Inhoud. Oefeningen Hoekberekeningen. 2

Transcriptie

1 Inhoud 1 Hoekberekeningen. Basisvergelijkingen. 4.1 Vergelijkingen van het type sin u = sin v Vergelijkingen van het type cos u = cos v Vergelijkingen van het type tan u = tan v Synthese Algemene oplossingsmethodes Vergelijkingen algebraïsch maken Ontbinden in factoren Speciale oplossingsmethodes Homogene vergelijkingen in sin u en cos u Lineaire vergelijkingen in sin u en cos u Oefeningen. 5

2 Goniometrische vergelijkingen Dirk Danckaert Edegem November 01 In de vergelijkingen (a) sin x = 1 en (b) cos x = x maakt de onbekende x deel uit van het argument van een goniometrische functie: het zijn goniometrische vergelijkingen. Het is belangrijk om deze vergelijkingen goed te lezen: de afspraak luidt dat de `x' in een goniometrische vergelijking geen hoek maar een zuivere getalwaarde voorstelt. Concreet betekent dit voor de eerste vergelijking het volgende. Er is maar één hoek met sinus 1 die je naar keuze kan voorstellen als 90, π rad, π rad, enz.. Nochtans tellen we x = π en x = π als twee verschillende oplossingen van vergelijking (a). In feite heeft vergelijking (a) een oneindig aantal oplossingen x = π + k π (met k Z). We spreken af om deze te verzamelen in een oplossingenverzameling (OV): OV = { π + k π k Z}. Vergelijking (a) moet m.a.w. gelezen worden als een afkorting voor sin(x rad) = 1 waarbij de hoekeenheid (`rad') geen deel uitmaakt van de onbekende x. Dit betekent ook dat de vergelijking (a ) sin(x ) = 1, die meetkundig naar de zelfde unieke hoek verwijst, een compleet andere OV heeft, namelijk {90 + k 60} (zonder de graden). Vergelijkingen zoals (b), waar de onbekende x zowel binnen als buiten het argument van een goniometrische functie staat zijn meestal niet exact oplosbaar en laten we daarom vanaf nu buiten beschouwing. We gaan er ook van uit dat alle hoekwaarden, zoals gebruikelijk, uitgedrukt worden in radialen.

3 DD - Goniometrische vergelijkingen 1 Hoekberekeningen. Bij het oplossen van goniometrische vergelijkingen zal je regelmatig een gegeven getal t moeten uitdrukken als de sinus, cosinus of tangens van een te berekenen hoek α. Speciale waarden moet je als zodanig herkennen en doe 1 je uit het hoofd (bv.: kan je naar keuze uitdrukken als sin π of cos π). 6 Voor andere waarden gebruik je je RT of computer. Hou je aan de volgende afspraken: werk altijd in radialen (uiteraard), schrijf elke hoek als een veelvoud van π. Voorbeeld (RT). Er wordt gevraagd om t = 0,4999 te schrijven als een sinus, cosinus of tangens van een hoek α (telkens een andere, uiteraard). Controleer dat je RT in radiaalmodus werkt (klik [MODE]). Gebruik de knoppen [sin 1 ], [cos 1 ] en [tan 1 ] (druk vooraf de gepaste shift-toets) om de waarde van α te berekenen. Schrijf α in de vorm p π, met een geschikte waarde voor p. Schrijf een correct besluit in de vorm t = sin(p π) (bijvoorbeeld). De volgende schermafdrukken helpen je op weg. De eerste lijn van de berekening laat toe om te besluiten dat 0,4999 = sin(0,55) (afgerond op 4 beduidende cijfers). Om de hoek 0,55 rad te schrijven als een veelvoud van π merk je op dat, uiteraard, 0,55 = 0,55 π en bereken je de deling in het rechterlid (maar niet het product) met het RT. Dit gebeurt op de tweede lijn van de berekening. De derde lijn laat zien π

4 DD - Goniometrische vergelijkingen dat, met wat oefening, beide stappen gemakkelijk te combineren zijn. Je kan besluiten dat 0,4999 = sin(0,1666π). De gevraagde hoek is dus, op 4 cijfers nauwkeurig, π. 6 Het is aan te raden om de waarde die je aeest op je RT ongewijzigd over te nemen. Niettemin staat het je vrij om je besluit anders te formuleren. Je kan bv. schrijven dat 0,4999 = sin(0,84π) (waarbij je de hoek 0,1666π vervangt door zijn supplement, dat de zelfde sinus heeft) of ook dat 0,4999 = sin(,1666π) of 0,4999 = sin( 1.84π) (waarbij je gebruik maakt van de vrijheid om aan het maatgetal van een hoek k π toe te voegen). De werkwijze voor een cosinus of tangens is volledig analoog. De laatste schermafdruk toont dat, op 4 beduidende cijfers nauwkeurig, 0,4999 = cos(0,4π) ; 0,4999 = tan(0,1476π). Merk ten slotte op dat de notatie voor deze berekening op het scherm, met een 1 in de exponent, ingaat tegen de gebruikelijke afspraken in de Wiskunde. In principe is, in algebra, sin 1 (x) = 1, maar dat is niet wat sin(x) hier berekend wordt. Gebruik deze notatie dan ook nooit op papier. Voorbeeld (PC). Hieronder zie je hoe je de zelfde berekeningen kan maken met SAGE. Voor de berekening typ je naar keuze de standaardvormen arcsin(), arccos(), arctan() of de afgekorte vormen asin(), acos() en atan(). Het achtervoegsel.n(0) forceert een numerieke berekening (hoe groter het argument van.n(), hoe meer beduidende cijfers). Zonder dit achtervoegsel behoudt SAGE de exacte waarde van π in de berekening.

5 DD - Goniometrische vergelijkingen 4 Zelftest. Reken de resultaten in de onderstaande tabel na en vul de ontbrekende resultaten aan. Gebruik zowel je RT als je computer (SAGE, DERIVE, Excel,...). Gebruik geen hulpmiddelen voor speciale waarden. t = sin(α) = cos(β) = tan(γ) 0,786 = sin(0,880π) = cos(0,0π) = tan(0,11π) 0,71 = cos(0,611π) = tan( 0,111π) /5 1,48 = / = tan(0,850π) / / 1 SH = sin(π/) Basisvergelijkingen..1 Vergelijkingen van het type sin u = sin v. Voorbeelden. 1. Los op: sin(x) = sin(x π 4 ). = tan( 0,7π) Deze vergelijking is van de vorm sin u = sin v. Meetkundig stellen u = x en v = x π twee hoeken voor met de zelfde sinus. Zoals de guur 4 hieronder illustreert zijn twee hoeken met de zelfde sinus ofwel gelijk, ofwel supplementair.

6 DD - Goniometrische vergelijkingen 5 Dat u en v gelijke hoeken zijn wil echter niet noodzakelijk zeggen dat ook hun maatgetallen gelijk zijn: zoals we weten kunnen u en v een willekeurig veelvoud van π uit elkaar liggen, m.a.w. u = v + k π (k Z). Een analoge opmerking kan je maken in het geval dat u en v supplementair zijn. We besluiten dat: sin u = sin v Pas dit toe op de gegeven vergelijking. sin(x) = sin(x π 4 ) u = v + k π of u = π v + k π x = x π 4 + k π of x = π (x π 4 ) + k π x = π 4 + k π 4x = π + π 4 + k π ( ) x = π 8 + kπ 4x = 5π 4 + k π x = 5π 16 + k π Vergeet niet om in de laatste stap het hele rechterlid te delen door de coëciënt van x, in het bijzonder het gedeelte k π. En merk ook op dat in de linkerkolom geen tekenfout gemaakt is! Want omdat k = 0, ±1, ±,... speelt het in principe geen rol of je k, k of ±k schrijft. Als besluit noteer je tenslotte de OV van deze vergelijking. OV = { π 5π + kπ, k π } k Z Omdat de frase k Z een vast onderdeel vormt van deze OV laten we dit achtervoegsel meestal achterwege.. Los op: sin(x π 4 ) = 0,6497. Dit is niet direct van het type sin u = sin v maar kan in die vorm gebracht worden door ook het rechterlid uit te drukken als een sinus. Omdat het rechterlid geen exacte waarde voorstelt heeft het ook geen zin om de breuk

7 DD - Goniometrische vergelijkingen 6 π in het linkerlid te behouden en vervang je die dus best door 0,5π. De 4 gegeven vergelijking krijgt dan de vorm sin(x 0,5π) = 0,6497 RT = sin( 0,51π). Pas nu het algemene principe ( ) toe. sin(x 0,5π) = sin( 0,51π) x 0,5π = 0,51π + k π of x 0,5π = π + 0,51π + k π x = 0,049π + k π x = 1,4751π + k π x = 0,015π + kπ x = 0,776π + kπ En we besluiten dat OV = {0,015π + kπ ; 0,776π + kπ}. Los op: sin(x + π 6 ) = cos(x π ). Ook deze vergelijking is niet van het type sin u = sin v. Je kan ze in de juiste vorm brengen door de hoek in het rechterlid om te ruilen voor zijn complement π (x π ). De gegeven vergelijking krijgt de vorm sin(x + π 6 ) = sin ( π (x π ) ) = sin( x + 5π 6 ). Pas opnieuw het algemene principe ( ) toe. sin(x + π 6 ) = sin( x + 5π 6 ) x + π 6 = x + 5π 6 + k π of x + π 6 = π + x 5π 6 + k π 5x = 4π 6 + k π x = π 15 + k π 5 En als besluit noteer je OV = { π 15 + k π 5 x = π + k π } ; π + k π

8 DD - Goniometrische vergelijkingen 7 Merk op dat je met deze methode de gegeven vergelijking even goed in de vorm cos u = cos v kan brengen. Deze vorm wordt in de volgende paragraaf besproken. Eenvoudige gevallen. De voorbeelden hierboven tonen dat vergelijkingen van het type sin u = sin v normaal een gevallenonderzoek met zich meebrengen (u en v gelijk of supplementair) en dus automatisch `kolommenwerk' in de berekeningen. In sommige eenvoudige vergelijkingen van de vorm sin u = t kan dit kolommenwerk achterwege blijven. Hieronder enkele voorbeelden. 1. Los op: sin(x π 6 ) = 1. Zoals de guur illustreert is er maar één enkele hoek met sinus 1 zodat je direcht kan besluiten dat x π 6 = π + k π en dus x = π 6 + π + k π = π + k π, zodat { π OV = 9 + k π }.. Los op: sin(x + π 4 ) = 0. Zoals de guur illustreert zijn er twee hoeken met sinus nul. Deze zijn supplementair, zoals de algemene regel voorschrijft, maar tegelijk ook antisupplementair. De eerste hoek kan je naar keuze schrijven als 0, ±π, ±4π,..., de tweede als ±π, ±π, ±5π,.... Deze twee reeksen samen zitten vervat in de formule kπ. Je kan dus direct besluiten dat x + π 4 = kπ en dus x = π 8 + k π. We laten de OV hier achterwege.. Los op: sin(x π 5 ) = 1.

9 DD - Goniometrische vergelijkingen 8 Zoals de guur illustreert is x π 5 = π + k π en x = π 5 π + k π = π 10 + k π.. Vergelijkingen van het type cos u = cos v. Voorbeelden. 1. Los op: cos(x) = cos(x π 4 ). Deze vergelijking is van de vorm cos u = cos v. Meetkundig stellen u = x en v = x π twee hoeken voor met de zelfde cosinus. Zoals de guur 4 hieronder illustreert zijn twee hoeken met de zelfde cosinus ofwel gelijk, ofwel tegengesteld. Dat u en v gelijke hoeken zijn wil echter niet noodzakelijk zeggen dat ook hun maatgetallen gelijk zijn: zoals we weten kunnen u en v een willekeurig veelvoud van π uit elkaar liggen, m.a.w. u = v + k π (k Z). Een analoge opmerking kan je maken in het geval dat u en v tegengesteld zijn. We besluiten dat: u = v + k π cos u = cos v of ( ) u = v + k π

10 DD - Goniometrische vergelijkingen 9 We passen dit toe op de gegeven vergelijking. cos(x) = cos(x π 4 ) x = x π 4 + k π of x = (x π 4 ) + k π x = π 4 + k π x = π 8 + kπ 4x = +π 4 + k π x = π 16 + k π Vergeet niet om in de laatste stap het hele rechterlid te delen door de coëciënt van x, in het bijzonder het gedeelte k π. En merk ook op dat in de linkerkolom geen tekenfout gemaakt is! Want omdat k = 0, ±1, ±,... speelt het in principe geen rol of je k, k of ±k schrijft. Als besluit noteer je tenslotte de OV van deze vergelijking.. Los op: cos x =. OV = { π 8 + kπ, π 16 + k π } Deze vergelijking is niet van het type cos u = cos v maar kan gemakkelijk in die vorm gebracht worden. Beide leden delen door, de tabel met speciale waarden en de eigenschappen van verwante hoeken geven cos x = = cos(π 6 ) SH = cos( 5π 6 ). Hierop pas je het algemene principe ( ) toe. Omdat de argumenten van de cosinus in beide leden geen (+)- of ( )-tekens bevatten kan je zelfs het `kolommenwerk' vermijden.. Los op: cos(x + π 7 ) = 5. cos x = cos( 5π 6 ) x = ±5π 6 + k π x = ± 5π 18 + k π.

11 DD - Goniometrische vergelijkingen 10 Hier moet je direct zien dat in het rechterlid 5 <. En omdat cos u 1 kun je direct besluiten dat deze vergelijking geen oplossingen heeft. Dit noteer je als volgt: x = / (cos u 1). Merk op dat een oplossingenverzameling altijd bestaat: OV =. Eenvoudige gevallen. Ook hier zijn er een aantal eenvoudige vergelijkingen van het type cos u = t die zonder RT en zonder kolommenwerk op te lossen zijn. Hier enkele voorbeelden. 1. Los op: cos(x π 6 ) = 1. Zoals de guur illustreert is er maar één enkele hoek met cosinus 1 zodat je direcht kan besluiten dat x π 6 = 0 + k π = k π en dus x = π 6 + k π, zodat OV = { π 18 + k π }.. Los op: cos(x + π 4 ) = 0. Zoals de guur illustreert zijn er twee hoeken met cosinus nul. Deze zijn tegengesteld, zoals de algemene regel voorschrijft, maar tegelijk ook antisupplementair. De eerste hoek kan je naar keuze schrijven als π, π ± π, π ± 4π,..., de tweede als π, π ± π, π ± 4π,.... Maar aangezien π = π + π kan je de tweede reeks ook schrijven als π ± π, π ± π, π ± 5π,... ( π en een willekeurig oneven veelvoud van π). Deze twee reeksen samen zitten dus vervat in de formule π + kπ. Je kan dus direct besluiten dat x + π 4 = π + kπ en dus x = π 8 + k π. We laten de OV hier achterwege.

12 DD - Goniometrische vergelijkingen 11. Los op: cos(x π 5 ) = 1. In dit geval is x π = π + k π = (k + 1)π, zoals de 5 guur laat zien, en dus x = π 5 + (k + 1)π.. Vergelijkingen van het type tan u = tan v. Voorbeelden. 1. Los op: tan(x) = tan(x π 4 ). Deze vergelijking is van de vorm tan u = tan v. Meetkundig stellen u = x en v = x π twee hoeken voor met de zelfde tangens. Zoals de guur hieronder illustreert zijn twee hoeken met de zelfde tangens ofwel gelijk, ofwel antisupplementair. Dat u en v gelijke hoeken zijn wil echter niet noodzakelijk zeggen dat ook hun maatgetallen gelijk zijn: zoals we weten kunnen u en v een willekeurig veelvoud van π uit elkaar liggen, m.a.w. u = v + k π (k Z). De zelfde redenering leidt voor antisupplementaire hoeken tot de conclusie dat u = π + v + k π = v + (k + 1)π. M.a.w., gelijke hoeken verschillen een

13 DD - Goniometrische vergelijkingen 1 even veelvoud van π, antisupplementaire hoeken een oneven veelvoud van π van elkaar. We kunnen beide gevallen samen uitdrukken in de formule u = v + kπ (k Z). We besluiten dat tan u = tan v u = v + kπ ( ) We passen dit toe op de gegeven vergelijking. tan x = tan(x π 4 ) x = x π 4 + kπ x = π 4 + kπ x = π 8 + k π Vergeet niet om in de laatste stap het hele rechterlid te delen door de coëciënt van x, in het bijzonder het gedeelte kπ. Als besluit noteer je tenslotte de OV van deze vergelijking. { OV = x = π 8 + k π } Omdat beide gevallen op de guur (gelijke en antisupplementaire hoeken) vervat zijn in één enkele formule ( ) vraagt het oplossen van dit type vergelijkingen nooit kolommenwerk.. Los op: tan(x π 4 ) = tan(4x + π ). Deze vergelijking is niet van het type tan u = tan v maar kan gemakkelijk in die vorm gebracht worden. Ruilen we de hoek in het rechterlid om voor zijn tegengestelde dan wordt de gegeven vergelijking tan(x π 4 ) = tan(4x + π ) TH = tan( 4x π ).

14 DD - Goniometrische vergelijkingen 1 We kunnen nu het algemene principe ( ) toepassen. tan(x π 4 ) = tan( 4x π ) x π 4 = 4x π + kπ 6x = π 4 π + kπ = π 1 + kπ x = π 7 + k π 6 En we besluiten dat { OV = π 7 + k π } 6. Los op: tan(x) =,47. Breng de vergelijking in de vorm tan u = tan v door het rechterlid uit te drukken als een tangens. Denk aan de geldende afspraken! tan(x) =,47 RT = tan(0,667π) Pas opnieuw het algemene principe ( ) toe. tan(x) = tan(0,667π) x = 0,667π + kπ x = 0,1π + k π Merk op dat de laatste stap gemakkelijk zonder RT kan. De OV laten we hier achterwege.

15 DD - Goniometrische vergelijkingen 14.4 Synthese. Elke vergelijking van de vorm sin u = sin v, cos u = cos v of tan u = tan v impliceert een rechtstreeks verband tussen u en v zelf. Bij elke waarde van v horen twee verschillende reeksen u-waarden. De basisprincipes zijn: sin u = sin v cos u = cos v u = v + k π of u = π v + k π u = v + k π of u = v + k π tan u = tan v u = v + kπ Algemene oplossingsmethodes. Om een goniometrische vergelijking op te lossen met alleen maar algebra moet je ze herleiden tot één van de basisvergelijkingen uit de vorige paragraaf. Hier laten we twee methodes zien die van toepassing zijn op alle types van vergelijkingen, ook niet-goniometrische..1 Vergelijkingen algebraïsch maken. Voorbeelden. 1. Los op: cos x + 8 cos x = 0. Het linkerlid bestaat enkel uit machten van cos x. Stel dus cos x = u. De vergelijking krijgt dan de vorm u + 8u = 0. ( )

16 DD - Goniometrische vergelijkingen 15 Uitdrukkingen zoals deze, die louter uit machten en wortelvormen zijn opgebouwd, noemen we algebraïsch. Het ligt nu voor de hand om de vergelijking in twee stappen op te lossen. In een eerste fase bepalen we de mogelijke waarden van u. Als die gekend zijn lossen we in een tweede fase de basisvergelijking cos x = u op. Hier hebben we een VKV voor u met D = 8 4 ( ) = 100. oplossingen (of wortels) zijn { 8 ± 10 u 1, = = (u 1). 1 Vergeet niet dat de gegeven vergelijking naar de waarde van x vraagt! Je mag m.a.w. de tweede fase niet vergeten. Let er daarom op dat je de oplossingen van de hulpvergelijking ( ) wel degelijk als u-waarde noteert, en niet uit pure gewoonte als x-waarde. cos x = 1 = cos(0,918π) x = ±0,918π + k π x = ±0,1959π + kπ Als besluit schrijf je de oplossingenverzameling: OV = {±0,1959π + kπ}. Met wat oefening kan je dit soort vergelijkingen oplossen zonder u expliciet te schrijven. Je moet dan de gegeven vergelijking direct herkennen als een VKV `in cos x' en direct cos x = 8 ± 10 = { (cos x 1) 1 schrijven voor de oplossingen. Voor vergelijkingen van graad of hoger is het echter aangeraden om u expliciet te schrijven.. Los op: cos 4x 7 sin x = 0. Omdat het linkerlid twee verschillende hoeken bevat heeft het geen zin om sin x = u of cos 4x = u te stellen. Je kan echter de hoek 4x omruilen voor De

17 DD - Goniometrische vergelijkingen 16 x m.b.v. een DH-formule. Vanzelfsprekend kies je de variant met louter sinussen in het rechterlid. Je krijgt zo (1 sin x) 7 sin x = 0 6 sin x 7 sin x + = 0. Dit is een VKV in sin x met D = 49 4( 6) = 11 zodat { sin x = 7 ± 11 ( 6) = / (sin x 1). 1/ En tot slot: sin x = 1 = sin(0,108π) x = 0,108π + k π of x = π 0,108π + k π.5 x = 0,0541π + kπ x = 0,8918π + k π.5 x = 0,4459π + kπ.5 Besluit: OV = {0,0541π + kπ; 0,4459π + kπ}.. Los op: tan x + cot x =. Aangezien cot x = 1/ tan x kan je de vergelijking algebraïsch maken door u = tan x te stellen. Dit geeft u + 1 u = u u + 1 = 0. Om deze vergelijking van graad volledig op te lossen moeten we het linkerlid ontbinden in factoren (met Horner). We proberen u = ±1 (de delers van de constante term 1) uit en vinden gelukkig dat u = 1 een oplossing is. Of dat de enige oplossing is weet je niet voor de ontbinding gemaakt is Hieruit volgt dat (u 1)(u + u 1) = 0 en dus

18 DD - Goniometrische vergelijkingen 17 u = 1 of u + u 1 = 0 tan x = 1 D = 4 4 ( 1) = 1 x = π 4 + kπ u 1, = ± = 1± = x = π 1 + k π tan x = 0,66 = tan(0,1117π) x = 0,1117π + kπ { 0,660 1,66 tan x = 1,66 = tan( 0,989π) x = 0,989π + kπ x = 0,07π + k π x = 0,0991π + k π Besluit: OV = { π 1 + k π ; 0,07π + k π ; 0,0991π + k π }.. Ontbinden in factoren. Het is een algemeen principe in de algebra dat een vergelijking van de vorm A B C = 0 waarin het linkerlid het product is van n factoren uiteenvalt in n aparte, eenvoudiger vergelijkingen A = 0 of B = 0 of C = 0 of.... Om dit principe te kunnen toepassen moet je meestal zelf voor de ontbinding in factoren zorgen, wat niet altijd eenvoudig en soms onmogelijk is. Vaak zal je hiervoor in goniometrische vergelijkingen de formules van Simpson nodig hebben. Merk trouwens op dat ontbinden in factoren enkel nuttig is als het rechterlid nul is. Je moet dus vooraf de vergelijking `herleiden op nul'. Voorbeelden. 1. Los op: cos x + cos x = 0. Oplossing: ll=rl FS cos x cos x = 0, en dus cos x = 0 of cos x = 0 x = π + kπ x = π + kπ x = π + k π x = π + k π

19 DD - Goniometrische vergelijkingen 18 Merk op dat π = π + π waardoor de tweede reeks oplossingen vervat zit in de eerste. De oplossingenverzameling is daarom gewoon { π OV = + k π }. Merk tenslotte ook nog op dat de gegeven vergelijking direct kan herleid worden tot een basisvergelijking: cos x + cos x = 0 cos x = cos x = cos(π x).. Los op: sin x + sin x + sin x = 1 + cos x + cos x. Oplossing: de formules van Simpson laten toe om zowel sommen van sinussen als sommen van cosinussen te ontbinden in factoren. Maar hier moeten we ook nog het geluk hebben om in beide leden een gemeenschappelijke factor te vinden. Op hoop van zegen dus. sin x + sin x + sin x = 1 + cos x + cos x FS/FC sin x cos( x) + sin x = cos x + cos x sin x( cos x + 1) = cos x( cos x + 1) en de gemeenschappelijke factor is gevonden. Herleid op nul in het rl en zonder de factor cos x + 1 af. en dus: (sin x cos x)( cos x + 1) = 0 ( sin x cos x cos x)( cos x + 1) = 0 ( sin x 1) cos x( cos x + 1) = 0 { sin x = 1 of cos x = 0 of cos x = 1 π 6 x = + k π 5π + k π x = π π + kπ x = ± + k π 6 Besluit: OV = { π 6 + k π; 5π 6 + k π; x = π + kπ; x = ± π + k π}.

20 DD - Goniometrische vergelijkingen 19 4 Speciale oplossingsmethodes. Hier zien we enkele oplossingsmethodes die enkel van toepassing zijn voor goniometrische vergelijkingen. We behandelen twee types. Het is belangrijk dat je enerzijds de types herkent in de opgave en anderzijds uiteraard ook weet welke oplossingsmethode bij elk type van toepassing is. 4.1 Homogene vergelijkingen in sin u en cos u. Van dit soort vergelijkingen onderscheiden we drie subtypes. We laten enkele voorbeelden zien waarin elk subtype aan bod komt. 1. Algemene methode (`generieke situatie'). In de onderstaande vergelijking is elke term een product van machten van sin x en cos x. De exponenten van deze machten bepalen de graad van de termen. sin x }{{} gr in sin sin x }{{} gr in sin cos x }{{} gr1 in cos } {{ } gr in tot. sin x }{{} gr1 in sin cos }{{ x } gr in cos } {{ } gr in tot. +6 } cos {{ x } = 0. gr in cos Omdat elke term in het linkerlid van de zelfde (totale) graad is noemen we deze uitdrukking homogeen van graad (in sin x en cos x). Vergelijkingen waarin beide leden homogeen zijn (en van de zelfde graad) in sin u en cos u (of nul) noemen we homogene vergelijkingen. Merk op dat in de gegeven vergelijking met zekerheid cos x 0. (Leg zelf uit waarom). Omdat cos x 0 mag je beide leden delen door cos x. Je krijgt zo sin x cos x sin x cos x sin x cos x cos x cos x cos x cos x + x 6cos cos x = 0 tan x tan x tan x + 6 = 0. Deze vergelijking is algebraïsch in t = tan x. Wegens het patroon in de coëciënten (1:(-)=(-):6) kan je het ll ontbinden in factoren zonder Horner. Het resultaat is en dus tan x(tan x ) (tan x ) = 0 (tan x )(tan x ) = 0

21 DD - Goniometrische vergelijkingen 0 tan x = ± of tan x = = tan 0,54π x = ± π + kπ x = 0,54π + kπ x = ± π + k π x = 0,176π + k π 6 Besluit: OV = {± π 6 + k π ; 0,176π + k π }.. Vergelijkingen met gemeenschappelijke factoren sin u en/of cos u. In de homogene vergelijking van graad 4 sin x cos x sin x cos x cos 4 x = 0 kan cos x wel degelijk nul zijn (controleer zelf). Daarom is het verboden om te delen door cos 4 x, zoals de algemene methode voorschrijft. In deze vergelijking is cos x echter een gemeenschappelijke factor van elke term. Dat is juist de reden waarom cos x = 0 de vergelijking oplost. In dat geval moet je voorrang geven aan de algemene methode uit de vorige paragraaf (ontbinden in factoren) en alle gemeenschappelijke factoren afzonderen. Je krijgt dan cos x(sin x sin x cos x cos x) = 0 cos x = 0 of sin x sin x cos x cos x = 0 De tweede vergelijking bevat geen gemeenschappelijke factoren meer. Dus is daarin opnieuw met zekerheid cos x 0 en mag je daar delen door cos x zodat cos x = 0 of tan x tan x = 0 x = π + kπ D = 4 4 1( ) = 16 x = π 6 + k π tan x = ±4 1 = { 1 = tan( π 4 ) = tan 0,976π x = π + kπ of x = 0,976π + kπ 4 x = π + k π x = 0,15π + k π 1 Besluit: OV = { π 6 + k π ; x = π 1 + k π ; x = 0,15π + k π }. Merk op dat je de vergelijking cos x = 0 verliest (samen met een deel van de oplossingen) als je vergeet om gemeenschappelijke factoren af te zonderen en direct deelt door cos 4 x. Ook in een vergelijking zoals sin 4 x sin x cos x sin x cos x = 0

22 DD - Goniometrische vergelijkingen 1 is het aan te raden om eerst de gemeenschappelijke factoren sin x af te zonderen, al is het hier geen fout om direct te delen door een macht van cos x. Los deze vergelijking zelf op als oefening.. Vergelijkingen homogeen maken. De vergelijking sin x + sin x cos x = cos x is niet homogeen, want het rechterlid is van graad 1, terwijl beide termen in het linkerlid van graad zijn. Je kan echter de graad van het rechterlid verhogen van 1 naar door te vermenigvuldigen met (sin x + cos x) (want = 1). Je krijgt zo de vergelijking sin x + sin x cos x = cos x(sin x + cos x) en deze is wel degelijk homogeen (van graad ). Herleid op nul en deel beide leden door cos x. sin x sin x cos x cos x = 0 tan x tan x = 0. Stel u = tan x en merk op dat u = 1 het linkerlid nul maakt. u u = 0 (u 1)(u + u + ) = 0. De ontbinding doe je uit het hoofd of met Horner. De tweede factor heeft discriminant D = 4 < 0. De enige oplossing is dus Besluit: OV = { π 8 + k π }. u = tan x = 1 = tan( π 4 ) x = π 4 + kπ x = π 8 + k π. 4. Vergelijkingen homogeen maken ( e voorbeeld). De methode in het vorige voorbeeld kan veralgemeend worden naar alle vergelijkingen waarin het verschil in graad tussen de verschillende termen

23 DD - Goniometrische vergelijkingen even is. De vergelijking hieronder heeft twee termen van graad 4 en één van graad nul (m.a.w., een constante). 16(sin 4 x + cos 4 x) 10 = 0. Omdat het verschil in graad even is kan je deze vergelijking homogeen maken door de constante te vermenigvuldigen met (sin x + cos x), wat van graad 4 is. Merk nog eens op dat dit alleen maar mag omdat de waarde van deze factor 1 is (HF). Werk daarna het kwadraat uit en vereenvoudig. 16(sin 4 x + cos 4 x) 10(sin x + cos x) = 0 6 sin 4 x 0 sin x cos x + 6 cos 4 x = 0 (cos x 0) tan 4 x 10 tan x + = 0 (: cos 4 x) Dit is een vierkantsvergelijking (VKV) in tan x (bikwadratische vergelijking) met D = = 64 zodat { Hieruit volgt dat tan x = 10 ± 8 = tan x = ± = tan(± π ) of tan x = ± = tan(± π 6 ) x = ± π + kπ Besluit: OV = {± π + kπ; x = ± π 6 + kπ}. 1. x = ± π 6 + kπ 4. Lineaire vergelijkingen in sin u en cos u. Dit zijn vergelijkingen van de vorm a sin u + b cos u + c = 0 waarbij je mag aannemen dat a, b, c 0. Als één van de coëciënten nul is kan je immers direct omvormen naar een basisvergelijking. We onderscheiden twee subtypes, elk met hun eigen oplossingsmethode.

24 DD - Goniometrische vergelijkingen 1. Lineaire vergelijkingen met b = c. De vergelijking is dan van de vorm a sin u + b cos u + b = 0. Het is op zicht duidelijk dat u = π(+k π) het linkerlid nul maakt en dus de vergelijking oplost. Er is echter nog een tweede reeks oplossingen. Ruil de hoek u om voor u/ met DH-formules en de formules van Carnot. Je krijgt een homogene vorm van graad, die je kan ontbinden in factoren. Uiteindelijk krijg je twee basisvergelijkingen. zodat a sin u + b cos u + b = 0 a sin u + b(1 + cos u) = 0 a sin u cos u + b u cos = 0 cos u ( a sin u + b cos u ) = 0, cos u = 0 of a tan u + b = 0 u = π + kπ tan u = b = tan α a u = π + k π u = α + kπ u = α + k π Over het algemeen is u een uitdrukking in x, de echte onbekende in de vergelijking. Er zijn dan nog enkele bijkomende stappen nodig voor je de OV kan schrijven.. Lineaire vergelijking met b c. Het is duidelijk dat met zekerheid u π(+k π). (Leg zelf uit waarom.) Dus bestaat t = tan u en mag je de t-formules gebruiken. Na uitwerken vind je een VKV in t. a sin u + b cos u + c = 0 t a 1 + t + b 1 t 1 + t + c = 0 (t = tan u ) at + b(1 t ) + c(1 + t ) = 0 ( (1 + t )) (c b)t + at + (c + b) = 0

25 DD - Goniometrische vergelijkingen 4 Deze VKV heeft D = 4a 4(c b)(c + b) = 4(a + b c ). De gegeven, lineaire vergelijking heeft dus enkel oplossingen als de oplossingsvoorwaarde a + b c voldaan is. Noem, als D 0, de oplossingen van deze VKV t 1, en schrijf elke oplossing als de tangens van respectievelijk α en β. tan u = t 1 = tan α of tan u = t = tan β u = α + kπ u = β + kπ u = α + k π u = β + k π Ook hier zijn in het algemeen nog enkele bijkomende stappen nodig om de OV te kunnen schrijven.

26 DD - Goniometrische vergelijkingen 5 Oefeningen op goniometrische vergelijkingen. 1. Basisvergelijkingen. Herleid (indien nodig) tot de vorm sin u = sin v, cos u = cos v of tan u = tan v en los op. Vermijd het gebruik van een RT en schrijf een OV als besluit. (a) sin( π 4 + x) = (b) sin( x + π) = (c) sin(5x + π ) = 1 (d) sin ( π x) = 4 (e) cos( x + π ) = cos x (f) cos(5x + π) = 1 (g) cos(x + π) + cos x = 1 (h) cos( x) = 0,7 (i) tan( π + x) = 6 (j) tan( π 4x) = tan(x + π) 4 (k) tan(x π) = cot(x π) 4 (l) tan(x π) = 4 {( 7π 11π) + kπ}, {( π π ) + k π}, {( π π ) + k π}, {(0 π π π) + kπ }, { π + k π; π + kπ}, { π + k π}, {( π π) + kπ}, {±0,9π + k 4π}, { π + k π}, 6 4 { π + k π 1π }, { + k π 7π }, { + k π}, Kies een hulponbekende en los op. (a) sin (x π ) sin(x π ) = (b) sin x + sin x + 1 = 0 (c) tan x 5 tan x + 4 = 0 (d) tan x + cot x = (e) tan x + tan x = 0 (f) tan(x + π) tan(x π) = 1 (g) tan x = tan x (h) 1 + cos x + cos x = 0 (i) 80 sin x + 4 sin x = 0 (j) cos x cos x + = 0 (k) sin (x π)+ sin(x π)+1 = (l) cos x + cos x = 0 { π + kπ, ( π 8π) + kπ}, {( π π 7π) + kπ}, {( π 0,11π) + k π}, {( π π) + kπ}, {(0 π) + k π}, {± π + kπ}, {(0 ± π ) + kπ}, {(±0,40π {(0,0π 0,98π 6 ± 0, 80π) + kπ}, 0,π 1,π) + kπ}, {± π + kπ}, { π + kπ}, {π + kπ, ± 5π + k4π}, 4 4 6

27 DD - Goniometrische vergelijkingen 6. Los op door ontbinden in factoren. (a) sin x cos x = 0 (b) sin x + sin 4x = 0 (c) sin x + sin 4x + sin 6x = 0 (d) sin x cos x = cos x sin 5x (e) cos x + cos(x + π 1 ) + cos(x + π 6 ) + cos(x + π 4 ) = 0 (f) cos x sin x + sin x cos x + cos x sin 4x + sin 4x cos 5x = 0 (g) sin x + sin x cos x 1 = 0 (h) cos x cos x + cos 4x = 0 (i) sin x + sin 5x = sin 6x (j) sin x + sin x = cos x + (k) sin x + sin 6x cos x + 4 sin x cos x = sin x cos 6x (l) 4 sin x 4 sin x sin x + 1 = 0 {k π, π + k π}, {k π, ± π + kπ}, {k π, ± π + kπ}, 4 4 {( π ± π π 5π) + kπ}, { π + kπ}, {k π, ± π + k π}, { π + kπ, ( π 5π) + kπ}, {±( π π π 5π) + kπ}, {k π, k π}, {( π, ± 5π) + kπ}, {k π}, {( π ± π ± 5π) + kπ}, Homogene vergelijkingen. (Maak homogeen en) zet om naar een vergelijking in tan α. (a) cos x + 8 sin x cos x sin x = 0 (b) cos x + sin x cos x sin x = 0 (c) 1 sin x + 0 sin x cos x + cos x = 0 (d) sin x 7 sin x cos x + cos x = 0 (e) cos x 4 sin x cos x + sin x cos x = 0 (f) cos x 4 sin x + sin x = 0 (g) sin x 10 cos x sin x + cos x = 0 (h) 7 sin 4 x 6 sin x cos x cos 4 x = 0 (i) 10 sin 4 x + 15 cos 4 x = 6 (j) sin x + sin x = (k) sin 4 x + cos 4 x sin x cos x = 1 4 (l) sin x 5 sin x cos x + 6 cos x = 0

28 DD - Goniometrische vergelijkingen 7 {(0,40π 0,10π)+kπ}, 4 + kπ}, {±0,8π + kπ}, { π + kπ}, {± π + kπ}, 4 {(0,5π 0,15π)+kπ}, {( 0,05π 0,1π)+kπ}, {(0,9π 0,14π)+kπ}, {( π π π ) + k π}, {( π 0,5π)+kπ}, {(0,40π 0,5π)+kπ}, {( π 0,π 0,0π)+kπ}, {± π 4 5. Lineaire vergelijkingen in sin x en cos x. Los op met een methode naar keuze. (a) sin x + cos x = 6 (b) 5 sin x + cos x = 4 (c) sin x + cos x = 1 (d) 4 sin x + 5 cos x = 6 (e) sin x + cos x = 0 (f) sin x cos x 6 = 0 (g) cos x + sin x = 0 (h) sin x + 4 cos x = (i) sin x = cos x + 1 (j) cos x = sin x (k) cos 4x + sin 4x = 0 (l) 1 + cos x = sin x {( π 5π) + kπ}, {(0,069π 0,59π)+kπ}, {(0 π) + kπ}, {(0,04π 0,11π)+k π}, {(0 π 5π ) + kπ}, {( 11π) + kπ}, 1 1 {( π π) + kπ}, {( 0,045π 0,5π)+kπ}, {(π π) + k4π}, 6 {(0 5π) + kπ}, { π + k π }, {(0,0π π) + kπ} Symmetrische vergelijkingen. De volgende vergelijkingen zijn homogeen en kunnen in principe opgelost worden zoals die in reeks (.). Maar behalve homogeen zijn ze ook symmetrisch onder verwisseling sin cos. Hierdoor kunnen ze vaak op een veel kortere manier opgelost worden. Tip: steun op de hoofdformules en op de formules voor merkwaardige producten. Voorbeeld. Los op: sin 4 x + cos 4 x = /4. Oplossing: ll = rl sin 4 x + sin x cos x + cos 4 x = 4 + sin x cos x (sin } x {{ + cos x } ) = sin (x) (DH formules) =1 sin x = 1... (werk de rest zelf uit)

29 DD - Goniometrische vergelijkingen 8 (a) sin 6 x + cos 6 x = 1 16 (b) sin 4 x + cos 4 x = sin x cos x (c) sin 6 x + cos 6 x 4 (sin4 x + cos 4 x) = 0 (d) (sin x + cos x) 4 + (sin x cos x) 4 =,651 (e) (sin 6 x + cos 6 x) (sin 4 x + cos 4 x) + 1 = 0 {(± π 1 5π 7π) + kπ}, { π {( 0,18π 0,68π)+kπ}, R. + kπ}, {(±0.15π ±0,5π)+kπ}, 7. Gemengde oefeningen. Los op met een methode naar keuze. (a) cos x + sin x = 1 (b) sin x + sin x = (c) 6 sin x + 5 cos x = 7 (d) 8 tan 4 x 6 tan x + 1 = 0 (e) sin 7x sin x sin x = 0 (f) sin x + sin x = 0 (g) 1 sin x sin x + cos x = 0 (h) tan x + cot x 8 cos x = 0 (i) 8 sin x + 5 sin x cos x 14 sin x cos x = 0 (j) sin x + sin x sin x = 0 (k) sin x = cos x (l) cos x = sin x + (m) sin x 4 sin x cos x + cos x = 0 (n) cos x + cos x + = 0 (o) sin x + sin 5x = sin 6x (p) sin x + sin x = cos x + (q) cos(x + π ) + sin(x) = 0 (r) cos x + 1 = cos x (s) cos x = 5 sin x (t) cos x + cos x = sin x + sin x (Tip: FvS)

30 DD - Goniometrische vergelijkingen 9 Taak 1: Goniometrische basisvergelijkingen. Vorm om naar sin u = sin v, cos u = cos v of tan u = tan v en los op. 1. sin( x + π) = sin(x + π) 4. cos(x 4π) = 0,691. tan x = cot x 4. cos x cos x = 0 Taak : Goniometrische vergelijkingen. Test jezelf: elk van deze vgl. moet je zonder problemen kunnen oplossen. 1. (Algebraïsch maken) 16 cos x 1 cos x + = 0. (Ontbinden in factoren) sin 7x sin x sin x = 0. (Homogene vgl.) cos x + cos x sin x cos x = 0 4. (Lineaire vgl.) cos x + sin x + 5 = 0