Utrecht, 25 november Numerieke Wiskunde. Gerard Sleijpen Department of Mathematics.
|
|
|
- Geert van der Meer
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Utrecht, 25 november 2014 Numerieke Wiskunde Gerard Sleijpen Department of Mathematics sleij101/
2 [a, b] R, : [a, b] R Benader f door eenvoudige functies Voorbeelden eenvoudige functies. 1. Polynomen (lineaire combinaties van x k ). 2. Stukken Fourier reeks (lin. comb. sin(2πkx), cos(2πkx)) 3. Splines (gladde stuksgewijs polynomen) ln(x)p(x), p polynoom 5. Rationale functies p(x) met p, q polynomen q(x) 6. Bessel functies,... Eigenschappen eenvoudige functies. 1. Efficiënt te evalueren 2. Efficiënt op te slaan ( compressie) 3. Gemakkelijk mee te manipuleren (p, p,... ) basis voor algorithmes voor ingewikkeldere problemen te gebruiken in analyse
3 p(x) = α 0 + α 1 x + α 2 x α k x k polynoom graad k. Evaluatie: schema van Horner. Evalueer p in x volgens S 0 = α k, voor j = 1, 2,..., k S j = α k j + S j 1 x Kost 2k flop (floating point operaties): k en k+. Vb. p(x) = 3 + 2x + 7x 2 + 4x 3 : Horner: p(x) = 3 + (2 + (7 + 4x)x)x Variant: p(x) = 3 + 2(x 1) + 7(x 1)(x π) + 9(x 1)(x π)x Horner: p(x) = 3 + (2 + (7 + 9x)(x π))(x 1)
4 Interpolatie Zij (x 0, x 1, x 2,..., x k ) een rij getallen in [a, b]. µ(x) is het aantal keren dat het getal x in de rij (x 0,..., x k ) voor komt. Terminolgie. p = f op (x 0,..., x k ) als voor i = 0,..., k p(x i ) = f(x i ), p (x i ) = f (x i ) als µ(x i ) > 1 p (x i ) = f (x i ) als µ(x i ) > 2... Voorbeeld. p = f op ( 1, 0, 0, 0, 1) als 2 p(0) = f(0), p (0) = f (0), p (0) = f (0), p( 1) = 2 f(1 ), p(1) = f(1). 2 Definitie. Een polynoom p interpoleert f op (x 0,..., x k ) als graad(p) k en p = f op (x 0,..., x k ).
5 Interpolatie Zij (x 0, x 1, x 2,..., x k ) een rij in [a, b]. Stelling. Er bestaat precies een pol. p van gr. k zodat p = f op (x 0, x 1,..., x k ) Als f k + 1 maal continu differentieerbaar is op [a, b] dan f(x) p(x) = (x x 0 )(x x 1 )... (x x k ) f (k+1) (ξ) (k+1)! voor zekere ξ tussen x 0, x 1,..., x k en x.
6 Interpolatie Zij (x 0, x 1, x 2,..., x k ) een rij in [a, b]. Stelling. Er bestaat precies een pol. p van gr. k zodat p = f op (x 0, x 1,..., x k ) Als f k + 1 maal continu differentieerbaar is op [a, b] dan f(x) p(x) = (x x 0 )(x x 1 )... (x x k ) f (k+1) (ξ) (k+1)! voor zekere ξ tussen x 0, x 1,..., x k en x. Voorbeeld. x 0 = x 1 = x 2 =... = x k = 0: p is het Taylor pol.: p(x) f(0) + xf (0) xk k! f (k) (0). f(x) p(x) = xk+1 (k + 1)! f (k+1) (ξ).
7 Interpolatie Zij (x 0, x 1, x 2,..., x k ) een rij in [a, b]. Stelling. Er bestaat precies een pol. p van gr. k zodat p = f op (x 0, x 1,..., x k ) Als f k + 1 maal continu differentieerbaar is op [a, b] dan f(x) p(x) = (x x 0 )(x x 1 )... (x x k ) f (k+1) (ξ) (k+1)! voor zekere ξ tussen x 0, x 1,..., x k en x. Voorbeeld. x 0 = x 1 = x 2 =... = x k = 0: p is het Taylor pol.: p(x) f(0) + xf (0) xk k! f (k) (0). f(x) p(x) = xk+1 (k + 1)! f (k+1) (ξ). Lagrange: x i x j als i j.
8 Interpolatie Zij (x 0, x 1, x 2,..., x k ) een rij in [a, b]. Stelling. Er bestaat precies een pol. p van gr. k zodat p = f op (x 0, x 1,..., x k ) Als f k + 1 maal continu differentieerbaar is op [a, b] dan f(x) p(x) = (x x 0 )(x x 1 )... (x x k ) f (k+1) (ξ) (k+1)! voor zekere ξ tussen x 0, x 1,..., x k en x. Voorbeeld. x 0 = x 1 = x 2 =... = x k = 0: p is het Taylor pol.: p(x) f(0) + xf (0) xk k! f (k) (0). f(x) p(x) = xk+1 (k + 1)! f (k+1) (ξ). Lagrange: x i x j als i j. Hermite: iedere i, er is precies een j i met x i = x j.
9 Interpolatie Zij (x 0, x 1, x 2,..., x k ) een rij in [a, b]. Stelling. Er bestaat precies een pol. p van gr. k zodat p = f op (x 0, x 1,..., x k ) Als f k + 1 maal continu differentieerbaar is op [a, b] dan f(x) p(x) = (x x 0 )(x x 1 )... (x x k ) f (k+1) (ξ) (k+1)! voor zekere ξ tussen x 0, x 1,..., x k en x. Bewijs. Bestaan in geval x i x j als i j (inductie): p k 1 = f op (x 0,..., x k 1 ) en graad(p k 1 ) k 1. p(x) p k (x) p k 1 (x) + α(x x 0 )(x x 1 )... (x x k 1 ) Dan p = f op (x 0,..., x k 1 ) en p van graad k Pas α aan zodat f(x k ) = p(x k ).
10 Interpolatie Zij (x 0, x 1, x 2,..., x k ) een rij in [a, b]. Stelling. Er bestaat precies een pol. p van gr. k zodat p = f op (x 0, x 1,..., x k ) Als f k + 1 maal continu differentieerbaar is op [a, b] dan f(x) p(x) = (x x 0 )(x x 1 )... (x x k ) f (k+1) (ξ) (k+1)! voor zekere ξ tussen x 0, x 1,..., x k en x. Bewijs. Uniciteit: Als p = q op (x 0,..., x k ) and p, q pol. graad k dan p q = 0 op (x 0,..., x k ). Hoofdstelling Algebra: voor zeker polynoom r geldt p(x) q(x) = r(x)(x x 0 )(x x 1 )... (x x k ) alle x. Omdat p q graad k moet r = 0 alle x.
11 Interpolatie Zij (x 0, x 1, x 2,..., x k ) een rij in [a, b]. Stelling. Er bestaat precies een pol. p van gr. k zodat p = f op (x 0, x 1,..., x k ) Als f k + 1 maal continu differentieerbaar is op [a, b] dan f(x) p(x) = (x x 0 )(x x 1 )... (x x k ) f (k+1) (ξ) (k+1)! voor zekere ξ tussen x 0, x 1,..., x k en x. Bewijs. Foutvoorstelling: beschouw y {x 0,..., x k 1 }. p interpoleert f op (x 0,..., x k 1, y). Dan p(x) = p k 1 (x) + α(x x 0 )... (x x k 1 ) en α is zo dat p(y) = f(y). Pas nu k maal Rolle: Dus (f p) (k) (ξ) = 0 zekere ξ tussen x 0, x 1..., x k 1, y. (f p) (k) (ξ) = f (k) (ξ) αk!. α = f (k) (ξ) k!
12 Interpolatie Zij (x 0, x 1, x 2,..., x k ) een rij in [a, b]. Stelling. Er bestaat precies een pol. p van gr. k zodat p = f op (x 0, x 1,..., x k ) Als f k + 1 maal continu differentieerbaar is op [a, b] dan f(x) p(x) = (x x 0 )(x x 1 )... (x x k ) f (k+1) (ξ) (k+1)! voor zekere ξ tussen x 0, x 1,..., x k en x. Bewijs. Foutvoorstelling: beschouw y {x 0,..., x k 1 }. p interpoleert f op (x 0,..., x k 1, y). Dan p(x) = p k 1 (x) + α(x x 0 )... (x x k 1 ) en α is zo dat p(y) = f(y). Pas nu k maal Rolle: Dus (f p) (k) (ξ) = 0 zekere ξ tussen x 0, x 1..., x k 1, y. (f p) (k) (ξ) = f (k) (ξ) αk!. p(y) p k 1 (y) = f (k) (ξ) k! (y x 0 )... (y x k 1 ).
13 Interpolatie Zij (x 0, x 1, x 2,..., x k ) een rij in [a, b]. Stelling. Er bestaat precies een pol. p van gr. k zodat p = f op (x 0, x 1,..., x k ) Als f k + 1 maal continu differentieerbaar is op [a, b] dan f(x) p(x) = (x x 0 )(x x 1 )... (x x k ) f (k+1) (ξ) (k+1)! voor zekere ξ tussen x 0, x 1,..., x k en x. Bewijs. Foutvoorstelling: p = f op (x 0,..., x k 1, y). p(x) = p k 1 (x) + α(x x 0 )... (x x k 1 ). Dus k maal Rolle en p(y) = f(y) geeft: f(y) p k 1 (y) = f (k) (ξ) k! (y x 0 )... (y x k 1 ). Dit is ook goed voor k ipv k 1 en x ipv y.
14 Interpolatie Zij (x 0, x 1, x 2,..., x k ) een rij in [a, b]. Stelling. Er bestaat precies een pol. p van gr. k zodat p = f op (x 0, x 1,..., x k ) Als f k + 1 maal continu differentieerbaar is op [a, b] dan f(x) p(x) = (x x 0 )(x x 1 )... (x x k ) f (k+1) (ξ) (k+1)! voor zekere ξ tussen x 0, x 1,..., x k en x. Notatie. Laat α = f[x 0,..., x k ] de leidende coëfficiënt zijn van het het interpolatie polynoom p voor f op (x 0, x 1,..., x k ). Stelling. f[x 0,..., x k ] = f[x 1,..., x k ] f[x 0,..., x k 1 ] x k x 0. f[x 0,..., x k ] = 1 k! f (k) (ξ) voor zekere ξ tussen x 0,..., x k.
15 Interpolatie Zij (x 0, x 1, x 2,..., x k ) een rij in [a, b]. Stelling. Er bestaat precies een pol. p van gr. k zodat p = f op (x 0, x 1,..., x k ) Als f k + 1 maal continu differentieerbaar is op [a, b] dan f(x) p(x) = (x x 0 )(x x 1 )... (x x k ) f (k+1) (ξ) (k+1)! voor zekere ξ tussen x 0, x 1,..., x k en x. Notatie. Laat α = f[x 0,..., x k ] de leidende coëfficiënt zijn van het het interpolatie polynoom p voor f op (x 0, x 1,..., x k ). Stelling. f[x 0,..., x k ] = f[x 1,..., x k ] f[x 0,..., x k 1 ] x k x 0. f[x 0,..., x k ] = 1 k! f (k) (ξ) voor zekere ξ tussen x 0,..., x k. Voorbeeld. f[x 0, x 0, x 0, x 0 ] = 1 3! f (3) (x 0 )
16 Interpolatie Zij (x 0, x 1, x 2,..., x k ) een rij in [a, b]. Stelling. Er bestaat precies een pol. p van gr. k zodat p = f op (x 0, x 1,..., x k ) Als f k + 1 maal continu differentieerbaar is op [a, b] dan f(x) p(x) = (x x 0 )(x x 1 )... (x x k ) f (k+1) (ξ) (k+1)! voor zekere ξ tussen x 0, x 1,..., x k en x. Opmerking. De grootheid f (k+1) (ξ) (k + 1)! in de foutvoorstelling kan geschat worden door f[y 0, y 1,..., y k+1 ] voor y j = x j+i0 voor verschillende i 0 (bv, i 0 = 2, 1, 0, +1).
17 Interpolatie Zij (x 0, x 1, x 2,..., x k ) een rij in [a, b]. Stelling. Er bestaat precies een pol. p van gr. k zodat p = f op (x 0, x 1,..., x k ) Als f k + 1 maal continu differentieerbaar is op [a, b] dan f(x) p(x) = (x x 0 )(x x 1 )... (x x k ) f (k+1) (ξ) (k+1)! voor zekere ξ tussen x 0, x 1,..., x k en x. Evaluatie. p(x) = p k 1 (x) + α(x x 0 )... (x x k 1 ) α = f[x 0,..., x k ] = f[x 1,..., x k ] f[x 0,..., x k 1 ] x k x 0
18 Evaluatie f[x 0 ] = f(x 0 ) f[x 0, x 1,..., x k, x k+1 ] f[x 0, x 1,..., x k ] f[x 1,..., x k, x k+1 ] x 0 x k+1 x 0 f(x 0 ) f[x 0, x 1 ] x 1 f(x 1 ) f[x 0, x 1, x 2 ] f[x 1, x 2 ] f[x 0, x 1, x 2, x 3 ] x 2 f(x 2 ) f[x 1, x 2, x 3 ] f[x 2, x 3 ] x 3 f(x 3 ) p(x) = f[x 0 ] + f[x 0, x 1 ] (x x 0 ) + f[x 0, x 1, x 2 ] (x x 0 )(x x 1 ) +f[x 0, x 1, x 2, x 3 ] (x x 0 )(x x 1 )(x x 2 ) Voorwaarts Newton (als x 0 < x 1 < x 2 <...)
19 Evaluatie f[x 0 ] = f(x 0 ) f[x 0, x 1,..., x k, x k+1 ] f[x 0, x 1,..., x k ] f[x 1,..., x k, x k+1 ] x 0 x k+1 x 0 f(x 0 ) f[x 0, x 1 ] x 1 f(x 1 ) f[x 0, x 1, x 2 ] f[x 1, x 2 ] f[x 0, x 1, x 2, x 3 ] x 2 f(x 2 ) f[x 1, x 2, x 3 ] f[x 2, x 3 ] x 3 f(x 3 ) p(x) = f[x 1 ] + f[x 1, x 2 ] (x x 1 ) + f[x 0, x 1, x 2 ] (x x 1 )(x x 0 ) +f[x 0, x 1, x 2, x 3 ] (x x 1 )(x x 0 )(x x 2 ) Gauss (als x 0 < x 1 < x 2 <...)
20 Evaluatie f[x 0 ] = f(x 0 ) f[x 0, x 1,..., x k, x k+1 ] f[x 0, x 1,..., x k ] f[x 1,..., x k, x k+1 ] x 0 x k+1 x 0 f(x 0 ) f[x 0, x 1 ] x 1 f(x 1 ) f[x 0, x 1, x 2 ] f[x 1, x 2 ] f[x 0, x 1, x 2, x 3 ] x 2 f(x 2 ) f[x 1, x 2, x 3 ] f[x 2, x 3 ] x 3 f(x 3 ) Voorbeeld. 0 f(0) 0 f(0) 0 f(0) h f(h) f[0, 0] = lim ɛ 0 f(0) f(ɛ) 0 ɛ = f (0) f[0, 0, 0] = lim ɛ f[0, ɛ, 2ɛ] = 1 2 f (0)
21 We wensen f in het punt x te benaderen door interpolatie met een kde graads polynoom. Waar kunnen we het beste x 0,..., x k kiezen?
22 We wensen f in het punt x te benaderen door interpolatie met een kde graads polynoom. Waar kunnen we het beste x 0,..., x k kiezen? Hangt er van af wat we van f weten en hoeveel werk we willen doen
23 We wensen f in het punt x te benaderen door interpolatie met een kde graads polynoom. Waar kunnen we het beste x 0,..., x k kiezen? f is bekend op t i met,voor n stapgrootte h > 0, t i+1 = t i + h alle i.
24 We wensen f in het punt x te benaderen door interpolatie met een kde graads polynoom. Waar kunnen we het beste x 0,..., x k kiezen? f is bekend op t i met,voor n stapgrootte h > 0, t i+1 = t i + h alle i. We willen f met zo weinig mogelijk functiewaarden over een heel interval, zeg [ 1, +1], benaderen met een fout kleiner dan, zeg We kunnen de steunpunten x i overal kiezen in [ 1, +1].
25 We wensen f in het punt x te benaderen door interpolatie met een kde graads polynoom. Waar kunnen we het beste x 0,..., x k kiezen? f is bekend op t i met,voor n stapgrootte h > 0, t i+1 = t i + h alle i. Kies x 0,..., x k uit {t i } zodat minimaal is. (x x 0 )... (x x k ) Zorg er voor dat x in het middelste interval [x j, x j+1 ] ligt: Als x (t i, t i+1 ), kies x 0 = t i, x 1 = t i+1, x 2 = t i 1, x 3 = t i+2, x 4 = t i 2,... Voor motivatie: zie volgende grafieken waarbij t i = i, (i Z), x (0, 1)
26
27
28
29
30
31
32
33 x
34 We wensen f in het punt x te benaderen door interpolatie met een kde graads polynoom. Waar kunnen we het beste x 0,..., x k kiezen? We willen f met zo weinig mogelijk functiewaarden over een heel interval, zeg [ 1, +1], benaderen met een fout kleiner dan, zeg We kunnen de steunpunten x i overal kiezen in [ 1, +1].
35 We wensen f in het punt x te benaderen door interpolatie met een kde graads polynoom. Waar kunnen we het beste x 0,..., x k kiezen? We willen f met zo weinig mogelijk functiewaarden over een heel interval, zeg [ 1, +1], benaderen met een fout kleiner dan, zeg We kunnen de steunpunten x i overal kiezen in [ 1, +1]. Equidistant: x j = 1 + jh (j = 0,..., k) met h = 2/k?
36 1 0.9 Stuksgewijze polynoom benadering van graad 6 f in steunpunten p f
37 1.2 1 Stuksgewijze polynoom benadering van graad 10 f in steunpunten p f
38 2.5 Stuksgewijze polynoom benadering van graad 14 f in steunpunten p f
39 9 8 Stuksgewijze polynoom benadering van graad 18 f in steunpunten p f
40 9 De fout p f De fout
41 We wensen f in het punt x te benaderen door interpolatie met een kde graads polynoom. Waar kunnen we het beste x 0,..., x k kiezen? We willen f met zo weinig mogelijk functiewaarden over een heel interval, zeg [ 1, +1], benaderen met een fout kleiner dan, zeg We kunnen de steunpunten x i overal kiezen in [ 1, +1]. Meer verdichten aan de rand: met h = 2/k x j = sin( π 2 ( 1 + jh)) = cos( π 2jh) (j = 0,..., k)?
42 1 0.9 Stuksgewijze polynoom benadering van graad 18 f in steunpunten p f
43 0.03 De fout p f De fout
44 6 x 10 4 De fout p f De fout
45 Hieronder f C (1) ([ 1, 1]) en p k interpoleert f op (x 0, x 1,..., x k ). x j = 1 + j 2 k f p k f x in de buurt van 1 x j = 0 f p k f x in de buurt van 1 x j = cos( π j k ) f p k f ook x in de buurt van 1 x j = cos(π j+0.5 k+1 ) f p k f ook x in de buurt van 1 Opmerkingen: f zelfs f C ( ) ([ 1, 1]). f geldt niet f C([ 1, 1]) Convergentie volgt niet uit schattingen voor (x x 0 )... (x x k ) en f (k+1) (ξ).
46 Effecten van (afrond)fouten in f-waarden Voorbeeld. LIp op x 0, x 1, x 2, x 3 : x i x j voor i j. Definieer L 0 (x) (x x 1)(x x 2 )(x x 3 ) (x 0 x 1 )(x 0 x 2 )(x 0 x 3 )
47 Effecten van (afrond)fouten in f-waarden Voorbeeld. LIp op x 0, x 1, x 2, x 3 : x i x j voor i j. Definieer L 1 (x) (x x 0)(x x 2 )(x x 3 ) (x 1 x 0 )(x 1 x 2 )(x 1 x 3 )
48 Effecten van (afrond)fouten in f-waarden Voorbeeld. LIp op x 0, x 1, x 2, x 3 : x i x j voor i j. Definieer L 2 (x) (x x 0)(x x 1 )(x x 3 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 )(x 2 x 3 )
49 Effecten van (afrond)fouten in f-waarden Voorbeeld. LIp op x 0, x 1, x 2, x 3 : x i x j voor i j. Definieer L 3 (x) (x x 0)(x x 1 )(x x 2 ) (x 3 x 0 )(x 3 x 1 )(x 3 x 2 )
50 Effecten van (afrond)fouten in f-waarden Voorbeeld. LIp op x 0, x 1, x 2, x 3 : x i x j voor i j. Definieer L 0 (x) (x x 1)(x x 2 )(x x 3 ) (x 0 x 1 )(x 0 x 2 )(x 0 x 3 ) Dan L j (x i ) = 0 als i j en L j (x j ) = 1. Als p = f op (x 0, x 1, x 2, x 3 ), dan p(x) = f(x 0 )L 0 (x)+f(x 1 )L 1 (x)+f(x 2 )L 2 (x)+f(x 3 )L 3 (x)
51 Effecten van (afrond)fouten in f-waarden Voorbeeld. LIp op x 0, x 1, x 2, x 3 : x i x j voor i j. Definieer L 0 (x) (x x 1)(x x 2 )(x x 3 ) (x 0 x 1 )(x 0 x 2 )(x 0 x 3 ) Dan L j (x i ) = 0 als i j en L j (x j ) = 1. Als p = f op (x 0, x 1, x 2, x 3 ), dan p(x) = f(x 0 )L 0 (x)+f(x 1 )L 1 (x)+f(x 2 )L 2 (x)+f(x 3 )L 3 (x) f (x j ) = f(x j ) + ɛ j met ɛ j ɛ: p (x) p(x) ɛ j L j (x) Op volgende pagina s: grafieken L j en j L j (x) ( )
52 12 interpolatie van graad 4, basisfuncties L 4,j, foutvergrotingsfunctie foutvergrotings factor is maximaal 5.92
53 200 interpolatie van graad 5, basisfuncties L 5,j, foutvergrotingsfunctie foutvergrotings factor is maximaal 104
54 700 interpolatie van graad 5, basisfuncties L 5,j, foutvergrotingsfunctie foutvergrotings factor is maximaal 268
55 Effecten van (afrond)fouten in f-waarden Voorbeeld. LIp op x 0, x 1, x 2, x 3 : x i x j voor i j. Op volgende pagina s: grafieken L j en j L j (x) ( ) Voor verschillende k en voor achtereenvolgens x j = 1 + j 2 k x j = cos( π j k ) x j = cos(π j+0.5 k+1 )
56 5 interpolatie van graad 5, basisfuncties L 5,j, foutvergrotingsfunctie foutvergrotings factor is maximaal 3.1
57 5 interpolatie van graad 5, basisfuncties L 5,j, foutvergrotingsfunctie foutvergrotings factor is maximaal 1.98
58 5 interpolatie van graad 5, basisfuncties L 5,j, foutvergrotingsfunctie foutvergrotings factor is maximaal 1.68
59 20 interpolatie van graad 9, basisfuncties L 9,j, foutvergrotingsfunctie foutvergrotings factor is maximaal 17.6
60 6 interpolatie van graad 9, basisfuncties L 9,j, foutvergrotingsfunctie foutvergrotings factor is maximaal 2.35
61 6 interpolatie van graad 9, basisfuncties L 9,j, foutvergrotingsfunctie foutvergrotings factor is maximaal 2
62 6000 interpolatie van graad 19, basisfuncties L 19,j, foutvergrotingsfunctie foutvergrotings factor is maximaal 5.87e+003
63 6 interpolatie van graad 19, basisfuncties L 19,j, foutvergrotingsfunctie foutvergrotings factor is maximaal 2.82
64 8 interpolatie van graad 19, basisfuncties L 19,j, foutvergrotingsfunctie foutvergrotings factor is maximaal 2.44
65 3.5 x 106 interpolatie van graad 29, basisfuncties L 29,j, foutvergrotingsfunctie foutvergrotings factor is maximaal 3.39e+006
66 6 interpolatie van graad 29, basisfuncties L 29,j, foutvergrotingsfunctie foutvergrotings factor is maximaal 3.09
67 10 interpolatie van graad 29, basisfuncties L 29,j, foutvergrotingsfunctie foutvergrotings factor is maximaal 2.7
68 2.5 x 109 interpolatie van graad 39, basisfuncties L 39,j, foutvergrotingsfunctie foutvergrotings factor is maximaal 2.38e+009
69 6 interpolatie van graad 39, basisfuncties L 39,j, foutvergrotingsfunctie foutvergrotings factor is maximaal 3.27
70 10 interpolatie van graad 39, basisfuncties L 39,j, foutvergrotingsfunctie foutvergrotings factor is maximaal 2.88
71 Effecten van (afrond)fouten in f-waarden Voorbeeld. LIp op x 0, x 1, x 2, x 3 : x i x j voor i j. Op volgende pagina s: grafieken L j en j L j (x) ( ) Voor verschillende k en voor x j = cos(π j+0.5) k+1
72 12 interpolatie van graad 99, basisfuncties L 99,j, foutvergrotingsfunctie foutvergrotings factor is maximaal 3.47
73 Conclusies. Interpoleren op een equidistante punten rij x j = 1 + 2j (j = 0,..., k) k is, vooral in rand intervallen gevoelig voor fouten op f waarden. Interpoleren op een puntenrij die zich verdicht aan de rand volgens x j = cos(π j) of x k j = cos(π j+0.5 ) (j = 0,..., k) k+1 is vrijwel ongevoelig voor fouten op f (groei ten hoogste met een factor van orde log k).
Tentamen Numerieke Wiskunde dinsdag, 28 januari 2014,
Tentamen Numerieke Wiskunde dinsdag, 8 januari 04, 3.30 6.30. Zet op ieder vel dat je inlevert je naam en op et eerste vel bovendien nog je studentnummer.. Je mag et dictaat gebruiken, de uitwerkingen
Oefenopgaven wi3097: Numerieke methoden voor differentiaalvergelijkingen
Oefenopgaven wi3097: Numerieke methoden voor differentiaalvergelijkingen 1 Introductie Taylor polynoom, floating point getal, afrondfout Orde symbool Landau 1. Laat f(x) = x 3. Bepaal het tweede orde Taylor
Opgaven bij Numerieke Wiskunde I
Opgaven bij Numerieke Wiskunde I 7 november 8 1. (a) Gegeven verschillende interpolatiepunten x, x 1, x [a, b], en getallen y, y 1, y, z 1, toon aan dat er hooguit 1 polynoom p P 3 is met p(x i ) = y i,
Inhoud college 5 Basiswiskunde Taylorpolynomen
Inhoud college 5 Basiswiskunde 4.10 Taylorpolynomen 2 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Inleiding Gegeven is een functie f met punt a in domein D f. Gezocht een eenvoudige functie, die rond punt a op f lijkt
Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H17
Hints en uitwerkingen huiswerk 013 Analyse 1 H17 Rocco van Vreumingen augustus 014 1 Inhoudsopgave 1 Hints 1 3 Hints 4 3 Hints 3 4 4 Hints 4 5 5 Hints 5 5 6 Hints 6 6 7 Hints 7 6 8 Hints 8 6 9 Hints 9
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 26 augustus 2010, , Examenzaal
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 26 augustus 2010, 14.00 17.00, Examenzaal Het gebruik van een rekenmachine en/of telefoon is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek
Overzicht Fourier-theorie
B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van
Relatieve fout, maximum relatieve fout, absolute fout en maximum absolute fout. γ < ε X X X. = γ X
2 oct 95 Inhoud foutenanalyse interpolatie, approximatie, splines FFT numerieke integratie numerieke lineaire algebra (niet te vinden in de cursus, wel kopiekes bij ig) Stelsels niet lineaire vergelijkingen
college 6: limieten en l Hôpital
126 college 6: ieten en l Hôpital In dit college herhalen we enkele belangrijke definities van ieten, en geven we belangrijke technieken om ieten van functies (eigenlijk en oneigenlijk) te bepalen. In
TW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.6, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 30 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 33 Outline 1 2 Algemeenheden Gedrag op de rand Machtreeksen
Inhoud college 4 Basiswiskunde. 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie
Inhoud college 4 Basiswiskunde 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie 2 Basiswiskunde_College_4.nb 2.6 Hogere afgeleiden De afgeleide f beschrijft
V.2 Limieten van functies
V.2 Limieten van functies Beschouw een deelverzameling D R, een functie f: D R en zij c R. We willen het gedrag van f in de buurt van c bestuderen. De functiewaarde in c is daarvoor niet belangrijk, de
Signalen en Transformaties
Signalen en Transformaties 201100109 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Complexe getallen z D a C bi We definiëren de complex
(x x 1 ) + y 1. x x k+1 x k x k+1
Les Talor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen
(x x 1 ) + y 1. x x 1 x k x x x k 1
Les Taylor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen
1. (a) Formuleer het Cauchy criterium voor de convergentie van een reeks
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 7 augustus 2015, 16:30 19:30 (20:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek
1 Interpolatie en Approximatie
1 INTERPOLATIE EN APPROXIMATIE 8 1 Interpolatie en Approximatie In dit hoofdstuk bespreken we methoden om een gegeven functie van een veranderlijke te benaderen met een (gemakkelijk berekenbare) functie
34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN
34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 1.11 Vraagstukken Vraagstuk 1.11.1 Beschouw het beginwaardeprobleem = 2x (y 1), y(0) = y 0. Los dit beginwaardeprobleem op voor y 0 R en maak een
Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H18
Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H18 Rocco van Vreumingen 29 augustus 2014 1 Inhoudsopgave 1 Hints 1 3 2 Hints 2 4 3 Hints 3 5 4 Hints 4 5 5 Hints 5 6 6 Hints 6 6 7 Hints 7 6 8 Antwoorden
Op deze manier ligt φ exact vast (als we zouden zeggen 0 φ 2π zouden we de reële getallen dubbelop hebben, en dat willen wij als wiskundigen niet).
Moddergooien n.a.v. 31 augustus Allereerst: hartelijk dank voor de vragen; als dat zo doorgaat en als jullie zo blijven komen en ook nog eens huiswerk maken, dan weet ik zeker dat ik dicht bij 100% ga
n=0 en ( f(y n ) ) ) n=0 equivalente rijen zijn.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 8 juli 2011, 14.00 17.00 Het gebruik van een rekenmachine en/of telefoon is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek Analysis I. Geef
Inleiding Analyse 2009
Inleiding Analyse 2009 Inleveropgaven A). Stel f(, y) = In (0, 0) is f niet gedefinieerd. We bestuderen y2 2 + y 4. lim f(, y). (,y) (0,0) 1. Bepaal de waarde van f(, y) op een willekeurige rechte lijn
Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2
Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van
Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt:
Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt x 0 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: f(x) f(x 0 ). Een functie f heeft een absoluut minimum f(x 1 ) in het punt x 1 Domein(f)
N3 LINEAIRE INTERPOLATIE
N3 LINEAIRE INTERPOLATIE 3.18 Inleiding Het komt vaak voor dat we slechts gedeeltelijke informatie hebben over het vloeiende verloop van een functie f en toch de waarde van de functie y = f(x) in een bepaald
TW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.10, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 23 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 46 Outline 1 2 3 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie
Opgaven Inleiding Analyse
Opgaven Inleiding Analyse E.P. van den Ban Limieten en continuïteit Opgave. (a) Bewijs direct uit de definitie van iet dat y 0 y = 0. (b) Bewijs y 0 y 3 = 0 uit de definitie van iet. (c) Bewijs y 0 y 3
maplev 2010/7/12 14:02 page 157 #159 Taylor-ontwikkelingen
maplev 200/7/2 4:02 page 57 #59 Module 2 Taylor-ontwikkelingen Onderwerp Voorkennis Expressies Zie ook Taylor-ontwikkelingen van functies van éń of meer variabelen. Taylor-ontwikkelingen. taylor, convert(expressie,polynom),
Numerieke Wiskunde M. de Jeu Mathematisch Instituut Universiteit Leiden
Numerieke Wiskunde 1 23-24 M. de Jeu Mathematisch Instituut Universiteit Leiden 21 januari 24 ii Voorwoord Dit dictaat bevat de in het collegejaar 22-23 bij het college Numerieke Wiskunde 1 behandelde
Functies van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 191512600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Maxima en minima Gegeven een functie f met domein
Complexe functies. 2.1 Benadering door veeltermen
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, Les Complexe functies Nadat we de complexe getallen hebben leren kennen, is het een voor de hand liggende vraag of hiervoor net als voor de reële getallen ook functies
Opgaven Inleiding Analyse
Opgaven Inleiding Analyse E.P. van den Ban Limieten en continuïteit Opgave. (a) Bewijs direct uit de definitie van limiet dat lim y 0 y = 0. (b) Bewijs lim y 0 y 3 = 0 uit de definitie van limiet. (c)
Aanvullingen van de Wiskunde
1ste semester 23 januari 2007 Aanvullingen van de Wiskunde 1. Gegeven zijn twee normen 1 en 2 op een vectorruimte V. Wanneer zegt men dat de 1 fijner is dan 2? Wat is dan het verband tussen convergentie
Numerieke Wiskunde. sleij101/ Samenvatting. Programma. Gerard Sleijpen
Utrect, 11 november 2014 Numerieke Wiskunde Gerard Sleijpen Kamer 504, Freudental Gebouw Tel: 030-2531732 G.L.G.Sleijpen@uu.nl Felix Beckebanze Emile Broeders Jan-Willem Buurlage ttp://www.staff.science.uu.nl/
Inleiding Analyse. Opgaven. E.P. van den Ban. c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Voorjaar 2003, herzien
Inleiding Analyse Opgaven E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Voorjaar 2003, herzien 0 1 1 Limieten en continuïteit Opgave 1.1 (a) Bewijs direct uit de definitie van limiet dat
(b) Formuleer het verband tussen f en U(P, f), en tussen f en L(P, f). Bewijs de eerste. (c) Geef de definitie van Riemann integreerbaarheid van f.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 2 juli 2015, 08:30 11:30 (12:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek Analysis
Examen Wiskundige Analyse I 1ste bach ir wet. dinsdag 5 januari Vraag 1.1. Waar of vals (1pt) Het beginvoorwaardenprobleem
Examen Wiskundige Analyse I ste bach ir wet dinsdag 5 januari 206 Vraag.. Waar of vals (pt) Het beginvoorwaardenprobleem 32x 3 y = (y ) 3, y() = 2, y () = 4 bezit een unieke oplossing, die geldig is in
Bestaat er dan toch een wortel uit 1?
Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Complexe getallen en complexe functies Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam, Open Universiteit CWI Vacantiecursus 2007 Wat zijn complexe getallen? Wat zijn
ANALYSEQUIZ Ga naar new.shakeq.com en log in met de code uvaanalyse2a
ANALYSEQUIZ 2016 Ga naar new.shakeq.com en log in met de code uvaanalyse2a WAAR OF ONWAAR: EEN SOM CONVERGEERT ALS DE TERMEN NAAR NUL GAAN. A. Waar B. Onwaar De vraag gaat open zodra u een sessie en diavoorstelling
TW2040: Complexe Functietheorie
week 4.8, maandag Faculteit EWI TU Delft Delft, 6 juni, 2016 1 / 33 Outline 1 Maximum-modulusprincipe Lemma van Schwarz 2 2 / 33 Maximum-modulusprincipe Lemma van Schwarz Maximum-modulusprincipe Stelling
Tuyaux 3de Bachelor Wiskunde WINAK
Tuyaux 3de Bachelor Wiskunde WINAK Eerste Semester 2011-2012 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Maattheorie 3 2.1 Theorie....................................... 3 2.2 Oefeningen.....................................
V.4 Eigenschappen van continue functies
V.4 Eigenschappen van continue functies We bestuderen een paar belangrijke stellingen over continue functies. Maxima en minima De stelling over continue functies die we in deze paragraaf bewijzen zegt
Numerieke Analyse - Week 03
Numerieke Analyse - Week 3 Jan Brandts Woensdag 21 september 211 1. Samenvatting en opgaven We zoeken een polynoom p P k (I) waarvan de functiewaarden in k + 1 verscillende punten x,..., x k I overeenstemmen
168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN
168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN 5.7 Vraagstukken Vraagstuk 5.7.1 Beschouw de differentiaalvergelijking d2 y d 2 = 2 y. (i) Schrijf y = a k k. Geef een recurrente betrekking voor de coëfficienten a
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij
Hoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen
Hoofdstuk 9 Vectorruimten 9.1 Scalairen In de lineaire algebra tot nu toe, hebben we steeds met reële getallen als coëfficienten gewerkt. Niets houdt ons tegen om ook matrices, lineaire vergelijkingen
Iterative methoden voor lineaire vergelijkingen. Scientific Computing. sleij101/ Program
WISB356, Utrecht, 2 otober 2012 Scientific Computing WISB356, Utrecht, 2 otober 2012 Iterative methoden voor lineaire vergelijingen Gerard Sleijpen Rob Bisseling Alessandro Sbrizzi Department of Mathematics
Doe de noodzakelijke berekeningen met de hand; gebruik Maple ter controle.
De n-de term van de numerieke rij (t n ) (met n = 0,, 2,...) is het rekenkundig gemiddelde van zijn twee voorgangers. (a) Bepaal het Z-beeld F van deze numerieke rij en het bijhorende convergentiegebied.
6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1
WIS6 1 6 Complexe getallen 6.1 Definitie Rekenen met paren De vergelijking x 2 + 1 = 0 heeft geen oplossing in de verzameling R der reële getallen (vierkantsvergelijking met negatieve discriminant). We
Hoofdstuk 11: Randwaardeproblemen en Sturm-Liouville theorie
Hoofdstuk : Randwaardeproblemen en Sturm-Liouville theorie.. Tweepunts randwaardeproblemen. Bij het oplossen van partiële differentiaalvergelijkingen met behulp van de methode van scheiden van variabelen
4051CALC1Y Calculus 1
4051CALC1Y Calculus 1 College 16 13 oktober 2014 1 Programma Vanmorgen Linearisering (4.2) Taylorpolynomen (10.4) Vanmiddag Fout Taylorpolynomen (10.4) 2 Toenamen Δx en Δy f(x + Δx) y = f(x) Δy = f x +
Ter Leering ende Vermaeck
Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel
Steunpunt TU/e-Fontys
Steunpunt TU/e-Fontys Activiteiten en ervaringen 5 Hans Sterk (sterk@win.tue.nl) Where innovation starts Inhoud 2/17 Steunpunt Wiskunde D Cursussen voor docenten Complexe getallen (Analytische) Meetkunde
Functies van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 191512600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Bekijken we de volgende vergelijking: x 2 C Œf.x/
Oefeningen Numerieke Wiskunde
Oefeningen Numerieke Wiskunde Oefenzitting 2: Foutenanalyse, Conditie en Stabiliteit Vereiste voorkennis Foutenanalyse van de som De begrippen conditie en stabiliteit 1 Oefeningen 1.1 Foutenanalyse van
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Examen Complexe Analyse (September 2008)
Examen Complexe Analyse (September 2008) De examenvragen vind je op het einde van dit documentje. Omdat het hier over weinig studenten gaat, heb ik geen puntenverdeling meegegeven. Vraag. Je had eerst
1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen
1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen 1.1 Algemene begrippen Een (gewone) differentiaalvergelijking heeft naast de onafhankelijke veranderlijke (bijvoorbeeld genoteerd als x), eveneens een onbekende functie
1E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE
E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE Uiterste inleverdatum dinsdag oktober, voor het begin van het college N.B. Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven. Je moet het huiswerk
WI1708TH Analyse 3. College 2 12 februari Challenge the future
WI1708TH Analyse 3 College 2 12 februari 2015 1 Programma Vandaag Partiële afgeleiden (14.3) Hogere orde partiële afgeleiden (14.3) Partiële differentiaal vergelijkingen (14.3) 2 Functies van twee variabelen
Convexe Analyse en Optimalisering
Convexe Analyse en Optimalisering Bernd Heidergott Vrije Universiteit Amsterdam en Tinbergen Institute WEB: http://staff.feweb.vu.nl/bheidergott Overzicht Literatuur Calculus, a complete course, Robert
Dit is in feite de ongelijkheid van Cauchy Schwarz voor het standaardinproduct in R s van de vectoren
Dit is in feite de ongelijkheid van Cauchy Schwarz voor het standaardinproduct in R s van de vectoren a = (a 1,..., a s ) en b = (b 1,..., b s ). Toepassing van deze Cauchy Schwarz-ongelijkheid levert
Numerieke Methodes in de Algebra. Prof. Dr. Guido Vanden Berghe
Numerieke Methodes in de Algebra Prof. Dr. Guido Vanden Berghe Chapter 5 Veelterminterpolatie Doelstelling De studie van de interpolatietheorie gebeurt meestal in functie van de verdere toepassingen ervan
Complexe e-macht en complexe polynomen
Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten
Wiskunde curriculum voor Bachelor fase N
Wiskunde curriculum voor Bachelor fase N 1. Inleiding wiskunde (5 sp, kwartiel 1.1) - Rekenvaardigheden: algebraïsche rekenvaardigheden, differentiëren, integreren, goniometrie, functie onderzoek etc (herhaling
Modellen en Simulatie Populatiegroei
Utrecht, 26 april 213 Modellen en Simulatie Populatiegroei Program Populatie groei van één soort, recursies Evenwichtspunten Periodieke banen Bifurcatie Chaos Catastrofe Gerard Sleijpen Department of Mathematics
1. (a) Gegeven z = 2 2i, w = 1 i 3. Bereken z w. (b) Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan z 3 8i = 0.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP003B 4 november 04,.30 5.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en
Infi A oefententamen ψ
Infi A oefententamen ψ Aanwijzingen Motiveer alle antwoorden. Werk rustig, netjes en duidelijk. Zorg dat je uitwerking maar één interpretatie toelaat. Alle informatie op dit opgavenblad mag bij alle (deel)opgaven
Z.O.Z. Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 16 juni 2016, 12:30 15:30 (16:30)
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 16 juni 016, 1:30 15:30 (16:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van aantekeningen
maplev 2010/7/12 14:02 page 277 #279
maplev /7/ 4: page 77 #79 Module 8 Benaderende en interpolerende functies Onderwerp Voorkennis Expressies Bibliotheken Bestanden Zie ook Continue en differentieerbare functies door gegeven punten; kleinste
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Calculus C (2WCB1) op zaterdag 25 januari 2014, 9:00 12:00 uur
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Calculus C (WCB) op zaterdag 5 januari 04, 9:00 :00 uur Maak dit vel los van de rest van het tentamen. Vul uw naam etc. in op
Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A
Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat
Hoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen
Hoofdstuk : Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen Partiële differentiaalvergelijkingen zijn vergelijkingen waarin een onbekende functie van twee of meer variabelen en z n partiële afgeleide(n)
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Functietheorie (2Y480) op 23 januari 2002,
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functietheorie (2Y8) op 23 januari 22, 9.-2. uur De uitwerkingen der opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk
Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde
Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde 3 voor B. Functies van twee variabelen.. Een functie fx, y) van twee variabelen kan analoog aan een functie van één variabele in Maple
Bijzondere getallen. Oneindig (als getal) TomVerhoeff. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica
Bijzondere getallen Oneindig (als getal) TomVerhoeff Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica T.Verhoeff@TUE.NL http://www.win.tue.nl/~wstomv/ Oneindig ... Oneindig 2 Top tien
WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS. deel 1 LOTHAR PAPULA. 2e druk > ACADEMIC SERVICE
WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS deel 1 LOTHAR PAPULA 2e druk > ACADEMIC SERVICE inhoud 1 Algemene grondbegrippen 1 1.1 Enkele basisbegrippen in de verzamelingenleer 1 1.1.1 Definitieenbeschrijvingvaneenverzameling
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 2013,
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 013, 8.30 11.30 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Discrete Wiskunde, College 7. Han Hoogeveen, Utrecht University
Discrete Wiskunde, College 7 Han Hoogeveen, Utrecht University Sommatiefactor methode (niet in boek) Doel: oplossen van RBs als Basisidee: f n a n = g n a n 1 + c n ; 1 Vermenigvuldig de RB met een factor
Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.
Tentamen Lineaire Algebra donderdag 29 januari 205, 9.00-2.00 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken.
Wetenschappelijk Rekenen
Wetenschappelijk Rekenen Eamen - Bacheloropleiding informatica Oefeningen 10 juni 2014 1. In de oefeninglessen hebben we gezien dat we de machine-epsilon bekomen bij het berekenen van ( 4 1) 1. Beschouw
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 2 oktober 200, 3.45 6.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Analyse A, deeltentamen Uitwerkingen maandag 1 november 2010, 9 11 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan
Tentamen Functies en Reeksen
Tentamen Functies en Reeksen 6 november 204, 3:30 6:30 uur Schrijf op ieder vel je naam en bovendien op het eerste vel je studentnummer, de naam van je practicumleider (Arjen Baarsma, KaYin Leung, Roy
Tentamen WISN101 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov :30 16:30
Tentamen WISN11 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov 16 13:3 16:3 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke
Vrije Universiteit Brussel Analyse I WPO Academiejaar Prof. Dr. E. Colebunders, Dr. An Gerlo, Dr. G. Sonck
Vrije Universiteit Brussel Analyse I WPO Academiejaar 2007-2008 Prof. Dr. E. Colebunders, Dr. An Gerlo, Dr. G. Sonck 5 oktober 2007 Inhoudsopgave Opgaven Afgeleiden 2 Opgaven Bepalen van Primitieven 4
. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom
8. Fouriertheorie Periodieke functies. Veel verschijnselen en processen hebben een periodiek karakter. Na een zekere tijd, de periode, komt hetzelfde patroon terug. Denk maar aan draaiende of heen en weer
Oneindig in Wiskunde & Informatica. Lezing in de reeks Oneindig 3 oktober 2007 / Studium Generale TU Delft. Tom Verhoeff
Oneindig in Wiskunde & Informatica Lezing in de reeks Oneindig 3 oktober 2007 / Studium Generale TU Delft Tom Verhoeff Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde & Informatica http://www.win.tue.nl/~wstomv/
Examenvragen Hogere Wiskunde I
1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies
Numerieke Methoden voor Differentiaalvergelijkingen
Numerieke Methoden voor Differentiaalvergelijkingen Numerieke Methoden voor Differentiaalvergelijkingen C. Vuik P. van Beek F. Vermolen J. van Kan VSSD iv VSSD Eerste druk 2006 Uitgegeven door: VSSD Leeghwaterstraat
begin van document Eindtermen vwo wiskunde B (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie
begin van document Eindtermen vwo wiskunde (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie Domein Subdomein in CE moet in SE Vaardigheden 1: Informatievaardigheden X X : Onderzoeksvaardigheden
Hoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen
Hoofdstuk : Partiële differtiaalvergelijking Fourierreeks Partiële differtiaalvergelijking zijn vergelijking waarin e onbekde functie van twee of meer variabel z n partiële afgeleide(n) voorkom. Dit in
3 Opgaven bij Hoofdstuk 3
3 Opgaven bij Hoofdstuk 3 Opgave 3. Voor k beschouwen we de functie f k : x sin(x/k). Toon aan dat f k 0 uniform op [ R, R] voor iedere R > 0. Opgave 3.2 Zij V een verzameling. Een functie f : V C heet
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 1 oktober 2008, uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Basiswiskunde, DL3, woensdag oktober 8, 9.. uur. Geef op het eerste vel met uitwerkingen aan welk programma (Schakelprogramma
I.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules.
I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situaties het begrip functie tegengekomen; vaak als een voorschrift dat aan elk getal een ander getal toevoegt, bijvoorbeeld de functie fx = x die aan elk
Numerieke Analyse. Prof. Dr. Guido Vanden Berghe
Numerieke Analyse Prof. Dr. Guido Vanden Berghe Chapter 7 Numeriek berekenen van afgeleiden Doelstelling De topics behandeld in dit hoofdstuk zullen vooral van belang zijn voor de paragrafen over randwaarde
Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:
Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van
Analyse 1 Handout limieten en continuïteit
Analyse Handout ieten en continuïteit Rogier Bos Inhoudsopgave Limieten 2. Intuïtief ieten bepalen........................ 2.2 Rekenen aan ieten........................... 4.3 Limieten als spel.............................
18.I.2010 Wiskundige Analyse I, theorie (= 60% van de punten)
8.I.00 Wiskundige Analyse I, theorie 60% van de punten) Beantwoord elk van de vragen I,II,III en IV op één van de dubbele geruite bladen. Schrijf op elk van die dubbele geruite bladen, bovenaan de eerste