Oefeningen Numerieke Wiskunde

Transcriptie

1 Oefeningen Numerieke Wiskunde Oefenzitting 2: Foutenanalyse, Conditie en Stabiliteit Vereiste voorkennis Foutenanalyse van de som De begrippen conditie en stabiliteit 1 Oefeningen 1.1 Foutenanalyse van som, product en scalair product Voer een foutenanalyse uit voor de volgende algoritmen en interpreteer: (a) som <in: a(1),a(2),...,a(n); uit: P= n i=1 a(i)> 1. S a(1) 2.1. S S+a(i) Oplossing: S S ( a(1) (n 1) + a(2) (n 1) + a(3) (n 2) a(n) )ɛ mach (b) product <in: a(1),a(2),...,a(n); uit: P= n i=1 a(i)> 1. P a(1) 2.1. P P*a(i) Oplossing: P P n i=1 a(i) (n 1)ɛ mach (c) scalair_product <in: a(1),a(2),...,a(n); b(1),b(2),...,b(n); uit: SP= n i=1 a(i)b(i)> 1. SP a(i)*b(1) 2.1. SP SP+(a(i)*b(i)) Oplossing: SP SP ( a(1)b(1) n + a(2)b(2) n + a(3)b(3) (n 1) a(n)b(n) 2)ɛ mach. 1.2 Foutenanalyse voor de evaluatie van een veelterm Maak voor elk van de volgende algoritmen een foutenanalyse en bereken ook telkens de hoeveelheid rekenwerk. Vergelijk de verschillende algoritmen. (a) Achterwaartse evaluatie: V = a(n)x n + a(n 1)x n a(1)x 1 + a(0) eval1 <in: a(n),a(n-1),...,a(0),x; uit: V> 1. V a(n)*x n 2. voor i=n-1:-1:0, 2.1. V V+a(i)*x i 1

2 Oplossing: { V V ( a(n)x n 2n + a(n 1)x n 1 (2n 1) + a(n 2)x n 2 (2n 3) a(0) ) ɛ mach n(n+1) 2 V + n O (b) Horner V = (... ((a(n)x + a(n 1))x + a(n 2))x +...)x + a(0) eval2 <in: a(n),a(n-1),...,a(0),x; uit: V> 1. V a(n) 2. voor i=n-1:-1:0, 2.1. V V*x+a(i) Oplossing: { V V ( a(n)x n 2n + a(n 1)x n 1 (2n 1) + a(n 2)x n 2 (2n 3) a(0) ) ɛ mach n V + n O (c) Voorwaartse evaluatie V = a(0) + a(1)x a(n)x n eval3 <in: a(0),a(1),...,a(n),x; uit: V> 1. p(0) x 2. V a(0) 3. voor i=1:n, 2.1. V V+(a(i)*p(i-1)) 2.2. p(i) x*p(i-1) Oplossing: { V V [ n a(0) + (n + 1)( a(1)x + a(2)x a(n)x n ] ɛ mach 2n V + n O 1.3 Het sommatie-algoritme van Kahan Probeer aan de hand van de volgende schematische voorstelling van het algoritme van Kahan (cursus pag. 25) te achterhalen wat het achterliggende idee is. S + T Y l T S Y l Y l = C, correctieterm 1.4 Conditie en stabiliteit van een functie-evaluatie Vooraleer we aan de oefening beginnen, nog even opfrissen wat conditie en stabiliteit betekenen: 2

3 Conditie is iets wat te maken heeft met het probleem zelf, niet met de manier waarop je het oplost (algoritme). Als je kleine perturbaties aanbrengt op de gegevens en je krijgt grote (absolute of relatieve) perturbaties op de uitkomst, dan heb je een slechte (absolute of relatieve) conditie. Stabiliteit is iets wat te maken heeft, met de manier waarop je het probleem oplost (algoritme). Een probleem kan met verschillende algoritmen worden opgelost en elk van die algoritmen kan een goede of slechte benadering van de oplossing geven. Je kan onderscheid maken tussen 3 soorten stabiliteit: Voorwaartse of sterke stabiliteit heb je als je met de exacte gegevens als invoer een uitvoer krijgt die (absoluut of relatief) weinig verschilt met de exacte uitkomst. Zwakke stabiliteit doordat ook de conditie een grote rol speelt of een uitvoer goed of slecht zal zijn (een slechte conditie zorgt er immers voor dat kleine perturbaties op de gegevens, grote gevolgen op de uitkomst kunnen hebben) zullen we de conditie mee in rekening brengen. De verhouding van de sterke stabiliteit met het conditiegetal (is hetzelfde bij absoluut en relatief) is de zwakke stabiliteit. Achterwaartste stabiliteit. Met de exacte gegevens bereken je de uitkomst met het algoritme (en dus krijg je niet de exacte uitkomst) en je zoekt naar de exacte gegevens die bij deze berekende uitkomst horen. Het verschil van deze gegevens en de exacte gegevens (in verhouding tot de grootte van de gegevens en ɛ mach ) is de achterwaartse stabiliteit. (a) Onderzoek de conditie van de functie f(x) = 1 + 2x x. Ga na waar δ cy en c y het grootst zijn, teken de functie en interpreteer je resultaat. (b) Onderzoek de stabiliteit t.o.v. de relatieve fout voor de volgende twee algoritmen die f(x) berekenen: eval_1 <in: x; uit: y> 1. y 2*x 2. y 1+y 3. z 1+x 4. z 1/z 5. y y-z eval_2 <in: x; uit: y> 1. y 2*x 2. y 3+y 3. y y*x 4. z 1+x 5. y y/z Oplossing: c y = ( ) (1+x) x, δ 2 c y = 2 Extra Oefeningen 2.1 Rare optelling 3+4x+2x2 (1+x)(3+2x) δx Zij b = 10, p = 10, M = , en beschouw de volgende rij getallen [1, M, 2M, 3M]. Wordt het nauwkeurigste resultaat bekomen als je deze rij optelt van voor naar achter of van achter naar voor? Is dit consistent met wat je bekwam in oefening 1? 3

4 2.2 Intervallen In numerieke methoden voor kwadratuur en het oplossen van differentiaalvergelijkingen maakt men vaak gebruik van equidistante punten in een interval [a, b], i.e. x i = a + ih, i = 0... n met h = (b a)/n. Vergelijk de volgende 2 methoden om x i te berekenen: 1. x i = x i 1 + h (x 0 = a) 2. x i = a + ih In tegenstelling tot wat je zou vermoeden wordt methode 1 nog regelmatig gebruikt in bijvoorbeeld Runge- Kutta-methoden met vaste staplengte. Geen van beide methoden garandeert dat x n = b, wat van belang kan zijn bij het oplossen van differentiaalvergelijkingen. Zoek zelf een uitdrukking voor x i zodat zeker x n = b. 2.3 Hornerschema Zij p(x) = a 0 + a 1 x a n x n met n = 2m. Als men y = x 2 stelt kan men p(x) herschrijven als p(x) = (a 0 + a 2 y a 2m y m ) + x(a 1 + a 3 y a 2m 1 y m 1 ) Voer een foutenanalyse uit voor deze evaluatie van p(x) als je voor elk van de twee delen Horner gebruikt. 2.4 Berekenen van ex 1 x Beschouw de volgende 2 algoritmen om f(x) = (e x 1)/x te berekenen: exp_1 <in: x; uit: f(x)> 1. if (x=0) f 1 f (exp(x)-1)/x end exp_2 <in: x; uit: f(x)> 1. y exp(x) 2. if (y=1) f 1 f (y-1)/log(y) end In tegenstelling tot wat je waarschijnlijk vermoedt, werkt het tweede algoritme veel beter dan het eerste (probeer!). Voer een foutenanalyse uit en probeer te begrijpen wat het achterliggende fenomeen is. 2.5 Bepalen van basis en mantisse Probeer te verantwoorden waarom de algoritmen bepaal_b en bepaal_p uit oefenzitting 1, gebruikt kunnen worden voor het bepalen van de basis b en het aantal cijfers in de mantisse p van een machine. 2.6 Problemen in bepaal b en bepaal p Wat kan er mislopen in de algoritmen bepaal_b en bepaal_p als je de test (x + 1) x = 1 vervangt door x + 1 x? Beschouw het geval dat b = 2 en je werkt met afronden naar boven (in basis 2 is dit klassiek afronden). 4

5 2.7 Gegroepeerd sommeren Bereken voor het volgende algoritme de hoeveelheid rekenwerk en bewijs door inductie dat het geldt dat S S log 2 (n) ɛ mach n i=1 a(i) groep_som <in: a(1),a(2),...,a(n), onder, boven; uit: S= if boven=onder then S a(onder) 1. midden onder + floor((boven-onder+1)/2) 2. S groep_som(a,onder,midden-1)+groep_som(a,midden,boven) boven i=onder a(i)> Hint: Probeer het algoritme te vereenvoudigen door n = 2 k te stellen. Je kan immers altijd nullen toevoegen tot n een macht van 2 is. 5