priemrecords? Jaap Top

Transcriptie

1 priemrecords? Jaap Top JBI-RuG & DIAMANT april 2013 (Collegecaroussel, Groningen) 1

2 priemrecords?! over priemgetallen 2, 3, 5, 7,..., 101,..., 2017, p priem: niet deelbaar door een d met 1 < d < p 2

3 Stelling (Euclides): er bestaan oneindig veel priemgetallen. Euclides, 300 voor Christus (volgens Justus van Gent, ) 3

4 Want: Stel je hebt priemen p 1,... p t. Vermenigvuldig: P := p 1 p 2... p t. Tel er één bij op: N := P + 1 Kies een priemgetal q dat N deelt (misschien N zelf wel...) Dan q p j, want anders zou q zowel P als N = P + 1 delen, dus dan had je twee opeenvolgende getallen in de tafel van q. Dus is q een nieuw priemgetal! 4

5 Voorbeeld: begin met 2 en 3 en 5. Product: P := = 30. Eén erbij: N = P + 1 = 31, een nieuwe priem! Voorbeeld: begin met alle priemen onder 100. Product plus één: N = Een priemdeler daarvan: q =

6 Oneindig veel priemgetallen, maar hoe vind je die? Eratosthenes, bibliothecaris in Alexandrië, wist het: 2 is priem, dus de veelvouden ervan (4, 6, 8,...) niet. Streep die veelvouden door. Het kleinste niet doorgestreepte getal voorbij 2 is 3. Die is priem, streep de veelvouden ervan door. Zo doorgaan. Steeds is de kleinste nieuwe een priemgetal, want anders was het een veelvoud van een eerdere kleinste, en die veelvouden zijn al doorgestreept. 6

7 Eratosthenes(?) ( voor Christus) 7

8 Voordeel: de methode van Eratosthenes geeft (uiteindelijk...) alle priemgetallen. Nadeel: om bijvoorbeeld het priemgetal te vinden, schrijven we alle ruim miljoen kleinste getallen op, dan heeeeeeel veel doorstrepen. Samen met deze priem vindt de methode dan ook alle priemen kleiner dan miljoen (dat zijn er 78498). 8

9 Hoe vind je dan een groot priemgetal? Pierre de Fermat (jurist in Toulouse, Frankrijk, iets na 1600 tot 1665): probeer F n := 2 (2n) + 1. Dus F 1 = = 5 F 2 = = 17 F 3 = = 257 F 4 = = Dit zijn priemgetallen! 9

10 Maar helaas: F 5 = = F 6 = = (We denken, maar weten niet zeker: na F 2, F 3, F 4 is geen van de F n met n 5 een priemgetal!) 10

11 Overigens: al die getallen F 2, F 3, F 4,... eindigen op een 7. Alleen F 1 = 5 niet. Reden hiervoor: (F n 1) (F n 1) = 2 (2n) 2 (2n ) = 2 (2n +2 n ) = 2 (2 2n ) = 2 (2n+1 ) = F n

12 Dus F n+1 = 1 + (F n 1) 2. Eindigt een F n op 7, dan is het laatste cijfer van F n 1 een 6. Dus (F n 1) 2 eindigt ook op 6, en daaraan zie je dat F n+1 als laatste cijfer een 7 heeft. Enzovoort, alle volgende eindigen eveneens op 7. 12

13 Andere poging: Marin Mersenne, een Franse priester, : probeer M n := 2 n 1. Claim: als n > 1 geen priemgetal is, dan is M n = 2 n 1 dat ook niet. 13

14 Want: schrijf n = k l met k 2 en l 2. We gaan aantonen dat dan 2 kl 1 geen priemgetal is. Voorbeeld: = 3 5 Voorbeeld: = Voorbeeld: =

15 Neem m > 1 en schrijf dan f(x) = 1 + x + x x m 1 xf(x) = x + x 2 + x x m Aftrekken: xf(x) f(x) = x m 1 oftewel (x 1)f(x) = x m 1. 15

16 We zagen: met f(x) = 1 + x x m 1 geldt x m 1 = (x 1)f(x). Dit passen we toe op x = 2 k en m = l: 2 kl 1 = (2 k 1) f(2 k ) Dus het getal links is het product van de twee getallen rechts. Die twee factoren rechts zijn 2 en geheel, dus is het getal links geen priemgetal. Conclusie: M n = 2 n 1 kan alleen een priemgetal zijn als n dat ook is. 16

17 Maar: neem n = p een priemgetal. Is M p = 2 p 1 dan ook priem? Mersenne had in de inleiding van zijn boek Cogitata Physica- Mathematica (1644) het voorbeeld M 127 = , echter ook: M 11 = 23 89, M 23 = , M 29 =

18 Interesse in priemgetallen M p was er al sinds Euclides (300 voor Christus): Als M p priem is, dan is P p := M p 2 p 1 perfect! Dat houdt in: P p is gelijk aan de som van z n echte delers. 6 = = =

19 De wiskundigen É. Lucas ( ) uit Frankrijk en D.H. Lehmer ( ) uit de Verenigde Staten bedachten een manier, om in ongeveer p eenvoudige rekenstappen te bepalen of het getal M p wel of niet een priemgetal is. Zo kon Lucas al in 1876 nagaan dat inderdaad M 127 priem is, zoals Mersenne had beweerd (maar: veel andere beweringen van Mersenne over getallen M p waren fout). De Amerikaanse informaticus George Woltman startte in 1996 de Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS): hij schreef een computerprogramma dat de test van Lucas en Lehmer uitvoert. Iedereen mag dit downloaden en op de eigen computer uitvoeren. Dankzij GIMPS zijn nu 48 priemgetallen M p bekend. 19

20 De grootste tot nu toe, gevonden op 25 januari 2013 door de Amerikaan Curtis Cooper: , een getal van cijfers... George Woltman Curtis Cooper 20

21 É. Lucas & D.H. Lehmer 21

22 Kunnen wij een groter priemgetal vinden? (Zou M werken? Die is groter...) (Misschien M ? Waarom wel/niet?) 22

23 We kunnen ook een variatie op de getallen van Mersenne proberen. Neem, in plaats van 2 n 1 bijvoorbeeld 6 n 1. Probleem: 6 n heeft als laatste cijfer een 6 (als n 1), dus 6 n 1 eindigt op een 5. Conclusie: als n > 1 dan is 6 n 1 geen priemgetal. Maar: deel gewoon door 5. Dus we nemen de getallen G n gegeven door 5 G n = 6 n 1. 23

24 Een tabelletje: n : G n : n : G n : n : G n : Wat valt op? 24

25 Als n door 5 deelbaar is, dan is G n dat ook. Immers, er geldt 5G n = 6 n 1, en dus 30G n = 6 (6 n 1) = 6 n+1 6 = (6 n+1 1) 5, dus (deel door 5) 6G n = G n+1 1 oftewel G n+1 = 6G n

26 Met de formule G n+1 = 6G n + 1 zie je wat het laatste cijfer is: er geldt G 1 = 1, dus het laatste cijfer is achtereenvolgens (enzovoort). Na 5 stappen hebben we weer hetzelfde laatse cijfer! Bij stap 5 is dat een 5, dus bij stap 10 en stap 15 en stap 20 en stap 5m ook: als n deelbaar is door 5, dan eindigt G n op een 5 en dus is in dat geval ook G n deelbaar door 5. 26

27 Stelling: als n geen priemgetal is, dan is G n dat ook niet. Immers, net als eerder gebruiken we de regel x m 1 = (x 1)f(x). Stel dat n = k l. Vul in: x = 6 k en m = l, dan staat er 6 kl 1 = (6 k 1) f(6 l ), en dus G kl = G k f(6 l ). Voor k > 1 staan er rechts twee getallen groter dan 1, en dus is G kl geen priemgetal. 27

28 Een getal G n kan dus alleen een priemgetal zijn als n zelf een priemgetal is, en bovendien n 5. De kleinste p s waarvoor G p priem is: 2, 3, 7, 29, 71, 127, 271, 509, 1049, 6389,

29 We verwachten, maar weten niet zeker, dat er oneindig veel priemgetallen zijn waarvoor M p = 2 p 1 ook priem is. Evenzo verwachten we, dat er oneindig veel priemgetallen zijn waarvoor geldt dat G p = (6 p 1)/5 ook priem is. Het verschil: M p is al eeuwenlang bestudeerd. Maar de getallen G p zijn speciaal bedacht voor deze collegecaroussel in

30 Zou er misschien ook voor de getallen G p een test te bedenken zijn, net als die van Lucas en Lehmer voor M p, waarmee in ongeveer p eenvoudige rekenstappen is na te gaan of G p priem is? We weten het (nog) niet. 30

31 Wel weten we: Als p 5 priem is en l is een priemgetal waardoor G p deelbaar is, dan is l van de vorm voor een geheel getal k 1, l = 1 + 2pk en ook voor een geheel getal m. l = {1 of 5 of 19 of 23} + 24m 31

32 Voorbeeld: p = 11. Dat geeft G 11 = Een deler hiervan die bovendien een priemgetal is, moet dan een priemgetal van de vorm l = k zijn. Bovendien moet dat priemgetal l een rest 1 of 5 of 19 of 23 overlaten als je l probeert te delen door 24. De kleinste priem l die aan beide eisen voldoet, is l = 23. En inderdaad: =

33 Meer eigenschappen van G p voor p > 2 een priemgetal: ( ) G p levert een rest 3 bij delen door 8. ( ) G p levert een rest 1 bij delen door 7. Dit zie je door eerst op te merken dat het klopt voor G 3 = 43. Verder G n+2 = 6G n = 6 (6G n + 1) + 1 = 36G n + 7. Hiermee zie je dat de eigenschappen waar blijven als je p twee groter maakt. Dus het klopt voor elke p > 2. 33

34 Voor het priemgetal p = geldt dat G p groter is dan het record priemgetal M Dus als we een snelle manier zouden weten om te bepalen of G p een priemgetal is, dan hebben we misschien een nieuw record... 34

35 35