De wortel uit min één. Jaap Top

Transcriptie

1 De wortel uit min één Jaap Top JBI-RuG & DIAMANT 19 april

2 Marten Toonder, verhaal de minionen (1980) 2

3 3

4 4

5 5

6 Twee manieren om complexe getallen te beschrijven: algebraïsch, als uitdrukkingen a + b 1 met reële a, b; meetkundig, als punten met coördinaten (a, b) in het xy-vlak. We gaan op beide in, vergelijk het collegedictaat Differentiaalen integraalrekening, te vinden op 6

7 Alternatief, uitstekende inleiding: 7

8 Een complex getal is een uitdrukking van de vorm a + bi, met a en b reële getallen, en i een nieuw symbool. Is z = a + bi een complex getal, dan heet a R het reële deel van z en b R het imaginaire deel van z. Notatie Re(z) := a resp. Im(z) := b. De verzameling van alle complexe getallen geven we aan met C. Optellen en vermenigvuldigen in C: Laten z = a+bi en w = c+di complexe getallen zijn. Dan en z + w = (a + bi) + (c + di) := (a + c) + (b + d)i zw = (a + bi) (c + di) := (ac bd) + (ad + bc)i. 8

9 We vatten R op als een deel van C, door r R te zien als het complexe getal r + 0i. Evenzo hebben we een zekere deelverzameling van de complexe getallen die we de zuiver imaginaire getallen noemen. Dit zijn de complexe getallen van de vorm 0 + bi. Zo n zuiver imaginair getal schrijven we kortweg als bi. De rekenregels zeggen in het bijzonder dat (bi)(di) = bd, dus het product van twee zuiver imaginaire getallen is een reëel getal. Voor b = d = 1 staat hier dat i 2 = 1. 9

10 Optellen en vermenigvuldigen in C voldoet aan voor R al welbekende regels. Bijvoorbeeld z + w = w + z en zw = wz en ook (z + w)z 2 = zz 2 + wz 2. Complexe getallen z hebben een tegengestelde z, en aftrekken van complexe getallen (z w) betekent net als voor R dat we bij z de tegengestelde van w optellen. Minder evident: elk complex getal z 0 heeft een inverse; dat is een w C zodat zw = 1. Deze inverse wordt, net als in het reële geval, geschreven als z 1. Er geldt (a + bi) 1 = a a 2 + b 2 b a 2 + b 2i, zoals je nagaat door met a + bi te vermenigvuldigen. Dit stelt ons in staat om complexe getallen op elkaar te delen: z/w = z w 1 (mits w 0). 10

11 De complex geconjugeerde van een complex getal z = a + bi is het complexe getal genoteerd als z, gegeven door z := a bi. Merk op dat voor elke z = a + bi 0 het product z z = a 2 + b 2 een positief reëel getal is. Er geldt en 1 z = z z z w z = w z z z Dit zijn formules waarmee in de praktijk snel een quotient van compleze getallen in de vorm a + bi geschreven kan worden. 11

12 Voorbeelden: i = 2 i (2 + i)(2 i) = 2 i 5 = i. Zo ook 3 + 5i 1 + i = (3 + 5i)(1 i) (1 + i)(1 i) = (3 + 5i)(1 i)/2 = 4 + i. 12

13 Is z = a + bi, dan volgt z + z = 2a en z z = 2bi. Dit levert formules voor het reële en het complexe deel van z, namelijk Re(z) = z + z 2 en Im(z) = z z. 2i 13

14 Deze algebraïsche benadering is afkomstig van Rafael Bombelli ( ). 14

15 Je kan op een meetkundige manier naar C kijken door z = a + bi te zien als het punt (a, b) in het xy-vlak R 2. Optellen in C is zo de parallellogramwet voor het optellen van vectoren: a + bi optellen bij c + di is het optellen van de vectoren met beginpunt (0, 0) en eindpunt resp. (a, b) en (c, d). Complexe conjugatie is het overgaan van (a, b) naar (a, b), dus het spiegelen in de x-as. In het bijzonder zie je zo, dat z = z dan en slechts dan, als z met een punt op de x-as correspondeert, oftewel, als z R. We spreken van het complexe vlak. 15

16 De formule z z = a 2 + b 2 als z = a + bi laat zien, dat z z gelijk is aan het kwadraat van de afstand tussen (0, 0) en (a, b). Kortom, met z := z z = a 2 + b 2 wordt een reëel getal gedefiniëerd dat in het meetkundige plaatje de lengte van z (als vector) weergeeft. We noemen dit de absolute waarde van z. Voor reële z stemt dit overeen met de daar gebruikelijke absolute waarde. Er geldt zw = z w en z + w z + w. 16

17 Door z C (mits z 0) te delen door z n absolute waarde z, houden we een complex getal over met absolute waarde 1. Dit ligt dus in het complexe vlak op de cirkel om 0 met straal 1. Elk punt op die cirkel heeft coördinaten (cos α, sin α) waarbij α de hoek is die de lijn door 0 en het punt maakt ten opzichte van de positieve reële as (x-as). De hoek α heet het argument van het complexe getal z, notatie: arg(z). Er geldt z = r (cos α + (sin α)i) waarbij r = z en α = arg(z). 17

18 De meetkundige interpretatie van C wordt toegeschreven aan de accountant/boekhouder Jean Robert Argand ( ) uit Parijs. Hij schreef er in 1806 een boek over. Hij voerde het begrip absolute waarde van een complex getal in. Het complexe vlak heet ook wel het Argand diagram. Eerder gaf de Noorse landmeter Caspar Wessel ( ) in 1799 dezelfde meetkundige interpretatie. Maar hij schreef in het Deens... 18

19 Pagina uit een engelse vertaling van het boek van Argand 19

20 Notatie: e αi := cos α + (sin α)i. Dit is het complexe getal op de eenheidscirkel, met argument gelijk aan α. Merk op: e 0i = 1 + 0i = 1, en ook voor de gebruikelijke e-macht is e 0 = 1. Een berekening waarbij bekende goniometrische identiteiten worden gebruikt, laat zien (cos α + (sin α)i) (cos β + (sin β)i) = cos(α + β) + (sin(α + β))i. Oftewel: e αi e βi = e αi+βi. 20

21 Gegeven complexe getallen z en w, schrijf r = z en s = w en α = arg(z) en β = arg(w). Dan z w = r e αi s e βi = rs e (α+β)i. Meetkundig is vermenigvuldigen dus: de lengtes (absolute waarden) vermenigvuldigen, en de hoeken (argumenten) optellen. 21

22 Voor z = a + bi schrijven we e z = e a+bi := e a e bi. Voor a = 0 is dat de hiervoor gegeven e bi. Voor b = 0 is dat de gewone, reële e a. Er geldt e z+w = e z e w. Voor a = 0 en b = π staat er e πi = cos π + (sin π)i = 1, dus e πi + 1 = 0. Formule van Leonhard Euler ( ). 22

23 Euler voerde e z anders in: hij schreef e z = lim n (1 + z n )n. Invullen z = ix met x reëel, en gebruiken dat 1 cos(x/n) en x/n sin(x/n) als n heel groot, brengt Euler dan, via de formule van de Moivre (cos(α) + i sin(α)) n = cos(nα) + i sin(nα), tot de conclusie e ix = cos(x) + i sin(x). Zie scholierentijdschrift Pythagoras, april 2011 ( De mooiste formule ooit ). 23

24 Zwitserland, 1957 (Euler 250) 24

25 Wat commercieler, lovelymath.com, 2011: 25

26 Toepassing (H.W. Lenstra, Leiden) Zie Gegeven een figuur (tekening) in C. We spreken van een figuur met een Droste effect als er een reëel getal r ±1 is zodat de figuur onder vermenigvuldigen met r in zichzelf overgaat. 26

27 Door de schaling over r bij een Droste effect te combineren met een rotatie over α, krijg je een figuur dat in zichzelf wordt overgevoerd onder vermenigvuldigen met r e αi. Voorbeeld: Escher s Prentententoonstelling (1956), waarbij r 22, 6 en α 2,

28 Stelling: Elke veelterm f(z) over C van positieve graad heeft een nulpunt in C. Dit heet hoofdstelling van de algebra. O.a. bewezen door Argand en door Gauss. Bewijsschets: zou f(z) geen nulpunt hebben, dan is 1/ f(z) overal gedefinieerd. Deze neemt een maximum aan. Na schuiven z z + a: maximum voor z = 0. Na ook nog f(z) delen door f(0): mag aannemen f(0) = 1. Schrijf f(z) = 1 + re αi z k +hogere machten, met k > 0, r > 0. Door voor z een handig gekozen waarde ɛ r 1/k e βi in te vullen, kan je zien dat de aanname maximum in z = 0 tot een tegenspraak leidt. 28

29 Gehelen van Gauss: Z[i], alle m + ni met m, n Z. Met z, w Z[i] zijn ook z ± w en z w in Z[i]. De enige z Z[i] waarvoor ook 1 z Z[i], zijn 1, 1, i, i. In Z[i] kan je delen met rest : zijn z, w Z[i] met w 0, dan bestaan q, r Z[i] zodat z = qw + r en r < w. Bewijs: schrijf z/w = a + bi en rondt a, b af naar de dichtst bijzijnde gehelen m, n. Neem q = m + ni en r = z qw. Dan r / w = r/w = (z/w) q = (a m) + (b n)i < 1, dus r < w. 29

30 Priemen van Gauss zijn de m + ni Z[i] die niet verder te ontbinden zijn: m + ni 1, 1, i, i en als m + ni = z w voor zekere z, w Z[i], dan zit ofwel z, ofwel w in {1, 1, i, i}. Uit deling met rest volgt, dat elke z Z[i] met z 0 te schrijven is als z = uπ e πe n n met n 0 en u = ±1, ±i en de π j priemen van Gauss. Voorbeeld: 1 + i, 3, 2 + i, 1 + 2i, 7, 11, 2 + 3i, 3 + 2i, 1 + 4i, 4 + i zijn priemen van Gauss. 30

31 Is z = a + bi Z[i], dan is z z = a 2 + b 2 een geheel getal 0. Er geldt z z = 1 alleen als z = 1, 1, i, i. Ook is z w z w = (z z) (w w). Hieruit volgt, dat als w w een priemgetal is, dan is w een priem van Gauss. Elk priemgetal p van de vorm 4k + 1 is te schrijven als som van twee kwadraten: p = a 2 + b 2 = (a + bi)(a bi). Hierin zijn dus a ± bi priemen van Gauss. 31

32 Elk priemgetal p van de vorm 4k + 3 is zelf een priem van Gauss. Immers, zou p = z w waarbij zowel z als w niet ±1, ±i zijn, dan is zz > 1 en ww > 1 en zzww = p 2. Dus zz = ww = p. Dit geeft een oplossing van de vergelijking a 2 + b 2 = p met gehele a, b. Eentje van a, b is oneven en de andere even. Van de kwadraten a 2, b 2 is er daarom een deelbaar door 4, de andere is van de vorm (2l + 1) 2 = 4(l 2 + l) + 1. De som a 2 + b 2 is dus van de vorm 4k + 1, tegenspraak. Dus inderdaad is zo n p een priem van Gauss. 32

33 Ter gelegenheid van het International Congress of Mathematicians in Amsterdam in 1954, liet de wis en natuurkundige Balthasar van der Pol ( ) door linnenfabrikant E.J.F. van Dissel & Zn (Eindhoven) theedoeken maken met priemen van Gauss erop. 33

34 34

35 Toepassing: Groningen: 2010, bachelorscriptie van Henk-Jaap Stelwagen, π = 3, nauwkeurig benaderen met behulp van de priemen van Gauss (en ook met die van Eisenstein: net zoiets voor Z[ ]...). Basis: tan(π/4) = 1, dus π/4 = arctan(1). Nu nog die arctangens nauwkeurig benaderen... 35

36 arctan(x) = x 1 3 x x5 1 7 x x9..., immers, klopt als x = 0, en afgeleide links is rechts is 1 1+x2, en afgeleide 1 x 2 + x 4 x 6 + x 8... Dit herkennen als meetkundige reeks geeft eveneens 1 1+x 2. Invullen x = 1 geeft π = 4 ( ), een formule bedacht door de Schotse wis en sterrenkundige James Gregory ( ). 36

37 Probleem: heel veel termen nodig om een acceptabele nauwkeurigheid te krijgen. Voorbeeld: 100 termen geeft π 3, 1316, 1000 termen geeft π 3, 1406, termen geeft π 3, De gebruikte reeks convergeert erg langzaam. Dat probleem treedt niet op als arctan(x) voor veel kleinere x met deze reeks wordt benaderd. 37

38 Strategie: vind getallen z 1 = m 1 + i, z 2 = m 2 + i,..., z t = m t + i in Z[i] met alle m j groot, en zo, dat voor zekere gehele n. z 1 z 2... z t = n + ni Voor elke j is dan arg(z j ) = arctan( m 1 ), en de som van die j argumenten is π/4. Dus π = 4 arctan(1/m 1 ) + 4 arctan(1/m 2 ) arctan(1/m t ) en als de m j groot zijn, is dit nauwkeurig met de arctangens reeks te benaderen. 38

39 Hoe vind je zulke z j = m j + i? Stelwagen: kies een stel priemen van Gauss (bijvoorbeeld de kleinste 100), zodat als w er in zit dan ook w. Maak een collectie gehelen van Gauss m+i, die in hun priemontbinding alleen maar priemen van Gauss uit de gekozen selectie hebben. 39

40 Nu zoek je daaruit producten die iets geheels maal 1+i opleveren. Dat geldt, als in het product de priem 1 + i een oneven aantal keren voorkomt; elke andere priem w evenvaak voorkomt als w. Met lineaire algebra vind je die producten gemakkelijk! (278+I) 37 (268+I) 9 (255+I) 19 (191+I) 14 (157+I) 23 (117+I) 7 (50+I) 19 (32+I) is zo n product, en met ongeveer 30 termen van de arctangens reeks levert dat 100 correcte decimalen van π. 40

41 Kees Stip ( Trijntje Fop ): Op een bok In Siddeburen was een bok die machtsverhief en worteltrok. Die bok heeft onlangs onverschrokken de wortel uit zichzelf getrokken, waarna hij zonder ongerief zich weer in het kwadraat verhief. Maar t feit waardoor hij voort zal leven is, dat hij achteraf nog even de massa die hem huldigde met vijf vermenigvuldige. 41

42 Siddeburen, bok gemaakt door Ron van Dijk 42