rij van de p 1 -de machten. 2
22 Stap 2: bewijs kwadratische reciprociteit Voor het gemak nemen we steeds steeds p = 5 en q = 7. p 1 = 2 en q 1 = We willen bewijzen dat: ( 5 7 )( 7 5 ) = ( 1) 2 3 Volgens stap 1 is ( ) = 7 ( 7 mod 7 en 7 2 = 5 )
23 Stap 2: Bewijs kwadratische reciprociteit De machten 5 3 en 7 2 komen allebei voor in het product 17! = Probeer dit product uit te rekenen modulo 5 en modulo 7 of liever het product: m =
24 ) Stap 2: ( 7 5 herkennen in m Eerst modulo 5: m = = (5+1)(5+2)(5+3)(5+4) = (10+1)(10+2)(10+3)(10+4) Dus m = ( ) = 4! 3 ( ) 7 5
25 ) Stap 2: ( 5 7 herkennen in m Resultaat: m = 4! 3 ( 7 5 ) Net zo modulo 7 (verwissel rol van 7 en 5) m = 6! 2 ( 5 7 ) mod 7
26 Om m op een andere manier berekenen modulo 5 en 7 maken we eerst een tabel van de getallen Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde modulo 7 3 m 2 o 1 d
27 Om m op een andere manier berekenen modulo 5 en 7 maken we eerst een tabel van de getallen Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde modulo 7 3 m 2 o 1 1 d
28 Om m op een andere manier berekenen modulo 5 en 7 maken we eerst een tabel van de getallen Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde modulo 7 3 m 2 2 o 1 1 d
29 Om m op een andere manier berekenen modulo 5 en 7 maken we eerst een tabel van de getallen Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde modulo m 2 2 o 1 1 d
30 Om m op een andere manier berekenen modulo 5 en 7 maken we eerst een tabel van de getallen Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde modulo m 2 2 o 1 1 d
31 Om m op een andere manier berekenen modulo 5 en 7 maken we eerst een tabel van de getallen Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde modulo m 2 2 o 1 1 d
32 Om m op een andere manier berekenen modulo 5 en 7 maken we eerst een tabel van de getallen Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde modulo m 2 2 o 1 1 d
33 Om m op een andere manier berekenen modulo 5 en 7 maken we eerst een tabel van de getallen Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde modulo m 2 2 o 1 1 d
34 Om m op een andere manier berekenen modulo 5 en 7 maken we eerst een tabel van de getallen Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde modulo m 2 2 o d
35 Om m op een andere manier berekenen modulo 5 en 7 maken we eerst een tabel van de getallen Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde modulo m o d
36 Om m op een andere manier berekenen modulo 5 en 7 maken we eerst een tabel van de getallen Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde modulo m o d
37 Om m op een andere manier berekenen modulo 5 en 7 maken we eerst een tabel van de getallen Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde modulo m o d
38 Om m op een andere manier berekenen modulo 5 en 7 maken we eerst een tabel van de getallen Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde modulo m o d
39 Om m op een andere manier berekenen modulo 5 en 7 maken we eerst een tabel van de getallen Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde modulo m o d
40 Om m op een andere manier berekenen modulo 5 en 7 maken we eerst een tabel van de getallen Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde modulo m o d
41 Om m op een andere manier berekenen modulo 5 en 7 maken we eerst een tabel van de getallen Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde modulo m o d
42 Om m op een andere manier berekenen modulo 5 en 7 maken we eerst een tabel van de getallen Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde modulo m o d
43 Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde modulo m o d We zien: ieder opvolgend getal staat een verder naar rechts en een omhoog (op de torus!).
44 Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde modulo m o d We zien: ieder opvolgend getal staat een verder naar rechts en een omhoog (op de torus!). We vullen de tabel verder in met de negatieve getallen.
45 Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde modulo m o d We zien: ieder opvolgend getal staat een verder naar rechts en een omhoog (op de torus!). We vullen de tabel verder in met de negatieve getallen.
46 Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde modulo m o d We zien: ieder opvolgend getal staat een verder naar rechts en een omhoog (op de torus!). We vullen de tabel verder in met de negatieve getallen.
47 Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde modulo m o d We zien: ieder opvolgend getal staat een verder naar rechts en een omhoog (op de torus!). We vullen de tabel verder in met de negatieve getallen.
48 Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde modulo m o d We zien: ieder opvolgend getal staat een verder naar rechts en een omhoog (op de torus!). We vullen de tabel verder in met de negatieve getallen. Min en plus zijn symmetrisch ten opzichte van 0.
49 Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde modulo m o d We zien: ieder opvolgend getal staat een verder naar rechts en een omhoog (op de torus!). We vullen de tabel verder in met de negatieve getallen. Min en plus zijn symmetrisch ten opzichte van 0.
50 Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde modulo m o d We zien: ieder opvolgend getal staat een verder naar rechts en een omhoog (op de torus!). We vullen de tabel verder in met de negatieve getallen. Min en plus zijn symmetrisch ten opzichte van 0.
51 Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde modulo m o d We zien: ieder opvolgend getal staat een verder naar rechts en een omhoog (op de torus!). We vullen de tabel verder in met de negatieve getallen. Min en plus zijn symmetrisch ten opzichte van 0.
52 Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde modulo m o d We zien: ieder opvolgend getal staat een verder naar rechts en een omhoog (op de torus!). We vullen de tabel verder in met de negatieve getallen. Min en plus zijn symmetrisch ten opzichte van 0.
53 Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde modulo m o d We zien: ieder opvolgend getal staat een verder naar rechts en een omhoog (op de torus!). We vullen de tabel verder in met de negatieve getallen. Min en plus zijn symmetrisch ten opzichte van 0.
54 Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde modulo m o d We zien: ieder opvolgend getal staat een verder naar rechts en een omhoog (op de torus!). We vullen de tabel verder in met de negatieve getallen. Min en plus zijn symmetrisch ten opzichte van 0.
55 Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde modulo m o d We zien: ieder opvolgend getal staat een verder naar rechts en een omhoog (op de torus!). We vullen de tabel verder in met de negatieve getallen. Min en plus zijn symmetrisch ten opzichte van 0.
56 Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde modulo m o d We zien: ieder opvolgend getal staat een verder naar rechts en een omhoog (op de torus!). We vullen de tabel verder in met de negatieve getallen. Min en plus zijn symmetrisch ten opzichte van 0.
57 Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde modulo m o d We zien: ieder opvolgend getal staat een verder naar rechts en een omhoog (op de torus!). We vullen de tabel verder in met de negatieve getallen. Min en plus zijn symmetrisch ten opzichte van 0.
58 Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde modulo m o d We zien: ieder opvolgend getal staat een verder naar rechts en een omhoog (op de torus!). We vullen de tabel verder in met de negatieve getallen. Min en plus zijn symmetrisch ten opzichte van 0.
59 Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde modulo m o d We zien: ieder opvolgend getal staat een verder naar rechts en een omhoog (op de torus!). We vullen de tabel verder in met de negatieve getallen. Min en plus zijn symmetrisch ten opzichte van 0.
60 Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde modulo m o d We zien: ieder opvolgend getal staat een verder naar rechts en een omhoog (op de torus!). We vullen de tabel verder in met de negatieve getallen. Min en plus zijn symmetrisch ten opzichte van 0.
61 m o d Op een minteken t na is m het product van de getallen in rood.
62 m o d Op een minteken t na is m het product van de getallen in rood. Berekenen modulo 5, elke kolom heeft dezelfde waarde dus: tm = 4! 3
63 m o d Op een minteken t na is m het product van de getallen in rood. Berekenen modulo 5, elke kolom heeft dezelfde waarde dus: tm = 4! 3 Berekenen modulo 7, elke rij heeft dezelfde waarde:
64 Conclusie () Combineer de berekeningen van m uit stap 2 en stap 3: Eerst Modulo 5: Stap 2: ( ) 7 m = 4! 3 5 ( 7 Dus t = 5 ) tm = 4! 3
65 Conclusie (mod 7) Modulo 7: m = 6! 2 ( 5 7 ) mod 7 Dus ( 5 7 tm = 6! 2 mod 7 )( 7 5 ) = ( 1) 6 mod 7 Dit zijn mintekens dus de vergelijking geldt ook in het algemeen (niet alleen mod 7). We hebben nu de kwadratische reciprociteit bewezen: ( 5 7 )( 7 5 ) = ( 1) 6
66 Conclusie We hebben het bewijs gegeven voor p = 5 en q = 7. Voor algemene p en q gaat het bewijs precies hetzelfde! Stap 1 heet Eulers criterium en wordt bewezen met behulp van het Euclidisch algorithme. Stap 2 de berekening van m blijft vrijwel onveranderd. Stap 3 Het argument met de torus in heet de Chinese reststelling.
67 En verder? Echt vinden van de wortel van x modulo p gaat met het algoritme van Cipolla. We hebben nu een idee van kwadratische vergelijkingen modulo p. Hoe zit het met hogere orde vergelijkingen modulo p? Deze vraag brengt ons middenin de moderne wiskunde. Kwadratische reciprociteit is het eenvoudigste geval van de zogenaamde Artin reciprociteit een belangrijk deel van de moderne getaltheorie.
68 Vragen?
Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels
Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Trainingsweek juni 2008 Inleiding Voor a relatief priem met m hebben we de orde van a modulo m gedefinieerd als ord m (a) = min { n Z + a n 1 (mod m) }. De verzameling
Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave.
Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave. Opgave 6 Lesbrief, opgave 4.5 De getallen m en n zijn verschillende positieve gehele getallen zo, dat de laatste drie cijfers van 1978 m en 1978 n overeenstemmen.
Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.
4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen
Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.
4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen
Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie
Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie Jan De Beule, Tom De Medts en Jeroen Demeyer Voorwoord 1 Voorwoord Beste leerling, Deze nota s zijn bedoeld als begeleiding bij 6 lesuren Opgeloste
priemgetallen en verzamelingen Jaap Top
priemgetallen en verzamelingen Jaap Top IWI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 21 april 2009 (Collegecaroussel, Groningen) 1 In de biografie Gauss zum Gedächtnis (1862, door de Duitse geoloog Wolfgang Sartorius
1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen
46 Getallen 1.5 Getaltheorie 1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen De getallen 0,1,2,3,4,... enz. worden de natuurlijke getallen genoemd (de heleverzamelingvanaldezegetallenbijelkaarnoterenwemethetteken:
1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12
Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal
Cover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation
Cover Page The handle http://hdl.handle.net/887/25833 holds various files of this Leiden University dissertation Author: Palenstijn, Willem Jan Title: Radicals in Arithmetic Issue Date: 204-05-22 Samenvatting
Noordhoff Uitgevers bv
bladzijde 68 a Uit de eerste rij van de tabel volgt y= maar uit de tweede rij volgt y= 0 8 Dus en y zijn niet recht evenredig b y is dan 0 = 8 keer zo groot geworden c Als met 6 wordt vermenigvuldigd dan
Een Stelling over Priemgetallen Bewezen op een Schaakbord Seminar Combinatorial Algorithms (voorjaar 2010)
Een Stelling over Priemgetallen Bewezen op een Schaakbord Seminar Combinatorial Algorithms (voorjaar 2010) Johan de Ruiter, johan.de.ruiter@gmail.com 27 april 2010 1 De stelling van Fermat over de som
Getaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1)
Lesbrief 2 Getaltheorie II 1 Lineaire vergelijkingen Een vergelijking van de vorm ax + by = c, a, b, c Z (1) heet een lineaire vergelijking. In de getaltheorie gaat het er slechts om gehele oplossingen
RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002
RSA F.A. Grootjen 8 maart 2002 1 Delers Eerst wat terminologie over gehele getallen. We zeggen a deelt b (of a is een deler van b) als b = qa voor een of ander geheel getal q. In plaats van a deelt b schrijven
Bijzondere kettingbreuken
Hoofdstuk 15 Bijzondere kettingbreuken 15.1 Kwadratische getallen In het vorige hoofdstuk hebben we gezien dat 2 = 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2,.... Men kan zich afvragen waarom we vanaf zeker moment alleen maar
Inleiding tot de Problem Solving - deel 1: Combinatoriek en getaltheorie
Inleiding tot de Problem Solving - deel 1: Combinatoriek en getaltheorie Jan Vonk 1 oktober 2008 1 Combinatoriek Inleiding Een gebied dat vandaag de dag haast niet onderschat kan worden binnen de wiskunde
Hoofdstuk 6. Congruentierekening. 6.1 Congruenties
Hoofdstuk 6 Congruentierekening 6.1 Congruenties We hebben waarschijnlijk allemaal wel eens opgemerkt dat bij vermenigvuldigen van twee getallen de laatste cijfers als het ware meevermenigvuldigen. Stel
Wanneer zijn veelvouden van proniks proniks?
1 Uitwerking puzzel 92-1 Wanneer zijn veelvouden van proniks proniks? Harm Bakker noemde het: pro-niks voor-niks De puzzel was voor een groot deel afkomstig van Frits Göbel. Een pronik is een getal dat
Dan komt er informatie over de aantallen koeien. Over de witte koeien zien we in regels dit w = ( 1 / / 4
Dan komt er informatie over de aantallen koeien. Over de witte koeien zien we in regels 7 9 dit w = ( / 3 + / 4 )(Z + z), in regels 0 staat over de zwarte koeien dit z = ( / 4 + / 5 )(* + g), over de gevlekte
Antwoorden. Magische vierkanten Vierkant voor Wiskunde Doeboek 8
Antwoorden Magische vierkanten Vierkant voor Wiskunde Doeboek 8 1 6 1 8 7 5 3 2 9 4 2 De getallen 1 tot en met 9. 3 15. 15 en 15. De som van de getallen van elke rij is 15. 4 15. De som van de getallen
boek Getallen 2009, errata (8 oktober 2011)
boek Getallen 009, errata (8 oktober 0) De toren van Hanoi 6 0 van a naar b } van a naar b }. 8 6 en x / B } en x / B }. - zonodig zo nodig De natuurlijke getallen 3 - vermenigvuldigeing vermenigvuldiging
7.1 Het aantal inverteerbare restklassen
Hoofdstuk 7 Congruenties in actie 7.1 Het aantal inverteerbare restklassen We pakken hier de vraag op waarmee we in het vorige hoofdstuk geëindigd zijn, namelijk hoeveel inverteerbare restklassen modulo
FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j
FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van
II.3 Equivalentierelaties en quotiënten
II.3 Equivalentierelaties en quotiënten Een belangrijk begrip in de wiskunde is het begrip relatie. Een relatie op een verzameling is een verband tussen twee elementen uit die verzameling waarbij de volgorde
Getallen, 2e druk, extra opgaven
Getallen, 2e druk, extra opgaven Frans Keune november 2010 De tweede druk bevat 74 nieuwe opgaven. De nummering van de opgaven van de eerste druk is in de tweede druk dezelfde: nieuwe opgaven staan in
Geldwisselprobleem van Frobenius
Geldwisselprobleem van Frobenius Karin van de Meeberg en Dieuwertje Ewalts 12 december 2001 1 Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Afspraken 3 3 Is er wel zo n g? 3 4 Eén waarde 4 5 Twee waarden 4 6 Lampenalgoritme
Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)
Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk
De Chinese reststelling
De Chinese reststelling 1 Inleiding 1. De Chinese reststelling is een stelling binnen de getaltheorie. De stelling werd voor het eerst beschreven in de vierde eeuw na Chr. door de Chinese wiskundige Sunzi
Dossier 3 PRIEMGETALLEN
Dossier 3 PRIEMGETALLEN atomen van de getallenleer Dr. Luc Gheysens Een priemgetal is een natuurlijk getal met twee verschillende delers, nl. 1 en het getal zelf. De priemgetallen zijn dus 2, 3, 5, 7,
OP WEG NAAR WISKUNDE. Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl
OP WEG NAAR WISKUNDE Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl Voor kinderen die iets meer willen weten en begrijpen van wiskunde, bijvoorbeeld als voorbereiding op de middelbare
6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden
6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p
Beste deelnemer, Wanneer we vanmiddag op het kampterrein aankomen, zullen we beginnen met een verkenningsrondje over het terrein. Dat is op zichzelf
Beste deelnemer, Wanneer we vanmiddag op het kampterrein aankomen, zullen we beginnen met een verkenningsrondje over het terrein. Dat is op zichzelf al best leuk, maar het wordt nog veel leuker als we
Security. Eerste tentamen
Security Eerste tentamen Het tentamen normale rekenmachine mag mee. Gastpresentaties Weetvragen Lees je eigen aantekeningen goed door. Malware Weetvragen Introductiecollege Weetvragen! Kijk naar de lijst
Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002
Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002 19.a) Laat zien dat 5 een voortbrenger is van F 37. b) In het sleuteldistributiesysteem van Diffie en Hellman (met G = F 37, α =
2. Ga voor volgende relaties na of het al dan niet functies, afbeeldingen, bijecties, injecties, surjecties zijn :
HOOFDSTUK. VERZAMELINGEN, RELATIES EN FUNCTIES Opgaven verzamelingen, relaties en functies. Toon aan : a) (A B) C = A (B C) b) A (B C) = (A B) (A C) c) (A B) c = A c B c d) A B B c A c. Ga voor volgende
Universiteit Gent. Academiejaar Discrete Wiskunde. 1ste kandidatuur Informatica. Collegenota s. Prof. Dr.
Universiteit Gent Academiejaar 2001 2002 Discrete Wiskunde 1ste kandidatuur Informatica Collegenota s Prof. Dr. Frank De Clerck Herhalingsoefeningen 1. Bepaal het quotiënt en de rest van de deling van
2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.
Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt
Het RSA Algoritme. Erik Aarts - 1 -
Het RSA Algoritme Erik Aarts - 1 - 1 Wiskunde... 3 1.1 Het algoritme van Euclides... 3 1.1.1 Stelling 1... 4 1.2 Het uitgebreide algoritme van Euclides... 5 1.3 Modulo rekenen... 7 1.3.1 Optellen, aftrekken
3.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]
![3.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]](/thumbs/101/149931282.jpg "3.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]")
3.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5-3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 3 = -15 Voorbeeld 4: -5 3 9 2
Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte
Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal
OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN
OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN 1.3.1. Er zijn 42 mogelijke vercijferingen. 2.3.4. De uitkomsten zijn 0, 4 en 4 1 = 4. 2.3.6. Omdat 10 = 1 in Z 9 vinden we dat x = c 0 +... + c m = c 0 +... + c m. Het getal
RINGEN EN LICHAMEN. Aanvullende opgaven met uitwerkingen
RINGEN EN LICHAMEN Aanvullende opgaven met uitwerkingen Hierna volgen een aantal aanvullende opgaven die gaan over kernbegrippen uit de eerste hoofdstukken van Ringen en Lichamen. Probeer deze opgaven
Opgaven Eigenschappen van Getallen Security, 2018, Werkgroep.
Opgaven Eigenschappen van Getallen Security, 2018, Werkgroep. Gebruik deze opgaven, naast die uit het boek, om de stof te oefenen op het werkcollege. Cijfer: Op een toets krijg je meestal zes tot acht
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:
![6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:](/thumbs/101/148944451.jpg "6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:")
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER
Bij de volgende opgaven vragen we je een kleine opteltabel in te vullen. De eerste hebben we zelf ingevuld om je te laten zien hoe zoiets gaat. 1.
I Natuurlijke getallen Dit deel gaat over getallen waarmee je aantallen kunt weergeven: vijf vingers aan je hand, twaalf appels op een schaal, zestig minuten in een uur, zestien miljoen Nederlanders, nul
Hoofdstuk 12. Sommen van kwadraten. 12.1 Sommen van twee kwadraten
Hoofdstuk 12 Sommen van kwadraten 12.1 Sommen van twee kwadraten In Hoofdstuk 11 hebben we gezien dat als p een oneven priemdeler van a 2 + b 2 is, en p deelt niet zowel a als b, dan is p gelijk aan 1
Public Key Cryptography. Wieb Bosma
Public Key Cryptography de wiskunde van het perfecte kopje koffie Wieb Bosma Radboud Universiteit Nijmegen Bachelordag 2 april 2011 Nijmegen, 6 november 2010 0 Nijmegen, 6 november 2010 1 cryptografie
Rekenen aan wortels Werkblad =
Rekenen aan wortels Werkblad 546121 = Vooraf De vragen en opdrachten in dit werkblad die vooraf gegaan worden door, moeten schriftelijk worden beantwoord. Daarbij moet altijd duidelijk zijn hoe de antwoorden
Oefentoets uitwerkingen
Vak: Wiskunde Onderwerp: Hogere machtsverb., gebr. func=es, exp. func=es en logaritmen Leerjaar: 3 (206/207) Periode: 3 Oefentoets uitwerkingen Opmerkingen vooraf: Geef je antwoord al=jd mét berekening
WISKUNDE 1. Aansluitmodule wiskunde MBO-HBO
WISKUNDE 1 Aansluitmodule wiskunde MBO-HBO Wat moet je aanschaffen? Basisboek wiskunde tweede editie Jan van de Craats en Rob Bosch isbn:978-90-430-1673-5 Dit boek gebruikt men ook op de Hanze bij engineering.
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 6 26 september 2016 1 Hoofdstuk 3.1 en 3.2 Matrix operaties Optellen van matrices Matrix vermenigvuldigen met een constante Matrices vermenigvuldigen Machten
2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 = 45
![2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 = 45](/thumbs/72/68043516.jpg "2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 = 45")
15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een
Kwadraatrepresentatie
Radboud Universiteit Nijmegen Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica. Kwadraatrepresentatie Het representeren van natuurlijke getallen als som van kwadraten. Bachelorscriptie Auteur:
Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten. Joost de Groot Les 5. Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde. Technische Universiteit Delft
Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten Joost de Groot Les 5 1 Technische Universiteit Delft Doel van deze les Determinanten ben je al tegengekomen bij de behandeling van het in en het uitwendig
De kleine stelling van Fermat
De kleine stelling van Fermat Moderne getaltheorie: deelbaarheidscriteria, rekenen met resten, stellingen van Fermat, Euler en Gauss Overzicht collegestof & encyclopedische toevoegingen mc.vanhoorn@wxs.nl
Het oplossen van kwadratische vergelijkingen met de abc-formule
Het oplossen van kwadratische vergelijkingen met de abc-formule door Pierre van Arkel Dit verslag is een voorbeeld hoe bij wiskunde een verslag er uit moet zien. Elk schriftelijk verslag heeft een titelblad.
4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]
![4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]](/thumbs/28/12962825.jpg "4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]")
4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 x 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5 x -3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 x 3 = -15 Afspraak: In plaats
7 Deelbaarheid. 7.1 Deelbaarheid WIS7 1
WIS7 1 7 Deelbaarheid 7.1 Deelbaarheid Deelbaarheid Voor geheeltallige d en n met d > 0 zeggen we dat d een deler is van n, en ook dat n deelbaar is door d, als n d een geheel getal is. Notatie: d\n k
De Riemann-hypothese
De Riemann-hypothese Lars van den Berg 3 september 202 Laat ik je gelijk enthousiast maken om dit stukje te lezen: wie de Riemannhypothese oplost wint een miljoen. Wel zijn er waarschijnlijk eenvoudigere
Priemgetallen en priemidealen in kwadratische lichamen
Dirk Dekker Van Uytrechtlaan 25 1901 JK Castricum T.J.Dekker@uva.nl. 1. Inleiding Priemgetallen en priemidealen in kwadratische lichamen Het ontbinden van getallen in factoren en de daaruit te verkrijgen
handleiding ontbinden
handleiding ontbinden inhoudsopgave inhoudsopgave de grote lijn 3 Bespreking per paragraaf 4 Applets 4 1 met gegeven product 4 ontbinden van getallen 4 3 vergelijkingen 5 4 onderzoek 6 tijdpad 9 materialen
1 Rekenen met gehele getallen
1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9
Uitwerkingen toets 12 juni 2010
Uitwerkingen toets 12 juni 2010 Opgave 1. Bekijk rijen a 1, a 2, a 3,... van positieve gehele getallen. Bepaal de kleinst mogelijke waarde van a 2010 als gegeven is: (i) a n < a n+1 voor alle n 1, (ii)
Cover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation.
Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/20310 holds various files of this Leiden University dissertation. Author: Jansen, Bas Title: Mersenne primes and class field theory Date: 2012-12-18 Samenvatting
Magische Vierkanten. Bart Michels PSA PRIME. Bart Michels Magische Vierkanten PSA PRIME 1 / 21
Magische Vierkanten Bart Michels PSA PRIME Bart Michels Magische Vierkanten PSA PRIME / 2 Inhoud Magische vierkanten Definitie Eigenschappen Voorbeelden 2 Latijnse vierkanten Definitie onstructie Van Latijns
Examen Datastructuren en Algoritmen II
Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2016 2017, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees de hele
6 Ringen, lichamen, velden
6 Ringen, lichamen, velden 6.1 Polynomen over F p : irreducibiliteit en factorisatie Oefening 6.1. Bewijs dat x 2 + 2x + 2 irreducibel is in Z 3 [x]. Oplossing 6.1 Aangezien de veelterm van graad 3 is,
Kwadratische verbanden - Parabolen klas ms
Kwadratische verbanden - Parabolen klas 01011ms Een paar basisbegrippen om te leren: - De grafiek van een kwadratisch verband heet een parabool. - Een parabool is dalparabool met een laagste punt (minimum).
Tweede Huiswerk Security 26 of 28 oktober, 11.00, Nabespreken op Werkcollege.
Tweede Huiswerk Security 26 of 28 oktober, 11.00, Nabespreken op Werkcollege. Kijk het huiswerk van je collega s na en schrijf de namen van de nakijkers linksboven en het totaalcijfer rechts onder de namen
Uitwerkingen toets 8 juni 2011
Uitwerkingen toets 8 juni 0 Opgave. Vind alle paren (x, y) van gehele getallen die voldoen aan x + y + 3 3 456 x y. Oplossing. Omdat links een geheel getal staat, moet rechts ook een geheel getal staan.
Uitwerking puzzel 91-7: Je kunt het schudden
Uitwerking puzzel 91-7: Je kunt het schudden Het credit voor deze puzzel gaat naar Frans van Hoeve. Hij stuurde het ons, in een iets andere vorm, met titel Penny-flipping problem. Hij was het tegengekomen
Hoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken. Benne de Weger
Hoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken Benne de Weger 28 aug. / 4 sept. RSA 1/38 asymmetrisch cryptosysteem versleutelen met de publieke sleutel ontsleutelen met de bijbehorende privé-sleutel gebaseerd
Pijlenklokken Wiskunde B-dag
Pijlenklokken Wiskunde B-dag 2017 1 Wiskunde B opdracht 2017 Inleiding Over de opdracht Mensen (dus ook jullie) zijn gemaakt om patronen en structuren te herkennen. De wiskunde maakt hier een sport van.
Uitwerking Puzzel 93-1, Doelloos
Uitwerking Puzzel 93-1, Doelloos Wobien Doyer Lieke de Rooij Volgens de titel is deze puzzel zonder doel, dus zonder bekende toepassing. Het doel is echter nul en dat is zeker in de wiskunde niet niks.
Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie
Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie Jan De Beule, Tom De Medts en Jeroen Demeyer Voorwoord 1 Voorwoord Beste leerling, Deze nota s zijn bedoeld als begeleiding bij 6 lesuren Opgeloste
Opmerking. TI1300 Redeneren en Logica. Met voorbeelden kun je niks bewijzen. Directe en indirecte bewijzen
Opmerking TI1300 Redeneren en Logica College 2: Bewijstechnieken Tomas Klos Algoritmiek Groep Voor alle duidelijkheid: Het is verre van triviaal om definities te leren hanteren, beweringen op te lossen,
Opgaven Rekenen met Getallen Security, 2018, Werkgroep.
Opgaven Rekenen met Getallen Security, 2018, Werkgroep. Gebruik deze opgaven, naast die uit het boek, om de stof te oefenen op het werkcollege. Cijfer: Op een toets krijg je meestal zes tot acht opgaven.
Ten geleide. Martin Kindt
Natuurlijke Algebra 100 99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 64 63 62 61 60 59 58 57 56 89 65 36 35 34 33 32 31 30 55 88 66 37 16 15 14 13 12 29 54 87 67 38 17 4 3 2 11 28 53 86 68 39 18 5 0 1 10 27 52 85 69
Noordhoff Uitgevers bv
a a 8 8. Ageleiden bladzijde 5 Uit de ormule voor de omtrek van een cirkel (omtrek r ) volgt dat een volledige cirkel (60 ) overeenkomt met radialen. Een halve cirkel (80 ) komt dus overeen met radialen.
H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie
H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie 8. Kwadratische vergelijking Een kwadratische vergelijking (of e graadsvergelijking) is een vergelijking van de vorm: a b c + + = Ook wordt een kwadratische
December 03, hfst4v2.notebook. Programma. opening paragraaf 1, 2 en 3 van hfst 4 vragen over hfst 3. pw hfst 3: 12 november 5e uur
paragraaf 1, 2 en 3 van hfst 4 vragen over hfst 3 pw hfst 3: 12 november 5e uur 1 Stelling van Pythagoras bewijs paragraaf 1, 2 en 3 van hfst 4 vragen over hfst 3 pw hfst 3: 12 november 5e uur c a b b
Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 1
Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel Willem van Ravenstein 500765005 Haags Montessori Lyceum (c) 06 Inleiding In de leerroute transformaties van grafieken gaat het om de karakteristieke eigenschappen
E.T.G. Schlebusch. Het Hasse-principe. Bachelorscriptie, 20 juni Scriptiebegeleider: dr. R.M. van Luijk
E.T.G. Schlebusch Het Hasse-principe Bachelorscriptie, 20 juni 2012 Scriptiebegeleider: dr. R.M. van Luijk Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Inhoudsopgave 1. Inleiding 2 2. Het lichaam van p-adische
Instructies zijn niet alleen visueel, maar ook auditief, met hoogkwalitatief ingesproken geluid (geen computerstem).
Getallen 3 Doelgroep Getallen 3 is bedoeld voor leerlingen in klas 3-5 van de havo, klas 3-6 van het vwo en in mbo 3&4. Het programma is bijzonder geschikt voor groepen waarin niveauverschillen bestaan.
Cover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation
Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/25833 holds various files of this Leiden University dissertation Author: Palenstijn, Willem Jan Title: Radicals in Arithmetic Issue Date: 2014-05-22 Curriculum
META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen
META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen In welke volgorde moet ik uitwerken? */@ Welke (reken)regels moet ik hier gebruiken? */@ Welke algemene vorm hoort erbij? ** Hoe ziet de bijbehorende grafiek
Definitie 5.1. Cyclische groepen zijn groepen voortgebracht door 1 element.
Hoofdstuk 5 Cyclische groepen 5.1 Definitie Definitie 5.1. Cyclische groepen zijn groepen voortgebracht door 1 element. Als G wordt voortgebracht door a en a n = e, dan noteren we de groep als C n = a.
Getallen 2. Doelgroep Rekenen en Wiskunde Getallen 2. Omschrijving Rekenen en Wiskunde Getallen 2
Getallen 2 Getallen 2 bestrijkt de uitbreiding van de basisvaardigheden van het rekenen, regels en vaardigheden die in het vmbo en de onderbouw van havo/vwo worden aangeleerd, geoefend en toegepast. Doelgroep
1 Complexe getallen in de vorm a + bi
Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...
FACTORISATIE EN CRYPTOGRAFIE
FACTORISATIE EN CRYPTOGRAFIE UvA-MASTERCLASS WISKUNDE 1993 P. Stevenhagen Faculteit Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam 1993 INLEIDING In deze masterclass zullen we ons voornamelijk bezighouden
Wiskunde - MBO Niveau 4. Eerste- en tweedegraads verbanden
Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en tweedegraads verbanden OPLEIDING: Noorderpoort MBO Niveau 4 DOCENT: H.J. Riksen LEERJAAR: Leerjaar 1 - Periode 2 UITGAVE: 2018/2019 Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en
tripels van Pythagoras Jaap Top
tripels van Pythagoras Jaap Top BI-RuG & DIAMANT 9 en 10 en 11 april 2019 (collegecarrousel, Groningen) 1 Over natuurlijke getallen en Pythagoras: c b a a 2 + b 2 = c 2 2 Oplossingen in natuurlijke getallen
Priemgetallen en de rij van Fibonacci, Vier artikelen voor het tijdschrift Pythagoras
Priemgetallen en de rij van Fibonacci, Vier artikelen voor het tijdschrift Pythagoras Bart Zevenhek 0 februari 008 Samenvatting In deze vier artikelen wordt ingegaan op enkele getaltheoretische eigenschappen
Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4
Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:
![6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:](/thumbs/55/36024360.jpg "6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:")
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER
2.1 Lineaire functies [1]
![2.1 Lineaire functies [1]](/thumbs/65/53276356.jpg "2.1 Lineaire functies [1]")
2.1 Lineaire functies [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte
Uitwerkingen tentamen Algebra 3 8 juni 2017, 14:00 17:00
Uitwerkingen tentamen Algebra 3 8 juni 207, 4:00 7:00 Je mocht zoals gezegd niet zonder uitleg naar opgaven verwijzen. Sommige berekeningen zijn hier weggelaten. Die moest je op je tentamen wel laten zien.
CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1
CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 1 11 februari 2014 1 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides
Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm
Module 2 Veeltermen 2.1 Definitie en voorbeelden Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n met a 0,a 1,a 2,...,a n Ê en n
Ongelijkheden groep 1
Ongelijkheden groep 1 Cauchy-Schwarz Trainingsdag (Transtrend, 6 maart 009 Cauchy-Schwarz Voor reële getallen x 1,, x n en y 1,, y n geldt: x i y i met gelijkheid dan en slechts dan als er een reëel getal
De notatie van een berekening kan ook aangeven welke bewerking eerst moet = = 16
Rekenregels De voorrangsregels van de hoofdbewerkingen geven aan wat als eerste moet worden uitgerekend. Voorrangsregels 1. Haakjes 2. Machtsverheffen en Worteltrekken. Vermenigvuldigen en Delen 4. Optellen