4051CALC1Y Calculus 1

Transcriptie

1 4051CALC1Y Calculus 1 College oktober

2 Programma Vanmorgen Linearisering (4.2) Taylorpolynomen (10.4) Vanmiddag Fout Taylorpolynomen (10.4) 2

3 Toenamen Δx en Δy f(x + Δx) y = f(x) Δy = f x + Δx f x Δy f(x) Δx x x + Δx 3

4 Toenamen Δx en Δy y + Δy y + dy y y = f(x) Δy dy Δx Δy = f x + Δx dy = f x Δx f x f x + Δx = y + Δy y + dy = f x + f x Δx x x + Δx 4

5 Linearisering Definitie f x + Δx f x + f x Δx x = a f a + Δx f a + f a Δx Δx = x a f x f a + f (a)(x a) De lineaire benadering L(x) voor de functie f(x) in de buurt van x = a wordt gegeven door L x = f a + f a (x a) 5

6 Linearisering Definitie De lineaire benadering L(x) voor de functie f(x) rond x = a wordt gegeven door L x = f a + f a (x a). Voorbeeld Bepaal de lineaire benadering voor f x = 1 + x rond a = 0. f x = 1, x, L x = x 1 10 = 1,05 1, = 2 6

7 Linearisering Definitie De lineaire benadering L(x) voor de functie f(x) rond x = a wordt gegeven door L x = f a + f a (x a). Oefening Bepaal de lineaire benadering voor f x = e x rond a = 0. f x = e x, L x = 1 x 7

8 Linearisering Definitie De lineaire benadering L(x) voor de functie f(x) rond x = a wordt gegeven door L x = f a + f a (x a). Voorbeeld Benader Merk op dat = 25. Dus bepaal lineaire benadering voor f x = x 2 3 rond a = 125. f x = 2 3 x 1 3, f 125 = = 2 15 L x = x 125, L 122 = = 24,

9 Linearisering Definitie De lineaire benadering L(x) voor de functie f(x) rond x = a wordt gegeven door L x = f a + f a (x a). Oefening Benader 80. Merk op dat 81 = 9. Dus bepaal lineaire benadering voor f x = x rond a = 81. f x = 1 2 x, L x = L 80 = = x 81 9

10 Opgaven maken Hoofdstuk 4.2 Opgaven: 17, 19, 23, 25, 27, 33 10

11 Polynomiale benadering Definitie De lineaire benadering L(x) voor de functie f(x) rond x = a wordt gegeven door L x = f a + f a (x a). De functie L(x) is een 1 e graads polynoom, oftewel Hiervoor geldt P 1 x = f a + f a x a. P 1 a = f a, P 1 a = f a. 11

12 Polynomiale benadering Voorbeeld Functie f x = ln x en a = 1. Dan f x = 1/x dus f 1 = 0 en f 1 = 1. Hieruit volgt dat P 1 x = x 1. Voor x = 1,1 geldt P 1 1,1 = 0,1 ln 1,1 en ln 1,1 0,0953 Dus de fout is ongeveer 5%. 12

13 Polynomiale benadering Voorbeeld Een 2 de graads polynoom P 2 x = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 geeft een betere benadering. Daarvoor moet gelden dat P 2 a = f a, P 2 a = f a, P 2 a = f (a) Voor f x = ln x geldt f x = 1/x 2. Dus P 2 1 = c 0 + c 1 + c 2 = 0, P 2 1 = c 1 + 2c 2 = 1, P 2 1 = 2c 2 = 1 Hieruit volgt c 2 = 1/2, c 1 = 2 en c 0 = 1,5. Oftewel, P 2 x = x 1 2 x2 13

14 Polynomiale benadering Voorbeeld Voor x = 1,1 geldt P 1 1,1 = 0,1 ln 1,1 en ln 1,1 0,0953 Dus de fout is ongeveer 5%. Voor de 2 de graads polynoom geldt P 2 1,1 = 0,095 ln 1,1 Dus de fout is minder dan 1%. 14

15 Polynomiale benadering Vervolg Voor een n de graads polynoom P n x moet dus gelden = c 0 + c 1 x + c 2 x c n x n P n a = f a P n a = f a P n a = f a P n n a = f n (a) 15

16 De n de graads Taylor polynoom Stelling Gegeven dat de eerste n afgeleiden van f(x) bestaan in x = a dan wordt de n de graads Taylor polynoom P n x gegeven door P n x = n k=0 f k k! a x a k = f a + f a x a + f a 2! x a f n a n! x a n 16

17 De n de graads Taylor polynoom P n x = n k=0 f k k! a x a k Voorbeeld Bepaal de n de graads Taylor polynoom voor f x = ln x in a = 1. f x = 1 x, f x = 1 x 2, f 3 x = 2 x 3, f 4 x = 3! x 4, f 5 x = 4! f k x = 1 k 1 k 1! x k voor k 1 x 5 Dus P n x = x x x n 1 n x 1 n 17

18 De n de graads Taylor polynoom P n x = n k=0 f k k! a x a k Oefening Bepaal de n de graads Taylor polynoom voor f x = e x in a = 0. Dus f k x = e x, f k 0 = 1 P n x = 1 + x + x2 2! + x3 3! + + xn n! 18

19 De n de graads Taylor polynoom Voorbeeld De n de graads Taylor polynoom voor f x = e x in a = 0 is P n x = 1 + x + x2 2! + x3 3! + + xn n!. x = 0,1 n P n (x) e x e x P n (x) 0 1, , , , , , , , , , , , , , ,00000 x = 0,5 n P n (x) e x e x P n (x) 0 1, , , , , , , , , , , , , , ,

20 De n de graads Taylor polynoom Bepaling fout De benaderingsfout van polynoom P n (x) wordt gegeven door R n x = f x P n x. R n (x) wordt ook wel de restterm in het punt x = a genoemd. Er geldt f x = P n x + R n x. 20

21 Stelling van Taylor Stelling Gegeven dat de eerste n + 1 afgeleiden van f(x) bestaan voor het interval a, x dan f x = f a + f a x a + f a x a 2 + f 3 a 2! 3! n n+1 f a + x a n f z + x a n+1 n! n + 1! x a 3 + met a < z < x. De restterm R n (x) wordt dus gegeven door f n+1 z n + 1! x a n+1 21

22 Stelling van Taylor De restterm R n (x) wordt dus gegeven door f n+1 z n + 1! x a n+1 Voorbeeld Voor f x = ln x in a = 1 geldt f k x = 1 k 1 k 1! x k Dus R n x = 1 n n+1 z n+1 x 1 n+1 met 1 < z < x. 22

23 Stelling van Taylor De restterm R n (x) wordt dus gegeven door f n+1 z n + 1! x a n+1 Oefening Bepaal de restterm R n (x) voor f x = e x in a = 0. Er geldt Dus f k x = e x R n x = ez n+1! xn+1 met 0 < z < x. 23

24 Opgaven maken Hoofdstuk 4.2 Opgaven: 17, 19, 23, 25, 27, 33 Hoofdstuk 10.4 Opgaven: 1, 3, 5, 6, 11, 13, 14 24