TW2040: Complexe Functietheorie

Transcriptie

1 TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 18 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 31

2 Outline 1 Section I.1 Complex numbers K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 2 / 31

3 Definitie Section I.1 Complex numbers We maken van R R een lichaam en dat lichaam noemen we C. Optelling: (x, y) + (u, v) = (x + u, y + v). Vermenigvuldiging: (x, y) (u, v) = (xu yv, xv + yu). Alle rekenregels, A1 A5, M1 M5, DL, uit Wiskundige Structuren gelden voor C. De meeste kun je redelijk makkelijk verifiëren (netjes werken). K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 3 / 31

4 Definitie Section I.1 Complex numbers De nul is (0, 0), we schrijven gewoon 0 voor dat punt. De één is (1, 0), we schrijven gewoon 1 voor dat punt. Multiplicatieve inverse: ( x (x, y) x 2 + y 2, y ) x 2 + y 2 = (1, 0) als (x, y) (0, 0) Schrijf alles netjes uit. K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 4 / 31

5 Definitie Section I.1 Complex numbers De reële getallen zijn er nog steeds: C R = {(a, 0) : a R} gedraagt zich precies als R. (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0) = (1, 0), dus de vergelijking X = 0 heeft een oplossing in C, twee zelfs: (0, 1) en (0, 1). Notatie: i = (0, 1). Dus: (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = x + yi We schrijven gewoon a voor (a, 0) als a R. K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 5 / 31

6 Standaardnotatie Section I.1 Complex numbers Complexe getallen heten meestal z en w. We schrijven z = x + yi en w = u + vi (in plaats van (x, y) en (u, v)). Als z = x + yi dan x = Re z, het reële deel van z y = Im z, het imaginaire deel van z Als Re z = 0 dan is z zuiver imaginair. De x-as heet wel de reële as en de y-as heet de imaginaire as. K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 6 / 31

7 Ordening Section I.1 Complex numbers Regels O1 O4 krijgen we niet. In een geordend lichaam geldt: 0 < x 2 als x 0 (Lay: Exercise e) en dus 0 < 1 en ook 1 < 0 Echter: i 2 = 1. K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 7 / 31

8 Complex geconjugeerde We schrijven x + yi = x yi, de complex geconjugeerde van z. Meetkundig: spiegelen in de reële as. z ± w = z ± w, z w = z w, z/w = z/w z + z = 2x = 2 Re z z z = 2yi = 2i Im z zz = x 2 + y 2 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 8 / 31

9 Modulus en argument Via z = x + yi = (x, y) kunnen we complexe getallen ook in poolcoördinaten uitdrukken: z = x + yi z θ z = x 2 + y 2 = zz; de modulus θ; hoek, het argument K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 9 / 31

10 Eigenschappen Section I.1 Complex numbers Nuttige eigenschappen zz = x 2 + y 2 = z 2 z w = z w Re z, Im z z K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 10 / 31

11 Driehoeksongelijkheid Stelling Voor elk tweetal complexe getallen z en w geldt z w z ± w z + w Bewijs. z ± w 2 = (z ± w)(z ± w) = z 2 + w 2 ± (zw + zw) ( z + w ) 2 = z 2 + w zw ±(zw + zw) = ±2 Re zw 2 zw = 2 zw Dit geeft de tweede. K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 11 / 31

12 Driehoeksongelijkheid Stelling Voor elk tweetal complexe getallen z en w geldt z w z ± w z + w Bewijs. De eerste volgt uit de tweede: z = z w + w z w + w dus z w z w w = w z + z w z + z dus w z w z Nu samenvoegen. K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 12 / 31

13 Delen Section I.1 Complex numbers De formule zz = z 2 maakt sommige formules eenvoudiger: Bijvoorbeeld 1 z = z z 2 ofwel 1 x + yi = x yi x 2 + y i 3 + 4i = = = i 3 4i 3 + 4i 3 4i ( ) + ( )i i = i 25 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 13 / 31

14 Eigenschappen Section I.1 Complex numbers Nu de hoek, het argument. Om te beginnen x = z cos θ y = z sin θ Er zijn oneindig veel waarden voor θ. De Hoofdwaarde noteren we Arg z, dat is de hoek in ( π, π] Andere waarden: arg z = Arg z + 2kπ (k Z) K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 14 / 31

15 Vermenigvuldiging Section I.1 Complex numbers Schrijf z = r(cos ϕ + i sin ϕ) en w = s(cos ψ + i sin ψ), we krijgen zw = rs(cos ϕ + i sin ϕ)(cos ψ + i sin ψ) = rs ( (cos ϕ cos ψ sin ϕ sin ψ) + i(sin ϕ cos ψ + cos ϕ sin ψ) ) = rs ( cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ) ). Dus modulussen vermenigvuldigen en hoeken optellen. In 1797 definieerde Caspar Wessel de vermenigvuldiging op deze manier. (Hij definieerde ook de kop-staartmanier om vectoren op te tellen.) K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 15 / 31

16 Vermenigvuldiging: een voorbeeld Neem z = 1 + i en w = 1 + 3i. Dan z = 2(cos 3 4 π + i sin 3 4 π) w = 2(cos 1 3 π + i sin 1 3 π) zw = ( 1 3) + (1 3)i En dus... K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 16 / 31

17 Vermenigvuldiging: een voorbeeld... vinden we ( 1 3) + i(1 3) = 2 ( 2 cos = 2 ( 2 ) 13 π + i sin 12 π cos 11 π + i sin π ) we schrijven wel maar niet arg zw = arg z + arg w Arg zw = Arg z + Arg w K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 17 / 31

18 Vermenigvuldiging: een voorbeeld w z 3 4 π π 3 zw π K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 18 / 31

19 Delen Section I.1 Complex numbers Schrijf z = r(cos ϕ + i sin ϕ) en w = s(cos ψ + i sin ψ), we krijgen z w = r(cos ϕ + i sin ϕ) s(cos ψ + i sin ψ) = r s = r s cos ϕ + i sin ϕ cos ψ i sin ψ cos ψ + i sin ψ cos ψ i sin ψ (cos ϕ + i sin ϕ)(cos ψ i sin ψ) cos 2 ψ + sin 2 ψ = r s ( cos(ϕ ψ) + i sin(φ ψ) ). Dus modulussen delen en hoeken aftrekken. K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 19 / 31

20 Delen Section I.1 Complex numbers In het bijzonder, als z = r(cos ϕ + i sin ϕ) dan: 1 z = z zz = 1 (cos ϕ i sin ϕ) r En in het héél bijzonder: als z = 1 dan 1 z = z. K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 20 / 31

21 Formule van De Moivre Voor elke hoek θ en elk geheel getal n geldt (cos θ + i sin θ) n = cos(nθ) + i sin(nθ) Toepassing: makkelijke formules voor cos nθ en sin nθ: cos 3θ + i sin 3θ = cos 3 θ + 3 cos 2 θi sin θ + 3 cos θi 2 sin 2 θ + i 3 sin 3 θ = (cos 3 θ 3 cos θ sin 2 θ) + i(3 cos 2 θ sin θ sin 3 θ) Dankzij de binomiaalformule (Lay: Exercise ) K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 21 / 31

22 En voor de cosinus Section I.1 Complex numbers Merk op cos 3θ = cos 3 θ 3 cos θ sin 2 θ = cos 3 θ 3 cos θ(1 cos 2 θ) = 4 cos 3 θ 3 cos θ Dus cos 3θ = T 3 (cos θ), met T 3 (x) = 4x 3 3x. Dit lukt voor elke n: er is een polynoom T n zó dat cos nθ = T n (cos θ). K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 22 / 31

23 , bestaan Stelling (I.1.7) Voor elke n N zijn er precies n verschillende n-demachtseenheidswortels (oplossingen van z n = 1 dus). Schrijf z = r(cos ϕ + i sin ϕ) (met 0 ϕ < 2π) dan is z n = 1 equivalent met r n (cos nϕ + i sin nϕ) = 1(cos 0 + i sin 0) ofwel r n = 1 en nϕ = 0 + 2kπ (k Z). Dus r = 1 en 0 k < n (want 0 nϕ < 2nπ). K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 23 / 31

24 , bestaan We krijgen dus n oplossingen: ζ ν = ζ ν,n = cos 2πν n 2πν + i sin n (ν = 0, 1,..., n 1) NB ζ 0,n = 1 Dankzij De Moivre geldt: ζ ν 1,n = ζ ν,n (ζ 1,n brengt dus de groep {ζ ν,n : 0 ν < n} voort). K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 24 / 31

25 , eigenschappen Merk op (en ga na) z n 1 = (z 1)(z n z + 1) dus,..., of ook ζ n ζ = 0 ζ n ζ 1 + ζ 0 = 0 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 25 / 31

26 De vijfdemachtseenheidswortels We berekenen ζ 1,5 = cos 2 5 π + i sin 2 5 π. Belangrijke opmerkingen z 5 1 = (z 1)(z ζ 1 )(z ζ 4 )(z ζ 2 )(z ζ 3 ) ζ 4 = ζ 1 = ζ1 1 en ζ 3 = ζ 2 = ζ2 1 (z ζ 1 )(z ζ 4 ) = z 2 2 cos 2 5 πz + 1 (z ζ 2 )(z ζ 3 ) = z 2 2 cos 4 5 πz + 1 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 26 / 31

27 De vijfdemachtseenheidswortels Schrijf nu even a = 2 cos 2 5 π en b = 2 cos 4 5π en merk nu op dat en ook (z 2 az + 1)(z 2 bz + 1) = z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 (z 2 az +1)(z 2 bz +1) = z 4 (a+b)z 3 +(2+ab)z 2 (a+b)z +1 En dus (a + b) = 1 en 2 + ab = 1 ofwel ab = 1. K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 27 / 31

28 De vijfdemachtseenheidswortels Maar uit (x a)(x b) = x 2 (a + b)x + ab volgt dat a en b de oplossingen van x 2 + x 1 = 0 zijn, dus a = en b = (want a > 0 en b < 0). Conclusie: cos 2 5 π = en cos 4 5 π = K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 28 / 31

29 Dus ζ 1,5 is gelijk aan... Nu gebruiken we sin 2 5 π = 1 cos π = , en dus ζ 1,5 = i K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 29 / 31

30 De vijfdemachtseenheidswortels ζ 1,5 = i ζ 2,5 ζ 0,5 ζ 3,5 ζ 4,5 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 30 / 31

31 Bonus Section I.1 Complex numbers En ook: en cos 1 5 π = cos 4 5 π = sin 1 5 π = sin 4 5 π = K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 31 / 31