z 1 z 2 r 2 r 1 z 2 z 1 r 1 r 2

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "z 1 z 2 r 2 r 1 z 2 z 1 r 1 r 2"

Transcriptie

1 Lesbrief 10 Complexe getallen 1 Het complexe vlak Zoals we ons reële getallen kunnen voorstellen als de punten van een lijn waarop 0 en 1 zijn vastgelegd, zo kunnen we ons de complexe getallen voorstellen als de punten van een vlak waarin een rechthoekig coördinatenstelsel is gekozen. Een punt met coördinaten (x; y) noteren we daarbij als x + iy (of x + yi). Hier zijn wat voorbeelden: 5+3i (5; 3) 4+2i ( 4; 2) 3+0i =3 (3; 0) 0+2i =2i (0; 2) 0+0i =0 (0; 0) 0 +( 1)i = i (0; 1) iy x + iy i x i Figuur 1. De symbolen +" en i" in x+iy hebben voorlopig geen andere functie dan de haakjes en de komma in (x; y), namelijk het uit elkaar houden van de twee coördinaten x en y. We korten de schrijfwijze soms wat in, zoals je boven al zag. Op die manier kunnen we het reële getal r identiceren met het punt (r; 0) op de horizontale as van ons coördinatenstelsel, die daarom de reële as wordt genoemd. We zullen nog zien waarom het nuttig is deze identicatie te maken. De complexe getallen van de vorm (0;r) =0+ri = ri, dus de getallen die op de verticale as liggen, heten imaginaire getallen. De verticale as zelf heet de imaginaire as. De verzameling van alle complexe getallen noteert men als C, de reële getallen als R en de imaginaire getallen als ir. 2 Optellen en vermenigvuldigen De complexe getallen heten getallen omdat men er (onder andere) twee vertrouwde bewerkingen voor kan deniëren, de optelling en de vermenigvuldiging. Dit gaan we nu doen, en wel op zo'n manier, dat de getallen op de reële as onderling voldoen aan dezelfde regels voor onze bewerkingen als de ons al bekende reële getallen. We hebben dan de reële getallen als rekensysteem als het ware `ingebed' in de complexe getallen. Nu eerst de denities voor de bewerkingen: 1

2 Denitie 2.1 Als a =(x 1 ;y 1 ) en b =(x 2 ;y 2 ) complexe getallen zijn, dan deniëren we hun som a + b en hun product a b = ab door: (x 1 ;y 1 )+(x 2 ;y 2 ) = (x 1 + x 2 ;y 1 + y 2 ) (x 1 ;y 1 ) (x 2 ;y 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2 ;x 1 y 2 + y 1 x 2 ) De optelling is zoals je misschien al hebt opgemerkt de gewone vectoroptelling van de R 2. De vermenigvuldiging ziet er een beetje merkwaardig uit.... Allereerst merken we op, dat bij reële getallen (x 1 ; 0) en (x 2 ; 0) de som en het product weer reëel zijn en overeenkomen met de som en het product uit R zoals we diealkenden. Verder geldt (0; 1) (0; 1) = ( 1; 0). In onze `+,i' notatie wordt dit i i = 1. Dit had je misschien al wel eens gezien: i is een `wortel uit 1'. Merk echter op dat ook ( i) ( i) = 1, dus i is niet de unieke wortel. Als we nu de vermenigvuldigingsregel in onze notatie schrijven, ziet die er uit als: (x 1 + y 1 i) (x 2 + y 2 i)=(x 1 x 2 y 1 y 2 )+(x 1 y 2 + x 2 y 1 )i: We zien dat het vermenigvuldigen gewoon het wegwerken van de haakjes aan de linkerkant is, daarbij gebruikmakend van i i = 1. Overigens blijkt de notatie x+i y echtovereen te komen met bovenstaande denitie voor de rekenregels. Er geldt voor alle x; y R dat i y =(0; 1) (y; 0)=(0;y)endusx + i y =(x; 0) + (0;y)=(x; y). Hierbij vatten we y dus op als (y; 0). 3 Poolcoördinaten De plaats van een punt z = x+iy in het complexe vlak is vastgelegd door zijn rechthoekige coördinaten (x; y). Mits (x; y) (0; 0), kan dit ook met poolcoördinaten p r en '. Daarbij is r = x 2 + y 2 de afstand van z tot de oorsprong O = (0; 0) en is ' de hoek die het lijnstuk Oz maakt met de positieve reële as, gemeten tegen de klok in. Deze hoek ' heet het argument van z, notatie ' = arg(z). Het argument meten we in radialen en is dus bepaald op veelvouden van 2ß na. Het getal r heet de modulus of absolute waarde van z, notatie r = z. Als z 0, dan hebben we het volgende: ρ x = r cos ' y = r sin ' i 0 8 >< >: ϕ 1 r Figuur 2. p r = z = x 2 + y 2 x cos ' = sin ' = x 2 +y 2 y x 2 +y 2 x + iy Er geldt z = x+iy = r(cos '+i sin '). Men noemt x het reële deel van z, genoteerd als R(z) of Re(z), en y (dus niet iy) het imaginaire deel, genoteerd als I(z) of Im(z). 2

3 4 Euler's formule Als je de kennis die je hebt van de reële getallen en de reële analyse (leer van de reële functies) uit gaat breiden naar het complexe vlak, kan je niet alles wat je zou willen weten direct afleiden uit stellingen over de reële getallen, omdat nog niet alles vastligt. Het complexe vlak is een uitbreiding, en je zult dus zelf ook een aantal denities moeten uitbreiden. Hierbij moet je er natuurlijk op letten dat deze op de reële lijn overeenkomen met je oude, reële denities. Daarna kun je uit de nieuwe denities `complexe' stellingen afleiden. We hebben de optelling en vermenigvuldiging al uitgebreid van reële functies naar complexe functies: ze krijgen nu complexe invoerwaarden en geven een complex getal terug. We gaan nog een aantal reële functies uitbreiden naar complexe functies. We nemen de functie exp : R R gegeven door x e x (met e 2; :::)en maken deze tot een complexe functie. We zullen e tot elk complex getal willen kunnen verheffen, dus zeker tot een imaginair getal. Daarom moeten we e iy deniëren voor reële y. De volgende denitie lijkt misschien wat willekeurig, maar blijkt van groot nut te zijn en kan ook op een natuurlijke wijze uit andere, simpelere denities worden bewezen. We stellen e iy = cos y + i sin y: Deze denitie heet ook wel de formule van Euler. Er geldt nu dat e i(y1+y2) = e iy1 e iy2 voor alle y 1 ;y 2 R : Dit volgt uit de denitie van complexe vermenigvuldiging en de optelregels voor de reële sinus- en cosinusfuncties: sin(y 1 + y 2 ) = sin y 1 cos y 2 +cosy 1 sin y 2 cos(y 1 + y 2 ) = cos y 1 cos y 2 sin y 1 sin y 2 Ga dit verder zelf na. Nu ligt e z voor een willekeurig complex getal z = x + iy vast en is gelijk aan: e x+iy = e x e iy = e x (cos x + i sin x) : Ook voldoet de complexe e-macht heel natuurlijk aan e z1+z2 = e z1 e z2 voor alle z 1 ;z 2 C : Bovendien kunnen we nog opmerken dat geldt cos y = eiy + e iy 2 sin y = eiy e iy voor alle y R. Met deze denitie kunnen we dan, door y C te nemen, ook de sinus en de cosinus uitbreiden. Ook die blijven op heel C aan de al bekende regels voldoen, zoals de bovengenoemde optelregels. 2i 5 De meetkunde van som en product De som van z 1 ;z 2 C bepaal je op dezelfde manier als je in de R 2 de vectoren z 1 en z 2 zou optellen, door een parallellogram te construeren. Het product z 1 z 2 kunnen 3

4 we ook meetkundig construeren. Hiervoor gebruiken we dat we een complex getal ongelijk aan nul in poolcoördinaten kunnen schrijven. Als we dan nog Euler's formule toepassen, vinden we: z 1 z 2 = r 1 e i'1 r 2 e i'2 = r 1 r 2 e i('1+'2) De modulus van het product is dus het product van de moduli: z 1 z 2 z 1 z 2 = r 1 r 2 = z 1 z 2 : En het argument van het product is de som van de argumenten: r 1 r 2 arg(z 1 z 2 ) = arg(z 1 )+arg(z 2 ) : Je ziet dat het argument als een soort logaritme werkt. Als we nu het volgende plaatje met de punten z 1 en z 2 in het complexe vlak tekenen, dan zien we dat 01z 1 0z 2 (z 1 z 2 ). Dit levert ons de gezochte constructiemethode. (Voer die zelf verder uit.) r z 2 z 1 r 1 6 Verschil en quotiënt Figuur 3. Aftrekken en delen zijn de omgekeerde bewerkingen van optellen en vermenigvuldigen. Er geldt z 1 z 2 =(x 1 + iy 1 ) (x 2 + iy 2 )=(x 1 x 2 )+i(y 1 y 2 ). Voor het quotiënt z1 met z 2 0werkt de verkorte poolcoördinatennotatie weer het handigst: als ook z2 z 1 0,danis z1 = r1 z2 r2 ei('1 '2), en natuurlijk is 0 =0voor alle z 2 0. We kunnen z2 het quotiënt van z 1 = x 1 + iy 1 en z 2 = x 2 + iy 2 ook in cartesische (rechthoekige) coördinaten uitdrukken. Hiertoe maken we gebruik van de geconjugeerde van een complex getal. Voor z = x + iy is dit per denitie z = x iy. Je kent waarschijnlijk wel de ontbinding x 2 y 2 =(x + y)(x y). Met behulp hiervan kun je schrijven x 2 + y 2 = x 2 (iy) 2 =(x + iy)(x iy) : Als je de linkerkant herkent als het kwadraat van z, zie je dat er staat: Hieruit volgt meteen dat 1 z = z 2 = zz : z,voor z 0,dus z 2 x 1 + iy 1 =(x 1 + iy 1 ) x 2 iy 2 x 2 + iy 2 x 2 + = x 1x 2 + y 1 y 2 2 y2 2 x i x 2y 1 x 1 y 2 2 y2 2 x y2 2 Merk verder nog op dat voor alle z 1 ;z 2 C geldt: z 1 + z 2 = z 1 + z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 : 4

5 Opgave 6.1 (a) Teken elk van de volgende complexe getallen in het complexe vlak en bepaal hun modulus en argument: 3, 2i, 1+i en 3 i. (b) Schrijf de volgende complexe getallen in de vorm x + iy (x; y R) enteken ze in het complexe vlak: e 4ßi, e 1 2 ßi,2e ßi en 2e 9 4 ßi. Opgave 6.2 Teken in het complexe vlak telkens de getallen z die voldoen aan (a) arg(z) = ß 6 en R(z) =2. (b) I(z) = 3 en z =5. (c) arg(z) = 3 4 ß en z2 =16. (d) z 3i =5. (e) z 3i = 4+2i z. (f) z 4 = R(z). Opgave 6.3 Bewijs dat voor alle z 1 ;z 2 C geldt: (a) z 1 + z 2 z 1 + z 2. (de zogenaamde driehoeksongelijkheid) (b) z 1 z 2 z1 z 2. (c) z 1 z 1 + z arg(z). Wanneer geldt het gelijkteken? Opgave 6.4 Bewijs dat voor alle z 1 ;z 2 C z 1 + z z 1 z 2 2 =2 z z 2 2 : Dit heet de parallellogramwet. Waarom, denk je? Opgave 6.5 Bewijs: als z 1 = z 2 = z 3 =1enz 1 + z 2 + z 3 = 0, dan zijn z 1, z 2 en z 3 de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek in het complexe vlak. Opgave 6.6 Schrijf de volgende getallen in de vorm x + iy (x; y R): (a) 1 i. (b) i (c) 1 i 1+i. (d) (1 + i 3) 3. Opgave 6.7 Bewijs met inductie dat (cos ' + i sin ') k =cosk' + i sin k' voor alle k N. Opgave 6.8 Bereken de som van de meetkundige reeks P n k=0 eik'. 5

6 Opgave 6.9 Bewijs dat en nx k=1 nx k=0 sin k' = sin 1 2 (n +1)' sin 1 2 n' sin 1 2 ' cos k' = sin 1 2 (n +1)' cos 1 2 n' sin 1 2 ' : P n Opgave 6.10 Bepaal k=0 cos(a + kb) enp n k=0 sin(a + kb), (a; b R). Opgave 6.11 Teken in het complexe vlak de verzameling van alle complexe getallen die voldoen aan (a) arg (b) arg (c) z 1 z+1 z 1 z+1 z+i z i =2. = ß 2. = ß 3. 7 Vierkantsvergelijkingen Bij elk complex getal z = re i' 0 zijn er precies twee getallen w met w 2 = z, namelijk w 1 = re i 2 1 ' en w 2 = re i( 2 1 '+ß) = w 1. Hierbij is r de gewone positieve reële wortel uit het positieve reële getal r. We noteren beide getallen w 1 en w 2 als z; het is niet zinvol om, zoals bij de reële getallen, één van de twee de voorkeur te geven. Daarom is z eigenlijk geen complex getal, maar is het een uitdrukking voor twee complexe getallen tegelijk. De complexe-wortelfunctie is een zogenaamde meerwaardige functie. Als je het over een specieke wortel van het getal z C wilt hebben, zul je dus niet deze wortel notatie kunnen gebruiken, of je moet extra informatie erbij geven, bijvoorbeeld dat het reële deel van de wortel die je bedoelt positief is. Een algemene vierkantsvergelijking az 2 + bz + c =0 met a; b; c C en a 0 heeft altijd twee (eventueel samenvallende) wortels, want bovenstaande vergelijking met de voorwaarden is equivalent met dus met a(z + b 2a )2 = b 2 4ac ; 4a z 1;2 = b + b 2 4ac ; 2a waarbij de dus eigenlijk twee getallen aanduidt. De wortels vallen samen precies als b 2 4ac =0. In het bijzonder heeft elke vierkantsvergelijking met reële coëfciënten a; b; c altijd twee (eventueel samenvallende) complexe wortels. Als b 2 4ac 0, dan zijn dit de 6

7 gewone reële wortels. Als b 2 4ac < 0, dan is 4ac b 2 > 0 en geldt b 2 4ac = ±i 4ac b 2. (Hierin is de laatste wortel de bekende enkelwaardige functie op R 0.) De twee wortels zijn dan elkaars complex geconjugeerden en beide imaginair. Voorbeeld: z 2 +4z + 13 heeft als wortels 2 ± i 3. Opgave 7.1 Bepaal alle wortels van de volgende vergelijkingen en teken ze in het complexe vlak: z 2 = i z 3 =1 z 2 +4z +8=0 (z +1) 2 = i z 3 = 1 z 2 + z +1=0 (z +2 i) 2 = i z n =1(n N) z 3 z 2 + z 1=0 z 2 = 1 i 1+i z n = 1 (n N) z 4 + z 2 6=0 Opgave 7.2 Waar zit de fout in de volgende redenering? 1= 1= p ( 1)( 1) = 1 1=( 1) 2 = 1 : 8 Polynomen Vrijwel alles wat in de lesbrief Polynomen over deze objecten gezegd is als ze reële coëfciënten hebben, geldt ook als ze complexe coëfciënten mogen hebben. In het bijzonder geldt: als P (z) =a n z n + a n 1 z n a 0 met a i C, a n 0enn>0 een niet-constant polynoom van graad n is en z 0 is een gegeven complex getal, dan zijn er een polynoom Q(z) en een complex getal r zo, dat P (z) =(z z 0 )Q(z)+r: Natuurlijk is P (z 0 )=r, dus r = 0 desda P (z 0 )=0. Als z = z 0 een nulpunt van P (z) is, kan je daarom van P (z) een factor (z z 0 ) afsplitsen. Omdat de graad van het quotiënt Q(z) n 1is,kan ook een complex polynoom met positieve graad niet meer nulpunten hebben dan zijn graad bedraagt. Er zijn reële polynomen (dus met domein van de variabele gelijk aan R) zonder reële nulpunten, zoals bijvoorbeeld x 2 +5of x 16 +4x In C heeft echter elk polynoom van positieve graad een nulpunt! Dit is de inhoud van de zogenaamde hoofdstelling van de algebra, waarvan we verderop een bewijs schetsen. Ga na waarom hier direct uit volgt dat elk polynoom van graad n met coëfciënten uit C precies n (niet noodzakelijk verschillende) nulpunten in C heeft. We kunnen de hoofdstelling dus ook zo formuleren: Stelling 8.1 Als P (z) =a n z n + a n 1 z n a 0 een polynoom is met n>0, a n 0en a i C, dan zijn er complexe getallen z 1 ;z 2 ;:::;z n zo, dat P (z) =a n (z z 1 )(z z 2 ) (z z n ) : Natuurlijk zijn er relaties tussen de coëfciënten a i en de nulpunten z i,bijvoorbeeld a n 1 a n = (z 1 + z z n ) a 0 a n = ( 1) n z 1 z 2 z n : 7

8 We geven nog één belangrijke eigenschap van polynomen met reële coëfciënten. Alle niet-reële nulpunten van zo'n polynoom komen voor in paren van geconjugeerde complexe getallen. Als namelijk voor zekere z C geldt 0=P (z) =a n z n + a n 1 z n a 0 met a i R voor alle i, dan geldt a i = a i,dus P (z) = a n z n + a n 1 z n a 0 = a n z n + a n 1 z n a 0 = a n z n + a n 1 z n a 0 = P (z) = 0 9 De hoofdstelling van de algebra Hier volgt een schets van een bewijs van de hoofdstelling van de algebra. We gaan zoals gezegd bewijzen dat als P (z) =a n z n + a n 1 z n a 0 met n>0, a i C, a n 0, dan is er een z 0 C met P (z 0 )=0. Om in het bewijs duidelijk uit te laten komen dat n afhangt van P (z), schrijven we in het bewijs verder P n (z) voor P (z). We merken eerst op dat als z = re i' in het complexe vlak de cirkel z = r met straal r om de oorsprong doorloopt, dan doorloopt w = z k = r k e ik' de cirkel met straal r k. Het beeld van de cirkel z = r onder de afbeelding z w = z k is dus de cirkel w = r k. Bovendien wordt de beeldcirkel k-voudig bedekt: als z één maal de cirkel z = r doorloopt, dan doorloopt w = z k de beeldcirkel w = r k wegens de factor e ik' precies k maal. Nu het bestaan van een nulpunt. Als a 0 =0,danisz = 0 een nulpunt. We nemen daarom aan a 0 0. Verder kunnen we veronderstellen dat a n =1. We kunnen ons de afbeelding z w = P n (z) =z n + a n 1 z n a 0 voorstellen als een afbeelding van een complex z-vlak naar een complex w-vlak, zoals aangegeven in g. 4. z-vlak w-vlak i i 0 1 z = r w = P n (z) 0 1 a 0 Figuur 4. We bekijken die afbeelding op een cirkel z = r. Voor zeer kleine r is P n (z) = (z n a 1 )z + a 0 vrijwel gelijk aan a 0,want P n (z) a 0 = z z n a 1 8

9 z z n a 1 = r(r n a 1 ) en dit gaat naar 0 als r naar 0 gaat. Het beeld van een kleine cirkel z = r in het z-vlak ligt dus vlak bij a 0 in het w-vlak en dus, omdat a 0 0,voor r voldoende klein zeker geheel buiten w =0. (Zie weer g. 4.) Nu nemen we een zeer grote cirkel z = R. Er geldt a n 1z n a 0 z n = voor R voldoende groot, dus a n a 0 a n a 0 1 z z n z z < n 2 P n (z) z n < 1 2 z n = 1 2 Rn : Als z de cirkel z = R doorloopt, dan doorloopt z n de cirkel w = R n in het w-vlak n maal en omdat voortdurend geldt dat P n (z) z n < 1 2 Rn doorloopt P n (z) een kromme in het w-vlak die ook n maal om de oorsprong heen loopt. P n (z) wordt als het ware door z n meegesleept aan een touw van variabele lengte (nl. P n (z) z n ), dat echter altijd kleiner dan 1 2 Rn is. Dit is ge llustreerd in g. 5. z z-vlak w-vlak i w = P n (z) 0 1 R Rn R n z n P n(z) Figuur 5. Laten we nuinhetz-vlak de straal van de cirkel continu toenemen van r naar R, dan zal de beeldkromme in het w-vlak van het kleine kringetje rond a 0 continu overgaan in de grote kring die n maal rond de oorsprong loopt. Bij die overgang moet de beeldkromme de oorsprong ergens passeren, dus er moet minstens één punt z 0 in het z-vlak zijn waarvoor het beeld P n (z 0 ) gelijk is aan 0. Om de laatste stap exact te maken moet je eigenlijk nog wat meer werk doen, maar dat voert te ver. Afgezien daarvan zijn we klaar. Opgave 9.1 Een n-de graads polynoom P (z) met complexe coëfciënten voldoet aan (i) als z R, danookp (z) R; (ii) als z = R, danookp (z) = R. Bewijs dat n =1. Opgave 9.2 Gegeven zijn positieve reële getallen a en b. Bepaal de minimale en de maximale waarde die aangenomen kan worden door w + z 1+wz ; 9

10 waarbij w; z C en w = a, z = b. Opgave 9.3 Bewijs dat voor alle z 1 ;z 2 ;:::;z n C qz R z z2 n R(z 1) + + R(z n ) : Opgave 9.4 In het vlak zijn de driehoeken ABP en CDQ direct gelijkvormig met een gegeven driehoek ff, en de driehoeken ACR, BDS en PQT direct gelijkvormig met een gegeven driehoek. Bewijs met behulp van complexe getallen dat driehoek RST direct gelijkvormig is met ff. 10

16.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i

16.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i 16.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i Voorbeeld 2: Los op in 4x 2 + 12x + 15 = 0 4x 2 + 12x + 9 + 6 = 0 (2x + 3) 2 + 6 = 0 (2x + 3) 2 = -6 (2x + 3) 2 = 6i 2 2x + 3 =

Nadere informatie

8.1 Rekenen met complexe getallen [1]

8.1 Rekenen met complexe getallen [1] 8.1 Rekenen met complexe getallen [1] Natuurlijke getallen: Dit zijn alle positieve gehele getallen en nul. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Het symbool voor de natuurlijke getallen is Gehele getallen: Dit zijn

Nadere informatie

Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen

Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen Aanvulling bij de cursus Calculus 1 Complexe getallen A.C.M. Ran In dit dictaat worden complexe getallen behandeld. Ook in het Calculusboek van Adams kun je iets over complexe getallen lezen, namelijk

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden

10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden 10.0 Voorkennis 5 1 6 6 cos( ) = -cos( ) = -½ 3 [cos is x-coördinaat] 5 1 3 3 sin( ) = -sin( ) = -½ 3 [sin is y-coördinaat] 1 Voorbeeld 1: Getekend is de lijn k: y = ½x 1. De richtingshoek α van de lijn

Nadere informatie

Complexe e-macht en complexe polynomen

Complexe e-macht en complexe polynomen Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten

Nadere informatie

4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i

4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i COMPLEXE GETALLEN Invoering van de complexe getallen Definitie Optellen en vermenigvuldigen Delen De complexe getallen zijn al behoorlijk oud; in de zestiende eeuw doken ze op bij het oplossen van algebraïsche

Nadere informatie

Les 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen

Les 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Pagina van Les Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Definities Verzamelingen Er zijn verschillende verzamelingen N = Natuurlijke getallen =,2,,.. Z

Nadere informatie

6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1

6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1 WIS6 1 6 Complexe getallen 6.1 Definitie Rekenen met paren De vergelijking x 2 + 1 = 0 heeft geen oplossing in de verzameling R der reële getallen (vierkantsvergelijking met negatieve discriminant). We

Nadere informatie

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen Lineaire algebra 1 najaar 2008 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 + 1 steeds

Nadere informatie

Aanvulling aansluitingscursus wiskunde. A.C.M. Ran

Aanvulling aansluitingscursus wiskunde. A.C.M. Ran Aanvulling aansluitingscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de Aansluitingscursus staan. Die onderwerpen zijn: complexe getallen en volledige

Nadere informatie

2 Modulus en argument

2 Modulus en argument Modulus en argument Verkennen Modulus en argument Inleiding Verkennen Probeer zelf te bedenken hoe je een complex getal kunt opschrijven vanuit de draaihoek en de lengte van de bijbehorende vector. Uitleg

Nadere informatie

Complexe getallen. 5.1 Constructie van de complexe getallen

Complexe getallen. 5.1 Constructie van de complexe getallen Les 5 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 +1 steeds positief is en in het bijzonder

Nadere informatie

De wortel uit min één. Jaap Top

De wortel uit min één. Jaap Top De wortel uit min één Jaap Top IWI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 20 maart 2007 1 Marten Toonder, verhaal de minionen (1980) 2 3 4 5 Twee manieren om complexe getallen te beschrijven: algebraïsch, als uitdrukkingen

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 : Complexe getallen

Hoofdstuk 8 : Complexe getallen 1 Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Les 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Definities Verzamelingen Er zijn verschillende verzamelingen getallen : (1) N = Natuurlijke getallen = 1,2,3,.. (2) Z = Gehele

Nadere informatie

5.1 Constructie van de complexe getallen

5.1 Constructie van de complexe getallen Les 5 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 +1 steeds positief is en in het bijzonder

Nadere informatie

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. 6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel

Nadere informatie

Complexe getallen. José Lagerberg. November, Universiteit van Amsterdam. José Lagerberg (FNWI) Complexe getallen November, / 30

Complexe getallen. José Lagerberg. November, Universiteit van Amsterdam. José Lagerberg (FNWI) Complexe getallen November, / 30 Complexe getallen José Lagerberg Universiteit van Amsterdam November, 2017 José Lagerberg (FNWI) Complexe getallen November, 2017 1 / 30 1 Complexe getallen en complexe e-machten Complexe getallen en complexe

Nadere informatie

TW2040: Complexe Functietheorie

TW2040: Complexe Functietheorie TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 18 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 31 Outline 1 Section I.1 Complex numbers K. P. Hart

Nadere informatie

Bestaat er dan toch een wortel uit 1?

Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Complexe getallen en complexe functies Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam, Open Universiteit CWI Vacantiecursus 2007 Wat zijn complexe getallen? Wat zijn

Nadere informatie

Praktische opdracht Wiskunde B Complexe Getallen

Praktische opdracht Wiskunde B Complexe Getallen Praktische opdracht Wiskunde B Complexe Get Praktische-opdracht door een scholier 1750 woorden 12 mei 2003 5,2 86 keer beoordeeld Vak Wiskunde B Inleiding Deze praktische opdracht wiskunde heeft als onderwerp:

Nadere informatie

Wiskunde 2 voor kunstmatige intelligentie (BKI 316) Bernd Souvignier

Wiskunde 2 voor kunstmatige intelligentie (BKI 316) Bernd Souvignier Wiskunde 2 voor kunstmatige intelligentie (BKI 316) Bernd Souvignier najaar 2004 Deel I Voortgezette Analyse Les 1 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat

Nadere informatie

Complexe getallen: oefeningen

Complexe getallen: oefeningen Complexe getallen: oefeningen Hoofdstuk 2 Praktisch rekenen met complexe getallen 2.1 Optelling en aftrekking (modeloplossing) 1. Gegeven zijn de complexe getallen z 1 = 2 + i en z 2 = 2 3i. Bereken de

Nadere informatie

Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran

Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran Aanvulling basiscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de basiscursus (Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch) staan. Die

Nadere informatie

Mathematical Modelling

Mathematical Modelling 1 / 95 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 21-08-08 Last adapt: 30-08-09 2 / 95 Overzicht 1 Inleiding 2 Complexe getallen: rekenen 3 Complexe getallen: iets meer dan rekenen alleen 3 /

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 8 Complexe getallen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 8 Complexe getallen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 8 Complexe getallen (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 De getallenverzameling C 1 2 Het complex vlak of het vlak van Gauss 7 3 Vierkantsvergelijkingen

Nadere informatie

Op deze manier ligt φ exact vast (als we zouden zeggen 0 φ 2π zouden we de reële getallen dubbelop hebben, en dat willen wij als wiskundigen niet).

Op deze manier ligt φ exact vast (als we zouden zeggen 0 φ 2π zouden we de reële getallen dubbelop hebben, en dat willen wij als wiskundigen niet). Moddergooien n.a.v. 31 augustus Allereerst: hartelijk dank voor de vragen; als dat zo doorgaat en als jullie zo blijven komen en ook nog eens huiswerk maken, dan weet ik zeker dat ik dicht bij 100% ga

Nadere informatie

Mathematical Modelling

Mathematical Modelling Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 21-08-08 Overzicht 1 Inleiding 2 Overzicht 1 Inleiding 2 Bijeenkomsten Vrijdagmiddagen: 13:45 17:30 (tijden in benadering) 13:45-14:15: nabespreken

Nadere informatie

Signalen en Transformaties

Signalen en Transformaties Signalen en Transformaties 201100109 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Complexe getallen z D a C bi We definiëren de complex

Nadere informatie

Algebra, Les 18 Nadruk verboden 35

Algebra, Les 18 Nadruk verboden 35 Algebra, Les 18 Nadruk verboden 35 18,1 Ingeklede vergelijkingen In de vorige lessen hebben we de vergelijkingen met één onbekende behandeld Deze vergelijkingen waren echter reeds opgesteld en behoefden

Nadere informatie

TW2040: Complexe Functietheorie

TW2040: Complexe Functietheorie TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 21 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 32 Outline 1 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie

Nadere informatie

de optelling en vermenigvuldiging van complexe getallen, de beschrijving van complexe getallen in termen van poolcoördinaten,

de optelling en vermenigvuldiging van complexe getallen, de beschrijving van complexe getallen in termen van poolcoördinaten, Hoofdstuk 1 Complexe getallen 1.1 Rekenen met complexe getallen 1.1.1 We kunnen reële getallen opvatten als punten van een rechte lijn, de getallenrechte. Net zo kunnen we complexe getallen opvatten als

Nadere informatie

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken).

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken). Inhoud 1. Sinus-functie 1 2. Cosinus-functie 3 3. Tangens-functie 5 4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies 8 4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie

Nadere informatie

COMPLEXE GETALLEN. voor Wiskunde D. Jan van de Craats

COMPLEXE GETALLEN. voor Wiskunde D. Jan van de Craats COMPLEXE GETALLEN voor Wiskunde D Jan van de Craats Herziene versie, 3 augustus 007 Illustraties en LATEX-opmaak: Jan van de Craats Prof. dr. J. van de Craats is hoogleraar in de wiskunde aan de Universiteit

Nadere informatie

1E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE

1E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE Uiterste inleverdatum dinsdag oktober, voor het begin van het college N.B. Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven. Je moet het huiswerk

Nadere informatie

Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran

Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran Aanvulling basiscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de basiscursus (Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch staan. Die

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

toelatingsexamen-geneeskunde.be Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld.

toelatingsexamen-geneeskunde.be Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld. Wiskunde juli 2009 Laatste aanpassing: 29 juli 2009. Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld. Vraag 1 Wat is de top van deze parabool 2 2. Vraag

Nadere informatie

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Dick Klingens maart 00. Inleiding In de getallentheorie worden algebraïsche getallen gedefinieerd via rationale veeltermen f van de n-de graad in één onbekende:

Nadere informatie

4051CALC1Y Calculus 1

4051CALC1Y Calculus 1 4051CALC1Y Calculus 1 College 1 2 september 2014 1 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides op http://homepage.tudelft.nl/v9r7r/

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen

META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen In welke volgorde moet ik uitwerken? */@ Welke (reken)regels moet ik hier gebruiken? */@ Welke algemene vorm hoort erbij? ** Hoe ziet de bijbehorende grafiek

Nadere informatie

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een

Nadere informatie

Lineaire Algebra 1. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven

Lineaire Algebra 1. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven Lineaire Algebra 1 Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven 2012-2013 ii Syllabus bij Lineaire Algebra 1 (2WF20) Inhoudsopgave 1 Complexe getallen 1 1.1 Rekenen met complexe

Nadere informatie

Complexe eigenwaarden

Complexe eigenwaarden Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie

Nadere informatie

More points, lines, and planes

More points, lines, and planes More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)

Nadere informatie

Checklist Wiskunde B HAVO HML

Checklist Wiskunde B HAVO HML Checklist Wiskunde B HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Lineaire vergelijkingen en lineaire ongelijkheden oplossen. Wanneer klapt het teken om? Haakjes en breuken wegwerken. Ontbinden in factoren: x buiten

Nadere informatie

voorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen

voorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van

Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Stelling van Kan alleen bij rechthoekige driehoeken pythagoras a 2 + b 2 =

Nadere informatie

Meetkundige ongelijkheden Groep A

Meetkundige ongelijkheden Groep A Meetkundige ongelijkheden Groep A Oppervlakteformules, sinus- & cosinusregel, de ongelijkheid van Euler Trainingsweek, juni 011 1 Oppervlakteformules We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor

Nadere informatie

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2

Nadere informatie

Bestaat er dan toch een wortel uit 1?

Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Complexe getallen en complexe functies voor beginners Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam Open Universiteit craats@science.uva.nl Complexe getallen worden

Nadere informatie

Complexe getallen in context

Complexe getallen in context Complexe getallen in context voor wiskunde D ( 5 VWO) R.A.C. Dames H. van Gendt Versie, november 006 Deze module is ontwikkeld in opdracht van ctwo. Copyright 006 R.Dames en H. van Gendt Inhoud Inhoud...3

Nadere informatie

III.2 De ordening op R en ongelijkheden

III.2 De ordening op R en ongelijkheden III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.

Nadere informatie

Antwoorden. 1. Rekenen met complexe getallen

Antwoorden. 1. Rekenen met complexe getallen 1. Rekenen met complexe getallen 1.1 a. 9 b. 9 c. 16 d. i e. 1 1. a. 1 b. 3 c. 1 d. 4 3 e. 3 4 1.3 a. 3 i b. 3 i c. i d. 5 i e. 15 i 1.4 a. 33 i b. 7 i c. 4 3 i d. 3 5 i e. 5 3 i 1.5 a. 1 ± i b. ± i c.

Nadere informatie

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton Van de middelbare school kent iedereen wel de a, b, c-formule (hier en daar ook wel het kanon genoemd) voor de oplossingen van de vierkantsvergelijking

Nadere informatie

Complexe functies. 2.1 Benadering door veeltermen

Complexe functies. 2.1 Benadering door veeltermen Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, Les Complexe functies Nadat we de complexe getallen hebben leren kennen, is het een voor de hand liggende vraag of hiervoor net als voor de reële getallen ook functies

Nadere informatie

TW2040: Complexe Functietheorie

TW2040: Complexe Functietheorie TW2040: Complexe Functietheorie week 4.6, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 2 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 38 Outline 1 Rekenregels 2 K. P. Hart TW2040: Complexe

Nadere informatie

1 Complexe getallen in de vorm a + bi

1 Complexe getallen in de vorm a + bi Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...

Nadere informatie

TW2040: Complexe Functietheorie

TW2040: Complexe Functietheorie TW2040: Complexe Functietheorie week 4.3, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 2 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 34 Outline 1 Conforme afbeeldingen 2 K. P. Hart TW2040:

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking van het tentamen Functietheorie (2Y480) op ,

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking van het tentamen Functietheorie (2Y480) op , 1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking van het tentamen Functietheorie (2Y480) op 25-11-1998, 9.00-12.00 uur Opgave 1 1. Formuleer de Cauchy-Riemann-vergelijkingen.

Nadere informatie

Functies van één veranderlijke

Functies van één veranderlijke Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Kunnen we elke integraal oplossen? Z e x x dx Z e x2 dx

Nadere informatie

Appendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt

Appendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt Bijlage bij Inversie Appendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt In dee paragraaf gaan we op een andere manier kijken naar inversie. We doen dat met behulp van de complexe getallen. We veronderstellen

Nadere informatie

Complexe getallen in context

Complexe getallen in context Complexe getallen in context voor wiskunde D ( 5 VWO) R.A.C. Dames H. van Gendt Versie 4, juni 0 In deze vierde versie zijn alleen een aantal zetfouten verbeterd. Inhoudelijk is deze versie geheel gelijk

Nadere informatie

Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2

Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2 Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Functietheorie (2Y480) op 25 november 1998, uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Functietheorie (2Y480) op 25 november 1998, uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Functietheorie (2Y480) op 25 november 1998, 9.00-12.00 uur. Dit tentamen bestaat uit 5 opgaven. De uitwerkingen van deze opgaven dienen

Nadere informatie

Inhoud college 4 Basiswiskunde. 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie

Inhoud college 4 Basiswiskunde. 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie Inhoud college 4 Basiswiskunde 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie 2 Basiswiskunde_College_4.nb 2.6 Hogere afgeleiden De afgeleide f beschrijft

Nadere informatie

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B...

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B... Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B 0. voorkennis In klas 3 heb je hoofdstuk 10 over algebraische vaardigheden gedaan. Hieronder zie je daarvan een

Nadere informatie

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2 Meetkundige Ongelijkheden Groep Trainingsweek Juni 009 1 Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus

Nadere informatie

4.1 Rekenen met wortels [1]

4.1 Rekenen met wortels [1] 4.1 Rekenen met wortels [1] Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B 3) A 2 A Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.1 Rekenen met wortels [1] Voorbeeld 3:

Nadere informatie

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld

Nadere informatie

De meetkunde van de. derdegraadsvergelijking

De meetkunde van de. derdegraadsvergelijking Jan van de Craats De meetkunde van de derdegraadsvergelijking 22 februari 2007 Algemene (complexe) derdegraadsvergelijking met a 1, a 2, a 3 C z 3 3a 1 z 2 + 3a 2 z a 3 = 0 Oplossingen z 1, z 2, z 3 Dan

Nadere informatie

1. (a) Gegeven z = 2 2i, w = 1 i 3. Bereken z w. (b) Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan z 3 8i = 0.

1. (a) Gegeven z = 2 2i, w = 1 i 3. Bereken z w. (b) Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan z 3 8i = 0. Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP003B 4 november 04,.30 5.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en

Nadere informatie

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10 FORMULARIUM wwwbasiswiskundebe Inhoudsopgave Algebra 2 2 Lineaire algebra 4 3 Vlakke meetkunde 5 4 Goniometrie 7 5 Ruimtemeetkunde 0 6 Reële functies 2 7 Analyse 3 8 Logica en verzamelingen 6 9 Kansrekening

Nadere informatie

Nieuwe invoercellen voeg je toe door de cursor tussen twee cellen in te zetten, en invoer in te tikken.

Nieuwe invoercellen voeg je toe door de cursor tussen twee cellen in te zetten, en invoer in te tikken. Technische Universiteit Eindhoven, 2007 Complexe getallen Mathematica In een invoercel kun je Mathematica commando's invullen. Door op Shift + Enter te drukken laat je Mathematica de berekening uitvoeren.

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Studiehandleiding Basiswiskunde cursus

Studiehandleiding Basiswiskunde cursus Studiehandleiding Basiswiskunde cursus 2008 2009 Materiaal Bij dit college heb je nodig: Het boek Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch Isbn: 90 430 1156 8 De syllabus Aanvulling basiscursus

Nadere informatie

Schooljaar: Leerkracht: M. Smet Leervak: Wiskunde Leerplan: D/2002/0279/048

Schooljaar: Leerkracht: M. Smet Leervak: Wiskunde Leerplan: D/2002/0279/048 Blz: 1/5 04 09 09 1.1 STELLING VAN PYTHAGORAS ouwregel tot Pythagoras: formulering. 07 09 09 11 09 09 14 09 09 18 09 09 21 09 09 22 09 09 25 09 09 29 09 09 01 10 09 02 10 09 06 10 09 08 10 09 09 10 09

Nadere informatie

f : z z 2 + c. x n = 1 2 z n dan krijgen we z n+1 = z 2 n + a 2 a2 4 De parameter c correspondeert dus met a middels c = a 2 a2 4

f : z z 2 + c. x n = 1 2 z n dan krijgen we z n+1 = z 2 n + a 2 a2 4 De parameter c correspondeert dus met a middels c = a 2 a2 4 Juliaverzamelingen en de Mandelbrotverzameling In de eerste twee colleges hebben we gezien hoe het itereren van een eenvoudige afbeelding tot ingewikkelde verschijnselen leidt. Nu gaan we dit soort afbeeldingen

Nadere informatie

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

TW2040: Complexe Functietheorie

TW2040: Complexe Functietheorie TW2040: Complexe Functietheorie week 4.10, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 23 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 46 Outline 1 2 3 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie

Nadere informatie

Algebra groep 2 & 3: Standaardtechnieken kwadratische functies

Algebra groep 2 & 3: Standaardtechnieken kwadratische functies Algebra groep 2 & 3: Standaardtechnieken kwadratische functies Trainingsweek juni 2008 Kwadraat afsplitsen Een kwadratische functie oftewel tweedegraads polynoom) px) = ax 2 + bx + c a 0) kan in verschillende

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functietheorie (2Y480) op 22 november 1999,

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functietheorie (2Y480) op 22 november 1999, TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functietheorie (Y480) op november 999, 4.00-7.00 uur Formuleer de uitwerkingen der opgaven duidelijk en schrijf ze overzichtelijk

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

COMPLEXE GETALLEN. voor Wiskunde D. Jan van de Craats

COMPLEXE GETALLEN. voor Wiskunde D. Jan van de Craats COMPLEXE GETALLEN voor Wiskunde D Jan van de Craats Voorlopige versie, 11 juni 007 Illustraties en LATEX-opmaak: Jan van de Craats Prof. dr. J. van de Craats is hoogleraar in de wiskunde aan de Universiteit

Nadere informatie

De wortel uit min één. Jaap Top

De wortel uit min één. Jaap Top De wortel uit min één Jaap Top JBI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 19 april 2011 1 Marten Toonder, verhaal de minionen (1980) 2 3 4 5 Twee manieren om complexe getallen te beschrijven: algebraïsch, als uitdrukkingen

Nadere informatie

1 Introductie. 2 Oppervlakteformules

1 Introductie. 2 Oppervlakteformules Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus ook weergegeven met XY. Verder zullen we de volgende notatie

Nadere informatie

Wortels met getallen. 2 Voorbeeldenen met de vierkantswortel (Tweedemachts wortel)

Wortels met getallen. 2 Voorbeeldenen met de vierkantswortel (Tweedemachts wortel) Wortels met getallen 1 Inleiding WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht van de

Nadere informatie

Samenvatting wiskunde B

Samenvatting wiskunde B Samenvatting wiskunde B Dit is een samenvatting van het tweede deel van Getal en Ruimte VWO wiskunde B. In deze samenvatting worden hoofdstuk 5, 6 en 7 behandeld. Ik hoop dat deze samenvatting je zal helpen!

Nadere informatie

Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1)

Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1) Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1) Trainingsdag 3, april 009 Driehoeksongelijkheid Driehoeksongelijkheid Voor drie punten in het vlak A, B en C geldt altijd dat AC + CB AB. Gelijkheid geldt precies

Nadere informatie

1BK2 1BK6 1BK7 1BK9 2BK1

1BK2 1BK6 1BK7 1BK9 2BK1 Kern Subkern Leerdoel niveau BK begrippen vmbo waar in bettermarks 1.1.1. Je gebruikt positieve en negatieve getallen, breuken en decimale getallen in hun onderlinge samenhang en je ligt deze toe binnen

Nadere informatie

Hoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen

Hoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen Hoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen De inhoud van hoofdstuk 3 zou grotendeels bekende stof moeten zijn. Deze stof is terug te vinden in Stewart, hoofdstuk 17. Daar staat alles

Nadere informatie

14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel:

14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: 14.0 Voorkennis Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: a b c sin sin sin Voorbeeld 1: Gegeven is ΔABC met c = 1, α = 54 en β = 6 Bereken a in twee decimalen nauwkeurig. a c sin sin a 1 sin54 sin64

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Algebra 3 8 juni 2017, 14:00 17:00

Uitwerkingen tentamen Algebra 3 8 juni 2017, 14:00 17:00 Uitwerkingen tentamen Algebra 3 8 juni 207, 4:00 7:00 Je mocht zoals gezegd niet zonder uitleg naar opgaven verwijzen. Sommige berekeningen zijn hier weggelaten. Die moest je op je tentamen wel laten zien.

Nadere informatie

PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE. a) Begrippen uit de getallenleer ...

PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE. a) Begrippen uit de getallenleer ... PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE a) Begrippen uit de getallenleer Bewerking optelling aftrekking vermenigvuldiging Symbool deling : kwadratering... machtsverheffing...

Nadere informatie

TW2040: Complexe Functietheorie

TW2040: Complexe Functietheorie TW2040: Complexe Functietheorie week 4.6, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 30 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 33 Outline 1 2 Algemeenheden Gedrag op de rand Machtreeksen

Nadere informatie

V Kegelsneden en Kwadratische Vormen in R. IV.0 Inleiding

V Kegelsneden en Kwadratische Vormen in R. IV.0 Inleiding V Kegelsneden en Kwadratische Vormen in R IV.0 Inleiding V. Homogene kwadratische vormen Een vorm als H (, ) = 5 4 + 8 heet een homogene kwadratische vorm naar de twee variabelen en. Een vorm als K (,

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998-1999: Tweede ronde De tweede ronde bestaat eveneens uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem is hetzelfde als dat voor de eerste ronde, dwz per goed antwoord krijgt

Nadere informatie