eerste en laatste cijfers Jaap Top

Transcriptie

1 eerste en laatste cijfers Jaap Top JBI-RuG & DIAMANT 3-10 april 2013 (Collegecarrousel, Groningen) 1

2 laatste, eerste?! over getallen 2,..., 101,..., 2014, laatste cijfers hiervan: 2,..., 1,..., 4, eerste cijfers: 2,..., 1,..., 2,

3 Voor n = 1, 2, 3, 4, enzovoort: wat is het laatste cijfer van 2 n? wat is het laatste cijfer van 3 n? 3

4 Proberen: n n laatste: Wat zie je? 4

5 Wat zie je? Bij 2 n : Alleen 2, 4, 8, 6 komen voor als laatste cijfer. Het gaat periodiek: na 4 keer weer hetzelfde. Wat is dus het laatste cijfer van ? 5

6 Formules. Voor n = 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, cijfer. heeft 2 n een 2 als laatste Dat gebeurt dus voor n = 4m+1 (met m geheel en niet negatief). Dus: 2 4m+1 levert laatste cijfer 2. 6

7 Voor n = 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26,......, 2014,... heeft 2 n een 4 als laatste cijfer. Dat gebeurt dus voor n = 4m+2 (met m geheel en niet negatief). Dus: 2 4m+2 levert laatste cijfer 4. Verder 2 4m+3 heeft laatste cijfer 8, en 2 4m+4 laatste cijfer 6. 7

8 Hoe zit dat bij andere getallen? Bijvoorbeeld: 10 n en 5 n en 6 n zijn eenvoudig... En 4 n? Er geldt 4 n = 2 n 2 n = 2 (2n). Is n even, dan 2n = 4m + 4 en dus 4 n eindigt op 6. En is n oneven, dan 2n = 4m + 2 en dus eindigt 4 n op 4. Hier dus maar twee mogelijkheden. 8

9 Het algemene geval: a n. Claim. a n en a n+4 eindigen op hetzelfde cijfer. Bewijs. Anders geformuleerd: a n+4 a n eindigt op een 0, oftewel, is deelbaar door 10. Nu is a n+4 a n = a n ( a 4 1 ) = a n (a 2 + 1) (a + 1) (a 1). Dit product is even, want één van a en a + 1 is even. Het product is ook deelbaar door 5, want is a dat, dan ook a n, en is a + 1 het, dan ook het product, en is a + 2 of a + 3 het, dan ook a 2 + 1, en is a + 4 het, dan ook a 1. Dit zijn alle mogelijkheden. Ons getal is deelbaar door 2 en 5, dus door 10. 9

10 Tabel: 2 n 3 n 4 n 5 n 6 n 7 n 8 n 9 n n = 4m n = 4m n = 4m n = 4m Conclusie: er zijn maar weinig verschillende mogelijkheden, en het laatste cijfer van a n is voor elke positieve gehele a en n snel te vinden. 10

11 Nu het eerste cijfer. Eerst weer proberen. n n Wat zie je?

12 Het lijkt alsof de rij blauwe cijfers periodiek is met periode 10. Oftewel: 2 n en 2 n+10 lijken hetzelfde eerste cijfer te hebben. Voorbeeld: 2 1 en 2 11 en 2 21 en 2 31 en 2 41 en 2 51 en 2 61 hebben allemaal eerste cijfer 2. En verder? 12

13 2 181 = En heeft als eerste cijfer 4, en begint zelfs met een 5. 13

14 Dus: de rij eerste cijfers van 2 n is niet periodiek met periode 10. Opnieuw de tabel. n n Zou eerste cijfer 7 of 9 wel voorkomen? 14

15 JA! 2 46 = =

16 16

17 17

18 18

19 Als c het eerste cijfer van 2 n is, dan zegt dit iets over het eerste cijfer van 4 n. Immers, dat 2 n begint met een c, wil zeggen c 10 m 2 n < (c + 1) 10 m voor zekere gehele m 0, en dus c m 4 n < (c + 1) m. Voor c = 1 staat hier 10 2m 4 n < m, en dus is dan het eerste cijfer van 4 n gelijk aan 1, 2, of 3. En voor c = 7 blijkt 4 n alleen met 4, 5, of 6 te mogen beginnen. 19

20 Op dezelfde manier legt een gegeven eerste cijfer van 2 n een restrictie op het eerste cijfer van 8 n. Bijvoorbeeld: begint 2 n met een 3, dan moet 8 n met een van de cijfers 2, 3, 4, 5, 6 beginnen. Zo komen we terecht bij een vraag die op het internet Gelfand s Question heet. 20

21 21

22 Israel M. Gel fand ( ) Russische wiskundige 22

23 Het antwoord op Gel fand s vraag blijkt niet zo moeilijk te zijn. In z n bachelorscriptie (zomer 2013, Groningen) gaf Jaap Eising het. Vraag 1 hebben we zelf al beantwoord. beide als antwoord: NEE. Vraag 2 en 3 hebben 23

24 Jaap Eising (en de rest van het bestuur van de Fysisch-Mathematische Faculteitsvereniging, 2014) 24

25 Om vraag 2 te beantwoorden: schrijf 2 n = α n 10 m voor een niet negatief geheel getal m, en 1 < α n < 10. Het eerste cijfer van 2 n krijg je dan door α n naar beneden af te ronden. Voorbeeld: 2 10 = 1, , = 1,

26 Hetzelfde doen we met 5 n : dus 5 n = γ n 10 k met k geheel en 1 < γ n < 10. Omdat 2 n 5 n = 10 n, moet wel gelden α n γ n = 10. Zou voor n > 1 gelden dat α n naar beneden afgerond 2 is, en eveneens γ n naar beneden afgerond 5, dan is α n meer dan 2 (maar minder dan 3), en γ n zit tussen 5 en 6. Dus dan zou hun product meer dan 10 (en minder dan 18) zijn. Conclusie: α n en γ n met die afronding bestaan niet! 26

27 Eenzelfde soort argument werkt voor Vraag 3: Zou het eerste cijfer van elk van 2 n tot en met 9 n hetzelfde zijn, dan weer vanwege α n γ n = 10 plus het gegeven dat α n en γ n afgerond hetzelfde zijn, volgt 3 < α n, γ n < 4. Maar dan zou 4 n = 2 n 2 n = α 2 n 10 2m als eerste cijfer een 9 of een 1 hebben, terwijl 2 n dat niet heeft (die heeft een 3). Conclusie: allemaal hetzelfde eerste cijfer komt niet voor! 27

28 Hoeveel verschillende rijtjes eerste cijfers in 2 n, 3 n, 4 n, 5 n, 6 n, 7 n, 8 n, 9 n? Dit worden rijtjes van 8 cijfers. Voor elk van die cijfers c geldt 1 c 9. Dus hoogstens 9 8 = mogelijkheden. In werkelijkheid veel minder! 28

29 Immers, het eerste cijfer van 2 n legt een beperking op voor dat van 4 n, en dat van 5 n, en van 8 n. Er blijken precies 56 mogelijke rijtjes eerste cijfers van te bestaan. 2 n, 4 n, 5 n, 8 n n = 342 is de kleinste n waarvoor we het rijtje 8, 8, 1, 7 krijgen. 55 van die rijtjes komen oneindig vaak voor. De andere is 2, 4, 5, 8 en die zien we alleen bij n = 1. 29

30 Manier om alles te beschrijven: noteer 2 n = α n 10 m als eerder, en dan α n = 10 a voor een reële a tussen 0 en 1. Hetzelfde met 3 n = β n 10 k en β n = 10 b. Het rijtje eerste cijfers van 2 n, 3 n, 4 n, 5 n, 6 n, 8 n, 9 n hangt alleen af van die a en b. Immers, 4 n = 2 n 2 n en 5 n = 10 n /2 n en 6 n = 2 n 3 n en 8 n = 2 n 2 n 2 n en 9 n = 3 n 3 n. 30

31 Voorbeeld: eerste cijfers van 2 n,..., 6 n, 8 n, 9 n gelijk aan 8, 9, 8, 1, 8, 7, 9. Dan moet 8 10 a < 9, 9 10 b < 10, a < 90, a < 2, a+b < 90, a < 800, b < 100. Oplossing: 0, < a < 0, en 0, 9772 < b < 1 voldoen. 31

32 Vraag is nu: bestaan er wel getallen n zodat de bijbehorende a en b in deze heel kleine intervallen zitten? Dit is al in 1884 beantwoord door de Duitse wiskundige Leopold Kronecker: hoe klein de intervallen ook zijn, er bestaan oneindig veel n waarvoor a en b in die intervallen zitten. 32

33

34 34

35 De getekende grenzen in het (a, b)-vlak bij de ongelijkheden voor 10 a en 10 b verdelen het gebied in 1955 stukjes. Samen met het speciale geval n = 1 en met de 9 mogelijkheden voor het eerste cijfer van 7 n, volgt dan dat er precies = rijtjes voorkomen als eerste cijfers van 2 n t/m 9 n. Behalve de eerste rij, komen die allemaal voor oneindig (4 ) veel waarden van n voor! Conclusie: anders dan bij het laatste cijfer, zijn er veel mogelijkheden, en voor grote n is het eerste cijfer van a n in het algemeen niet eenvoudig te bepalen. 35

36 36