Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie
|
|
- Gerda de Veen
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie Jan De Beule, Tom De Medts en Jeroen Demeyer
2 Voorwoord 1 Voorwoord Beste leerling, Deze nota s zijn bedoeld als begeleiding bij 6 lesuren Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie, die gegeven kunnen worden in de lessen wiskunde in de derde graad van het secundair onderwijs, al dan niet in de vrije ruimte voorzien in het leerplan van de derde graad van het vrij secundair onderwijs. Getaltheorie is een bloeiende tak van de wiskunde, met wortels in een ver verleden, met vertakkingen naar andere gebieden in de wiskunde, en met zeer fundamentele open vragen waar vele wiskundigen vandaag een antwoord op trachten te vinden. Getaltheorie is daarenboven ook een mooi voorbeeld van hoe wiskunde directe toepassingen heeft. Tenslotte is het een onderwerp waar niet veel voorkennis voor nodig is om de beginselen aan te vatten en met elementaire technieken interessante resultaten bereikt kunnen worden. Getaltheorie is dus een zeer dankbaar onderwerp om aan iedereen die het wil, duidelijk te maken waar het in wiskunde om draait, en wat we allemaal met wiskunde kunnen doen. Omdat we de onderwerpen toegankelijk willen maken, zijn vele voorbeelden en oefeningen opgenomen in deze nota s. De lesgever of leerkracht zal een aantal oefeningen en voorbeelden behandelen in de lessen. De oefeningen en voorbeelden zijn dikwijls eenvoudige probleempjes die, eens opgelost, de theorie op een aanschouwelijke wijze moeten illustreren. We hebben echter ook belang gehecht aan het bewijzen van een aantal stellingen. Wiskunde is immers de wetenschap bij uitstek waarin uitspraken enkel na het geven van een correct bewijs, als waar worden aanvaard. Om duidelijk te maken dat wiskunde niet af is, hebben we op diverse plaatsen open vragen uit de getaltheorie vermeld. Deze open vragen zijn allemaal gemakkelijk te begrijpen, maar zijn tot op vandaag nog steeds niet opgelost. De leerkracht of lesgever zal eventueel, afhankelijk van de beschikbare tijd, een selectie maken uit de aangeboden leerstof. Deze nota s zijn niet bedoeld als zelfstudiecursus, maar zouden wel volledig leesbaar moeten zijn na de lessen. Jan De Beule Tom De Medts Jeroen Demeyer
3 Inhoudsopgave 2 Inhoudsopgave 1 Priemgetallen en deelbaarheid Enkele onopgeloste problemen De grootste gemene deler 7 3 Modulorekenen Inverses Eenvoudige toepassingen van modulorekenen Voorwaarden voor deelbaarheid Een toernooi De stelling van Wilson en de kleine stelling van Fermat Een karakterisering van priemgetallen en tweelingpriemen De Chinese reststelling 19 7 Cryptografie Inleiding RSA Factorisatie van getallen De kwadratische zeef... 24
4 1 Priemgetallen en deelbaarheid In de getaltheorie draait alles om gehele getallen. Definitie 1.1 is de verzameling van de gehele getallen: = {..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...}. is de verzameling van de natuurlijke getallen, 0 inbegrepen: = {0,1,2,3,...}. Als we twee gehele getallen met elkaar optellen, vermenigvuldigen, of aftrekken van elkaar, is het resultaat steeds weer een geheel getal, maar dat geldt niet voor de deling. Vandaar de volgende definitie. Definitie 1.2 We zeggen dateen geheel getal a deelbaaris door een geheelgetalgetal b alsere een geheel getal q bestaat zodat a = bq. We zeggen dan ook dat b een deler van a is, en we noteren dit als b a. Als b 0, dan is a deelbaar door b als en slechts als a /b een geheel getal is. Ook als a niet deelbaar is door b is het zinvol om de deling uit te voeren, maar dan verkrijgen we een restterm. Een dergelijke deling wordt een Euclidische deling genoemd. Definitie 1.3 Als a en b gehele getallen zijn met b 1, dan bestaan er unieke gehele getallen q en r met 0 r < b zodat a = bq + r. Deze getallen worden respectievelijk het quotiënt en de rest genoemd van de deling van a door b. Van fundamenteel belang in de getaltheorie is de studie van priemgetallen. Definitie 1.4 Een natuurlijk getal p wordt een priemgetal genoemd als het precies twee verschillende positieve delers heeft, namelijk 1 en zichzelf. We benadrukken dat 1 dus geen priemgetal is.
5 1 Priemgetallen en deelbaarheid 4 Voorbeeld 1.5 De kleinste priemgetallen zijn 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... Het grootste gekende priemgetal is , een getal van maar liefst cijfers lang. Dit record dateert van Misschien vraag je je wel af of er zoiets bestaat als een grootste priemgetal. Het is niet moeilijk om in te zien dat er geen grootste priemgetal is; we zullen dit dadelijk nagaan. Het is echter wel moeilijk om expliciet grote priemgetallen te construeren, of nog, om na te gaan of een gegeven getal een priemgetal is of niet. En dat is wat we bedoelen met het record dat we in Voorbeeld 1.5 aangehaald hebben: dit is het grootste getal waarvan we weten dat het een priemgetal is, ook al weten we met zekerheid dat er (oneindig veel) grotere priemgetallen bestaan. Stelling 1.6 Er bestaan oneindig veel priemgetallen. Bewijs. We bewijzen dit uit het ongerijmde. Veronderstel dus dat er wel een grootste priemgetal zou bestaan, en noem dat getal p. Beschouw nu alle priemgetallen kleiner dan of gelijk aan p, en noem die p 1,p 2,...,p k = p. (Dusp 1 = 2, p 2 = 3, enzovoort; p is precies het k -de priemgetal.) Wegens onze veronderstelling is elk priemgetal dus gelijk aan één van deze getallen p i. Stel nu N = p 1 p 2 p k + 1; dan is N voor geen enkele i {1,...,k } deelbaar door p i. Wegens onze veronderstelling is N dus door geen enkel priemgetal deelbaar. Dit kan uiteraard niet; bijgevolg is onze veronderstelling verkeerd, en dus bestaan er oneindig veel priemgetallen. Eén van de redenen waarom priemgetallen zo belangrijk zijn, is het feit dat het in zekere zin de bouwstenen zijn voor alle getallen. We kunnen elk getal factoriseren of ontbinden in priemfactoren, op een unieke manier. Op die wijze kunnen heel wat problemen in de getaltheorie vaak herleid worden tot problemen over priemgetallen. Stelling 1.7 Elk natuurlijk getal verschillend van 0 kan op unieke wijze geschreven worden als het product van priemgetallen. Concreet bestaan er dus voor elk getal n \{0} unieke priemgetallen p 1 < p 2 < < p k en unieke natuurlijke getallen α i verschillend van 0 zodat n = p α 1 p α 2... p α k 1 2 k. We hebben daarnet vermeld dat het bijzonder moeilijk is om na te gaan of een gegeven getal een priemgetal is. Het is nóg moeilijker om een gegeven getal op efficiënte wijze te factoriseren. We gaan daar in Hoofdstuk 8 wat dieper op in.
6 1.1 Enkele onopgeloste problemen Misschien vraag je je nu af of er een formule bestaat die je kan zeggen hoe groot het miljoenste priemgetal is. Een exacte formule daarvoor bestaat niet. (Natuurlijk bestaat er wel een algoritme: je kan immers de eerste 1 miljoen priemgetallen berekenen. Efficiënt is dit uiteraard niet.) Maar merkwaardig is dat we wel goed kunnen inschatten hoe groot het miljoenste priemgetal bij benadering is. We weten dus ook bij benadering hoeveel priemgetallen er zijn die kleiner zijn dan een gegeven getal. Stelling 1.8 Prime number theorem Noteer het n-de priemgetal als p n, en stel π(x) gelijk aan het aantal priemgetallen kleiner dan of gelijk aan x. Dan is bij benadering π(x ) x lnx, p n n lnn. We kunnen de waarde van π(x ) nog nauwkeuriger afschatten met behulp van een zogenaamde logaritmischeintegraal. integraal. Definitiee 1.9 Voor elke x met x 2 stellen we Li(x)= x 2 1 lnt dt. Stelling 1.10 Stel π(x ) gelijk aan het aantal priemgetallen kleiner dan of gelijk aan x. Dan is bij benadering π(x) Li(x ). Voorbeeld 1.11 Stel x = Dan is π(x )=78498, x /lnx = 72382,41..., Li(x )=78626,50... Interessant is dat we wel weten dat dit niet zomaar een goede benadering is, maar een bijzonder goede benadering, zoals blijkt uit het volgende vermoeden!
7 Vermoeden 1.12 Voor alle x 3 geldt π(x) Li(x) x lnx. Dit is niet zomaar een vermoeden: het is equivalent met de beroemde Riemannhypothese. Dit is één van de Clay Math Institute Millenium problemen, waarmee je 1 miljoen dollar kan winnen als je er één oplost. Wellicht één van de redenen waarom priemgetallen zo tot de (wiskundige) verbeelding spreken, is het feit dat er nog heel wat onopgeloste problemen zijn over priemgetallen, die zeer eenvoudig te formuleren zijn. We vermelden er nog twee. Vermoeden 1.13 Vermoeden van Goldbach Elk even getal groter dan 2 is te schrijven als de som van twee priemgetallen. Voorbeeld = = = = = = = = Men heeft dit met de computer gecontroleerd tot aan 10 18, dus het ziet er zeer waarschijnlijk uit dat dit vermoeden wel waar is. Maar over de reden tasten we nog steeds in het duister... Vermoeden 1.15 Twin prime conjecture Er bestaan oneindig veel tweelingpriemen: dit zijn paren natuurlijke getallen {p,p + 2} waarvoor zowel p als p + 2 priem zijn. Voorbeeld = = = = = = Ter informatie: er zijn tweelingpriemen kleiner dan
8 2 De grootste gemene deler 7 2 De grootste gemene deler Gegeven twee gehele getallen a en b. Het is duidelijk dat zowel 1 als +1 een deler is van a en b. De verzameling van alle gemeenschappelijke delers van a en b is dus nooit ledig. We noemen het grootste element uit deze verzameling de grootste gemene deler van a en b. Aangezien deze definitie niet werkt voor ggd(0,0), definiëren we ggd(0,0)=0. Voorbeeld 2.1 Stel a = 126 en b = 35. De verzameling van gemeenschappelijke delers is { 7, 1,1,7}. De grootste gemene deler van 126 en 35 is dus 7. Zoals je zelf merkt als je bovenstaand voorbeeld controleert, zie je dat het opstellen van de verzameling van gemeenschappelijke delers om daaruit de grootste te halen, nogal omslachtig is om de grootste gemene deler te bepalen. We hebben gezien dat voor twee gehele getallen a en b, we steeds elementen q en r kunnen vinden zodat a = bq + r met 0 r < b. Oefening 2.2 Toon aan dat ggd(a,b)=ggd(b,r ) als a = bq+r. Toon ook aan dat uit de definitie van grootste gemene deler volgt dat ggd(a,0)=a voor alle a. We hernemen voorbeeld 2.1. Als we 126 door 35 delen, vinden we 126 = Dus ggd(126, 35) =ggd(35, 21). Het is inderdaad gemakkelijker om de ggd(35, 21) te bepalen dan die van 126 en 35. Maar niets weerhoudt ons om de deling met rest te herhalen, tot de rest 0 wordt. 126 = = = = 2 7 Uit het tweede deel van oefening 2.2 volgt dat ggd(7,0)=7, en we besluiten dat ggd(126,35)= 7. We merken nog op dat het herhaaldelijk toepassen van de deling met rest voor elke twee gehelen getallen a en b wel degelijk na een eindig aantal stappen een rest gelijk aan 0 zal opleveren. Daarmee hebben we in feite een algoritme beschreven. Dit algoritme, om de grootste gemene deler van twee getallen te bepalen, wordt het algoritme van Euclides genoemd. Oefening 2.3 Gebruik het algoritme van Euclides om ggd(204, 96) en ggd(351, 320) te bepalen.
9 We hernemen het voorbeeld waarin we ggd(126, 35) bepalen. Uit de opeenvolgende uitvoeringen van de deling met rest, halen we de volgende gelijkheden: ggd(126,35)=7 = = 21 ( ) = = 2 ( ) 1 35 = We besluiten dat ggd(126,35)= De grootste gemene deler is dus te schrijven als een lineaire combinatie van 126 en 35. Dit principe geldt algemeen en leidt tot volgende stelling: Stelling 2.4 Stelling van Bézout Gegeven twee gehele getallen a en b, dan bestaan er gehele getallen x en y zodat ax + by = ggd(a,b). Zulke getallenen x en y waarvoor ax + by = ggd(a,b) worden Bézoutcoëfficiënten van a en b genoemd. Het algoritme hierboven om die coëfficiënten te bepalen heet het uitgebreid algoritme van Euclides. Oefening 2.5 Gebruik de resultaten uit de berekening van ggd(204, 96) opnieuw om de Bézoutcoëfficiënten van 204 en 96 te bepalen. Het algoritme van Euclides heeft nog een andere toepassing. Beschouw de volgende vergelijking. 15x + 21y = 3. (1) Een dergelijke vergelijking wordt ook wel een lineaire diophantische vergelijking genoemd. We willen onderzoeken onder welke voorwaarden er een oplossing bestaat voor deze vergelijking. Stel dus dat er twee gehele getallen x 0 en y 0 bestaan waarvoor 15x y 0 = 3. Noem c := ggd(15,21) =3. Uit het bestaan van de oplossing (x 0,y 0 ) volgt dat c een deler moet zijn van het rechterlid van vergelijking (1). In dit geval zien we dat het rechterlid juist gelijk is aan c. We kunnen dan met het algoritme van Euclides een oplossing bepalen. Immers, met het algoritme van Euclides kunnen we een stel Bézoutcoëfficiënten van 15 en 21 bepalen, we vinden dat = 3. De getallen (3, 2) zijn dus een oplossing van de vergelijking. We beschouwen nu de vergelijking 15x + 21y = 6. (2)
10 3 Modulorekenen 9 Ook deze vergelijking kunnen we oplossen met behulp van het algoritme van Euclides. We weten dat de Bézoutcoëfficiënten (3, 2) een oplossing zijn van vergelijking 1. Aangezien het rechterlid van vergelijking (2) een veelvoud is van ggd(15, 21), volstaat het om de Bézoutcoëfficiënten (3, 2) met 2 te vermenigvuldigen om een oplossing te bekomen van vergelijking (2). In feite hebben we de volgende stelling bewezen. Stelling 2.6 De vergelijking ax + by = c heeft een oplossing als en slechts als ggd(a,b) c. Oefening 2.7 Bepaal, indien mogelijk, een oplossing van 15x + 35y = 6. Oefening 2.8 Bepaal, indien mogelijk, een oplossing van 12x + 77y = Modulorekenen Beschouw twee oneven gehele getallen, bijvoorbeeld 5 en 7. Het is duidelijk dat het verschil van 5 en 7 een even getal is, dus deelbaar door 2. Ook het verschil van twee even getallen is een even getal. Het verschil van een oneven en een even getal daarentegen, is altijd oneven, en dus niet deelbaar door twee. Deelbaarheid van het verschil van twee getallen door 2 is dus een eigenschap die waar is voor elke twee even getallen, en elke twee oneven getallen, maar niet voor een even en een oneven getal. We veralgemenen dit als volgt. Definitie 3.1 Stel m 0 een naturlijk getal en a en b twee gehele getallen, dan is a congruent aan b modulo m als en slechts als m (a b). Als a congruent is aan b modulo m, dan noteren we a b (mod m ).
Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie
Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie Jan De Beule, Tom De Medts en Jeroen Demeyer Voorwoord 1 Voorwoord Beste leerling, Deze nota s zijn bedoeld als begeleiding bij 6 lesuren Opgeloste
Nadere informatie2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.
Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt
Nadere informatieGetallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte
Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal
Nadere informatieGetaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)
Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk
Nadere informatieRSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002
RSA F.A. Grootjen 8 maart 2002 1 Delers Eerst wat terminologie over gehele getallen. We zeggen a deelt b (of a is een deler van b) als b = qa voor een of ander geheel getal q. In plaats van a deelt b schrijven
Nadere informatieOefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.
4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen
Nadere informatieOPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN
OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN 1.3.1. Er zijn 42 mogelijke vercijferingen. 2.3.4. De uitkomsten zijn 0, 4 en 4 1 = 4. 2.3.6. Omdat 10 = 1 in Z 9 vinden we dat x = c 0 +... + c m = c 0 +... + c m. Het getal
Nadere informatieOefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.
4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen
Nadere informatieHoofdstuk 6. Congruentierekening. 6.1 Congruenties
Hoofdstuk 6 Congruentierekening 6.1 Congruenties We hebben waarschijnlijk allemaal wel eens opgemerkt dat bij vermenigvuldigen van twee getallen de laatste cijfers als het ware meevermenigvuldigen. Stel
Nadere informatieDossier 3 PRIEMGETALLEN
Dossier 3 PRIEMGETALLEN atomen van de getallenleer Dr. Luc Gheysens Een priemgetal is een natuurlijk getal met twee verschillende delers, nl. 1 en het getal zelf. De priemgetallen zijn dus 2, 3, 5, 7,
Nadere informatieUniversiteit Gent. Academiejaar Discrete Wiskunde. 1ste kandidatuur Informatica. Collegenota s. Prof. Dr.
Universiteit Gent Academiejaar 2001 2002 Discrete Wiskunde 1ste kandidatuur Informatica Collegenota s Prof. Dr. Frank De Clerck Herhalingsoefeningen 1. Bepaal het quotiënt en de rest van de deling van
Nadere informatieDe Chinese reststelling
De Chinese reststelling 1 Inleiding 1. De Chinese reststelling is een stelling binnen de getaltheorie. De stelling werd voor het eerst beschreven in de vierde eeuw na Chr. door de Chinese wiskundige Sunzi
Nadere informatie7.1 Het aantal inverteerbare restklassen
Hoofdstuk 7 Congruenties in actie 7.1 Het aantal inverteerbare restklassen We pakken hier de vraag op waarmee we in het vorige hoofdstuk geëindigd zijn, namelijk hoeveel inverteerbare restklassen modulo
Nadere informatieGetaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1)
Lesbrief 2 Getaltheorie II 1 Lineaire vergelijkingen Een vergelijking van de vorm ax + by = c, a, b, c Z (1) heet een lineaire vergelijking. In de getaltheorie gaat het er slechts om gehele oplossingen
Nadere informatieInleiding tot de Problem Solving - deel 1: Combinatoriek en getaltheorie
Inleiding tot de Problem Solving - deel 1: Combinatoriek en getaltheorie Jan Vonk 1 oktober 2008 1 Combinatoriek Inleiding Een gebied dat vandaag de dag haast niet onderschat kan worden binnen de wiskunde
Nadere informatieGeldwisselprobleem van Frobenius
Geldwisselprobleem van Frobenius Karin van de Meeberg en Dieuwertje Ewalts 12 december 2001 1 Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Afspraken 3 3 Is er wel zo n g? 3 4 Eén waarde 4 5 Twee waarden 4 6 Lampenalgoritme
Nadere informatieWorteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen
Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge Roland van der Veen Modulorekenen Twee getallen a en b zijn gelijk modulo p als ze een veelvoud van p verschillen. Notatie: a = b mod p Bijvoorbeeld:
Nadere informatieDiophantische vergelijkingen
Diophantische vergelijkingen 1 Wat zijn Diophantische vergelijkingen? Een Diophantische vergelijking is een veeltermvergelijking waarbij zowel de coëfficiënten als de oplossingen gehele getallen moeten
Nadere informatieEigenschap (Principe van welordening) Elke niet-lege deelverzameling V N bevat een kleinste element.
Hoofdstuk 2 De regels van het spel 2.1 De gehele getallen Grof gezegd kunnen we de (elementaire) getaltheorie omschrijven als de wiskunde van de getallen 1, 2, 3, 4,... die we ook de natuurlijke getallen
Nadere informatieWe beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.
II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;
Nadere informatie7 Deelbaarheid. 7.1 Deelbaarheid WIS7 1
WIS7 1 7 Deelbaarheid 7.1 Deelbaarheid Deelbaarheid Voor geheeltallige d en n met d > 0 zeggen we dat d een deler is van n, en ook dat n deelbaar is door d, als n d een geheel getal is. Notatie: d\n k
Nadere informatie1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen
46 Getallen 1.5 Getaltheorie 1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen De getallen 0,1,2,3,4,... enz. worden de natuurlijke getallen genoemd (de heleverzamelingvanaldezegetallenbijelkaarnoterenwemethetteken:
Nadere informatieJe hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015
Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. Elk vraagstuk is maximaal 10 punten waard. Begin elke opgave op een nieuw vel papier. µkw uitwerkingen 12 juni 2015 Vraagstuk 1. We kunnen
Nadere informatiePG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5
2015-2015 PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5 Inhoud Kenmerken van deelbaarheid (herhaling)...1 Ontbinden in factoren...1 Priemgetallen (herhaling)...2 Ontbinden in priemfactoren...2 KGV (Kleinste Gemene
Nadere informatie6 Ringen, lichamen, velden
6 Ringen, lichamen, velden 6.1 Polynomen over F p : irreducibiliteit en factorisatie Oefening 6.1. Bewijs dat x 2 + 2x + 2 irreducibel is in Z 3 [x]. Oplossing 6.1 Aangezien de veelterm van graad 3 is,
Nadere informatieBijzondere kettingbreuken
Hoofdstuk 15 Bijzondere kettingbreuken 15.1 Kwadratische getallen In het vorige hoofdstuk hebben we gezien dat 2 = 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2,.... Men kan zich afvragen waarom we vanaf zeker moment alleen maar
Nadere informatieOpgaven Eigenschappen van Getallen Security, 2018, Werkgroep.
Opgaven Eigenschappen van Getallen Security, 2018, Werkgroep. Gebruik deze opgaven, naast die uit het boek, om de stof te oefenen op het werkcollege. Cijfer: Op een toets krijg je meestal zes tot acht
Nadere informatieSpookgetallen. Jan van de Craats en Janina Müttel
Spookgetallen Jan van de Craats en Janina Müttel leadtekst In de serie Open Problemen deze keer drie beroemde onopgeloste raadsels. Je kunt er geen miljoen dollar mee winnen, maar wel onsterfelijke roem.
Nadere informatieExtra oefeningen hoofdstuk 4: Deelbaarheid
Extra oefeningen hoofdstuk 4: Deelbaarheid 4.1 Delers en veelvouden 1 Bepaal door opsomming. a) del 84 =... b) del 13 =... c) del 44 =... d) del 89 =... e) del 1 =... f) del 360 =... 2 Bepaal de eerste
Nadere informatieHoofdstuk 6 : DEELBAARHEID
1 H6. Deelbaarheid Hoofdstuk 6 : DEELBAARHEID 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 203-230 ) 6.1 Delers en veelvouden Verklaren waarom een natuurlijk getal (wel of geen) deler is van een ander natuurlijk
Nadere informatieCover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation.
Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/20310 holds various files of this Leiden University dissertation. Author: Jansen, Bas Title: Mersenne primes and class field theory Date: 2012-12-18 Samenvatting
Nadere informatieOpmerking. TI1300 Redeneren en Logica. Met voorbeelden kun je niks bewijzen. Directe en indirecte bewijzen
Opmerking TI1300 Redeneren en Logica College 2: Bewijstechnieken Tomas Klos Algoritmiek Groep Voor alle duidelijkheid: Het is verre van triviaal om definities te leren hanteren, beweringen op te lossen,
Nadere informatieHoofdstuk 6 : DEELBAARHEID
1 H6. Deelbaarheid Hoofdstuk 6 : DEELBAARHEID 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 203-230 ) 6.1 Delers en veelvouden Verklaren waarom een natuurlijk getal (wel of geen) deler is van een ander natuurlijk
Nadere informatie1. REGELS VAN DEELBAARHEID.
REKENEN VIJFDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Deelbaarheid door 10, 100, 1000 10: het laatste cijfer (= cijfer van de eenheden) is 0 100: laatste twee cijfers zijn 0 (cijfers van de eenheden
Nadere informatieGetaltheorie groep 3: Primitieve wortels
Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Trainingsweek juni 2008 Inleiding Voor a relatief priem met m hebben we de orde van a modulo m gedefinieerd als ord m (a) = min { n Z + a n 1 (mod m) }. De verzameling
Nadere informatie1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12
Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal
Nadere informatiepriemrecords? Jaap Top
priemrecords? Jaap Top JBI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 18-23 april 2013 (Collegecaroussel, Groningen) 1 priemrecords?! over priemgetallen 2, 3, 5, 7,..., 101,..., 2017,...... p priem: niet deelbaar door
Nadere informatiePriemgetallen. van nutteloos tot staatsgevaarlijk? Wieb Bosma. Nijmeegse Tweedaagse Radboud Universiteit
Priemgetallen van nutteloos tot staatsgevaarlijk? Wieb Bosma Nijmeegse Tweedaagse Radboud Universiteit Nijmegen oktober 2008 Priemgetallen 2 Voorwoord Dit zijn de aantekeningen bij één van de twee onderwerpen
Nadere informatiePolynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2
Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van
Nadere informatiePriemontbinding en ggd s
Hoofdstuk 3 Priemontbinding en ggd s 3.1 Priemgetallen Een getal > 1 dat alleen 1 en zichzelf als positieve deler heeft noemen we een priemgetal. De rij priemgetallen begint als volgt, 2, 3, 5, 7, 11,
Nadere informatieHeron driehoek. 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule
Heron driehoek 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule = s(s a)(s b)(s c) met s = a + b + c 2 die gebruikt wordt om de oppervlakte van een driehoek te berekenen in
Nadere informatieDefinitie 5.1. Cyclische groepen zijn groepen voortgebracht door 1 element.
Hoofdstuk 5 Cyclische groepen 5.1 Definitie Definitie 5.1. Cyclische groepen zijn groepen voortgebracht door 1 element. Als G wordt voortgebracht door a en a n = e, dan noteren we de groep als C n = a.
Nadere informatieOpen priemproblemen. Jan van de Craats
Open priemproblemen Jan van de Craats Misschien denk je dat over priemgetallen, de bouwstenen van het rekenen, wel zo ongeveer alles bekend is. Dat er op dat terrein geen onopgeloste vraagstukken meer
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 1 Algebraïsch rekenen (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren............. 1. De
Nadere informatie2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen ( 15 x 3 = 45
15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een
Nadere informatieAlgebra. Oefeningen op hoofdstuk Groepentheorie Cayleytabellen van groepen van orde Cyclische groepen
Oefeningen op hoofdstuk 5 Algebra 5.2 Groepentheorie 5.2.1 Cayleytabellen van groepen van orde 8 Oefening 5.1. Stel de Cayleytabel op voor de groep van de symmetrieën van een vierkant. Bewijs dat deze
Nadere informatieOVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π
OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π KOEN DE NAEGHEL Samenvatting. In deze nota buigen we ons over de vraag of een macht van π een irrationaal getal is. De aangereikte opbouw en bewijsmethoden zijn
Nadere informatieBewijs door inductie
Bewijs door inductie 1 Bewijs door inductie Vaak bestaat een probleem erin aan te tonen dat een bepaalde eigenschap geldt voor elk natuurlijk getal. Als je wilt weten of iets waar is voor alle natuurlijke
Nadere informatieII.3 Equivalentierelaties en quotiënten
II.3 Equivalentierelaties en quotiënten Een belangrijk begrip in de wiskunde is het begrip relatie. Een relatie op een verzameling is een verband tussen twee elementen uit die verzameling waarbij de volgorde
Nadere informatieMemoriseren: Een getal is deelbaar door 10 als het laatste cijfer een 0 is. Of: Een getal is deelbaar door 10 als het eindigt op 0.
REKENEN VIJFDE KLAS en/of ZESDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Luc Cielen: Regels van deelbaarheid, grootste gemene deler en kleinste gemeen veelvoud 1 Deelbaarheid door 10, 100, 1000. Door
Nadere informatieFACTORISATIE EN CRYPTOGRAFIE
FACTORISATIE EN CRYPTOGRAFIE UvA-MASTERCLASS WISKUNDE 1993 P. Stevenhagen Faculteit Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam 1993 INLEIDING In deze masterclass zullen we ons voornamelijk bezighouden
Nadere informatieOplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave.
Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave. Opgave 6 Lesbrief, opgave 4.5 De getallen m en n zijn verschillende positieve gehele getallen zo, dat de laatste drie cijfers van 1978 m en 1978 n overeenstemmen.
Nadere informatie2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 = 45
15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een
Nadere informatieGehelen van Gauss. Hector Mommaerts
Gehelen van Gauss Hector Mommaerts 2 Hoofdstuk 1 Definities Gehelen van Gauss zijn complexe getallen van de vorm a + bi waarbij a, b Z. De verzameling van alle gehelen van Gauss noteren we met Z(i). Dus
Nadere informatieCover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation
Cover Page The handle http://hdl.handle.net/887/25833 holds various files of this Leiden University dissertation Author: Palenstijn, Willem Jan Title: Radicals in Arithmetic Issue Date: 204-05-22 Samenvatting
Nadere informatieGETALTHEORIE 1. de Leuke En Uitdagende Wiskunde 1, 2, 3, 4, 5, 1, 3, 6, 10, 15, 1, 4, 9, 16, 25, 1, 5, 12, 22, 35, 1, 6, 15, 28, 65,
GETALTHEORIE 1 1, 2, 3, 4, 5, 1, 3, 6, 10, 15, 1, 4, 9, 16, 25, 1, 5, 12, 22, 35, 1, 6, 15, 28, 65, SAMENSTELLING: H. de Leuw - 1 - 1. NATUURLIJKE GETALLEN. Als kind hebben we allemaal leren tellen: 1,
Nadere informatiehandleiding ontbinden
handleiding ontbinden inhoudsopgave inhoudsopgave de grote lijn 3 Bespreking per paragraaf 4 Applets 4 1 met gegeven product 4 ontbinden van getallen 4 3 vergelijkingen 5 4 onderzoek 6 tijdpad 9 materialen
Nadere informatieFACTORISATIE EN CRYPTOGRAFIE
FACTORISATIE EN CRYPTOGRAFIE COMPUTERPRACTICUM UvA-MASTERCLASS WISKUNDE 1993 G.C.M. Ruitenburg Faculteit Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam 1993 INLEIDING In dit computer prakticum volgen
Nadere informatieOver de construeerbaarheid van gehele hoeken
Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Dick Klingens maart 00. Inleiding In de getallentheorie worden algebraïsche getallen gedefinieerd via rationale veeltermen f van de n-de graad in één onbekende:
Nadere informatieGetallen, 2e druk, extra opgaven
Getallen, 2e druk, extra opgaven Frans Keune november 2010 De tweede druk bevat 74 nieuwe opgaven. De nummering van de opgaven van de eerste druk is in de tweede druk dezelfde: nieuwe opgaven staan in
Nadere informatieGrafieken van veeltermfuncties
(HOOFDSTUK 43, uit College Mathematics, door Frank Ayres, Jr. and Philip A. Schmidt, Schaum s Series, McGraw-Hill, New York; dit is de voorbereiding voor een uit te geven Nederlandse vertaling). Grafieken
Nadere informatieOefening: Markeer de getallen die een priemgetal zijn.
Getallenkennis : Priemgetallen. Wat is een priemgetal? Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. (m.a.w. een priemgetal is een natuurlijk getal
Nadere informatiePublic Key Cryptography. Wieb Bosma
Public Key Cryptography de wiskunde van het perfecte kopje koffie Wieb Bosma Radboud Universiteit Nijmegen Bachelordag 2 april 2011 Nijmegen, 6 november 2010 0 Nijmegen, 6 november 2010 1 cryptografie
Nadere informatie2. Ga voor volgende relaties na of het al dan niet functies, afbeeldingen, bijecties, injecties, surjecties zijn :
HOOFDSTUK. VERZAMELINGEN, RELATIES EN FUNCTIES Opgaven verzamelingen, relaties en functies. Toon aan : a) (A B) C = A (B C) b) A (B C) = (A B) (A C) c) (A B) c = A c B c d) A B B c A c. Ga voor volgende
Nadere informatieregel: de som van de cijfers op de even plaatsen min de som van de cijfers op de oneven plaatsen moet 0 of 11 zijn.
Rekenperiode 5e klas januari - februari 1998 1. deelbaarheid door 2 2. deelbaarheid door 4 3. deelbaarheid door 8 4. opgave 5. deelbaarheid door 3 6. deelbaarheid door 9 7. opgave 8. deelbaarheid door
Nadere informatieWanneer zijn veelvouden van proniks proniks?
1 Uitwerking puzzel 92-1 Wanneer zijn veelvouden van proniks proniks? Harm Bakker noemde het: pro-niks voor-niks De puzzel was voor een groot deel afkomstig van Frits Göbel. Een pronik is een getal dat
Nadere informatie5 Inleiding tot de groepentheorie
5 Inleiding tot de groepentheorie Oefening 5.1. Stel de Cayleytabel op voor de groep van de symmetrieën van een vierkant. Bewijs dat deze groep de viergroep van Klein bezit als deelgroep van index 2. Oplossing
Nadere informatiePijlenklokken. 1 Inleiding
Pijlenklokken 1 Inleiding In bovenstaande tekening zie je 1 rode punten. Er staan blauwe pijlen van elk rood punt naar een ander rood punt 4 plaatsen verder op de cirkel. Een dergelijke afbeelding noemen
Nadere informatieWISKUNDE 1. Aansluitmodule wiskunde MBO-HBO
WISKUNDE 1 Aansluitmodule wiskunde MBO-HBO Wat moet je aanschaffen? Basisboek wiskunde tweede editie Jan van de Craats en Rob Bosch isbn:978-90-430-1673-5 Dit boek gebruikt men ook op de Hanze bij engineering.
Nadere informatieHet RSA Algoritme. Erik Aarts - 1 -
Het RSA Algoritme Erik Aarts - 1 - 1 Wiskunde... 3 1.1 Het algoritme van Euclides... 3 1.1.1 Stelling 1... 4 1.2 Het uitgebreide algoritme van Euclides... 5 1.3 Modulo rekenen... 7 1.3.1 Optellen, aftrekken
Nadere informatieOpgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002
Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002 19.a) Laat zien dat 5 een voortbrenger is van F 37. b) In het sleuteldistributiesysteem van Diffie en Hellman (met G = F 37, α =
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 6
Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W
Nadere informatieHoofdstuk 3. Equivalentierelaties. 3.1 Modulo Rekenen
Hoofdstuk 3 Equivalentierelaties SCHAUM 2.8: Equivalence Relations Twee belangrijke voorbeelden van equivalentierelaties in de informatica: resten (modulo rekenen) en cardinaliteit (aftelbaarheid). 3.1
Nadere informatieAlgebra. voor Informaticastudenten Getallen. Ernic Kamerich. Jean Delville: de school van Plato
Algebra voor Informaticastudenten Getallen Jean Delville: de school van Plato Ernic Kamerich januari 2007 Inhoud 1 De gehele getallen..........................................................................
Nadere informatieAlgoritmes en Priemgetallen. Hoe maak je een sleutelpaar voor RSA?
Algoritmes en Priemgetallen Hoe maak je een sleutelpaar voor RSA? Het recept van RSA Kies p q priemgetallen en bepaal N = pq Kies e Z N (publieke sleutel) Bepaal d e 1 mod φ N (privésleutel) x ed x kφ
Nadere informatieIMO-selectietoets III zaterdag 3 juni 2017
IMO-selectietoets III zaterdag 3 juni 017 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Gegeven is cirkel ω met middellijn AK. Punt M ligt binnen de cirkel, niet op lijn AK. De lijn AM snijdt
Nadere informatie5.2.4 Varia in groepentheorie
Oefeningen op hoofdstuk 5 Algebra 5.2 Groepentheorie 5.2.1 Cayleytabellen van groepen van orde 8 Oefening 5.1. Stel de Cayleytabel op voor de groep van de symmetrieën van een vierkant. Bewijs dat deze
Nadere informatieboek Getallen 2009, errata (8 oktober 2011)
boek Getallen 009, errata (8 oktober 0) De toren van Hanoi 6 0 van a naar b } van a naar b }. 8 6 en x / B } en x / B }. - zonodig zo nodig De natuurlijke getallen 3 - vermenigvuldigeing vermenigvuldiging
Nadere informatieZwakke sleutels voor RSA
Zwakke sleutels voor RSA Benne de Weger, Mike Boldy en Hans Sterk 23 juni 2008 Zwakke sleutels voor RSA Benne de Weger, Mike Boldy en Hans Sterk 23 juni 2008 RSA: beroemd cryptosysteem Genoemd naar Rivest,
Nadere informatieRuimtemeetkunde deel 1
Ruimtemeetkunde deel 1 1 Punten We weten reeds dat Π 0 het meetkundig model is voor de vectorruimte R 2. We definiëren nu op dezelfde manier E 0 als meetkundig model voor de vectorruimte R 3. De elementen
Nadere informatieLes C-01: Algoritmen. 2005 David Lans
2005 David Lans Les C-01: Algoritmen 1.0 Inleiding Moeilijke problemen pakken we vaak stapsgewijs aan: Een olifant eet je met kleine hapjes. Het is van belang om de stappen waarmee we een probleem oplossen
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.
Nadere informatie6 Ringen, lichamen, velden
6 Ringen, lichamen, velden 6.1 Polynomen over F p : irreducibiliteit en factorisatie Oefening 6.1. Bewijs dat x 2 + 2x + 2 irreducibel is in Z 3 [x]. Oefening 6.2. Ontbind x 5 + x 4 + x 3 + x in irreducibele
Nadere informatievandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen
Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud
Nadere informatieIn Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:
Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 2 Extremenprincipe 4 3 Ladenprincipe 8 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel
Nadere informatieGroepen, ringen en velden
Groepen, ringen en velden Groep Een groep G is een verzameling van elementen en een binaire operator met volgende eigenschappen: 1. closure (gesloten): als a en b tot G behoren, doet a b dat ook. 2. associativiteit:
Nadere informatieUitwerkingen oefeningen hoofdstuk 1
Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 1 1.4.1 Basis Oefeningen Romeinse cijfers 1 Op deze zonnewijzer staan achtereenvolgens de getallen: I (= 1) II (= 2) III (= 3) IV (= 4) V (= 5) VI (= 6) VII (= 7) VIII
Nadere informatieOefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A
Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat
Nadere informatieProjectieve Vlakken en Codes
Projectieve Vlakken en Codes 1. De Fanocode Foutdetecterende en foutverbeterende codes. Anna en Bart doen mee aan een spelprogramma voor koppels. De ene helft van de deelnemers krijgt elk een kaart waarop
Nadere informatiePriemgetallen. Frans Oort. Communiceren in de Wiskunde (WISB 106) Utrecht, 11 november 2012
Priemgetallen Frans Oort Communiceren in de Wiskunde (WISB 106) Utrecht, 11 november 2012 prime numbers grow like weeds among the natural numbers, seeming to obey no other law than that of chance, and
Nadere informatieDomeinbeschrijving rekenen
Domeinbeschrijving rekenen Discussiestuk ten dienste van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Rekenen en Taal auteur: Jan van de Craats 11 december 2007 Inleiding Dit document bevat een beschrijving van
Nadere informatieDiscrete Structuren voor Informatici
Discrete Structuren voor Informatici 1 Eenvoudige telproblemen Dit zijn aantekeningen voor het college Discrete Structuren voor Informatici, Blok A, herfst 2008. We behandelen een aantal telproblemen,
Nadere informatieHoofdstuk 4. Delers. 4.1 Delers (op)tellen
Hoofdstuk 4 Delers 4. Delers (op)tellen Ieder getal heeft zijn delers. Van oudsher heeft het onvoorspelbare gedrag van delers van getallen een aantrekkingskracht uitgeoefend op mensen. Zozeer zelfs dat
Nadere informatieHoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken. Benne de Weger
Hoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken Benne de Weger 28 aug. / 4 sept. RSA 1/38 asymmetrisch cryptosysteem versleutelen met de publieke sleutel ontsleutelen met de bijbehorende privé-sleutel gebaseerd
Nadere informatieWiskundige beweringen en hun bewijzen
Wiskundige beweringen en hun bewijzen Analyse (en feitelijk de gehele wiskunde) gaat over het bewijzen van beweringen (proposities), d.w.z. uitspraken waaraan de karakterisering waar of onwaar toegekend
Nadere informatieb + b c + c d + d a + a
Voorwoord De wiskundige vorming die in de wiskundig sterke richtingen van het Vlaamse secundair onderwijs wordt aangeboden, vormt een zeer degelijke basis voor hogere studies in wetenschappelijke, technologische
Nadere informatiepriemgetallen en verzamelingen Jaap Top
priemgetallen en verzamelingen Jaap Top IWI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 21 april 2009 (Collegecaroussel, Groningen) 1 In de biografie Gauss zum Gedächtnis (1862, door de Duitse geoloog Wolfgang Sartorius
Nadere informatieExamen Datastructuren en Algoritmen II
Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2016 2017, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees de hele
Nadere informatieHoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen
Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan
Nadere informatieLights Out. 1 Inleiding
Lights Out 1 Inleiding Het spel Lights Out is een elektronisch spel dat gelanceerd werd in 1995 door Tiger Electronics. Het originele spel heeft een bord met 25 lampjes in een rooster van 5 rijen en 5
Nadere informatie