Signalen en Transformaties

Transcriptie

1 Signalen en Transformaties Docent : Anton Stoorvogel [email protected] 1/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

2 Complexe getallen z D a C bi We definiëren de complex toegevoegde: z D a bi. We hebben de volgende eigenschappen:.z 1 C z 2 / D z1 C z 2 ;.z 1z 2 / D z1 z 2 ; z1 D z 1 De volgende rekenregel wordt vaak gebruikt: z 2 z 2 a C bi c C di D a C bi c C di c c di di ac C bd D c 2 C d 2 C bc ad c 2 C d 2 i 2/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

3 Modulus en argument Elk complex getal kan worden geschreven als (formule van Euler): z D re i' D r cos ' C ir sin ' r heet de absolute waarde of modulus van z, ' heet het argument van z. 3/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

4 Modulus en argument Elk complex getal kan worden geschreven als (formule van Euler): z D re i' D r cos ' C ir sin ' r > 0 en uniek bepaald. ' is voor z 0 uniek bepaald op een geheel veelvoud van 2 na. Voor z D 0 is ' vrij te kiezen. We gebruiken de notatie: ' D arg.z/, r D jzj. Vermenigvuldigen en delen van complexe getallen veel eenvoudiger in poolcoördinaten. 4/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

5 Een polynoom: heeft als oplossing: az 2 C bz C c D 0;.a; b; c 2 R; a 0/ z 1;2 D b pb 2 4ac 2a Echter als b 2 oplossing. 4ac < 0 dan heeft deze vergelijking geen reële Voorbeeld: z 2 C 2z C 3 D 0. 5/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

6 Hoofdstelling van de algebra Elk niet-constant polynoom p.z/ D p 0 C p 1 z C C p n z n ;.p i 2 C/ heeft een nulpunt in z 2 C. 6/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

7 Complexe functies Een signaal f.t/ kan geschreven worden als: Limieten f.t/ D f 1.t/ C if 2.t/ Definitie Zij f.t/ D f 1.t/ C if 2.t/ en L D L 1 C il 2. Stelling lim f.t/ D L lim f 1.t/ D L 1 ; lim f 2.t/ D L 2 t!a t!a t!a lim f.t/ D L lim jf.t/ Lj D 0 t!a t!a 7/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

8 Continuïteit De functie heet continu in t als de limiet bestaat. Differentiëerbaar lim f.t C h/ D f.t/ h!0 De functie heet differentiëerbaar als de limiet lim h!0 f.t C h/ h f.t/ bestaat. 8/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

9 Integreren Z b f.t/ dt D Z b f 1.t/ dt C i Z b f 2.t/ dt a a a 9/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

10 Voorbeelden Zij n een geheel getal, 0! 0 D 2 T 1 T ZT=2 T=2 e in! 0t dt D 8 < 0.n 0/ : 1.n D 0/ 10/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

11 Voorbeelden Zij a zodanig dat Re a > 0. Z 1 0 e at dt D 1 a 11/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

12 Voorbeelden Zij n 0 geheel, 0! 0 D 2 T Z T 0 te in! 0t dt D T 2 2in 12/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

13 ˇ Z b a f.t/ dt ˇ 6 Z b a jf.t/j dt Z b 1 f.t/ dta D Z b f.t/ dt a a 13/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

14 Een signaal f.t/ heet stuksgewijs glad op een interval Œa; b indien: f.t/ differentiëerbaar is op.a; b/ met uitzondering van een eindig aantal punten c i. f 0.t/ continu is op.a; b/ eventueel met uizondering van de punten c i. In de discontinuïteitspunten c i de volgende limieten bestaan: lim h#0 f.c i Ch/; lim h#0 f.c i h/; lim h#0 f 0.c i Ch/; lim h#0 f 0.c i h/ De volgende limieten bestaan: lim h#0 f.a C h/; lim h#0 f 0.a C h/; lim h#0 f.b h/; lim h#0 f 0.b h/ 14/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

15 Periodieke signalen Sinusoïdale signalen f.t/ D A cos.!t C '/ A de amplitude,! de hoekfrequentie, ' de beginfase Tijdsharmonische signalen f.t/ D ce i!t jcj de amplitude,! de hoekfrequentie, arg.c/ de beginfase 15/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

16 Periodieke signalen en de versleepstelling Een signaal f heet T -periodiek als voor all t 2 R. f.t C T / D f.t/ Zij f een T -periodiek signaal dan geldt voor elke a 2 R: act Z f.t/ dt D ZT=2 f.t/ dt a T=2 (versleepstelling) 16/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

17 Niet-periodieke signalen Rechthoekige puls Eenheidsstapfunctie rect a.t/ D 8 1 jtj < ˆ< a 2 0 jtj > a 2 ˆ: 1 2 jtj D a 2 ½.t/ D 8 1 t > 0 ˆ< 0 t < 0 ˆ: 1 2 t D 0 17/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

18 Driehoekige puls trian a.t/ D 8 < 1 jtj a jtj < a : 0 jtj > a sinc.t/ D 8 < sin t t 0 t : 1 t D 0 18/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

19 Energie en vermogen Zij f.t/ een signaal. De energie-inhoud E f van het signaal wordt gegeven door: E f D Z 1 1 jf.t/j 2 dt Zij f.t/ een periodiek signaal met periode T. Het vermogen P f van het signaal wordt gegeven door: P f D 1 T ZT=2 T=2 jf.t/j 2 dt 19/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

20 Voorbeelden Van het sinusoïdale signaal f.t/ D A cos.! 0 t C '/ is het vermogen gelijk aan A 2 =2. Een signaal dat T -periodiek is, is ook nt periodiek voor gehele n. Opgevat als periodiek signaal met periode nt heeft het signaal hetzelfde vermogen als het vermogen van f opgevat als functie van periode T. 20/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

21 Differentieren Produktregel Kettingregel Integreren Partieel integreren Gonio formules 21/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

22 Rijen van complexe getallen Gegeven een reeks complexe getallen a n D u n C iv n en een kandidaat limiet a D u C iv. Dan: Ook nu geldt: lim a n D a lim u n D u; lim v n D v: n!1 n!1 n!1 lim a n D a lim ja n aj D 0: n!1 n!1 Voorbeeld: als jzj < 1. lim n!1 np z n D 0 22/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

23 Stelling van l Hôpital Stelling Zij f en g differentieerbaar en is g 0.t/ 0 in een omgeving van a. Als bovendien lim t!a f.t/ D 0 en f lim t!a g.t/ D 0 en de limiet lim 0.t/ t!a bestaat dan hebben we g 0.t/ lim t!a f.t/ g.t/ D lim t!a f 0.t/ g 0.t/ 23/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

24 Reeksen van complexe getallen 1X Beschouw de reeks a k. kd0 Dit wordt beschouwd als de limiet van de rij: s n D nx kd0 a k : en dus gelden dezelfde eigenschappen als voor rijen. Bijv. als a n D u n C iv n dan geldt: 1X kd0 a k is convergent 1X kd0 u k en 1X kd0 v k convergent zijn. 24/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

25 Nodige voorwaarde voor convergentie lim k!1 a k D 0 Voldoende voorwaarde voor convergentie 1X kd0 ja k j is convergent. 25/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

26 Gegeven een reeks: 1X a k Convergentiecriteria van Cauchy Definieer: kd0 c D lim k!1 p k jak j De reeks is convergent als c < 1 en divergent als c > 1. 26/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

27 Gegeven een reeks: 1X kd0 a k Convergentiecriteria van d Alembert Definieer: a D lim k!1 ja kc1 j ja k j De reeks is convergent als a < 1 en divergent als a > 1. 27/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

28 e z D 1 C z C 1 2Š z2 C 1 3Š z3 C en: D 1X kd0 1 kš zk e i' D 1 C.i'/ C 1 2Š.i'/2 C 1 3Š.i'/3 C 1 4Š.i'/4 C 1 5Š.i'/5 C 1 D 1 2Š '2 C 1 1 4Š '4 C i ' 3Š '3 C 1 5Š '5 D cos.'/ C i sin.'/ 28/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

29 Eindige som met z D e i'. kdn X kd N e ik' D 8 < 2N C 1 z D 1 : z N z N C1 1 z z 1 29/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI