Week 2_ Limieten 1.4 Continuïteit 2.2 De afgeleide 2.3 Differentiatieregels

Transcriptie

1 Week 2_2 1.2 Limieten 1.4 Continuïteit 2.2 De afgeleide 2.3 Differentiatieregels

2 2 Basiswiskunde_Week_2_2.nb 1.2 Voorbeeld Beschouw de uitdrukking x2 +3 x in de buurt van x = 2. x-4 Als x op 2 lijkt, dan lijken x x op = 10 en x - 4 op 2-4 =-2. De breuk x2 +3 x lijkt op -5. x-4 x Notatie lim 2 +3 x =-5. xø2 x-4

3 Basiswiskunde_Week_2_2.nb Limiet Beschouw de uitdrukking x2 +3 x in de buurt van x = 2. x-4 Als x op 2 lijkt, dan lijken x x op = 10 en x - 4 op 2-4 =-2. De breuk x2 +3 x lijkt op -5. x-4 x Notatie lim 2 +3 x =-5. xø2 x-4 Definitie Gegeven functie f HxL, getallen a en L. f HxL = L wil zeggen dat hoe meer x œ DHf L op a gaat lijken, lim maar x a, hoe meer f HxL op L gaat lijken. Y f HxL L a X

4 4 Basiswiskunde_Week_2_2.nb 1.2 Eenvoudige voorbeelden (1) lim xø3 1 x-3 bestaat niet. (2) Men schrijft wel lim 1 x 2 =. (3) lim xø3 2 x 2 -x-15 x-3 = lim xø3 Hx-3LH2 x+5l x-3 = lim xø3 2 x+5 1 = 11 (4) lim sinhxl x = 1 want

5 Basiswiskunde_Week_2_2.nb Voorbeeld 1 Bepaal lim xø4 Dan lim xø4 x -2 x 2-16 = 1. x -2 x 2-16 = lim xø4 x -2 Hx-4LHx+4L = lim xø4 x -2 J x -2NJ x +2NHx+4L = lim xø4 1 J x +2NHx+4L = 1 32.

6 6 Basiswiskunde_Week_2_2.nb 1.2 Voorbeeld 2 Bepaal lim xø3 Dan lim xø x 2-9 x = lim Hx-3LHx+3L Hx-3L xø3 6-x-3 Hx-3LHx+3L = lim xø3-1 x+3 =-1 6.

7 Basiswiskunde_Week_2_2.nb Uitrekenen limieten Stelling 2 Gegeven lim f HxL = L, lim ghxl = M en k een constante. Dan geldt lim Hf HxL + ghxll = L + M lim kfhxl = kl lim f HxL ghxl = LM lim f HxL ghxl = L M mits M 0 lim Hf HxLL mên = L mên, L 0, m en n in N

8 8 Basiswiskunde_Week_2_2.nb 1.2 Insluitstelling Stelling 3 (Squeeze Theorem) L hhxl ghxl f HxL a Laat f HxL ghxl hhxl voor alle x in interval rond a. Laat lim f HxL = L en lim hhxl = L. Dan geldt dat lim ghxl = L Voorbeeld: er geldt dat -x 2 x 2 sinj 1 N x x2 voor x 0, dus lim x 2 sinj 1 N = 0. x

9 Basiswiskunde_Week_2_2.nb Vraag 1 Gegeven lim (a) Wat is lim (b) Wat is lim f HxL x 2 =-2. f HxL? f HxL x? (a) Er geldt dat lim (b) Er geldt dat lim f HxL = lim f HxL x = lim f HxL x 2 ÿ x2 =-2 μ 0 = 0 f HxL x 2 ÿ x =-2 μ 0 = 0

10 10 Basiswiskunde_Week_2_2.nb 1.2 Vraag 2 Bepaal lim x-1-3 x+1 x. Merk op dat als x Ø 0, dat dan x - 1 = 1 - x en 3 x + 1 = 3 x + 1. Dus lim x-1-3 x+1 x = lim 1-x-H3 x+1l x = lim -4 x x =-4.

11 Basiswiskunde_Week_2_2.nb Eenzijdige limieten * Bestudeer dit onderdeel zelf. Beschouw onderstaande grafiek van een functie f. Y L f HxL M a X Dan lim f HxL = lim xæa f HxL = L en lim + f HxL = lim x a f HxL = M.

12 12 Basiswiskunde_Week_2_2.nb 1.4 Inleiding Beschouw onderstaande grafiek van een functie f. Y f HbL f L f HaL a b c X Dan geldt het volgende: lim f HxL = f HaL, lim f HxL = L f HbL, lim f HxL bestaat niet xøb xøc Alleen in punt a sluit de grafiek mooi aan bij de functiewaarde f HaL.

13 Basiswiskunde_Week_2_2.nb Continuïteit Gegeven een functie f en een punt a met a in het domein DHf L. Als lim f HxL = f HaL, dan is de functie f continu in het punt a Als een functie continu is in ieder punt van een interval, dan is de functie continu op van het interval.

14 14 Basiswiskunde_Week_2_2.nb 1.4 Combineren en continuïteit Stelling 6 Combineren van continue functies Gegeven: lim f HxL = f HcL, lim ghxl = ghcl en een constante k. xøc xøc Dan geldt é lim xøc Hf HxL + ghxll = f HcL + ghcl é lim kfhxl = kfhcl xøc é lim xøc f HxL ghxl = f HcL ghcl é lim xøc f HxL = f HcL ghxl ghcl mits ghcl 0 é lim Hf HxLL mên = f HcL mên, f HcL 0, m en n in N xøc Dus als de functies f en g continu zijn in c, dan zijn de functies f + g, k f, f g, f g mits ghcl 0 en f mên mits f HcL 0 continu in c.

15 Basiswiskunde_Week_2_2.nb Samenstellen en continuïteit Stelling 7 Samengestelde functies en continuïteit. Gegeven functies f en g met c in DHgL en met b = ghcl in DHf L zodanig dat lim ghxl = ghcl en lim f HxL = f HbL. xøc xøb b g f c b Dan lim f HgHxLL = f HgHcLL ofwel f ëg is continu in punt c. xøc

16 16 Basiswiskunde_Week_2_2.nb 1.4 Vuistregel Formulefuncties zijn continu op hun domein. De vuistregel is vooral gebaseerd op stelling 6 en 7 van deze sectie. De vuistregel wordt gebruikt bij het schetsen van functies. Het maken van grafieken mbv wiskundige software en grafische rekenmachines is gebaseerd op de vuistregel.

17 Basiswiskunde_Week_2_2.nb Voorbeeld 1 f HxL = x x+1 ; DHf L = H-, -1L H-1, L

18 18 Basiswiskunde_Week_2_2.nb 1.4 Voorbeeld 2 f HxL = x ; DHf L L

19 Basiswiskunde_Week_2_2.nb Voorbeeld 3 f HxL = tanhxl; DHf L bestaat uit alle x in R behalve x = p 2 + k p, k in Z

20 20 Basiswiskunde_Week_2_2.nb 1.4 Tussenwaardestelling Stelling 9 (The Intermediate-Value Theorem) Gegeven is een continue functie f op een bd met f HaL f HbL en een s tussen f HaL en f HbL. f HbL f s f HaL a c b Dan bestaat er een c in het interval Ha, bl zodanig dat f HcL = s. Opmerkingen: De stelling zegt alleen dat zo'n c bestaat; niet hoeveel het er zijn en hoe je ze kunt vinden. De grafiek van een continue functie kan altijd getekend worden zonder pen/potlood van het papier te lichten.

21 Basiswiskunde_Week_2_2.nb Voorbeeld De tussenwaardestelling wordt gebruikt bij zoeken van nulpunten. Beschouw de functie f HxL = x 3-3 x + 1. Deze functie is continu. Een derdegraads polynoom kan drie nulpunten hebben. Met wat uitproberen vinden we: f H-2L =-1, f H-1L = 3; dus in -1D is een nulpunt, f H0L = 1, f H1L =-1; dus in 1D is een nulpunt, f H1L =-1, f H2L = 3; dus in 2D is een nulpunt. Omdat er hooguit drie nulpunten zijn, zit in ieder interval één nulpunt. De grafiek van f ziet er als volgt uit: 5 f

22 22 Basiswiskunde_Week_2_2.nb 1.4 Minmax-stelling * Stelling 8 Gegeven is een continue functie f op het bd. M f f HbL f HaL m a p q b Dan heeft de functie f een absoluut minimum m = f HpL en een absoluut maximum M = f HqL voor zekere p en q in het bd. Opm1 Het absolute maximum en/of minimum kunnen op rand liggen. Opm2 De stelling zegt niets over aantal extrema en hun plaats. Opm3 Tussen twee nulpunten van een continue functie zal een extremum zijn.