5.2.4 Varia in groepentheorie
|
|
- Rebecca Michiels
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Oefeningen op hoofdstuk 5 Algebra 5.2 Groepentheorie Cayleytabellen van groepen van orde 8 Oefening 5.1. Stel de Cayleytabel op voor de groep van de symmetrieën van een vierkant. Bewijs dat deze groep de viergroep van Klein bezit als deelgroep van index 2. Oefening 5.2. Stel de Cayleytabellen op voor de groepen C 2 C 4 en C 2 C 2 C 2. Is één van beide isomorf met de automorfismegroep van het vierkant? Kun je dat bewijzen zonder gebruik te maken van de Cayleytabel? Cyclische groepen Oefening 5.4. Bewijs dat cyclische groepen abels zijn. Oefening 5.5. Beschrijf alle deelgroepen van C 15 en C 25. Oefening 5.6. Hoeveel elementen van C 60 brengen de ganse groep voort? Oefening Gegeven is de cyclische groep C 8 = a. Bewijs dat de volgende afbeeldingen α en β morfismen van C 8 naar C 8 zijn. Bepaal telkens de kern. α : a a 4 β : a a Ordes van elementen Oefening Veronderstel dat u en v twee elementen zijn van een abelse groep met respectieve ordes r en s. Bewijs dat, in de veronderstelling dat ggd(r, s) = 1, de orde van uv gelijk is aan rs. Oefeningen Relaties en Structuren, Algebra 40
2 Oefening Veronderstel dat u en v twee elementen zijn van een abelse groep G met respectieve ordes r en s. Onderstel dat de cyclische groep voortgebracht door u en de cyclische groep voortgebracht door v enkel het neutraal element gemeen hebben. Stel ook dat ggd(r, s) = d. Wat is de orde van het element u v? Oefening Zij C n = g de cyclische groep voortgebracht door g. Bewijs dat de deelgroep H C n, voortgebracht door g k (k N\{0}) de orde n ggd(n,k) heeft. Oefening Stel dat een eindige groep G en een priemgetal p gegeven zijn. Stel dat G precies m deelgroepen heeft van orde p. Bewijs dat G precies m(p 1) elementen van de orde p bezit Varia in groepentheorie Oefening Welke van de volgende permutaties zijn even en welke oneven? α = (1357)(2468) β = (127)(356)(48) γ = (135)(678)(2)(4) Oefening 5.16 (Herexamen 2012). Beschouw een groep G en een deelgroep H van G. Definieer een relatie over de elementen van G als volgt: x y x 1 y H. a. Bewijs dat deze relatie een equivalentierelatie is. b. Toon aan dat de equivalentieklassen gelijk zijn aan de linkse nevenklassen van H. Oefening Hoeveel symmetrieën heeft de symmetriegroep van de starre kubus? Tel dus alle realiseerbare acties (geen spiegelingen) die de kubus op zichzelf afbeelden. Welke essentieel verschillende symmetrieën onderscheid je? Beschrijf de structuur van hun cykelvoorstelling (als permutatiegroep op de hoekpunten). Hoeveel zijn er van elke soort? Oefeningen Relaties en Structuren, Groepentheorie 41
3 5.6 Veeltermringen Polynomen over F p : irreducibiliteit en factorisatie Oefening Bewijs dat x 2 + 2x + 2 irreducibel is in Z 3 [x]. Oefening Ontbind x 5 + x 4 + x 3 + x in irreducibele factoren over Z/2Z. Oefening Ontbind x 8 1 in irreducibele factoren in Z/3Z[x]. Oefening Ontbind x 3 + 5x in Z 11 [x]. Oefening Factoriseer volgende veeltermen in irreducibele veeltermen over F 5. a. x b. x 4 + 3x 3 + 2x + 4 Oefening Wat is de multipliciteit van de wortel 1 van x 8 +x 7 +x 6 +x 3 +x 2 +1 in Z/2Z[x]? Deling, Euclides en modulaire inversen Oefening Bepaal het quotiënt en de rest van de deling van a(x) door b(x) over het veld F. a. F = F 5 ; a(x) = 3x 4 + 4x 3 x 2 + 1; b(x) = 2x 2 + x + 1. b. F = F 8 met α 3 + α + 1 = 0; a(x) = x 4 + α 2 x 3 + α 6 x 2 + αx + α 5 ; b(x) = α 4 x 2 + α 3 x + 1. c. F = F 2 ; a(x) = x 3 + x 2 + 1; b(x) = x 2 + x + 1. d. F = F 5 ; a(x) = x 5 + x 4 + 2x 3 + x 2 + 4x + 2, b(x) = x 2 + 2x + 3. e. Zelfde als d. maar nu over F 7. f. Zelfde als d. maar nu over F 73. Oefening Vind de monische grootste gemene deler van de polynomen a(x) en b(x) in F[x] en schrijf het eindresultaat in de gedaante λ(x)a(x) + µ(x)b(x) over F[x]. a. F = F 3 ; a(x) = x 3 + x 2 + x + 1; b(x) = x b. F = F 5 ; a(x) = x 4 + 2x 3 + x 2 + 4x + 2; b(x) = x 2 + 3x + 1. c. F = F 2 ; a(x) = x 4 + 1; b(x) = x d. F = F 2 ; a(x) = x 5 + 1; b(x) = x e. F = F 2 ; a(x) = x 9 + 1; b(x) = x Oefeningen Relaties en Structuren, Veeltermringen 42
4 Oefening Bepaal in de volgende gevallen de veeltermen λ(x) en µ(x) zodanig dat ggd(a(x), b(x)) = λ(x)a(x) + µ(x)b(x). a. a(x) = x en b(x) = 5x 2 + 6x + 4 in Z/7Z[x]. b. a(x) = x 3 + 2x 2 + 2x + 1 en b(x) = 2x in Z/3Z[x]. c. a(x) = x en b(x) = x + 1 in Z/2Z[x]. Oefening Bepaal in F 3 [x] de inverse veelterm van 2x modulo x Oefening a. Waarom is x irreducibel over F 5? b. Zoek de inverse veelterm van x + 1 modulo x in F 5. Oefening a. Bereken de som en het product in Z[x] van 3x + 4 en 5x 2 modulo x 2 7. b. Bereken de som en het product van 3x 2 en x2 2 modulo x in Q[x]. 5.7 Eindige velden Constructie Oefening a. Toon aan dat f(t) = t 2 + t 1 over Z/3Z een irreducibel polynoom is. b. Bewijs dat f(t) = t 2 + t 1 een primitief polynoom is in Z/3Z[t]. c. Stel de Zech-log-tabel op voor F 9 met de keuze van dit primitief polynoom. d. Bereken volgende elementen van F 9 : (1 t)( 1 + t) t 4 + t 7 t 2 4t 3 + 5t 5 7t 7 Oefening a. Is x 4 + x een primitieve, irreducibele veelterm in Z/2Z? b. Is x 4 + x + 1 een primitieve, irreducibele veelterm in Z/2Z? Oefening Onderzoek of de gegeven veelterm een irreducibele veelterm is over het gepaste veld en stel de Zech-log-tabel op voor het gevraagde veld. Als het gegeven polynoom niet primitief is, zal je in plaats van de de variabele t dus een ander element α moeten kiezen dan als primitief element. a. F 4, met f(t) = t 2 + t + 1. b. F 9, met f(t) = t Oefeningen Relaties en Structuren, Eindige velden 43
5 c. F 16, met f(t) = t 4 + t + 1. d. F 25, met f(t) = t 2 + 4t + 2. Oefening Gebruik de Zech-log-tabellen uit oefening 5.32 om de volgende kwadratische vergelijkingen op te lossen: a. αx 2 + α 2 = 0 over F 4. b. x 2 + α 7 x + α 2 = 0 over F 9. c. x 2 + α 7 x + 1 = 0 over F 16. d. x 2 + α 13 x + α 14 = 0 over F 25. Oefening 5.34 (Examen 2013). Toon aan dat f(x) = x 3 x + 1 een irreducibel polynoom is over F 3. Construeer met dit polynoom het eindig veld F 27 in de variabele s en stel de Zech-log-tabel op. Hoeveel veldelementen zijn primitieve elementen? Welke zijn deze? Los de derdegraadsvergelijking X 3 + (s 2 s)x 2 + ( s 2 + 1)X = 0 op over deze F 27. Oefening Los de kwadratische vergelijking x 2 + α 2 x + α 4 = 0 op over F 16, het eindig veld waarvan een Zech-log-tabel gegeven wordt door i θ(i) i θ(i) Oefening Toon aan dat f(x) = x 3 x + 1 een irreducibel polynoom is over F 3. Construeer met dit polynoom het eindig veld F 27 in de variabele s en stel de Zech-log-tabel op. Hoeveel veldelementen zijn primitieve elementen? Welke zijn deze? Los de derdegraadsvergelijking X 3 + (s 2 s)x 2 + ( s 2 + 1)X = 0 op over deze F Primitieve elementen Oefening Hoeveel primitieve elementen heeft een eindig veld van orde 64? Oefening Zoek de primitieve elementen van Z/41Z. Oefeningen Relaties en Structuren, Eindige velden 44
6 Oefening Vergelijk de ringen Z/16Z en F 16. Beantwoord daarvoor voor beide: a. Hoe ziet de additieve groep van beide eruit? b. Hoeveel elementen heeft de multiplicatieve groep (of meer correct, de multiplicatieve groep van inverteerbare elementen)? c. Hoeveel primitieve elementen zijn er? d. Lijst alle inverteerbare elementen met hun ordes op Doordenkers in eindige velden Oefening Bewijs dat alle elementen van F 2 11 derdemachten zijn. Oefening 5.41 (Examen 2012). Bewijs: als ggd(k, q 1) = 1, dan is elk element in F q een k-de macht. Oefening a. Welk irreducibel polynoom met coëfficiënten in F 2 heeft precies alle elementen van orde drie van F 16 als nulpunten? b. Welk irreducibel polynoom met coëfficiënten in F 2 heeft precies alle elementen van orde vijf van F 16 als nulpunten? c. Welk irreducibel polynoom met coëfficiënten in F p heeft precies alle elementen van orde d van F p h als nulpunten, waarbij d een deler is van p h 1? Oefening Welke polynoom is een deler van x 15 1 en heeft precies alle primitieve elementen van F 16 als nulpunt? Oefening a. Hoeveel koppels (a, b) F 8 F 8 zijn er met a 2 b 2 = 1? b. Hoeveel koppels (a, b) F 9 F 9 zijn er met a 2 b 2 = 1? c. Hoeveel koppels (a, b) F 16 F 16 zijn er met a 2 + b 3 = 1? Oefening Bewijs dat x 16 + x 4 + x + 1 precies 16 verschillende wortels heeft over F 64. Hint: beschouw de afbeelding f : F 64 F 64, x x 16 + x 4 + x + 1 en vooral diens beeld. Oefening Noem α een primitief element van F 9, en noem f(x) een irreducibele veelterm van Z/3Z[x] zodanig dat f(α 2 ) = 0. Bepaal f(x). Oefeningen Relaties en Structuren, Eindige velden 45
Algebra. Oefeningen op hoofdstuk Groepentheorie Cayleytabellen van groepen van orde Cyclische groepen
Oefeningen op hoofdstuk 5 Algebra 5.2 Groepentheorie 5.2.1 Cayleytabellen van groepen van orde 8 Oefening 5.1. Stel de Cayleytabel op voor de groep van de symmetrieën van een vierkant. Bewijs dat deze
Nadere informatieMen kan enkele samenstellingen berekenen en vervolgens de Cayleytabel aanvullen, wetende dat het een Latijns vierkant is. De Cayleytabel wordt:
Oefeningen op hoofdstuk 5 Algebra 5.2 Groepentheorie 5.2.1 Cayleytabellen van groepen van orde 8 Oefening 5.1. Stel de Cayleytabel op voor de groep van de symmetrieën van een vierkant. Bewijs dat deze
Nadere informatie6 Ringen, lichamen, velden
6 Ringen, lichamen, velden 6.1 Polynomen over F p : irreducibiliteit en factorisatie Oefening 6.1. Bewijs dat x 2 + 2x + 2 irreducibel is in Z 3 [x]. Oplossing 6.1 Aangezien de veelterm van graad 3 is,
Nadere informatie6 Ringen, lichamen, velden
6 Ringen, lichamen, velden 6.1 Polynomen over F p : irreducibiliteit en factorisatie Oefening 6.1. Bewijs dat x 2 + 2x + 2 irreducibel is in Z 3 [x]. Oefening 6.2. Ontbind x 5 + x 4 + x 3 + x in irreducibele
Nadere informatieUniversiteit Gent. Academiejaar Discrete Wiskunde. 1ste kandidatuur Informatica. Collegenota s. Prof. Dr.
Universiteit Gent Academiejaar 2001 2002 Discrete Wiskunde 1ste kandidatuur Informatica Collegenota s Prof. Dr. Frank De Clerck Herhalingsoefeningen 1. Bepaal het quotiënt en de rest van de deling van
Nadere informatie5 Inleiding tot de groepentheorie
5 Inleiding tot de groepentheorie Oefening 5.1. Stel de Cayleytabel op voor de groep van de symmetrieën van een vierkant. Bewijs dat deze groep de viergroep van Klein bezit als deelgroep van index 2. Oplossing
Nadere informatie6 Ringen, lichamen, velden
6 Ringen, lichamen, velden 6.1 Polynomen over F p : irreducibiliteit en factorisatie Oefening 6.1. Bewijs dat x + x + irreducibel is in Z 3 [x]. Oplossing 6.1 Aangezien de veelterm van graad 3 is, is deze
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Algebra 3 8 juni 2017, 14:00 17:00
Uitwerkingen tentamen Algebra 3 8 juni 207, 4:00 7:00 Je mocht zoals gezegd niet zonder uitleg naar opgaven verwijzen. Sommige berekeningen zijn hier weggelaten. Die moest je op je tentamen wel laten zien.
Nadere informatieDeeltentamen I, Ringen en Galoistheorie, 16-4-2009, 9-12 uur
Deeltentamen I, Ringen en Galoistheorie, 16-4-2009, 9-12 uur Geef een goede onderbouwing van je antwoorden. Succes! 1. (a) (10 pt) Ontbindt het polynoom X 3 3X+3 in irreducibele factoren in Q[X] en in
Nadere informatieOefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.
4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen
Nadere informatieOefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.
4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen
Nadere informatieDefinitie 5.1. Cyclische groepen zijn groepen voortgebracht door 1 element.
Hoofdstuk 5 Cyclische groepen 5.1 Definitie Definitie 5.1. Cyclische groepen zijn groepen voortgebracht door 1 element. Als G wordt voortgebracht door a en a n = e, dan noteren we de groep als C n = a.
Nadere informatie3 Modulorekenen. 3.1 De eulerfunctie en de kleine stelling van Fermat. Oefening 3.1. Bepaal Φ(1992), Φ(2011) en Φ(2048) (83 en 2011 zijn priem).
3 Modulorekenen 3.1 De eulerfunctie en de kleine stelling van Fermat Oefening 3.1. Bepaal Φ(1992), Φ(2011) en Φ(2048) (83 en 2011 zijn priem). Oplossing 3.1 1992 = 2 3 3 83. Φ(1992) = 2 2 2 82 = 656. 2048
Nadere informatieIn dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies.
03 college 5: meer technieken In dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies. Opmerking over de notatie. Net als in het
Nadere informatieDefinitie 1.1. Een groep is een verzameling G, uitgerust met een bewerking waarvoor geldt dat:
Hoofdstuk 1 Eerste begrippen 1.1 Wat is een groep? Definitie 1.1. Een groep is een verzameling G, uitgerust met een bewerking waarvoor geldt dat: 1. a, b G : a b G 2. a, b, c G : a (b c) = (a b) c = a
Nadere informatieHoofdstuk 6. Dihedrale groepen. 6.1 Definitie
Hoofdstuk 6 Dihedrale groepen 6.1 Definitie Definitie 6.1. De dihaeder groep is de symmetriegroep van een regelmatige n-hoek. Dit is de verzameling van alle transformaties in het vlak die de regelmatige
Nadere informatieTentamen Ringen en Galoistheorie, , uur
Tentamen Ringen en Galoistheorie, 30-6-2008, 14-17 uur Dit is een open boek tentamen. Dat wil zeggen, de dictaten mogen gebruikt worden maar geen andere zaken zoals aantekeningen, uitwerkingen, etc. Geef
Nadere informatieVelduitbreidingen. Hector Mommaerts
Velduitbreidingen Hector Mommaerts 2 Hoofdstuk 1 Basisbegrippen 1.1 Definities Definitie 1.1. Een veld L is een uitbreiding van het veld K als het ontstaat door aan K één of meerdere elementen toe te voegen.
Nadere informatieDefinitie 8.1. De groep van alle permutaties van een gegeven verzameling X is de symmetriegroep op n elementen, genoteerd als Sym(X).
Hoofdstuk 8 Werking van een groep 8.1 Permutatiegroepen Een permutatie van een verzameling X is een bijectie van die verzameling op zichzelf. Een verzameling X met n elementen heeft juist n! permutaties.
Nadere informatieRingen en Galoistheorie, 1e deel, 19 april 2012
Ringen en Galoistheorie, 1e deel, 19 april 2012 Bij dit tentamen mag het dictaat niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, studnr en naam practicumleider. Laat bij elke opgave zien hoe je aan je
Nadere informatieDe pariteitstestmatrix van de (6,4) Hamming-code over GF(5) is de volgende: [ H =
Oplossing examen TAI 11 juni 2008 Veel plezier :) Vraag 1 De pariteitstestmatrix van de (6,4) Hamming-code over GF(5) is de volgende: H = [ 1 0 1 2 3 ] 4 0 1 1 1 1 1 (a) Bepaal de bijhorende generatormatrix
Nadere informatieComplexe getallen: oefeningen
Complexe getallen: oefeningen Hoofdstuk 2 Praktisch rekenen met complexe getallen 2.1 Optelling en aftrekking (modeloplossing) 1. Gegeven zijn de complexe getallen z 1 = 2 + i en z 2 = 2 3i. Bereken de
Nadere informatieWeek 22: De macht van het spoor en het spoor van de macht
Week 22: De macht van het spoor en het spoor van de macht Een belangrijke invariant van een lineaire afbeelding is het spoor. Als we een basis kiezen dan is het spoor simpelweg de som van de elementen
Nadere informatieGetallen, 2e druk, extra opgaven
Getallen, 2e druk, extra opgaven Frans Keune november 2010 De tweede druk bevat 74 nieuwe opgaven. De nummering van de opgaven van de eerste druk is in de tweede druk dezelfde: nieuwe opgaven staan in
Nadere informatieHet karakteristieke polynoom
Hoofdstuk 6 Het karakteristieke polynoom We herhalen eerst kort de definities van eigenwaarde en eigenvector, nu in een algemene vectorruimte Definitie 6 Een eigenvector voor een lineaire transformatie
Nadere informatieEnige informatie over groepen ten bate van het college Topologie en Meetkunde (Jaap van Oosten, Juni 2003)
Enige informatie over groepen ten bate van het college Topologie en Meetkunde (Jaap van Oosten, Juni 2003) Een groep is een verzameling G met daarop een operatie : G G G (die we schrijven als g, h g h),
Nadere informatiePriemontbinding in kwadratische lichamen
Priemontbinding in kwadratische lichamen Auteur: Marieke van der Wegen Begeleider: Dr. J. Stienstra Bachelorscriptie Universiteit Utrecht Datum: April-Juni 015 Studentnummer: 399951 Inhoudsopgave Inleiding
Nadere informatieAlgebra I. Examenoefeningen
1 Algebra I Examenoefeningen 2 Deel I Examens Algebra I Leuven 1 14 januari 2004 De theorievragen zijn verloren gegaan. 1. Zij G, een groep en A G. Veronderstel dat A commutatief is. (a) Toon aan dat σ
Nadere informatieInleiding tot groepentheorie
Hoofdstuk Inleiding tot groepentheorie 1 Basisdefinities Een algebraïsche structuur bestaat meestal uit een verzameling waarop één of meerdere bewerkingen gedefinieerd zijn. Definitie Een inwendige bewerking
Nadere informatieHet gebruik van (alle soorten) rekenmachines is toegestaan.
TOEPASSINGEN VAN ALGEBRA IN DE INFORMATICA Woensdag 11 juni 2008 Informatica Het examen is volledig schriftelijk. Schrijf netjes en overzichtelijk en schrijf uw naam op elk blad. Geef voldoende tussenresultaten,
Nadere informatieBijzondere kettingbreuken
Hoofdstuk 15 Bijzondere kettingbreuken 15.1 Kwadratische getallen In het vorige hoofdstuk hebben we gezien dat 2 = 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2,.... Men kan zich afvragen waarom we vanaf zeker moment alleen maar
Nadere informatieActief gedeelte - Maken van oefeningen
Actief gedeelte - Maken van oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x 2. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? (A) x 2 (B) x 2 [ ] 4 (C) x, 2 [ ] 2 (D) x, 2 Oefening 2
Nadere informatieAlgebra and discrete wiskunde
Algebra and discrete wiskunde dr. G.R. Pellikaan Studiewijzer voor het studiejaar 2015/2016 College 2WF50 Contents 1 Algemeen 2 2 Inhoud van het vak 2 3 Leerdoelen 3 4 Berekening tijdsplanning 3 5 Onderwijs-
Nadere informatieGroepen, ringen en velden
Groepen, ringen en velden Groep Een groep G is een verzameling van elementen en een binaire operator met volgende eigenschappen: 1. closure (gesloten): als a en b tot G behoren, doet a b dat ook. 2. associativiteit:
Nadere informatie7.1 Het aantal inverteerbare restklassen
Hoofdstuk 7 Congruenties in actie 7.1 Het aantal inverteerbare restklassen We pakken hier de vraag op waarmee we in het vorige hoofdstuk geëindigd zijn, namelijk hoeveel inverteerbare restklassen modulo
Nadere informatie2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.
Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt
Nadere informatiePolynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2
Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van
Nadere informatieGetallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte
Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal
Nadere informatieWe beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.
II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;
Nadere informatieHoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen
Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan
Nadere informatieRationale punten op elliptische krommen
Rationale punten op elliptische krommen Anne Barten 6 juli 2015 Bachelorscriptie Begeleiding: dr. S. R. Dahmen Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica
Nadere informatieAlgebra and discrete wiskunde
Algebra and discrete wiskunde dr. G.R. Pellikaan Studiewijzer voor het studiejaar 2016/2017 College 2WF50 Contents 1 Algemeen 2 2 Inhoud van het vak 2 3 Leerdoelen 3 4 Berekening tijdsplanning 3 5 Onderwijs-
Nadere informatieIrreducibele polynomen
Irreducibele polynomen Peter Koymans Student nummer: 0748876 p.h.koymans@student.tue.nl Begeleid door Aart Blokhuis 12 augustus 2013 Department of Mathematics and Computer Science 1 Inhoudsopgave 1 Inleiding
Nadere informatieUitwerkingen toets 12 juni 2010
Uitwerkingen toets 12 juni 2010 Opgave 1. Bekijk rijen a 1, a 2, a 3,... van positieve gehele getallen. Bepaal de kleinst mogelijke waarde van a 2010 als gegeven is: (i) a n < a n+1 voor alle n 1, (ii)
Nadere informatieAlgebra groep 2 & 3: Standaardtechnieken kwadratische functies
Algebra groep 2 & 3: Standaardtechnieken kwadratische functies Trainingsweek juni 2008 Kwadraat afsplitsen Een kwadratische functie oftewel tweedegraads polynoom) px) = ax 2 + bx + c a 0) kan in verschillende
Nadere informatieOpgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002
Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002 19.a) Laat zien dat 5 een voortbrenger is van F 37. b) In het sleuteldistributiesysteem van Diffie en Hellman (met G = F 37, α =
Nadere informatieDe hoofdstelling van de algebra en het veld van de complexe getallen
Hoofdstuk 6 De hoofdstelling van de algebra en het veld van de complexe getallen 6.1 Factoriseren van veeltermen 1. Een reële veelterm q(x) met hoogstegraadsterm 5x 5 heeft als nulpunten 2, 1 + 3i, 2 2i
Nadere informatieOpgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie
Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie Jan De Beule, Tom De Medts en Jeroen Demeyer Voorwoord 1 Voorwoord Beste leerling, Deze nota s zijn bedoeld als begeleiding bij 6 lesuren Opgeloste
Nadere informatieCongruentie deelgroepen
Congruentie deelgroepen 2 Definities Congruentie deelgroepen zijn deelgroepen van matrixgroepen met gehele elementen die bepaald worden door congruentie relaties. De eenvoudigste omgeving om die congruentie
Nadere informatieLineaire Algebra C 2WF09
Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09
Nadere informatieDefinitie 4.1. Als H en K normaaldelers zijn van een groep G en H K = {e} en HK = G dan noemt men G het direct product van
Hoofdstuk 4 Groepsconstructies 4.1 Direct product We gaan nu bestuderen hoe we van 2 groepen een nieuwe groep kunnen maken of hoe we een groep kunnen schrijven als een product van 2 groepen met kleinere
Nadere informatieHOOFDSTUK 0. = α g1 α g2
HOOFDSTUK 0 Acties van groepen 0.1 Groep-actie Uit de cursus Meetkunde en Lineaire Algebra van 1ste jaar Bachelor Wiskunde ([KI] in de referentielijst) weten we reeds wat een permutatiegroep G op een verzameling
Nadere informatieLineaire Algebra 3 en 4. Wieb Bosma
Lineaire Algebra 3 en 4 Wieb Bosma juni 2000/juni 2001 Inhoudsopgave 1 Vectorruimten 3 1.1 Inleiding........................................ 3 1.2 Lichamen....................................... 3 1.2.1
Nadere informatieboek Getallen 2009, errata (8 oktober 2011)
boek Getallen 009, errata (8 oktober 0) De toren van Hanoi 6 0 van a naar b } van a naar b }. 8 6 en x / B } en x / B }. - zonodig zo nodig De natuurlijke getallen 3 - vermenigvuldigeing vermenigvuldiging
Nadere informatieRINGEN EN LICHAMEN. Aanvullende opgaven met uitwerkingen
RINGEN EN LICHAMEN Aanvullende opgaven met uitwerkingen Hierna volgen een aantal aanvullende opgaven die gaan over kernbegrippen uit de eerste hoofdstukken van Ringen en Lichamen. Probeer deze opgaven
Nadere informatieUitgewerkte oefeningen
Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4
Nadere informatieDeelgroepen en normaaldelers
Hoofdstuk 2 Deelgroepen en normaaldelers 2.1 Wat is een deelgroep? Definitie 2.1. Een deelverzameling H van een groep G, is een deelgroep van G als en slechts als H niet leeg is en H, zelf een groep is.
Nadere informatieALGEBRA I. P. Stevenhagen
ALGEBRA I P. Stevenhagen 2015 INHOUDSOPGAVE ALGEBRA I 1. Wat is algebra? 7 Groepen, ringen en lichamen Symmetrieën van de ruit Rekenen modulo 8 Symmetrieën van het vierkant Permutaties van 4 elementen
Nadere informatieer zijn (p 2 p)/2 irreducibele polynomen van de graad 2 over F p het minimaal polynoom van a deelt ieder polynoom f(x) met f(a) = 0
Laatste nieuws van Algebra and Discrete Wiskunde (2WF50) College 8.b: Vragenuur Opgaven 11 en 12 van Test 4 op Oncourse Opgaven 2 en 3 van tentamen van april 2015 Opgaven 16 en 19 van 14.8 College 8.a:
Nadere informatieALGEBRA II. P. Stevenhagen
ALGEBRA II P. Stevenhagen 2010 INHOUDSOPGAVE ALGEBRA II 11. Ringen 5 Eenheden Voorbeelden van ringen Nuldelers Domeinen Homomorfismen en idealen Isomorfie- en homomorfiestellingen Chinese reststelling
Nadere informatieextra sommen bij Numerieke lineaire algebra
extra sommen bij Numerieke lineaire algebra 31 oktober 2012 1. Stel, we willen met een rekenapparaat (dat arithmetische bewerkingen uitvoert met een relatieve nauwkeurigheid ξ, ξ ξ) voor twee getallen
Nadere informatieOefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A
Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat
Nadere informatieTentamen algebra 1 Woensdag 24 juni 2015, 10:00 13:00 Snelliusgebouw B1 (extra tijd), B2, B3, 312
Tentamen algebra 1 Woensdag 24 juni 2015, 10:00 13:00 Snelliusgebouw B1 (extra tijd), B2, B3, 312 Je mag de syllabus en aantekeningen gebruiken, maar geen rekenmachine. Je mag opgaven 2.46, 2.49 en 8.13
Nadere informatieOpgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 1) Inleverdatum: 28 februari 2002
Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 1) Inleverdatum: 28 februari 2002 1. We vatten {0, 1} op als het lichaam F 2. Een schuifregisterrij is een rij {s n } n=0 in F 2 gegeven door r startwaarden s
Nadere informatiePlatonische transformatiegroepen
Platonische transformatiegroepen Luc Van den Broeck 8 augustus 2015 Samenvatting In dit document worden de transformatiegroepen van de platonische lichamen bestudeerd. Zonder te vervallen in algebraïsche
Nadere informatieRationale Punten op Elliptische Krommen
Rationale Punten op Elliptische Krommen Bart Sevenster 20 juli 2011 Bachelorscriptie Begeleiding: Prof. Dr. G. van der Geer 2 P 1 Q P Q 2 1 1 2 1 P Q 2 3 KdV Instituut voor wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen,
Nadere informatieOpgave 1 Bepaal welke van de volgende beweringen juist zijn: = Z2 Z 6 (R >0, ) = (R, +) (Z, +) = (Q, +)
Deeltentamen Groepentheorie (WISB221). A. Henriques, Nov 2012. Geef niet alleen anwoorden, maar bewijs al je beweringen. Opgave 1 Bepaal welke van de volgende beweringen juist zijn: [5pt] Z 5 = Z 4, Z
Nadere informatieKwadraatrepresentatie
Radboud Universiteit Nijmegen Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica. Kwadraatrepresentatie Het representeren van natuurlijke getallen als som van kwadraten. Bachelorscriptie Auteur:
Nadere informatiecyclotomische polynomen
Coëfficiënten van cyclotomische polynomen Joris Luijsterburg Studentnummer: 0314137 Maart 2009 Bachelorscriptie Onder begeleiding van Dr. W. Bosma Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en
Nadere informatieOF (vermits y = dy. dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0
Algemeen kunnen we een eerste orde differentiaalvergelijking schrijven als: y = Φ(x, y) OF (vermits y = dy dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0 Indien we dan P (x, y) en Q(x, y) kunnen schrijven als P (x,
Nadere informatieDiscrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma Voorwoord Dit zijn aantekeningen voor het vak Discrete Wiskunde (2WC15), gegeven in het lentesemester van 2010. Dit vak bestaat uit twee delen: algoritmische
Nadere informatieAffiene ruimten. Oefeningen op hoofdstuk Basistellingen
Oefeningen op hoofdstuk Affiene ruimten. Basistellingen Oefening.. Er zijn maar een eindig aantal lineaire afbeeldingen op een eindigdimensionale vectorruimte F n q over een eindig veld F q. Tel het aantal
Nadere informatieE.T.G. Schlebusch. Het Hasse-principe. Bachelorscriptie, 20 juni Scriptiebegeleider: dr. R.M. van Luijk
E.T.G. Schlebusch Het Hasse-principe Bachelorscriptie, 20 juni 2012 Scriptiebegeleider: dr. R.M. van Luijk Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Inhoudsopgave 1. Inleiding 2 2. Het lichaam van p-adische
Nadere informatieHoofdstuk 6. Congruentierekening. 6.1 Congruenties
Hoofdstuk 6 Congruentierekening 6.1 Congruenties We hebben waarschijnlijk allemaal wel eens opgemerkt dat bij vermenigvuldigen van twee getallen de laatste cijfers als het ware meevermenigvuldigen. Stel
Nadere informatieThis work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License. To view a copy of this license,
Inhoudsopgave 1 Groepen 1 1.1 Groepen, deelgroepen en voorbeelden.............. 1 1.2 Verdere definities en eigenschappen............... 8 1.3 Groepsmorfismen......................... 15 1.4 Cyclische
Nadere informatieTentamen algebra 1. 8 juni 2005, , zaal A.404
Tentamen algebra 1 8 juni 2005, 13.30 16.30, zaal A.404 Schrijf je naam en collegekaartnummer of het werk dat je inlevert. Het tentamen bestaat uit 5 opgaven. Beargumenteer telkens je antwoord. Veel succes!
Nadere informatieExamen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30)
Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit 2016-2017 (13:30-17:30) 1 Deel gesloten boek (theorie) (5.5pt) - indienen voor 14u30 (0.5pt) Geef de kleinste kwadratenoplossing van het stelsel AX = d,
Nadere informatieHet tellen van krommen op het product van twee projectieve lijnen over een eindig lichaam
Het tellen van krommen op het product van twee projectieve lijnen over een eindig lichaam Bas van Rooij 4155572 Begeleider: Prof. dr. C.F. Faber Universiteit Utrecht 17 juni 2016 Inhoudsopgave 1 Introductie
Nadere informatieUitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015
Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen
Nadere informatieHet pythagorasgetal van enkele commutatieve ringen
Het pythagorasgetal van enkele commutatieve ringen Nicolas Daans Bachelorproef in de fundamentele wiskunde vervaardigd onder begeleiding van prof. Karim Johannes Becher Voorgelegd aan de UA in mei 016
Nadere informatieExamen G0Q98 Discrete Wiskunde. 8 juni 2018
Examen G0Q98 Discrete Wiskunde. 8 juni 018 Vraag 1 wordt mondeling besproken vanaf 10u00. De andere vragen zijn zuiver schriftelijk. Het ganse examen is open boek. Gelieve bij het indienen je antwoordbladen
Nadere informatieVoorstel voor de inhoud van de cursus Algebra in het programma: Bachelor Wiskunde
Voorstel voor de inhoud van de cursus Algebra in het programma: Bachelor Wiskunde Aantal uren: A: 30, B:15 of A: 22,5, B: 22,5 1 Hermann Weyl introduceerde het woord coördinatiseren voor één van de basishandelingen
Nadere informatieComplexe functies 2019
Complexe functies 019 Extra opgaves Opgave A Laat zien dat R voorzien van de bewerkingen a + b := (a 1 +b 1,a +b ) a b := (a 1 b 1 a b,a 1 b +a b 1 ) isomorf is met C. Wat is i in deze representatie? Opgave
Nadere informatieAlgebraische Meetkunde. S. Caenepeel
Algebraische Meetkunde S. Caenepeel Syllabus 107 bij Algebraische Meetkunde Derde Bachelor Wiskunde (SD-ID 002523) 2015 Inhoudsopgave 1 Voorafgaande begrippen 3 1.1 Veeltermenringen...................................
Nadere informatie1 Groepen van orde 24.
1 1 Groepen van orde 24. Als G een groep van orde 24 is, dan zeggen de stellingen van Sylov: Het aantal 2-Sylow-groepen van G is 1 modulo 2 en bovendien een deler van 24, dus bedraagt 1 of 3. Het aantal
Nadere informatieEigenwaarden en eigenvectoren in R n
Eigenwaarden en eigenvectoren in R n Als Ax λx voor zekere x in R n met x 0, dan is λ een eigenwaarde van A en x een eigenvector van A behorende bij λ. Een eigenvector is op een multiplicatieve constante
Nadere informatieRelaties en Structuren
Relaties en Structuren Frank De Clerck & An De Wispelaere Bert Seghers 1 ste bachelor in de wiskunde Universiteit Gent Inhoudsopgave 1 Verzamelingenleer 3 1.1 Basisnotaties........................... 3
Nadere informatieGrafieken van veeltermfuncties
(HOOFDSTUK 43, uit College Mathematics, door Frank Ayres, Jr. and Philip A. Schmidt, Schaum s Series, McGraw-Hill, New York; dit is de voorbereiding voor een uit te geven Nederlandse vertaling). Grafieken
Nadere informatieHet vermoeden van Birch en Swinnerton-Dyer
K. S. Baak Het vermoeden van Birch en Swinnerton-Dyer Bachelorscriptie Scriptiebegeleider: dr. P. J. Bruin juni 2016 Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Notatie (i) We gebruiken de notatie N voor
Nadere informatieKU Leuven. Algebra. Notities. Tom Sydney Kerckhove. met dank aan: Katelijne Caerts Eline van der Auwera Anneleen Truijen
KU Leuven Algebra Notities Tom Sydney Kerckhove met dank aan: Katelijne Caerts Eline van der Auwera Anneleen Truijen Gestart 23 september 2014 Gecompileerd 1 juni 2015 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 6 1.1
Nadere informatieKU Leuven. Algebra. Notities. Tom Sydney Kerckhove
KU Leuven Algebra Notities Tom Sydney Kerckhove Gestart 23 september 2014 Gecompileerd 28 oktober 2014 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 3 1.1 Basisbegrippen....................................... 3 1.2 De
Nadere informatieOefeningen bij de Cursus Lineaire Algebra, Eerste Kandidatuur Informatica. Complexe Getallen en Veeltermvergelijkingen over R en C
Oefeningen bij de Cursus Lineaire Algebra, Eerste Kandidatuur Informatica Stefaan De Winter en Koen Thas Universiteit Gent, Vakgroep Zuivere Wiskunde en Computeralgebra Galglaan, Gent sgdwinte@cagerugacbe;
Nadere informatieOPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN
OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN 1.3.1. Er zijn 42 mogelijke vercijferingen. 2.3.4. De uitkomsten zijn 0, 4 en 4 1 = 4. 2.3.6. Omdat 10 = 1 in Z 9 vinden we dat x = c 0 +... + c m = c 0 +... + c m. Het getal
Nadere informatieHoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen
Hoofdstuk 9 Vectorruimten 9.1 Scalairen In de lineaire algebra tot nu toe, hebben we steeds met reële getallen als coëfficienten gewerkt. Niets houdt ons tegen om ook matrices, lineaire vergelijkingen
Nadere informatieOplosbaarheid van kegelsneden
Lennart Ackermans Oplosbaarheid van kegelsneden Bachelorscriptie Scriptiebegeleider: dr. Marco Streng 16 maart 2016 Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Kegelsneden
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 2015 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt
Nadere informatieVoorbereidende sessie toelatingsexamen
1/7 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Algebra en meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 25 april 2018 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal beschikbaar
Nadere informatieStefan Pouwelse. Epimorfismen. Bachelorscriptie, 10 september Scriptiebegeleider: prof.dr. H.W. Lenstra
Stefan Pouwelse Epimorfismen Bachelorscriptie, 10 september 2009 Scriptiebegeleider: prof.dr. H.W. Lenstra Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden 2 Inhoudsopgave 1. Diagrammen en colimieten 4 2. Geamalgameerde
Nadere informatieGetaltheorie groep 3: Primitieve wortels
Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Trainingsweek juni 2008 Inleiding Voor a relatief priem met m hebben we de orde van a modulo m gedefinieerd als ord m (a) = min { n Z + a n 1 (mod m) }. De verzameling
Nadere informatieSyllabus Algebra IIa. Prof. Dr G. van der Geer
Algebra II -1 Syllabus Algebra IIa voorlopige versie Prof. Dr G. van der Geer Faculteit Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam Plantage Muidergracht 24 1018 TV Amsterdam Versie: 2002 Algebra
Nadere informatie