Uitwerking tentamen Analyse B

Transcriptie

1 Uitwerking tentamen Analyse B 30 juni 20, 7:00 20:00 uur De hieronder gegeven uitwerkingen moeten worden opgevat als voorbeelden van correcte oplossingen. In veel gevallen zijn andere correcte oplossingen mogelijk. Opgave We beschouwen de functie f W R 2! R gedefinieerd door C y f.; y/ D 2 C 2 C y 2 (a) Teken de nulniveau-verzameling van f. Arceer tevens het gebied V WD f.; y/ j f.; y/ 0g: (b) Bereken de partiële afgeleiden van f en toon aan dat f precies twee stationaire punten heeft. (c) Toon aan dat er een R > 0 bestaat zo dat k.; y/k > R ) f.; y/ f.; 0/: (d) Bewijs dat er een punt a D.a ; a 2 / in V R WD V \ NB.0I R/ bestaat zo dat f.; y/ f.a/ voor alle.; y/ 2 V: Bewijs dat f.; y/ f.a/ geldt voor alle.; y/ 2 R 2 : Opm: Hier hebben we de notatie NB.0I R/ WD f.; y/ 2 R 2 j k.; y/k Rg gebruikt. (e) Toon aan dat f.a/ D 2 : (a) De nul-niveau-verzameling N 0 van f is de lijn y D : De verzameling V bestaat uit alle punten die op of boven deze lijn gelegen zijn. (b) Met de quotiëntregel vinden we voor de partiële afgeleide y/ D.2 C 2 C y 2 / 2. C y/ D 2 2 C y 2 2y :.2 C 2 C y 2 / 2.2 C 2 C y 2 / 2 Op soortgelijke wijze vinden we voor de partiële afgeleide naar y/ D 2 C 2 y 2 2y :.2 C 2 C y 2 / 2 Een punt.; y/ is stationair precies dan als beide partiële afgeleiden nul zijn, dus als 2 2 C y 2 2y D 0 2 C 2 y 2 2y D 0: Door beide vergelijkingen bij elkaar op te tellen vinden we dat y D ; dus y D =: Door invullen van deze relatie in de eerste vergelijking vinden we y 2 2 D 0; z.o.z.

2 dus D y; dus 2 D : Hieruit blijkt dat D en y D : Ieder stationair punt moet dus gelijk zijn aan een van de punten.; /: Door invullen blijkt dat dit daadwerkelijk stationaire punten zijn. De functie f heeft dus precies twee stationaire punten. (c) We merken op dat f.; 0/ D =3: Kies R D 7 dan geldt voor.; y/ met k.; y/k R dat.jj C jyj/ 2k.; y/k jf.; y/j 2 C k.; y/k2 2 C k.; y/k 2 2 k.; y/k 2 R < D f.; 0/: 3 (d) De verzameling V R is gesloten en begrensd, en de functie f is rationaal dus continu, dus er bestaat een a 2 V R zo dat f.; y/ f.a/ voor alle.; y/ 2 V R : Aangezien.; / 2 V en f < f.; / op V n V r ; behoort.; / tot V R ; dus f.a/ 2 3 : Hieruit blijkt dat op R2 n B.0I R/ geldt dat f < f.a/: Op R 2 n V geldt dat f < 0 < f.a/; dus in het bijzonder f < f.a/: Omdat R 2 de vereniging is van de gebieden V R ; R 2 n NB.0I R/ en R 2 n V; concluderen we dat f f.a/ op R 2 : (e) f neemt in het inwendige punt a van R 2 een maimum aan, dus a is een stationair punt. Dit betekent dat a D.; /: De waarde van f in.; / is negatief, dus dit punt ligt niet in V: We concluderen dat a D.; /: Hieruit volgt dat f op R 2 de maimale waarde f.a/ D =2 heeft. Opgave 2 Zoals je weet wordt de eponentiële functie f W R! R gekarakteriseerd door de volgende eigenschappen: f is differentieerbaar met afgeleide f 0 D f en f.0/ D : In het bijzonder is de functie f dus continu. Dit zijn de enige eigenschappen van f die je in het onderstaande mag gebruiken. Bovendien mag je gebruiken dat voor elke 2 R geldt: (dit is op college en in het dictaat aangetoond). n lim n! nš D 0 (a) Zij R > 0: Toon aan dat er een M > 0 bestaat zo dat jf.n/./j M voor alle n 2 N en 2 Œ0; R : Voor n 2 N definiëren we de functie R n W R! R door R n./ D f./ kš : (b) Zij R; M > 0 als in (a). Bewijs dat voor alle n 2 N en 2 Œ0; R geldt dat jr n./j M (c) Toon aan dat voor elke 2 Œ0; R en elke n geldt dat f./ C M 2

3 (d) Toon aan dat voor elke > 0 geldt dat f./ > : (e) Toon aan dat voor elke > 0 geldt dat R n./ >.nc/š : (f) Toon aan dat voor elke n 2 N geldt dat lim! n f./ D 0: (a) De functie f is continu, dus begrensd op de gesloten en begrensde verzameling Œ0; R : Er bestaat dus een M > 0 zo dat jf./j M voor alle 2 Œ0; R : Maar f.n/ D f; dus dezelfde schatting geldt voor f.n/ : (b) Uit Taylor met rest volgt dat R n./ D f.n/./; met 0 < < ; dus 2 Œ0; R : De.nC/Š schatting uit (a) geeft nu de gewenste schatting. (c) Voor al dergelijke n en geldt dat f./ D kš C R n./ kš M.n C /Š C M (d) Zij > 0 vast. Kies R > ; dan bestaat er een M > 0 als in (a). Omdat 2 Œ0; R geldt de in (b) gegeven schatting. Uit lim nc D 0 volgt het bestaan van een n zo dat n!.nc/š jm.n C /Š j < ; dus f./ >. C / D : (e) We gebruiken weer Taylor met rest. Er bestaat een 2 0; Œ zo dat R n./ D f.n/./ D.nC/Š nc f./: Hieruit volgt wegens (d) dat.nc/š R n./.n C /Š (f) Zij n 2 N vast. Voor elke > 0 geldt 0 < n f./ D P n n C R kš n./ f./ > n R n./.n C /Š < : Verder is lim! D 0; dus met de insluitstelling volgt dat de gevraagde limiet nul is. Opgave 3 We beschouwen de functie f W Œ0;! R gegeven door sin als 0 < I f./ D 0 als D 0: In het vervolg mag je gebruiken dat sin W R! R continu is, dat j sin j voor alle 2 R: NB: zoals je weet is de functie f niet continu in 0: 3

4 (a) Toon aan dat f begrensd is. (b) Toon aan dat voor elke 0 < ı < en elke verdeling met D ı geldt dat Hierin is WD Œ j ; j : V D f 0 D < < 2 < < n D g S.f; V / S.f; V / 2ı C (c) Toon aan dat de functie f Riemann-integreerbaar is. (d) Toon aan dat de functie continu is in 0: F W Z 0 var f. j j /: f.t/ dt; Œ0;! R (e) Toon aan dat de functie F differentieerbaar is op 0; ; en bepaal zijn afgeleide. Hint: bekijk de functie F./ F./; voor 2 0; : (a) Voor alle t 2 0; geldt jf.t/j D j sin.=t/j : Ook geldt dat jf.0/j D 0 ; dus jf.t/j voor alle t 2 Œ0; : (b) Voor de gegeven verdeling geldt dat dus var I./ f D sup f inf f 2 I./ I./ S.f; V / S.f; V / D D var f. j j / j D var f ı C I./ 2ı C var f. j j / var f. j j /: (c) Zij > 0: Kies ı D 4 : Kies een verdeling W D f 2 < < n g van Œı; zo dat S.f j Œı; ; W / S.f j Œı; ; W / < =2: 4

5 Dit kan, omdat f j Œı; continu, dus Riemann integreerbaar is. Voor de verdeling V D f0; ıg [ W van Œ0; geldt nu: S.f; V / S.f; V / 2ı C var f. j j / D 2ı C S.f j Œı; ; W / S.f j Œı; ; W / < =2 C =2 D : We concluderen dat f Riemann integreerbaar op Œ0; is. (d) Er geldt dat F./ F.0/ D R 0 f.t/dt; en omdat f geldt F./ F.0/ : Met de insluitstelling volgt hieruit dat lim #0 ŒF./ F.0/ D 0 dus lim!0 F./ D F.0/: (e) Zij 0 < < ; dan is F./ D F./ C Z f.t/ dt voor alle 2 Œ; : Omdat f continu is op Œ; is de bovenstaande integraal een differentieerbare functie op Œ; ; met afgeleide gelijk aan f: Hieruit volgt dat F 0 D f op Œ; : Dit geldt voor alle 2 0; : Dus F is differentieerbaar op 0; met afgeleide gelijk aan f: 5