Riemannsommen en integralen

Transcriptie

1 Riemannsommen en integralen MET DE TI-NSPIRE Vervangt een deel van 0. uit VWO B deel gghm EEBII 0-0

2 Inhoud Oppervlakte onder de grafiek... Ondersom... 4 Bovensom... 4 Middensom... 4 Riemannsom... 5 Riemannsom en TI-nspire... 6 Integralen en TI-nspire... 8 Antwoorden... 9

3 Oppervlakte onder de grafiek. We kijken naar de oppervlakte die zich onder de grafiek van een functie bevindt. Als voorbeeld nemen we een eenvoudig functie: f ( x) = 5 x De grafiek heeft nulpunten ( 5, 0) en (5, 0) en maximum (0, 5). We kijken naar de oppervlakte die wordt ingesloten door de positieve X-as, de positieve Y-as en de grafiek van f ( x ). Zie de afbeelding hiernaast. De exacte waarde van de oppervlakte is 8. We kunnen de gevraagde oppervlakte benaderen door onder de grafiek rechthoekjes te tekenen (van gelijke breedte). In ons voorbeeld nemen we rechthoeken met een breedte van 0,5. We kunnen zo dus 0 rechthoekjes tekenen binnen het interval [0, 5]. Zie afbeelding hiernaast. Vraag : In de afbeelding zie je slechts 9 rechthoekjes. Waarom?? De som van de oppervlakten van deze rechthoekjes is een benadering van de werkelijke oppervlakte. De breedte van de rechthoekjes ligt vast doordat we het totale aantal rechthoekjes op het hele interval gekozen hebben. De hoogte van elk rechthoekje is de functiewaarde die hoort bij de rechtergrens van elk rechthoekje. Zo is bijvoorbeeld de hoogte van het derde rechthoekje gelijk aan f ( ). Vraag : Bereken de som van de oppervlakten van de rechthoekjes op één decimaal nauwkeurig.

4 Ondersom De benaderde waarde van de oppervlakte is kleiner dan de werkelijke oppervlakte. De rechthoekjes zijn immers steeds onder de grafiek getekend. De som van rechthoekjes onder de grafiek noemen we de ondersom. De rechthoekjes zitten allemaal onder de grafiek omdat we ervoor gekozen hebben steeds de functiewaarde te berekenen die hoort bij de rechtergrens van een rechthoekje. Bovensom We kunnen er ook voor kiezen om de rechthoekjes boven de grafiek uit te laten komen door te kiezen voor de linkergrens van een rechthoekje. De rechthoekjes komen dan boven de grafiek te liggen. De som die dan ontstaat noemen we de bovensom. Vraag : Is het altijd zo dat bij de rechtergrens een ondersom hoort en bij de linkergrens een bovensom? Zo ja, waarom? Zo nee, wanneer dan een bovensom en wanneer een ondersom? Middensom Het ligt voor de hand; je kunt ook een middensom berekenen. In dit geval bereken je bij elk rechthoekje de functiewaarde precies in het midden van het rechthoekje. Meestal is dit de meest nauwkeurige benadering van de oppervlakte onder de grafiek. 4

5 Riemannsom Riemann was de uitvinder van deze manier om de oppervlakte onder een grafiek te benaderen. Daarom noemen we benaderingen van een oppervlakte onder de grafiek m.b.v. rechthoekjes een Riemannsom. Een bovensom, ondersom en middensom zijn dus voorbeelden van Riemannsommen. We bekijken Riemannsommen even wat abstracter. We benaderen de oppervlakte onder de grafiek van functie f tussen het punt met x = a tot en met het punt met x = b. We verdelen het interval [a, b] in n rechthoekjes. Elk rechthoekje heeft dan een breedte b a Δ x = n Dan is bij een stijgende grafiek de bovensom gelijk aan n k = f ( a+ kδx) Vraag 4: Geef een gelijksoortige formule voor de ondersom bij een stijgende grafiek. Vraag 5: Geef ook een uitdrukking voor de middensom. Moet je hier onderscheid maken tussen stijgende en dalende grafieken? 5

6 Riemannsom en TI-nspire Een Riemannsom is dus eigenlijk niets anders dan een sommatie van oppervlakten. Dit is met de TI-nspire makkelijk te berekenen (in tegenstelling tot voorgaande grafische rekenmachines). Als voorbeeld nemen we weer de functie f ( x) = 5 x en we benaderen de oppervlakte op het interval [0, 5]. We nemen n = 50 zodat Δx = 0, De ondersom berekenen we met De grafiek is immers dalend. n k = f ( a+ k) Gebruik de sjabloon onder de t toets. De ondersom is 8,08 De bovensom met geeft 84,58 n f ( a+ k) De middensom met (ga dit na!) geeft 8,4 n f ( a+ Δ x+ k) De middensom is het nauwkeurigst. 6

7 Vraag 6: Gegeven is de functie f ( x) = 8 x. Het vlakdeel V wordt ingesloten door de grafiek van f, de Y-as en de positieve X-as. Bepaal met een Riemannsom een benadering van de oppervlakte van V. Neem Δx = 0,4. Vraag 7: Gegeven is de functie f( x) = x+ 6. Het vlakdeel V wordt ingesloten door de grafiek van f, de Y-as en de negatieve X-as. Bereken m.b.v. onder- en bovensom tussen welke grenzen de oppervlakte van V ligt. 7

8 Integraal en TI-nspire Het berekenen van een Riemannsom is een benadering van de oppervlakte onder een grafiek. Het is een numerieke methode die, sinds de intrede van de computer, weer vaker gebruikt wordt. Realiseer je goed dat een oppervlakte van bijvoorbeeld benadert zal worden met e iets van Waanzinnig nauwkeurig maar niet exact! Hoe zou je nu de exacte waarde kunnen berekenen? Jawel, met een limiet! Als we Δx naar 0 laten naderen dan wordt de uitkomst van een Riemannsom steeds nauwkeuriger! n lim ( + Δ ) Δ Δ x 0 f a k x x geeft een exact resultaat. b De bovenstaande limiet wordt genoteerd als een integraal: f ( xdx ) Het berekenen van zo n integraal noemt men integreren. De CAS versie van de TI-nspire kan vele integralen algebraïsch berekenen. Voorbeeld: Gegeven is de functie f ( x) = e x Gevraagd is de oppervlakte van het vlakdeel dat ingesloten wordt door de X-as, de Y-as en de grafiek van f(x). Uitwerking: Gevraagd: a) Benader de oppervlakte van het vlakdeel met een middensom. Neem Δx = 0,0 b) Bereken de integraal van 0 tot van f(x) dx b a 0 n = = = 00 Δx 0,0 a) b) 99 x 0 e f(0 + 0,005 + k 0,0) 0,0 6,8 dx= 0,6 e a Ga nu verder met opdracht 7 van hoofdstuk 0 van het boek VWO B deel 8

9 Antwoorden Vraag De hoogte van het 0 e rechthoekje is 0 want f(5) = 0 Vraag Vraag De som is: 0,5 f(0,5) + 0,5 f() + 0,5 f(,5) ,5 f(4,5) + 0,5 f(5) = 0,5 4, , ,5, ,5 4, ,5 0 66,88 Het is niet altijd zo dat bij de rechtergrens een ondersom hoort. Dit is alleen zo bij een dalende grafiek. Bij een stijgende grafiek krijg je een ondersom als je de linkergrens van een rechthoekje neemt. Vraag 4 Bij een stijgende grafiek is de ondersom gelijk aan n f ( a+ kδx) Vraag 5 Vraag 6 Bij zowel een stijgende als dalende grafiek is de middensom n of n k = f ( a+ Δ x+ kδx) f ( a Δ x+ kδx) Grafiek schetsen en vlakdeel bepalen. nulpunt berekenen : 8 x = 0 dus x = nulpunt (, 0) n = : 0,4 = 5 ondersom: = 0,4 bovensom: middensom: 4 (8 (0 + k 0, 4) ) 0, 4 =,44 4 (8 ( k 0, 4) ) 0, 4 =,08 Vraag 7 nulpunt bij (, 0) ondersom: bovensom: 5 ( ( + k 0,5) + 6 0,5) 4,9 6 ( ( + k 0,5) + 6 0,5) 5,46 k = Dus 4,9 4,9 opp 5, 46 9