Mathematical Modelling
|
|
- Renske Pieters
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date:
2 Overzicht 1 Inleiding 2
3 Overzicht 1 Inleiding 2
4 Bijeenkomsten Vrijdagmiddagen: 13:45 17:30 (tijden in benadering) 13:45-14:15: nabespreken huiswerk 14:15-15:15: nieuwe stof met gebruikelijke zelfwerkzaamheid tussendoor van vijfminutenvragen 15:15-15:30: pauze 15:30-17:00: sommen maken (hulp van Ellen, Maarten) 17:00-17:30: huiswerk maken (onder begeleiding) andere dag, één dagdeel: huiswerk zelf afmaken (inleveren op zijn laatst; direct afspreken met Ellen en Maarten) Dit is de eerste keer dat ik dit vak geef, dus timing is mogelijk niet altijd perfect...
5 Materiaal Materiaal bestaat uit (Deze) sheets op teletop Boek van Saff en Snider met véél sommen daaruit (misschien wat wiskundiger dan James, minder plaatjes en zo) Allen die al een (oud) boek hebben: ik doe mijn best om de link te leggen Teletop is het medium om dit soort info door te geven; daar komen in ieder geval alle sommen/huiswerk te staan (digitaal); scouts honor!
6 Beoordeling Doel 1 mijnerzijds: iedereen moet het halen die zijn huiswerk (zelf) maakt Doel 1 jullierzijds: huiswerk helpt je cijfer omhoog EN het helpt je bij het mken van het tentamen C final = min (10, C tentamen + 25 max ( C huiswerk 5, 0 )) Deze bonus wordt gehalveerd al je het echte tentamen niet haalt; dus bij de herkansing geldt... C final = min (10, C hertentamen + 15 max ( C huiswerk 5, 0 ))...elke poging daarna: C final = C herhertentamen
7 Overzicht 1 Inleiding 2
8 Getallen Een test op historisch perspectief: zet de leeftijd bij de volgende ontdekkingen N, gehele getallen: 1,2,3,... 0 Z, negatieve getallen: -1,-2,... Q, breuken: 1 3, 2 27 R, reële getalen: π = C, i = 1:...?...
9 Getallen Een test op historisch perspectief: zet de leeftijd bij de volgende ontdekkingen N, gehele getallen: 1,2,3, jaar, Afrika 0 Z, negatieve getallen: -1,-2,... Q, breuken: 1 3, 2 27 R, reële getalen: π = C, i = 1:...?...
10 Getallen Een test op historisch perspectief: zet de leeftijd bij de volgende ontdekkingen N, gehele getallen: 1,2,3, jaar, Afrika jaar, India Z, negatieve getallen: -1,-2,... Q, breuken: 1 3, 2 27 R, reële getalen: π = C, i = 1:...?...
11 Getallen Een test op historisch perspectief: zet de leeftijd bij de volgende ontdekkingen N, gehele getallen: 1,2,3, jaar, Afrika jaar, India Z, negatieve getallen: -1,-2, jaar, China Q, breuken: 1 3, 2 27 R, reële getalen: π = C, i = 1:...?...
12 Getallen Een test op historisch perspectief: zet de leeftijd bij de volgende ontdekkingen N, gehele getallen: 1,2,3, jaar, Afrika jaar, India Z, negatieve getallen: -1,-2, jaar, China Q, breuken: 1 3, jaar, Egypte R, reële getalen: π = C, i = 1:...?...
13 Getallen Een test op historisch perspectief: zet de leeftijd bij de volgende ontdekkingen N, gehele getallen: 1,2,3, jaar, Afrika jaar, India Z, negatieve getallen: -1,-2, jaar, China Q, breuken: 1 3, jaar, Egypte R, reële getalen: π = jaar, Egypte C, i = 1:...?...
14 Getallen Een test op historisch perspectief: zet de leeftijd bij de volgende ontdekkingen N, gehele getallen: 1,2,3, jaar, Afrika jaar, India Z, negatieve getallen: -1,-2, jaar, China Q, breuken: 1 3, jaar, Egypte R, reële getalen: π = jaar, Egypte C, i = 1: 500 jaar, Rafael Bombelli, Italië...?...
15 Rekenen Getallen kun je optellen: natuurlijke getallen Aftrekken: nul en negatieve getallen Delen: breuken zijn nodig 2: reële getallen (waarom?) 1: complexe getallen
16 Rekenen Optellen: a + b = b + a
17 Rekenen Optellen: Niet zonneklaar dat dat zo is a + b = b + a
18 Rekenen Optellen: a + b = b + a Niet zonneklaar dat dat zo is Vermenigvuldigen a b = b a
19 Rekenen Optellen: a + b = b + a Niet zonneklaar dat dat zo is Vermenigvuldigen a b = b a Niet zonneklaar dat dat zo is: voor matrices geldt dit niet!
20 Rekenen met complexe getallen Complex getal: standaardvorm x C x = a + b i met a, b R. We schrijven ook: a = Re(x), b = Im(x). Optellen (a + b i ) + (c + d i ) = (a + c) + (b + d) i Aftrekken (a + b i ) (c + d i ) = (a c) + (b d) i
21 Rekenen met complexe getallen Vermenigvuldigen (a + b i ) (c + d i ) = ac + ad i + b i c + b i d i Delen (met een truc): a + i b c + i d = = ac + ad i + bc i bd = (ac bd) + (ad + bc) i ( ) ( ) a + b i c d i c + d i c d i = (ac + bd) + (bc ad) i c 2 + d 2
22 Rekenen met complexe getallen Vermenigvuldigen (a + b i ) (c + d i ) = ac + ad i + b i c + b i d i Delen (met een truc): a + i b c + i d = = Niets uit je hoofd leren, hé! = ac + ad i + bc i bd = (ac bd) + (ad + bc) i ( ) ( ) a + b i c d i c + d i c d i (ac + bd) + (bc ad) i c 2 + d 2
23 Vijf minuten vragen NB: alle vijfminutenvragen die niet gedaan zijn tijdens college gaan naar het tweede deel van de middag. Schrijf de volgende expressies in de standaardvorm: x = (8 + i ) (5 + 2 i ), y = 2 i 1 3, z = 4 i + i 4 t = (8 + 2 i ) (1 i ) (2 + i ) 2, u = i i i 3, v = 1 i
24 Vijf minuten vragen Een weerstand R en condensator C zijn parallel geschakeld. Bereken het reële en imaginaire deel van de totale impedantie bij frequentie ω Schrijf de volgende expressies in de standaardvorm: x = i 23, y = i 403, Laat zien dat 1 + i een oplossing van de vergelijking: Wat is andere wortel? z 2 + 2z + 2 = 0
25 Vijf minuten vragen Los de volgende vergelijking volledig op naar z i C: i z 1 = 3 z 1 i, z = 0, z = 0 Schrijf de volgende vergelijking in z C uit in twee vergelijkingen in twee onbekenden a, b R waarin z = a + b i : z 3 + z i = i Bewijs dat 2 niet geschreven kan worden als breuk, zeg p q, p, q N
26 C R 2 Als z = a + b i kunnen we dit complexe getal visualiseren als punt in de R 2
27 C R 2 Als z = a + b i kunnen we dit complexe getal visualiseren als punt in de R 2
28 C R 2 Als z = a + b i kunnen we dit complexe getal visualiseren als punt in de R 2
29 C R 2 Als z = a + b i, y = c + d i kunnen we deze optellen als in de R 2
30 C R 2 Als z = a + b i kunnen we de lengte van een getal definiëren (de norm): z = a 2 + b 2
31 Vijf-minuten-vragen Bepaal alle punten z C waarvoor geldt (plaatje!!) z = 2 Bepaal alle punten z C waarvoor geldt z + 1 = z 1
32 Complex toegevoegde Als z = a + b i : complex toegevoegde : z = a b i
33 Vijf-minuten-vragen Bepaal als z = i z, z z, z z, z 2, (z) 2, (z) 2 Bepaal als w = 3 + i, z = i w z, wz, ( w z ), ( ) w, w z Valt hier iets op?
34 Vijf-minuten-vragen Bepaal als z = i z, z z, z z, z 2, (z) 2, (z) 2 Bepaal als w = 3 + i, z = i w z, wz, ( w z ), ( ) w, w z Valt hier iets op? Bijna alles mag: z z = z z, w z = wz, z 2 z z z 2 en ook (!!) z 2 = z z
35 Polaire coördinaten In R 2 zijn poolcoördinaten soms handig; zo ook hier. Er geldt r = z, tan φ = Im(z) Re(z)
36 Polaire coördinaten In C zijn poolcoördinaten soms handig: z = [ r cos φ, r sin φ ] met r = Re(z) 2 + Im(z) 2, φ = arctan(im(z)/re(z)) Weer: onthouden hoe je het uitrekent (plaatje), geen formules onthouden!
37 Vijf minuten vragen Bepaal voor een aantal complexe waarden van z het kwadraat van z; en teken elke keer deze beide vectoren in een plaatje. Wat valt je op?
38 Vijf minuten vragen Bepaal voor een aantal complexe waarden van z het kwadraat van z; en teken elke keer deze beide vectoren in een plaatje. Wat valt je op? De lengte van z 2 is het kwadraat van de lengte van z; de hoek van z is twee keer zo groot als die van z!
39 Kwadrateren In C zijn poolcoördinaten soms handig. Als dan is: z = [ r cos φ, r sin φ ] = r(cos φ + i sin φ) z 2 = r 2 (cos 2 φ sin 2 φ)+ i r 2 2 cos φ sin φ = r 2 (cos 2φ+ i sin 2φ)
40 Vermenigvuldigen Nog algemener z 1 = r 1 (cos φ 1 + i sin φ 1 ), z 2 = r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2 ) dan geldt met de zelfde gonio: z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(φ 1 + φ 2 ) + i sin(φ 1 + φ 2 ))
41 Vijf-minuten-vragen Bepaal als z 1 = i, z 2 = i bepaal y = z 1 z 2 en ga in een figuur na dat z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(φ 1 + φ 2 ) + i sin(φ 1 + φ 2 )) inderdaad klopt! Zo ook voor z 1 = 1, z 2 = 3.
42 Vijf-minuten-vraag In C zijn poolcoördinaten soms handig. Als z = [ r cos φ, r sin φ ] = r(cos φ + i sin φ) dan is: z 2 = r 2 (cos 2φ + i sin 2φ) Wat is dus (?) worteltrekken? Hoeveel wortels heeft bijvoorbeeld de vergelijking z 2 = i eigenlijk? En wat is z 3 uitgedrukt in z?
43 De belangrijkste functie (??) is de exponent-functie: f (z) = e z Voor z reeel kennen we de functie al. Een belangrijke eigenschap f (z 1 ) f (z 2 ) = e z1 e z 2
44 De belangrijkste functie (??) is de exponent-functie: f (z) = e z Voor z reeel kennen we de functie al. Een belangrijke eigenschap f (z 1 ) f (z 2 ) = e z1 e z 2 = e z 1+z 2
45 De belangrijkste functie (??) is de exponent-functie: f (z) = e z Voor z reeel kennen we de functie al. Een belangrijke eigenschap f (z 1 ) f (z 2 ) = e z1 e z 2 = e z 1+z 2 Dus als z = x + i y dan geldt f (z) = e z = e x+iy = e x e iy
46 De belangrijkste functie (??) is de exponent-functie: f (z) = e z Voor z reeel kennen we de functie al. Een belangrijke eigenschap f (z 1 ) f (z 2 ) = e z1 e z 2 = e z 1+z 2 Dus als z = x + i y dan geldt f (z) = e z = e x+iy = e x e iy Een andere belangrijke eigenschap: f (z) = e z d dz ez
47 De belangrijkste functie (??) is de exponent-functie: f (z) = e z Voor z reeel kennen we de functie al. Een belangrijke eigenschap f (z 1 ) f (z 2 ) = e z1 e z 2 = e z 1+z 2 Dus als z = x + i y dan geldt f (z) = e z = e x+iy = e x e iy Een andere belangrijke eigenschap: f (z) = e z d dz ez = e z
48 Wat is een complexe e-macht? We weten dat als z = x + i y: Dan geldt f (z) = e x+iy = e x e iy, f (z) = e z en dus, als z = i y: f (z) = e λz d dz eλz = λe λz d dz ez = e z d dy e i y = i e i y d2 dy 2 e i y = e i y Echter e i y is oplossing van de vergelijking d 2 g(y) = g(y) g(y) = A cos y + B sin y = e i y dy 2
49 Wat is een complexe e-macht? Conclusie: voor zekere A, B geldt: A cos y + B sin y = e i y Vul in y = 0: A 1 + B 0 = 1, Vul in na differentiëren, A 0 + B 1 = i ofwel en e i y = cos y + i sin y e z = e x (cos y + i sin y)
50 Wat is een complexe e-macht? Als z = x + i y (Euler, ) e z = e x (cos y + i sin y) Gevolg (en dit is veel moeilijker te bewijzen op de gewone manier, een manier die geen gebruik maakt van complexe functies): (DeMoivre, ) cos ny + i sin ny = e i ny = ( e i y) n = (cos y + i sin y) n
51 Vijf-minuten-vraag Bewijs de (allermooiste?) vergelijking in de wiskunde: e i π + 1 = 0. Daarin komen alle belangrijke getallen voor: i, e, π, 1, 0. Schrijf de volgende expressies in de standaardvorm z k = a k + b k i z 1 = e i π/4, z 2 = 2 exp(3 + i π/6), z 3 = exp(4 exp( i π/3)) z 4 = ( cos 2π 9 + i sin 2π ) 3 9, z5 = ( sin 2π 7 + i cos 2π ) 7 7
52 Vijf-minuten-vraag Gebruik de stelling van De Moivre om de volgende waarheden te bewijzen: (a) : sin 3θ = 3 cos 2 θ sin θ sin 3 θ, (b) : sin 2 θ + cos 2 θ = 1 Bereken I 1 = 2π 0 exp( i nθ) dθ Onderscheid het geval n = 0 en n 0. Bereken nu: I 2 = 2π 0 cos nθ dθ, I 3 = Onderscheid ook nu: n = 0 en n 0. 2π 0 sin nθ dθ,
53 Vijf-minuten-vraag Bereken alle oplossingen van de vergelijkingen a = ( 16) 1/2, b 3 = 1, c 5 = 1
Mathematical Modelling
1 / 95 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 21-08-08 Last adapt: 30-08-09 2 / 95 Overzicht 1 Inleiding 2 Complexe getallen: rekenen 3 Complexe getallen: iets meer dan rekenen alleen 3 /
Nadere informatieLes 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen
Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Pagina van Les Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Definities Verzamelingen Er zijn verschillende verzamelingen N = Natuurlijke getallen =,2,,.. Z
Nadere informatieOp deze manier ligt φ exact vast (als we zouden zeggen 0 φ 2π zouden we de reële getallen dubbelop hebben, en dat willen wij als wiskundigen niet).
Moddergooien n.a.v. 31 augustus Allereerst: hartelijk dank voor de vragen; als dat zo doorgaat en als jullie zo blijven komen en ook nog eens huiswerk maken, dan weet ik zeker dat ik dicht bij 100% ga
Nadere informatieAanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen
Aanvulling bij de cursus Calculus 1 Complexe getallen A.C.M. Ran In dit dictaat worden complexe getallen behandeld. Ook in het Calculusboek van Adams kun je iets over complexe getallen lezen, namelijk
Nadere informatie4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i
COMPLEXE GETALLEN Invoering van de complexe getallen Definitie Optellen en vermenigvuldigen Delen De complexe getallen zijn al behoorlijk oud; in de zestiende eeuw doken ze op bij het oplossen van algebraïsche
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 18 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 31 Outline 1 Section I.1 Complex numbers K. P. Hart
Nadere informatieComplexe getallen. José Lagerberg. November, Universiteit van Amsterdam. José Lagerberg (FNWI) Complexe getallen November, / 30
Complexe getallen José Lagerberg Universiteit van Amsterdam November, 2017 José Lagerberg (FNWI) Complexe getallen November, 2017 1 / 30 1 Complexe getallen en complexe e-machten Complexe getallen en complexe
Nadere informatie10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden
10.0 Voorkennis 5 1 6 6 cos( ) = -cos( ) = -½ 3 [cos is x-coördinaat] 5 1 3 3 sin( ) = -sin( ) = -½ 3 [sin is y-coördinaat] 1 Voorbeeld 1: Getekend is de lijn k: y = ½x 1. De richtingshoek α van de lijn
Nadere informatie8.1 Rekenen met complexe getallen [1]
8.1 Rekenen met complexe getallen [1] Natuurlijke getallen: Dit zijn alle positieve gehele getallen en nul. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Het symbool voor de natuurlijke getallen is Gehele getallen: Dit zijn
Nadere informatieHoofdstuk 8 : Complexe getallen
1 Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Les 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Definities Verzamelingen Er zijn verschillende verzamelingen getallen : (1) N = Natuurlijke getallen = 1,2,3,.. (2) Z = Gehele
Nadere informatieBestaat er dan toch een wortel uit 1?
Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Complexe getallen en complexe functies Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam, Open Universiteit CWI Vacantiecursus 2007 Wat zijn complexe getallen? Wat zijn
Nadere informatieLineaire algebra 1 najaar Complexe getallen
Lineaire algebra 1 najaar 2008 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 + 1 steeds
Nadere informatieComplexe getallen. 5.1 Constructie van de complexe getallen
Les 5 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 +1 steeds positief is en in het bijzonder
Nadere informatie6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1
WIS6 1 6 Complexe getallen 6.1 Definitie Rekenen met paren De vergelijking x 2 + 1 = 0 heeft geen oplossing in de verzameling R der reële getallen (vierkantsvergelijking met negatieve discriminant). We
Nadere informatie2 Modulus en argument
Modulus en argument Verkennen Modulus en argument Inleiding Verkennen Probeer zelf te bedenken hoe je een complex getal kunt opschrijven vanuit de draaihoek en de lengte van de bijbehorende vector. Uitleg
Nadere informatie16.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i
16.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i Voorbeeld 2: Los op in 4x 2 + 12x + 15 = 0 4x 2 + 12x + 9 + 6 = 0 (2x + 3) 2 + 6 = 0 (2x + 3) 2 = -6 (2x + 3) 2 = 6i 2 2x + 3 =
Nadere informatiePraktische opdracht Wiskunde B Complexe Getallen
Praktische opdracht Wiskunde B Complexe Get Praktische-opdracht door een scholier 1750 woorden 12 mei 2003 5,2 86 keer beoordeeld Vak Wiskunde B Inleiding Deze praktische opdracht wiskunde heeft als onderwerp:
Nadere informatie5.1 Constructie van de complexe getallen
Les 5 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 +1 steeds positief is en in het bijzonder
Nadere informatieComplexe e-macht en complexe polynomen
Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten
Nadere informatie1E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE
E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE Uiterste inleverdatum dinsdag oktober, voor het begin van het college N.B. Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven. Je moet het huiswerk
Nadere informatieDe wortel uit min één. Jaap Top
De wortel uit min één Jaap Top IWI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 20 maart 2007 1 Marten Toonder, verhaal de minionen (1980) 2 3 4 5 Twee manieren om complexe getallen te beschrijven: algebraïsch, als uitdrukkingen
Nadere informatieWillem van Ravenstein
Willem van Ravenstein 1. Variabelen Rekenen is het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken je de bewerkingen machtsverheffen en worteltrekken.
Nadere informatieWiskunde 2 voor kunstmatige intelligentie (BKI 316) Bernd Souvignier
Wiskunde 2 voor kunstmatige intelligentie (BKI 316) Bernd Souvignier najaar 2004 Deel I Voortgezette Analyse Les 1 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat
Nadere informatiez 1 z 2 r 2 r 1 z 2 z 1 r 1 r 2
Lesbrief 10 Complexe getallen 1 Het complexe vlak Zoals we ons reële getallen kunnen voorstellen als de punten van een lijn waarop 0 en 1 zijn vastgelegd, zo kunnen we ons de complexe getallen voorstellen
Nadere informatieAanvulling aansluitingscursus wiskunde. A.C.M. Ran
Aanvulling aansluitingscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de Aansluitingscursus staan. Die onderwerpen zijn: complexe getallen en volledige
Nadere informatieProefToelatingstoets Wiskunde B
Uitwerking ProefToelatingstoets Wiskunde B Hulpmiddelen :tentamenpapier,kladpapier, een eenvoudige rekenmachine (dus geen grafische of programmeerbare rekenmachine) De te bepalen punten per opgave staan
Nadere informatie4051CALC1Y Calculus 1
4051CALC1Y Calculus 1 College 1 2 september 2014 1 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides op http://homepage.tudelft.nl/v9r7r/
Nadere informatieMathematical Modelling
1 / 94 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 15-09-09 2 / 94 Overzicht 1 Herhaling 2 Deels oud, deels nieuw integreren 3 Lijnintegralen 3 / 94 Waarschuwing vooraf! Dit college heeft een
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 8 Complexe getallen (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 8 Complexe getallen (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 De getallenverzameling C 1 2 Het complex vlak of het vlak van Gauss 7 3 Vierkantsvergelijkingen
Nadere informatieAanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran
Aanvulling basiscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de basiscursus (Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch) staan. Die
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 21 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 32 Outline 1 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie
Nadere informatieComplexe getallen: oefeningen
Complexe getallen: oefeningen Hoofdstuk 2 Praktisch rekenen met complexe getallen 2.1 Optelling en aftrekking (modeloplossing) 1. Gegeven zijn de complexe getallen z 1 = 2 + i en z 2 = 2 3i. Bereken de
Nadere informatie3.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.
3.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. y = -4x + 8 kan herschreven worden als y + 4x = 8 Dit is een lineaire vergelijking met twee variabelen. Als je
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.3, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 2 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 34 Outline 1 Conforme afbeeldingen 2 K. P. Hart TW2040:
Nadere informatieMathematical Modelling
1 / 64 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 09-11-09 2 / 64 Niet overal analytisch: een rangschikking 2. De hoofdklasse A: rationale functies: f (z) = z5 + z 2 + 3z + 4 z 3 + 4z 2 + 5z
Nadere informatieWortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel)
1 Inleiding Wortels met getallen en letters WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht
Nadere informatieMETA-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen
META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen In welke volgorde moet ik uitwerken? */@ Welke (reken)regels moet ik hier gebruiken? */@ Welke algemene vorm hoort erbij? ** Hoe ziet de bijbehorende grafiek
Nadere informatiee x x 2 cos 2 (sin t) cos(t) dt
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP3B 5 november, 8.3.3 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boeken) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden. Maak uw redenering
Nadere informatieAnalytische Meetkunde. Wiskundedialoog Nijmegen, 13 juni 2017 Jeroen Spandaw
Analytische Meetkunde Wiskundedialoog Nijmegen, 13 juni 2017 Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde Synthetische Meetkunde Vectoren Gonio Analyse Algebra Symmetrie Complexe Getallen
Nadere informatieFuncties van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Kunnen we elke integraal oplossen? Z e x x dx Z e x2 dx
Nadere informatieJe moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.
6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel
Nadere informatieComplexe getallen in context
Complexe getallen in context voor wiskunde D ( 5 VWO) R.A.C. Dames H. van Gendt Versie 4, juni 0 In deze vierde versie zijn alleen een aantal zetfouten verbeterd. Inhoudelijk is deze versie geheel gelijk
Nadere informatie6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER
Nadere informatieInhoud college 4 Basiswiskunde. 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie
Inhoud college 4 Basiswiskunde 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie 2 Basiswiskunde_College_4.nb 2.6 Hogere afgeleiden De afgeleide f beschrijft
Nadere informatie1. INLEIDING: DE KOERS VAN EEN BOOT
KLAS 4N VECTOREN . INLEIDING: DE KOERS VAN EEN BOOT. Boot vaart van Roe naar Tui via Rul. De koersgegevens zijn: van Roe naar Rul: 0, 5 km van Rul naar Tui: 40, 5 km a. Wat zijn de koersgegevens als de
Nadere informatieAlgebra, Les 18 Nadruk verboden 35
Algebra, Les 18 Nadruk verboden 35 18,1 Ingeklede vergelijkingen In de vorige lessen hebben we de vergelijkingen met één onbekende behandeld Deze vergelijkingen waren echter reeds opgesteld en behoefden
Nadere informatie6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER
Nadere informatie6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden
6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p
Nadere informatieDe notatie van een berekening kan ook aangeven welke bewerking eerst moet = = 16
Rekenregels De voorrangsregels van de hoofdbewerkingen geven aan wat als eerste moet worden uitgerekend. Voorrangsregels 1. Haakjes 2. Machtsverheffen en Worteltrekken. Vermenigvuldigen en Delen 4. Optellen
Nadere informatieMore points, lines, and planes
More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)
Nadere informatieFormuleblad Wisselstromen
Formuleblad Wisselstromen Algemeen Ueff = U max (bij harmonisch variërende spanning) Ieff = I max (bij harmonisch variërende stroom) P = U I cos(φ) gem eff eff U Z = I Z V = Z + Z + (serieschakeling) Z3
Nadere informatieBekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Nadere informatieWortels met getallen. 2 Voorbeeldenen met de vierkantswortel (Tweedemachts wortel)
Wortels met getallen 1 Inleiding WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht van de
Nadere informatie5.1 Herleiden [1] Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) 2 = a 2 b 2
Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) = a b 5.1 Herleiden [1] Voorbeeld 1: (a + 5)(a 6) (a + 5)(-a + 7) = a 6a + 5a 30 ( a + 14a 5a + 35) = a 6a + 5a 30
Nadere informatiete vermenigvuldigen, waarbij N het aantal geslagen Nederlandse munten en B het aantal geslagen buitenlandse munten zijn. Het resultaat is de vector
Les 3 Matrix product We hebben gezien hoe we matrices kunnen gebruiken om lineaire afbeeldingen te beschrijven. Om het beeld van een vector onder een afbeelding te bepalen hebben we al een soort product
Nadere informatie(2) Bepaal de absolute waarde van (1 + i) 10 + ( x x 1 = 1. (4) Bepaal lim
Tentamen Calculus I, 4 februari 009, 9:00 :00. Schrijf op elk in te leveren blad je naam, en op het eerste blad het aantal ingeleverde bladen. Alle (negen) opgaven tellen even zwaar. Het gebruik van boek(en),
Nadere informatieUitwerkingen Rekenen met cijfers en letters
Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................
Nadere informatieComplexe getallen in context
Complexe getallen in context voor wiskunde D ( 5 VWO) R.A.C. Dames H. van Gendt Versie, november 006 Deze module is ontwikkeld in opdracht van ctwo. Copyright 006 R.Dames en H. van Gendt Inhoud Inhoud...3
Nadere informatie1.3 Rekenen met pijlen
14 Getallen 1.3 Rekenen met pijlen 1.3.1 Het optellen van pijlen Jeweetnuwatdegetallenlijnisendat0nochpositiefnochnegatiefis. Wezullen nu een soort rekenen met pijlen gaan invoeren. We spreken af dat bij
Nadere informatie1 Rekenen met gehele getallen
1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9
Nadere informatie14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1]
4. Vergelijkingen en herleidingen [] Er zijn vier soorten bijzondere vergelijkingen: : AB = 0 => A = 0 of B = 0 ( - 5)( + 7) = 0-5 = 0 of + 7 = 0 = 5 of = -7 : A = B geeft A = B of A = - B ( ) = 5 ( )
Nadere informatiee jπ + 1 = 0 Complexe getallen β release Ing. C.H.A. Keyer voor de elektrotechniek. Hogeschool van Amsterdam Department of Electronic Engineering
e jπ + 1 = 0 Complexe getallen voor de elektrotechniek. β release Ing. C.H.A. Keyer Hogeschool van Amsterdam Department of Electronic Engineering 15 oktober 2007 2 Copyleft: c Cees Keyer, Hogeschool van
Nadere informatieOver de construeerbaarheid van gehele hoeken
Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Dick Klingens maart 00. Inleiding In de getallentheorie worden algebraïsche getallen gedefinieerd via rationale veeltermen f van de n-de graad in één onbekende:
Nadere informatieRekenen aan wortels Werkblad =
Rekenen aan wortels Werkblad 546121 = Vooraf De vragen en opdrachten in dit werkblad die vooraf gegaan worden door, moeten schriftelijk worden beantwoord. Daarbij moet altijd duidelijk zijn hoe de antwoorden
Nadere informatieBasisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag
Basisvaardigheden algebra Willem van Ravenstein 2012 Den Haag 1. Variabelen Rekenenis het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken
Nadere informatieKies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen
Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet
Nadere informatie3.1 Haakjes wegwerken [1]
3.1 Haakjes wegwerken [1] Oppervlakte rechthoek (Manier 1): Opp. = l b = (a + b) c = (a + b)c Oppervlakte rechthoek (Manier 2): Opp. = Opp. Groen + Opp. Rood = l b + l b = a c + b c = ac + bc We hebben
Nadere informatie1.1 Rekenen met letters [1]
1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren
Nadere informatieParagraaf K.1 : Substitutiemethode
Hoofdstuk K Voortgezette Integraalrekening (V5 Wis B) Pagina van 8 Paragraaf K. : Substitutiemethode Stappenplan voor de substitutiemethode : () Neem y = formule (bij kettingregel noem je deze formule
Nadere informatie1 Complexe getallen in de vorm a + bi
Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...
Nadere informatieExamen Complexe Analyse vrijdag 20 juni 2014, 14:00 18:00 uur Auditorium De Molen. Het examen bestaat uit 4 schriftelijke vragen.
Examen Complexe Analyse vrijdag 0 juni 04, 4:00 8:00 uur Auditorium De Molen Naam: Studierichting: Het examen bestaat uit 4 schriftelijke vragen. Elke vraag telt even zwaar mee. Het boek Visual Complex
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen van Calculus voor het schakelprogramma van B (XB03) op woensdag 0 april 03, 9:00-:00 uur De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Functietheorie (2Y480) op 23 januari 2002,
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functietheorie (2Y8) op 23 januari 22, 9.-2. uur De uitwerkingen der opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk
Nadere informatieSamenvatting Wiskunde Aantal onderwerpen
Samenvatting Wiskunde Aantal onderwerpen Samenvatting door een scholier 2378 woorden 4 juni 2005 5,1 222 keer beoordeeld Vak Wiskunde Gelijkvormigheid Bij vergroten of verkleinen van een figuur worden
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 6 collegejaar : 8-9 college : 6 build : 2 oktober 28 slides : 38 Vandaag Minecraft globe van remi993 2 erhaalde 3 4 intro VA Drievoudige integralen Section 5.5 Definitie Een rechthoekig blok is
Nadere informatie3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.
3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld
Nadere informatieHoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen
Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan
Nadere informatieExamen Wiskundige Basistechniek 15 oktober 2011
Examen Wiskundige Basistechniek 15 oktober 2011 vraag 1: Gegeven is het complex getal ω = exp(i π 5 ). vraag 1.1: Als we in het complexe vlak het punt P met cartesiaanse coördinaten (x, y) vereenzelvigen
Nadere informatieStudiehandleiding Basiswiskunde cursus
Studiehandleiding Basiswiskunde cursus 2008 2009 Materiaal Bij dit college heb je nodig: Het boek Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch Isbn: 90 430 1156 8 De syllabus Aanvulling basiscursus
Nadere informatieComplexe functies. 2.1 Benadering door veeltermen
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, Les Complexe functies Nadat we de complexe getallen hebben leren kennen, is het een voor de hand liggende vraag of hiervoor net als voor de reële getallen ook functies
Nadere informatieOP WEG NAAR WISKUNDE. Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl
OP WEG NAAR WISKUNDE Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl Voor kinderen die iets meer willen weten en begrijpen van wiskunde, bijvoorbeeld als voorbereiding op de middelbare
Nadere informatieComplexe eigenwaarden
Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie
Nadere informatieDe wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton
De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton Van de middelbare school kent iedereen wel de a, b, c-formule (hier en daar ook wel het kanon genoemd) voor de oplossingen van de vierkantsvergelijking
Nadere informatieHogeschool Rotterdam. Voorbeeldexamen Wiskunde A
. Bereken zonder rekenmachine: + d. + 0 + 6 6 6 Hogeschool Rotterdam Voorbeeldeamen Wiskunde A 6 6 Oplossingen. Bereken zonder rekenmachine: + 6 b. + 6 0 + 9. Bereken zonder rekenmachine: 9 9 d.. Een supermarkt
Nadere informatieWiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4
Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen
Nadere informatieHertentamen WISN101 Wiskundige Technieken 1 Do 5 jan :30 16:30
Hertentamen WISN0 Wiskundige Technieken Do 5 jan 207 3:30 6:30 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke
Nadere informatieExamen G0O17D Wiskunde II (6sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-12:30 uur
Examen GO7D Wiskunde II (6sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Biochemie & Biotechnologie Bachelor hemie, Bachelor Geologie Schakelprogramma Master Biochemie & Biotechnologie en Schakelprogramma Master
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper
Nadere informatie8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde
8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige
Nadere informatie4.1 Rekenen met wortels [1]
4.1 Rekenen met wortels [1] Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B 3) A 2 A Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.1 Rekenen met wortels [1] Voorbeeld 3:
Nadere informatieDe wortel uit min één. Jaap Top
De wortel uit min één Jaap Top JBI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 19 april 2011 1 Marten Toonder, verhaal de minionen (1980) 2 3 4 5 Twee manieren om complexe getallen te beschrijven: algebraïsch, als uitdrukkingen
Nadere informatieP is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken).
Inhoud 1. Sinus-functie 1 2. Cosinus-functie 3 3. Tangens-functie 5 4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies 8 4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie
Nadere informatieRekenen met cijfers en letters
Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................
Nadere informatie1. Optellen en aftrekken
1. Optellen en aftrekken Om breuken op te tellen of af te trekken maak je de breuken gelijknamig. Gelijknamig maken wil zeggen dat je zorgt voor 'gelijke noemers': Om de breuken met 'derden' en 'vijfden'
Nadere informatieInwendig product, lengte en orthogonaliteit
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit We beginnen met een definitie : u u Definitie. Als u =. en v = u n v v. v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T v = u v + u v +... + u n v n het inwendig
Nadere informatie4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]
4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 x 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5 x -3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 x 3 = -15 Afspraak: In plaats
Nadere informatieZelftest wiskunde voor Wiskunde, Fysica en Sterrenkunde
In onderstaande zelftest zijn de vragen gebundeld die als voorbeeldvragen zijn opgenomen in de bijhorende overzichten van de verwachte voorkennis wiskunde. Naast de vragen over strikt noodzakelijke voorkennis,
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Donderdag 8 juli 4. Tijd: 14. 17. uur. Plaats: MA 1.44/1.46 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je
Nadere informatieAppendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt
Bijlage bij Inversie Appendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt In dee paragraaf gaan we op een andere manier kijken naar inversie. We doen dat met behulp van de complexe getallen. We veronderstellen
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatie