Me e r dan ree le getallen. Jaap Top

Transcriptie

1 Me e r dan ree le getallen Jaap Top JBI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 21 maart

2 2

3 Marten Toonder, verhaal de minionen (1980) 3

4 4

5 5

6 Niccolò Tartaglia ( ) 6

7 Tartaglia gebruikte vierkantswortels uit negatieve getallen. Zo loste hij vergelijkingen als de volgende op: x 3 = 21x Zijn methode, versimpeld weergegeven: substitueer x = a + b, dan x 3 = (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = 3ab(a + b) + a 3 + b 3 = 3abx + a 3 + b 3. Bij ons: a, b leveren een oplossing als ab = 7 en a 3 + b 3 = 20. 7

8 (x 3 = 21x + 20 volgens Tartaglia, vervolg.) Oplossing(en): x = a + b waarbij ab = 7 en a 3 + b 3 = 20. De condities impliceren a 3 b 3 = 7 3 en a 3 + b 3 = 20, dus a 3, b 3 zijn de twee oplossingen van X 2 20X = 0. Wortelformule: = , dus oplossingen 10 ±

9 (x 3 = 21x + 20 volgens Tartaglia, vervolg.) Oplossing(en): x = a + b met, na eventueel a en b omwisselen, ab = 7 en a 3 = Dit levert (zie verderop!) drie mogelijkheden: a = 2 + 3, dan b = 7/a = 2 3 en x = a + b = 4; a = , dan b = 7/a = dus x = a + b = 5; a = , dan b = 7/a = dus x = 1. 9

10 Controle: inderdaad ( 4) 3 = 21 ( 4) + 20, 5 3 = 21 (5) + 20, ( 1) 3 = 21 ( 1) Dus ondanks dat de methode niet bestaande getallen gebruikt, leidt het tot correcte antwoorden (en niet alleen in dit voorbeeld!). 10

11 Twee manieren om complexe getallen te beschrijven: algebraïsch, als uitdrukkingen a + b 1 met reële a, b; meetkundig, als punten met coördinaten (a, b) in het xy-vlak. 11

12 Een complex getal is een uitdrukking van de vorm a + bi, met a en b reële getallen, en i een nieuw symbool. De verzameling van alle complexe getallen geven we aan met C. Optellen en vermenigvuldigen in C: Laten z = a+bi en w = c+di complexe getallen zijn. Dan en z + w = (a + bi) + (c + di) := (a + c) + (b + d)i zw = (a + bi) (c + di) := (ac bd) + (ad + bc)i. 12

13 We vatten R op als een deel van C, door r R te zien als het complexe getal r + 0i. Dus C is een uitbreiding van R. Rekenen in R (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen) breidt uit tot rekenen in C, met dezelfde eigenschappen. De rekenregels zeggen in het bijzonder dat i 2 = 1. Dus i is een wortel uit 1. Leonhard Euler ( ) voerde de notatie i in. 13

14 De complex geconjugeerde van een complex getal z = a + bi is het complexe getal genoteerd als z, gegeven door z := a bi. Merk op dat voor elke z = a + bi 0 het product z z = a 2 + b 2 een positief reëel getal is. Er geldt en 1 z = z z z w z = w z z z In de praktijk kan hiermee snel een quotient van complexe getallen in de vorm a + bi geschreven worden. 14

15 Voorbeelden: i = 2 i (2 + i)(2 i) = 2 i 5 = i. Zo ook 3 + 5i 1 + i = (3 + 5i)(1 i) (1 + i)(1 i) = (3 + 5i)(1 i)/2 = 4 + i. 15

16 Deze algebraïsche benadering is afkomstig van Rafael Bombelli ( ), die probeerde iets zinvols te maken van de vreemde methoden van Tartaglia en diens tijdgenoten. 16

17 17

18 Je kan ook meetkundig naar C kijken door z = a + bi te zien als het punt (a, b) in het xy-vlak R 2. Optellen in C is zo de parallellogramwet voor het optellen van vectoren: a + bi optellen bij c + di is het optellen van de vectoren met beginpunt (0, 0) en eindpunt resp. (a, b) en (c, d). Complexe conjugatie is het overgaan van (a, b) naar (a, b), dus het spiegelen in de x-as. In het bijzonder zie je zo, dat z = z dan en slechts dan, als z met een punt op de x-as correspondeert, oftewel, als z R. We spreken van het complexe vlak. 18

19 De formule z z = a 2 + b 2 als z = a + bi laat zien, dat z z gelijk is aan het kwadraat van de afstand tussen (0, 0) en (a, b). Kortom, met z := z z = a 2 + b 2 wordt een reëel getal gedefiniëerd dat in het meetkundige plaatje de lengte van z (als vector) weergeeft. We noemen dit de absolute waarde van z. Voor reële z stemt dit overeen met de daar gebruikelijke absolute waarde. Er geldt zw = z w en z + w z + w. 19

20 Door z C (mits z 0) te delen door z n absolute waarde z, houden we een complex getal over met absolute waarde 1. Dit ligt dus in het complexe vlak op de cirkel om 0 met straal 1. Elk punt op die cirkel heeft coördinaten (cos α, sin α) waarbij α de hoek is die de lijn door 0 en het punt maakt ten opzichte van de positieve reële as (x-as). De hoek α heet het argument van het complexe getal z, notatie: arg(z). Er geldt z = r (cos α + (sin α)i) waarbij r = z en α = arg(z). 20

21 Notatie: e αi := cos α + (sin α)i. Dit is het complexe getal op de eenheidscirkel, met argument gelijk aan α. Merk op: e 0i = 1 + 0i = 1, en ook voor de gebruikelijke e-macht is e 0 = 1. Een berekening waarbij bekende goniometrische identiteiten worden gebruikt, laat zien (cos α + (sin α)i) (cos β + (sin β)i) = cos(α + β) + (sin(α + β))i. Oftewel: e αi e βi = e αi+βi. 21

22 Gegeven complexe getallen z en w, schrijf r = z en s = w en α = arg(z) en β = arg(w). Dan z w = r e αi s e βi = rs e (α+β)i. Meetkundig is vermenigvuldigen dus: de lengtes (absolute waarden) vermenigvuldigen, en de hoeken (argumenten) optellen. 22

23 Opnieuw ons Tartaglia voorbeeld: los op a 3 = a a a is: hoek arg(a) met 3 vermenigvuldigen, absolute waarde a tot de derde macht nemen. Hier: a 3 = = 343, dus a = 7. En arg(a 3 ) = arctan( ) rad, dus arg(a) rad (mod 2π/3). Dan: a 7 e i = 7(cos(0.3335) + i sin(0.3335)) i , en dat blijkt zelfs een exacte oplossing te zijn. De andere twee oplossingen horen bij de overige mogelijkheden voor arg(a). 23

24 De accountant/boekhouder Jean Robert Argand ( ) uit Parijs schreef in 1806 een boek over het meetkundig interpreteren van C. Het complexe vlak heet ook wel het Argand diagram. Iets eerder, op 20 juni 1805 presenteerde William Morgan (de grondlegger van het moderne actuariaat, ) voor de Royal Society in Londen het werk van de Franse priester Adrien- Quentin Buée ( ) die vanwege de Franse Revolutie naar Engeland was gevlucht. Onderwerp: meetkundig interpreteren van negatieve getallen en complexe getallen. De Noorse landmeter Caspar Wessel ( ) gaf al in 1799 dezelfde meetkundige interpretatie. Maar hij schreef in het Deens... 24

25 Buée vermeldt dat al eerder, in 1750, H. Kühn (wiskundeleraar uit Danzig) een meetkundige interpretatie van complexe getallen gaf. Buée is laatdunkend ( Ik denk niet dat ik hoef te praten over omdat hij daar veronderstelt dat 1 = 1 ), hij noemt Mr. Khun (verkeerde naam), en hij verwijst naar het derde nummer van de Mémoires de Petersbourg (verkeerde tijdschrift). Toch had Heinrich Kühn ( ) het prima begrepen. Euler schreef hem in 1735 een serie brieven, bij gebrek aan een adres maar naar de Danzigse (toen nog Königsberg) burgemeester C.L.G. Ehler gestuurd. Onderwerp: hoe maak je, uitgaande van de natuurlijke getallen, achtereenvolgens de negatieve, de rationale, reële, en uiteindelijk complexe. 25

26 Het tijdschrift waarin Kühns artikel (pp ) verscheen 26

27 titelpagina van Kühns artikel 27

28 Plaatjes uit Kühns artikel 28

29 Titelpagina van Argand s boek (1806) 29

30 Voor z = a + bi schrijven we e z = e a+bi := e a e bi. Voor a = 0 is dat de hiervoor gegeven e bi. Voor b = 0 is dat de gewone, reële e a. Er geldt e z+w = e z e w. Voor a = 0 en b = π staat er e πi = cos π + (sin π)i = 1, dus e πi + 1 = 0. Formule van Leonhard Euler ( ). 30

31 Euler voerde e z anders in: hij schreef e z = lim n (1 + z n )n. Invullen z = ix met x reëel, en gebruiken dat 1 cos(x/n) en x/n sin(x/n) als n heel groot, brengt Euler dan, via de formule van de Moivre (cos(α) + i sin(α)) n = cos(nα) + i sin(nα), tot de conclusie e ix = cos(x) + i sin(x). Zie scholierentijdschrift Pythagoras, april 2011 ( De mooiste formule ooit ). 31

32 Zwitserland, 1957 (Euler 250) 32

33 Wat commercieler, lovelymath.com, 2011: 33

34 Voorbeeld: de cosinusregel. a 2 = be αi c 2 = (be αi c)(be αi c) = b 2 + c 2 bc(e αi + e αi ) = b 2 + c 2 2bc cos α. 34

35 Toepassing/voorbeeld (H.W. Lenstra, Leiden) Zie Gegeven een figuur (tekening) in C. We spreken van een figuur met een Droste effect als er een reëel getal r ±1 is zodat de figuur onder vermenigvuldigen met r in zichzelf overgaat. 35

36 Door de schaling over r bij een Droste effect te combineren met een rotatie over α, krijg je een figuur dat in zichzelf wordt overgevoerd onder vermenigvuldigen met r e αi. Voorbeeld: Escher s Prentententoonstelling (1956): r 22, 6 en α 2, 75, dus invariant onder verm. met 20, , 63i. 36

37 Stelling: Elke veelterm f(z) over C van positieve graad heeft een nulpunt in C. Dit heet hoofdstelling van de algebra. O.a. bewezen door Argand (1806) en door Carl Friedrich Gauss ( ) in diens proefschrift (1799). Bewijsschets: zou f(z) geen nulpunt hebben, dan is 1/ f(z) overal gedefinieerd. Deze neemt een maximum aan. Na schuiven z z + a: maximum voor z = 0. Na ook nog f(z) delen door f(0): mag aannemen f(0) = 1. Schrijf f(z) = 1 + re αi z k +hogere machten, met k > 0, r > 0. Door voor z een handig gekozen waarde ɛ r 1/k e βi in te vullen, kan je zien dat de aanname maximum in z = 0 tot een tegenspraak leidt. 37

38 38

39 Gevolg: Op R 2 of R 3 of algemener R n in analogie met C = R 2, met R R n als (zeg) de vectoren {(x, 0,..., 0)}, naast de gewone optelling een vermenigvuldiging maken waarbij de gebruikelijke regels gelden (associatief, distributief, commutatief, en ieder element 0 heeft een inverse), lukt alleen als n = 1 (en dus R n = R) en als n = 2 (en dan R 2 = C). Oorzaak: hebben we zo n structuur op R n, dan voldoet elke v R n aan een vergelijking v m + a m 1 v m a 0 = 0 waarbij alle a j R en bovendien is x n + a m 1 x m a 0 over R niet in factoren van lagere graad te ontbinden. Het resultaat van Gauss impliceert hier m 2, en daarmee is het bewijs zonder veel moeite af te maken. 39

40 Dus na R en R 2 = C niks meer?! Toch wel! De Ierse wiskundige/natuurkundige/sterrenkundige William Rowan Hamilton, en eigenlijk drie jaar voor hij zijn vondst deed ook al de Franse wiskundige (en bankier) Benjamin Olinde Rodrigues, beseften dat als de voorwaarde van commutativiteit (v w = w v) wordt losgelaten, dan bestaat ook op R 4 een vermenigvuldiging met alle nog resterende eigenschappen. Vanwege de 4 in R 4 sprak Hamilton van quaternionen. 40

41 Benjamin Olinde Rodrigues ( ) 41

42 William Rowan Hamilton ( ) 42

43 Het verhaal over Hamiltons ontdekking van de quaternionen is beroemd: naar eigen zeggen, bedacht hij ze tijdens een wandeling met z n vrouw Helen Maria Bayly langs het Royal Canal (Iers: An Chanáil Ríoga) in Dublin op maandag 16 Oktober Hij kerfde het resultaat op een van de stenen van een brug over dat kanaal (Brougham Bridge, nu Broome Bridge). Tegenwoordig staat daar een gedenksteen. 43

44 44

45 45

46 46

47 47

48 Hamilton: begin niet met één, maar met drie (onafhankelijke) wortels uit 1. Die noem je i, j en k. Een punt (a, b, c, d) R 4 noteren we als a + bi + cj + dk. Vermenigvuldigen ervan gaat met de regels i 2 = j 2 = k 2 = 1, ij = ji = k, jk = kj = i, ki = ik = j. 48

49 Zo kom je tot (a + bi + cj + dk) (a + b i + c j + d k) = (aa bb cc dd + (ab + ba + cd dc )i + (ac bd + ca + db )j + (ad + bc cb + da )k. 49

50 De geconjugeerde van z = a + bi + cj + dk definiëren we als z = a bi cj dk. Dan z z = a 2 + b 2 + c 2 + d 2, dit is voor elke quaternion z een reëel getal, en het is zelfs 0 als z 0. Zo is, net als bij complexe getallen, te zien dat elke z 0 een inverse heeft: z 1 = 1 z z z. 50

51 51

52 Als eerbetoon aan W.R. Hamilton worden de quaternionen aangeduid met H. We hebben dus R C H. 52

53 Quaternionen worden toegepast in Natuurkunde, in Robotica, in Getaltheorie en veel meer. Zoals complexe getallen allerlei meetkunde in R 2 kunnen beschrijven, geldt dat voor quaternionen en meetkunde in R 3 en R 4. Voorbeeld: realiseer R 3 als de ruimte R i + R j + R k H. Alle afbeeldingen R 3 R 3 die de oorsprong op z n plek houden en die zowel afstand- als oriëntatie behouden, zijn weer te geven als voor een z H. v z v z 1 53

54 In H hebben we behalve ±i, ±j, ±k nog veel meer wortels uit 1: Stel z = a + bi + cj + dk voldoet aan z 2 = 1. Dan volgt dat z z = 1 en dus z = z. Conclusie: a = 0 en b 2 + c 2 + d 2 = 1, en elke z met deze eigenschappen is een oplossing! (De oplossingen vormen de rand van een bol) 54

55 Houdt het na C en H dan wel op? Ja, als we niet meer eigenschappen willen kwijtraken dan alleen commutativiteit. Nee, als we bovendien bereid zijn de associativiteit (u v) w = u (v w) op te offeren. Daarmee kan op R 8 een Oktaven vermenigvuldiging worden gezet, eerst bedacht in 1843 door Hamiltons vriend John Thomas Graves ( ), maar vooral bekend geworden door de Engelsman Arthur Cayley ( ). En daarmee houdt het werkelijk op... 55

56 Kees Stip ( Trijntje Fop, ): Op een bok In Siddeburen was een bok die machtsverhief en worteltrok. Die bok heeft onlangs onverschrokken de wortel uit zichzelf getrokken, waarna hij zonder ongerief zich weer in het kwadraat verhief. Maar t feit waardoor hij voort zal leven is, dat hij achteraf nog even de massa die hem huldigde met vijf vermenigvuldigde. 56

57 Siddeburen, bok gemaakt door de Groningse beeldhouwer Anton van Dijk 57