Complexe getallen. Jaap Top

Transcriptie

1 Complexe getallen Jaap Top JBI-RuG & DIAMANT 16 december 2014 (studiedag voor leraren wiskunde) 1

2 ( er verwijst naar Leopold Kronecker), uit een tekst (1893) na diens overlijden geschreven door Heinrich Weber, Jahresberichte der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 2

3

4 mensenwerk over 1: ontstaansgeschiedenis en toepassingen. uitvoeriger historie en meer/andere toepassingen: F. van der Blij, J. van der Craats, H.J.A. Duparc, J.T. Fokkema, A.W. Grootendorst en J.A. van Maanen, Vacantiecursus 1983 Complexe getallen, CWI Syllabus 15 (1987). top/cwisyllabus15.pdf 4

5 5

6 Marten Toonder, verhaal de minionen (1980) 6

7 7

8 Niccolò Tartaglia ( ) 8

9 geromantiseerde versie: (Dieter Jörgensen, 2000) 9

10 Tartaglia gebruikte vierkantswortels uit negatieve getallen. Zo loste hij vergelijkingen als de volgende op: x 3 = 21x Zijn methode, versimpeld weergegeven: substitueer x = a + b, dan x 3 = (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = 3ab(a + b) + a 3 + b 3 = 3abx + a 3 + b 3. Bij ons: a, b leveren een oplossing als ab = 7 en a 3 + b 3 =

11 (x 3 = 21x + 20 volgens Tartaglia, vervolg.) Oplossing(en): x = a + b waarbij ab = 7 en a 3 + b 3 = 20. De condities impliceren a 3 b 3 = 7 3 en a 3 + b 3 = 20, dus a 3, b 3 zijn de twee oplossingen van X 2 20X = 0. Wortelformule: = , dus oplossingen 10 ±

12 (x 3 = 21x + 20 volgens Tartaglia, vervolg.) Oplossing(en): x = a + b met, na eventueel a en b omwisselen, ab = 7 en a 3 = Dit levert (zie verderop!) drie mogelijkheden: a = 2 + 3, dan b = 7/a = 2 3 en x = a + b = 4; a = , dan b = 7/a = dus x = a + b = 5; a = , dan b = 7/a = dus x = 1. 12

13 Controle: inderdaad geldt ( 4) 3 = 21 ( 4) + 20 en 5 3 = en ( 1) 3 = 21 ( 1) Dus ondanks dat de methode niet bestaande getallen gebruikt, leidt het tot correcte antwoorden (en niet alleen in dit voorbeeld!). 13

14 Twee manieren om complexe getallen te beschrijven: algebraïsch, als uitdrukkingen a + b 1 met reële a, b; meetkundig, als punten met coördinaten (a, b) in het xy-vlak. 14

15 Een complex getal is een uitdrukking van de vorm a + bi, met a en b reële getallen, en i een nieuw symbool. Is z = a + bi een complex getal, dan heet a R het reële deel van z en b R het imaginaire deel van z. Notatie Re(z) := a resp. Im(z) := b. De verzameling van alle complexe getallen geven we aan met C. Optellen en vermenigvuldigen in C: Laten z = a+bi en w = c+di complexe getallen zijn. Dan en z + w = (a + bi) + (c + di) := (a + c) + (b + d)i zw = (a + bi) (c + di) := (ac bd) + (ad + bc)i. 15

16 We vatten R op als een deel van C, door r R te zien als het complexe getal r + 0i. Evenzo hebben we een zekere deelverzameling van de complexe getallen die we de zuiver imaginaire getallen noemen. Dit zijn de complexe getallen van de vorm 0 + bi. Zo n zuiver imaginair getal schrijven we kortweg als bi. De rekenregels zeggen in het bijzonder dat (bi)(di) = bd, dus het product van twee zuiver imaginaire getallen is een reëel getal. Voor b = d = 1 staat hier dat i 2 = 1. Dus i is een wortel uit 1. Leonhard Euler ( ) voerde de notatie i in. 16

17 Elk complex getal z 0 heeft een inverse; dat is een w C zodat zw = 1. Deze inverse wordt, net als in het reële geval, geschreven als z 1. Er geldt (a + bi) 1 = a a 2 + b 2 b a 2 + b 2i, zoals je nagaat door met a + bi te vermenigvuldigen. Dit stelt ons in staat om complexe getallen op elkaar te delen: z/w = z w 1 (mits w 0). 17

18 De complex geconjugeerde van een complex getal z = a + bi is het complexe getal genoteerd als z, gegeven door z := a bi. Merk op dat voor elke z = a + bi 0 het product z z = a 2 + b 2 een positief reëel getal is. Er geldt en 1 z = z z z w z = w z z z In de praktijk kan hiermee snel een quotient van complexe getallen in de vorm a + bi geschreven worden. 18

19 Voorbeelden: i = 2 i (2 + i)(2 i) = 2 i 5 = i. Zo ook 3 + 5i 1 + i = (3 + 5i)(1 i) (1 + i)(1 i) = (3 + 5i)(1 i)/2 = 4 + i. 19

20 Deze algebraïsche benadering is afkomstig van Rafael Bombelli ( ), die probeerde iets zinvols te maken van de vreemde methoden van Tartaglia en diens tijdgenoten. 20

21 Je kan op een meetkundige manier naar C kijken door z = a + bi te zien als het punt (a, b) in het xy-vlak R 2. Optellen in C is zo de parallellogramwet voor het optellen van vectoren: a + bi optellen bij c + di is het optellen van de vectoren met beginpunt (0, 0) en eindpunt resp. (a, b) en (c, d). Complexe conjugatie is het overgaan van (a, b) naar (a, b), dus het spiegelen in de x-as. We spreken van het complexe vlak. 21

22 De formule z z = a 2 + b 2 als z = a + bi laat zien, dat z z gelijk is aan het kwadraat van de afstand tussen (0, 0) en (a, b). Kortom, met z := z z = a 2 + b 2 wordt een reëel getal gedefiniëerd dat in het meetkundige plaatje de lengte van z (als vector) weergeeft. We noemen dit de absolute waarde van z. Voor reële z stemt dit overeen met de gewone absolute waarde. Er geldt zw = z w en z + w z + w. 22

23 Door z C (mits z 0) te delen door z n absolute waarde z, houden we een complex getal over met absolute waarde 1. Dit ligt dus in het complexe vlak op de cirkel om 0 met straal 1. Elk punt op die cirkel heeft coördinaten (cos α, sin α) waarbij α de hoek is die de lijn door 0 en het punt maakt ten opzichte van de positieve reële as (x-as). De hoek α heet het argument van het complexe getal z, notatie: arg(z). Er geldt z = r (cos α + (sin α)i) waarbij r = z en α = arg(z). 23

24 De accountant/boekhouder Jean Robert Argand ( ) uit Parijs schreef in 1806 een boek over het meetkundig interpreteren van C. Het complexe vlak heet ook wel het Argand diagram. Iets eerder, op 20 juni 1805 presenteerde William Morgan (de grondlegger van het moderne actuariaat, ) voor de Royal Society in Londen het werk van de Franse priester Adrien- Quentin Buée ( ) die vanwege de Franse Revolutie naar Engeland was gevlucht. Onderwerp: meetkundig interpreteren van negatieve getallen en complexe getallen. De Noorse landmeter Caspar Wessel ( ) gaf al in 1799 dezelfde meetkundige interpretatie. Maar hij schreef in het Deens... 24

25 Buée vermeldt dat al eerder, in 1750, H. Kühn (wiskundeleraar uit Danzig) een meetkundige interpretatie van complexe getallen gaf. Buée is laatdunkend ( Ik denk niet dat ik hoef te praten over omdat hij daar veronderstelt dat 1 = 1 ), hij noemt Mr. Khun (verkeerde naam), en hij verwijst naar het derde nummer van de Mémoires de Petersbourg (verkeerde tijdschrift). Toch had deze leraar het prima begrepen. Euler schreef hem in 1735 een serie brieven, bij gebrek aan een adres maar naar de Danzigse burgemeester C.L.G. Ehler gestuurd. Onderwerp: hoe maak je, uitgaande van de natuurlijke getallen, achtereenvolgens de negatieve, de rationale, reële, en uiteindelijk complexe. Vergelijk met Kroneckers uitspraak! 25

26 Het tijdschrift waarin Kühns artikel (pp ) verscheen 26

27 titelpagina van Kühns artikel 27

28 Plaatjes bij Kühns artikel 28

29 Notatie: e αi := cos α + (sin α)i. Dit is het complexe getal op de eenheidscirkel, met argument gelijk aan α. Merk op: e 0i = 1 + 0i = 1, en ook voor de gebruikelijke e-macht is e 0 = 1. Een berekening waarbij bekende goniometrische identiteiten worden gebruikt, laat zien (cos α + (sin α)i) (cos β + (sin β)i) = cos(α + β) + (sin(α + β))i. Oftewel: e αi e βi = e αi+βi. 29

30 Gegeven complexe getallen z en w, schrijf r = z en s = w en α = arg(z) en β = arg(w). Dan z w = r e αi s e βi = rs e (α+β)i. Meetkundig is vermenigvuldigen dus: de lengtes (absolute waarden) vermenigvuldigen, en de hoeken (argumenten) optellen. 30

31 Voor z = a + bi schrijven we e z = e a+bi := e a e bi. Voor a = 0 is dat de hiervoor gegeven e bi. Voor b = 0 is dat de gewone, reële e a. Er geldt e z+w = e z e w. Voor a = 0 en b = π staat er e πi = cos π + (sin π)i = 1, dus Formule gegeven door Euler. e πi + 1 = 0. 31

32 Euler voerde e z anders in: hij schreef e z = lim n (1 + z n )n. Invullen z = ix met x reëel, en gebruiken dat 1 cos(x/n) en x/n sin(x/n) als n heel groot, brengt Euler dan, via de formule van de Moivre (cos(α) + i sin(α)) n = cos(nα) + i sin(nα), tot de conclusie e ix = cos(x) + i sin(x). Zie scholierentijdschrift Pythagoras, april 2011 ( De mooiste formule ooit ). 32

33 Zwitserland, 1957 (Euler 250) 33

34 Wat commercieler, lovelymath.com, 2011: 34

35 Voorbeeld: los op a 3 = a a a is: hoek arg(a) met 3 vermenigvuldigen, absolute waarde a tot de derde macht nemen. Hier: a 3 = = 343, dus a = 7. En arg(a 3 ) = arctan( ) rad, dus arg(a) rad (mod2π/3). Dan a 7 e i , en dat blijkt zelfs een exacte oplossing te zijn. De andere twee oplossingen horen bij de overige mogelijkheden voor arg(a).

36 Voorbeeld: de cosinusregel. a 2 = be αi c 2 = (be αi c)(be αi c) = b 2 + c 2 bc(e αi + e αi ) = b 2 + c 2 2bc cos α. 35

37 (H.W. Lenstra, Leiden) Zie Gegeven een figuur (tekening) in C. We spreken van een Droste effect als er een reëel getal r ±1 is zodat de figuur onder vermenigvuldigen met r in zichzelf overgaat. 37

38 Door de schaling over r bij een Droste effect te combineren met een rotatie over α, krijg je een figuur dat in zichzelf wordt overgevoerd onder vermenigvuldigen met r e αi. Voorbeeld: Escher s Prentententoonstelling (1956), waarbij r 22, 6 en α 2,

39 Gehelen van Gauss: Z[i], alle m + ni met m, n Z. Met z, w Z[i] zijn ook z ± w en z w in Z[i]. De enige z Z[i] waarvoor ook 1 z Z[i], zijn 1, 1, i, i. Priemen van Gauss zijn de m + ni Z[i] die niet verder te ontbinden zijn: m + ni 1, 1, i, i en als m + ni = z w voor zekere z, w Z[i], dan zit ofwel z, ofwel w in {1, 1, i, i}. Voorbeeld: 1 + i, 3, 2 + i, 1 + 2i, 7, 11, 2 + 3i, 4 + i zijn priemen van Gauss. 39

40 Ter gelegenheid van het International Congress of Mathematicians in Amsterdam in 1954, liet de wis en natuurkundige Balthasar van der Pol ( ) door linnenfabrikant E.J.F. van Dissel & Zn (Eindhoven) servetten maken met priemen van Gauss erop. 40

41 commerciële priemen van Gauss... 41

42 Bij een klassieke benadermethode voor π = 3, spelen de gehelen van Gauss een rol. Basis: tan(π/4) = 1, dus π/4 = arctan(1). Nu nog die arctangens nauwkeurig benaderen... 42

43 Begin met (een meetkundige reeks) x 2 = 1 x2 + x 4 x 6 + x 8... Hiervan de primitieve: arctan(x) = x 1 3 x x5 1 7 x x9... Invullen x = 1 geeft π = 4 ( ), een formule bedacht door de Schotse wis en sterrenkundige James Gregory ( ). 43

44 Voorbeeld: 100 termen geeft π 3, 1316, 1000 termen geeft π 3, 1406, termen geeft π 3, De gebruikte reeks convergeert erg langzaam. Een oplossing hiervoor bedacht de Engelse sterrenkundige John Machin ( ). 44

45 Er blijkt te gelden (5 + i) 4 = (2 + 2i)(239 + i). Omdat vermenigvuldigen van complexe getallen o.a. hoeken optellen, is dus 4 arctan( 1 5 ) = π 4 + arctan( ). betekent: En dan π = 16 arctan(1/5) 4 arctan(1/239) = ( ) 1 3 ( ) ( ) 7 1 ( ) +... Iets na 1700 vond Machin hiermee ruim 100 decimalen van π, dat kan met minder dan 80 termen van de reeks. 45

46 Kwadraten van Gauss 46

47 Derde machten van Gauss 47