Leeswijzer bij het college Functies en Reeksen

Transcriptie

1 Leeswijzer bij het college Functies en Reeksen Erik van den Ban Najaar 2012 Introductie eze leeswijzer bij het dictaat Functies en Reeksen (versie augustus 2011) heeft als doel een gewijzigde opbouw van het dictaat Functies en Reeksen te presenteren met een opbouw van de stof waarbij de volgorde van de onderwerpen enigszins veranderd is. Om de logische opbouw van de stof toch tot zijn recht te laten komen, zal in de leeswijzer steeds aangegeven worden welke stof uit het dictaat bestudeerd dient te worden. aarnaast geeft de leeswijzer extra aantekeningen waar dat noodzakelijk is. Om de leeswijzer zoveel mogelijk parallel te laten lopen aan het dictaat Functies en Reeksen is gekozen voor een nummering van hoofdstukken en paragrafen waarbij de overeenkomstige nummering van Functies en Reeksen met 100 verhoogd is. 101 Partiële en totale afgeleiden Partiële differentieerbaarheid Lees Paragraaf 1.1 uit het dictaat. Het daar geıntroduceerde begrip partiële afgeleide kan worden gezien als een speciaal geval van het begrip richtingsafgeleide. it laatste begrip definiëren we als volgt. In het vervolg is X R n en f W X! R p een afbeelding. Een punt van X heet inwendig indien er een ı > 0 bestaat zo dat B.I ı/ X (zie Inleiding Analyse). e verzameling inwendige punten van X wordt genoteerd met inw.x/: efinitie Zij 2 inw.x/ en v 2 R n : e afbeelding f heet in het punt richtingsdifferentieerbaar in de richting v indien de functie t 7! f. C tv/ differentieerbaar is in t e afgeleide v f./ W d f. C dt tv/ˇˇˇˇt0 wordt in dat geval de richtingsafgeleide van f in het punt in de richting v genoemd. Opmerking We merken op dat de richtingsdifferentieerbaarheid van f in in de richting v gelijkwaardig is met het bestaan van de iet t!0 f. C tv/ f./ : t Indien deze iet bestaat is zijn waarde gelijk aan de richtingsafgeleide v f./: 1

2 Lemma Zij e j de j -de standaardbasis vector in R n : an zijn de volgende beweringen gelijkwaardig. (a) e partiële afgeleide j f./ bestaat. (b) e functie f is in richtingsdifferentieerbaar in de richting e j : Bovendien geldt in het geval dat (a) en (b) waar zijn dat j f./ ej f./: (101.1) Bewijs Er bestaat een ı > 0 zo dat B.I ı/ X: We introduceren het open interval I W j ı; j C ı Œ en definiëren de functie ' W I! R p door '.s/ f. 1 ; : : : ; j 1 ; s; j C1 ; : : : ; n /;.s 2 I /: Voor de (gewone) afgeleide van ' naar de variabele s geldt wegens de kettingregel voor (gewone) differentiatie dat ' differentieerbaar is in j dan en slechts dan als de functie t 7! '. j C t/ differentieerbaar is in 0: e eerste bewering is per definitie gelijkwaardig met (a), terwijl de tweede bewering gelijkwaardig is met (b). Bovendien geldt vanwege de kettingregel voor gewone differentiatie in geval de beweringen waar zijn dat ' 0. j / d dt '. j C t/ ˇ ˇt0 : it geeft (101.1) Weglopen in een willekeurige richting eze paragraaf slaan we voorlopig over. Later zullen we hem gebruiken in een karakterisering van totale differentieerbaarheid, het begrip dat in de volgende paragraaf aan de orde komt e totale afgeleide We gaan meteen naar het kernbegrip van deze paragraaf, dat behandeld wordt in efinitie eze definitie herschrijven we door de gegeven verwijzing naar Lemma 1.10 (a) direct in de tekst op te nemen. In het vervolg veronderstellen we weer dat X R n en dat f W X! R p : efinitie Zij 2 inw.x/: e functie f heet totaal differentieerbaar in indien er een lineaire afbeelding A W R n! R p bestaat zo dat kf.x/ f./ A.x /k (101.2) x! kx k In het onderstaande lemma wordt een verband gelegd met richtingsdifferentieerbaarheid. Hieruit zal blijken dat de lineaire afbeelding A W R n! R p uniek vastgelegd is door de eigenschap (101.2). aarna kunnen we een geschikte notatie voor A afspreken. 2

3 Lemma Laat de functie f differentieerbaar zijn in en laat A voldoen aan (101.2). an geldt voor iedere v 2 R n dat de functie f richtingsdifferentieerbaar is in in de richting v: e bijbehorende richtingsafgeleide wordt gegeven door In het bijzonder is A uniek bepaald. v f./ A.v/: (101.3) Bewijs e bewering is duidelijk voor v We veronderstellen daarom dat v 0: oor x Ctv te substitueren in (101.2) vinden we dat kf. C tv/ f./ A.tv/k t!0 jtjkvk Uit de lineariteit van A volgt dat A.tv/ tv; dus ook t!0 kvk 1 f.x C tv/ f./ A.v/ t 0 en we concluderen dat dus (101.3). t!0 f.x C tv/ f./ t A.v/ 0; e uniciteit van A maakt de volgende definitie mogelijk. efinitie Laat f totaal differentieerbaar zijn in : e unieke lineaire afbeelding A W R n! R p die voldoet aan (101.2) wordt genoteerd met f./ en heet de totale afgeleide van f in : Opmerking Is f totaal diffferentieerbaar in dan geldt wegens Lemma dat f richtingsdifferentieerbaar is in en dat f./.v/ v f./ 8v 2 R n : Gevolg Laat f totaal differentieerbaar zijn in : an wordt de matrix van f./ (ten aanzien van de standaardbases) gegeven door f./ ij j f i./.1 j n; 1 i p/: e n p matrix. j f i.// ij staat bekend als de Jacobi-matrix van de functie f in het punt : Lees: Voorbeeld 1.18 in het dictaat. Uit dit voorbeeld blijkt dat het omgekeerde van het bovenstaande gevolg niet geldt. Opmerking Voordat we verder gaan met de ontwikkeling van de theorie vermelden we nog dat de conditie (101.2) in efinitie ook als volgt geformuleerd kan worden: kr.h/k f. C h/ f./ C A.h/ C R.h/; met (101.4) h!0 khk 3

4 Immers, definieer W X! R p door.x/ f.x/ f./ A.x /: an is (101.2) gelijkwaardig met k.x/k x! kx k : Schrijven we R.h/. C h/; en passen we de substitutieregel voor ieten toe, dan volgt de gelijkwaardigheid met (101.4). e eerste uitdrukking in (101.4) kan opgevat worden als de multi-variabele eerste orde Taylor ontwikkeling van f rond : Om ruimte te besparen zullen we in het vervolg kolomvectoren als volgt noteren: 0 1.a 1 ; : : : ; a k / T a 1 : a k C A Voorbeeld We beschouwen de functie f W R 2! R gedefinieerd door f.x/ x 1 x 2 : Laat 2 R 2 een vast punt zijn. an geldt voor alle h 2 R 2 dat met f. C h/ f./. 1 C h 1 /. 2 C h 2 / h 1 C 1 h 2 C h 1 h 2 A.h/ C R.h/; A.h/. 2 1 /.h 1 ; h 2 / T ; R.h/ h 1 h 2 : e gedefinieerde afbeelding A is lineair, en voor R geldt dat jr.h/j jh 1 jjh 2 j khk 2 ; dus jr.h/j h!h khk We zien dat de afbeelding f totaal differentieerbaar is in ; met afgeleide f./. 2 1 /: Met Gevolg volgt hieruit dat 1 f./ 2 en 2 f./ 1 : it is uiteraard ook direct af te leiden door de rekenregels voor partiële differentiatie toe te passen. In Opmerking 1.13 van het dictaat wordt voor het geval n 1 de totale afgeleide vergeleken met de gewone afgeleide. In het onderstaande lemma doen wij dat ook. In het bewijs zullen we gebruik maken van Gevolg Lemma Zij I R een open interval en f W I! R p een functie. Laat 2 I: an zijn de volgende twee uitspraken equivalent. (a) e functie f is differentieerbaar in in de oude zin (van Inleiding Analyse). (b) e functie f is totaal differentieerbaar in : Is f differentieerbaar in ; dan wordt het verband tussen de twee afgeleiden gegeven door f 0./ f./.1/: 4

5 Bewijs Veronderstel eerst dat (b) geldt. an volgt uit Gevolg dat f partieel differentieerbaar is, dus gewoon differentieerbaar, terwijl de matrix van f./ gegeven wordt door f./.f 0 1./ f 0 p.//t : Laten we deze lineaire afbeelding R! R p werken op het punt 1 2 R; dan vinden we dat f 0./ f./.1/: Veronderstel nu omgekeerd dat (a) geldt, dus dat f differentieerbaar is in met afgeleide f 0./ 2 R n : an geldt dat f.t/ f./ f 0./: t! t efinieer de lineaire afbeelding A W R! R p door A.v/ vf 0./; voor v 2 R: an geldt dat dus ook f.t/ f./.t /f 0./ 0; t! t jf.t/ f./ A.t /j t! jt /j Hieruit blijkt dat f totaal differentieerbaar is in met totale afgeleide f./ A W h 7! hf 0./: In het bijzonder geldt dus f 0./ f./.1/: Hiermee is (b) aangetoond. Lees: het eerste deel van Paragraaf 1.3, tot en met Opmerking 1.9. Als toepassing van de behandelde schattingen bewijzen we nu eerst het volgende lemma. We veronderstellen weer dat X R n en dat f W X! R p : Lemma Zij 2 inw.x/; en veronderstel dat f totaal differentieerbaar is in : an is f continu in het punt : Bewijs We schrijven.x/ W f.x/ f./ f./.x /: an heeft k.x/kkx k 1 iet 0 voor x! : us er bestaat een ı > 0 zo dat B.I ı/ X en zo dat voor alle x 2 B.I ı/ n fg geldt dat k.x/kkx k 1 1: Hieruit volgt k.x/k kx k;.x 2 B.I ı//: We concluderen dat voor alle x 2 B.I ı/ geldt dat kf.x/ f./k kf./.x / C.x/k kf./.x /k C k.x/k.kf./k C 1/kx k: hieruit volgt dat kf.x/ f./k! 0 voor x! ; dus f is continu in : Het volgende resultaat geeft een veelvuldig gebruikt criterium om tot de totale differentieerbaarheid van afbeeldingen te besluiten. Zie ook Stelling 1.15 in het dictaat. 5

6 Stelling Laat X R n een open verzameling in R n zijn, en f W X! R p een afbeelding. Zij 2 X: Veronderstel dat f partieel differentieerbaar is, terwijl de partiële afgeleiden j f continu zijn in : an is f totaal differentieerbaar in : Opmerking Wegens Gevolg wordt de totale afgeleide in bovenstaande stelling gegeven door de Jacobi-matrix. Het bewijs van Stelling maakt gebruik van de theorie van Paragraaf 1.2 uit het dictaat. Lees Paragraaf 1.2. Het bewijs van Stelling is nu als volgt. Bewijs Er zijn functies L ij W X! R als in Gevolg 1.7 in het dictaat. eze functies voldoen aan L ij.x/! j f i./ voor x! : In het bijzonder is elk van de functies L ij continu op X: erhalve is de afbeelding L W X! Lin.R n ; R p / continu in : Voor alle x 2 X geldt dat: Hieruit leiden we af dat f.x/ f./ L.x/.x /: kf.x/ f./ L./.x /k kl.x/.x / L./.x /k kl.x/ L./kk.x /k: Is x ; dan vinden we dat kf.x/ f./ L./.x /k kx k kl.x/ L./k: Uit de continuïteit van L in volgt nu dat kf.x/ f./ L./.x /k x! kx k Hieruit concluderen we dat f totaal differentieerbaar is in ; met afgeleide f./ L./: Het volgende lemma is een herformulering van Lemma 1.10 in het dictaat. Het is afkomstig van de Franse wiskundige Hadamard, uit het begin van de 20-ste eeuw. Lemma Zij X R n ; f W X! R p en 2 inw.x/: an zijn de volgende beweringen gelijkwaardig. (a) e afbeelding f is totaal differentieerbaar in : (b) Er is een afbeelding L W X! Lin.R n ; R p /; continu in ; met f.x/ f./ L.x/.x /;.x 2 X/: Indien de beweringen (a) en (b) waar zijn, dan is f./ L./: 6

7 Het bewijs van Lemma 1.10 in het dictaat wordt componentsgewijs gegeven. Wij formuleren hier een bewijs zonder ontbinding in componenten. Bewijs Het bewijs van de implicatie.b/ H).a/ is identiek aan het deel van het bovenstaande bewijs van Stelling dat volgt op toepassing van Gevolg 1.7 van het dictaat. Veronderstel dus dat (a) geldt, dwz. er is bestaat een lineaire afbeelding A W R n! R p (ook genoteerd met f./) zo dat kf.x/ f./ A.x /k x! kx k Schrijf r.x/ f.x/ f./ A.x /; voor x 2 X: an geldt wegens het bovenstaande dus dat x! kr.x/k kx k We definiëren de afbeelding L W X! Lin.R n ; R p / door L./ A; en voor x 2 X n fg door L.x/ A C kx k 2 r.x/.x / T : eze formule moet als volgt gelezen worden:.x / T staat voor de rij matrix met componenten.x j j /; voor 1 j n: Op deze manier kan.x / T opgevat worden als lineaire afbeelding R n! R: We merken op dat.x / T.v/ h x ; v i.v 2 R n /: Verder moet r.x/.x / T gelezen worden als de lineaire afbeelding R n! R p ; v 7!.x / T.v/r.x/: Voor alle x 2 X n geldt nu L.x/.x / A.x / C kx k 2 r.x/.x / T.x / A.x / C kx k 2 h x ; x ir.x/ A.x / C r.x/ f.x/ f./: Uiteraard geldt ook voor x dat L.x/.x / f.x/ f./: Verder merken we op dat voor x 2 X n fg geldt dat kl.x/ L./k kx k 2 kr.x/.x / T k kx k 2 kr.x/kk.x / T k kr.x/k kx k : e laatste uitdrukking heeft iet nul voor x! ; en we concluderen dat x! L.x/ L./: Tenslotte merken we op dat in het voorgaande geldt dat L./ A f./: 7