Lineaire Algebra 3 en 4. Wieb Bosma

Transcriptie

1 Lineaire Algebra 3 en 4 Wieb Bosma juni 2000/juni 2001

2 Inhoudsopgave 1 Vectorruimten Inleiding Lichamen Definities Voorbeelden Definitie Opmerkingen en Definities Voorbeelden Definitie Opmerkingen Definities Stelling Definities Opmerkingen Opgaven Polynoomringen Definities Stelling Definities Algoritme van Euclides Voorbeeld Stelling Uitgebreid Algoritme van Euclides Voorbeeld Stelling Stelling Definitie Voorbeelden Lemma Stelling Opmerkingen Stelling Gevolg Opmerkingen Definitie Stelling Opmerkingen en Voorbeelden Vectorruimten Definitie

3 1.4.2 Opmerkingen Voorbeelden Definitie Opmerkingen Definities Opmerkingen Stelling [Hoofdstelling van de Lineaire Algebra] Stelling Voorbeelden Stelling Lemma Gevolgen Lineaire Afbeeldingen Definities Opmerkingen Stelling Matrices Voorbeeld Voorbeeld Enkele Constructies van Vectorruimten Definitie Stelling Gevolg Definities Stelling Stelling Definitie Stelling Definities Stelling Definitie Stelling Gevolg Voorbeelden en Opmerkingen Definitie Opmerkingen Definitie Stelling Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid Diagonaliseerbaarheid Definities Stelling Definitie Stelling Opmerkingen Voorbeeld Eigenruimten Stelling Gevolg

4 2.2.3 Definitie Lemma Opmerkingen Voorbeeld Definitie Stelling Gevolg Stelling Voorbeeld Stelling Lemma Stelling Cayley-Hamilton Lemma Opmerkingen Stelling [Cayley-Hamilton] Voorbeeld Toepassingen Voorbeeld Jordan normaalvorm Voorbeeld Definities Voorbeeld Definitie Lemma Stelling Stelling Gevolg Lemma Gevolg Stelling Gevolg Inproductruimten Bilineaire Vormen Definitie Voorbeelden Stelling Definitie Stelling Opmerking Stelling Gevolg Voorbeeld Stelling Definitie Voorbeeld Stelling Definitie Opmerkingen

5 Stelling Gevolg Voorbeeld Reëel-symmetrische bilineaire vormen Definitie Stelling Gevolg Gevolg Voorbeeld Gevolg Voorbeeld Inproductruimten Definities Opmerkingen Voorbeelden Stelling Definities Opmerkingen Definities Voorbeelden Stelling Opmerkingen Transformaties van Inproductruimten Inleiding Orthogonale en Unitaire Transformaties Definitie Stelling Definities Stelling Definitie Stelling Definitie Stelling Definitie Stelling Stelling Symmetrische en Hermitese Transformaties Definitie Stelling Definitie Stelling Definitie Stelling Stelling Gevolg Geadjungeerde en Normaliteit Lemma Stelling Stelling

6 4.4.4 Definitie Stelling Stelling Propositie Propositie Definitie Gevolg Gevolg Stelling Stelling Stelling Definitie Stelling Stelling Stelling

7 Voorwoord Dit zijn de aantekeningen bij de colleges Lineaire Algebra 3 en 4, zoals gegeven in de voorjaarskwartalen van 2000 en opnieuw in 2001, aan eerstejaars wiskundestudenten van de Universiteit Nijmegen. Nadat in Lineaire Algebra 1 en 2 de basisbegrippen voor vectorruimten en lineaire afbeeldingen daartussen over R zijn gegeven, wordt in Lineaire Algebra 3 begonnen met generalisatie naar willekeurige grondlichamen. Daartoe wordt in het eerste hoofdstuk een korte introductie in abstracte algebra, vooral lichamen en (polynoom)ringen, gegeven waarna in de volgende drie hoofdstukken vooral de vraag van diagonaliseerbaarheid van matrices behorende bij lineaire afbeeldingen tussen eindig-dimensionale vectorruimten centraal staat. Eerst komen, in Hoofdstuk 2, eigenwaarden en eigenruimten aan de orde, daarna de stelling van Cayley-Hamilton. De Jordan normaalvorm van matrices wordt in deze aantekeningen wel kort behandeld, maar is door tijdgebrek op het college nauwelijks aan de orde gekomen. In de Hoofdstukken 3 en 4 komen inproductruimten aan de orde. Na een algemene inleiding over bilineaire vormen, spitst de behandeling zich weer toe op reële en complexe vectorruimten. In Hoofdstuk 4 wordt gekeken naar lineaire afbeeldingen die, op een of andere manier, inproducten behouden: unitaire (orthogonale) en Hermitese (symmetrische) afbeeldingen (en hun matrices), alsmede de diagonaliseerbaarheid daarvan. Tevens is een sectie over geadjungeerden, normaliteit en het verband met unitaire en Hermitese afbeeldingen toegevoegd. Gedurende 15 weken werd wekelijks 2 uur college gegeven aan de hand van dit dictaat, gevolgd door 2 uur tutoruur (in 2001 alleen in het derde kwartaal van het academisch jaar). Met het oog op dat tutoruur zijn in de tekst een groot aantal opgaven verwerkt. Bovendien was er wekelijks een werkcollege van 2 uur voor het maken van wat uitgebreidere opgaven (die niet allemaal in dit dictaat zijn opgenomen). Tijdens het college Computergebruik is door middel van Maple worksheets kort het nut van computeralgebrasystemen voor berekeningen in de lineaire algebra aan de orde gekomen. Mijn aantekeningen zijn gebaseerd op het eerder gebruikte dictaat Algebra B, geschreven door Arno van den Essen, en op delen van het boek Lineaire Algebra van Friedberg, Insel en Spence. Mijn dank gaat ook uit naar de tutor, Josephine Buskes, en naar Jan-Willem Bikker, Stefan Maubach, Lucie van der Logt en Ard Willems, die het werkcollege begeleidden. Niet alleen namen zij mij veel begeleidend werk uit handen en bedachten zij goede vragen voor tutoruren en werkcolleges, maar ook gaven ze nuttige kritiek op, en wezen ze op fouten in, mijn aantekeningen. Meron B. en Daan W. worden bedankt voor opmerken van diverse foutjes. Tenslotte dank aan alle studenten die het vak in deze vorm volgden en te kampen kregen met kinderziekten in het dictaat, en het laat ontvangen van delen daarvan. Een schrale troost voor hen: het dictaat is nu af en volgend jaar moet het vak weer helemaal anders worden. Wieb Bosma, juni 2000, juni

8 Hoofdstuk 1 Vectorruimten 1.1 Inleiding In Lineaire Algebra 1 heb je al kennis gemaakt met het begrip vectorruimte. In dit hoofdstuk gaan we dat begrip generaliseren, en wel door toe te staan dat de scalairen uit andere objecten bestaan dan slechts de reële getallen, waartoe ze tot dusverre beperkt waren. De scalairen moeten aan zekere eisen voldoen om de gegeneraliseerde definitie zinnig te maken; zo moet je scalairen kunnen optellen en met elkaar vermenigvuldigen, en moeten er scalaire elementen 1 en 0 zijn. Het blijkt prettig te zijn om te eisen dat de scalairen een lichaam vormen. Onze eerste taak zal zijn om lichamen te definiëren en er voorbeelden van te geven. Lichamen zijn speciale gevallen van ringen, die op veel plaatsen in de algebra opduiken. We zullen hier in het bijzonder geïnteresseerd zijn in ringen van matrices en van polynomen. 1.2 Lichamen Voor een algemenere definitie van vectorruimte zullen we eigenschappen van de reële getallen bestuderen en proberen in een abstracte definitie te vangen. Vervolgens zullen we kijken naar andere objecten die aan diezelfde eigenschappen voldoen. De eigenschappen waar we op doelen zijn niet die van de reële getallen zelf, maar van de operaties die je er op uit kunt voeren: je kunt reële getallen bij elkaar optellen, en je kunt ze met elkaar vermenigvuldigen. Een lichaam zal een verzameling zijn waar we op soortgelijke manier 2 operaties hebben die aan dezelfde eigenschappen moeten voldoen. Die eigenschappen zijn dat het niet uitmaakt in welke volgorde je getallen optelt (of vermenigvuldigt), dat er speciale reële getallen zijn (namelijk 0 en 1) die bij optelling of vermenigvuldiging geen effect hebben, en de manier waarop de vermenigvuldiging zich verdeelt over de optelling (we maken dat precies in 1.2.3). Maar eerst definiëren we wat een bewerking is, omdat we meer algemene operaties willen toestaan dan alleen optelling en vermenigvuldiging. Als V een verzameling is, geven we met V V de verzameling geordende paren (v 1, v 2 ) met v 1, v 2 V, aan Definities Een bewerking op een verzameling V is een afbeelding van V V naar V. Een bewerking is commutatief als v 1 v 2 = v 2 v 1 voor elk tweetal v 1, v 2 V, en een bewerking heet associatief als (v 1 v 2 ) v 3 = v 1 (v 2 v 3 ), voor elk drietal v 1, v 2, v 3. Met andere woorden: een bewerking voegt aan elk paar elementen van V een derde element toe. Bij een commutatieve bewerking maakt het niet uit in welke volgorde je de bewerking 7

9 uitvoert en voor een associatieve bewerking maakt het niet uit hoe je de haakjes zet in v 1 v 2 v Voorbeelden Je kent al heel veel voorbeelden van bewerkingen: we keken al naar de optelling en vermenigvuldiging van reële getallen. Let wel op: bij een bewerking hoort een verzameling. Je kunt niet zeggen dat + een bewerking is, maar wel dat + een bewerking is op de reële getallen (of gehele getallen, enz.). (i) Optellen vormt een bewerking op de natuurlijke getallen N. Evenzo vermenigvuldigen. (ii) Aftrekken is een bewerking op de gehele getallen Z. (iii) Delen is een bewerking op de verzameling rationale getallen Q (maar niet op de gehele getallen) ongelijk aan nul. (iv) Zowel optellen als vermenigvuldigen is een bewerking op M n (R), de n n matrices met reële coëfficiënten. (v) Als X een verzameling is, dan kun je aan twee afbeeldingen f en g van X naar zichzelf een nieuwe afbeelding g f toevoegen, door (g f)(x) = g(f(x)). Deze samenstelling g f van de afbeeldingen f en g is zelf ook weer een afbeelding X X. Dus is een bewerking op de afbeeldingen van X naar zichzelf. Als speciaal geval kun je bijvoorbeeld kijken naar alle functies van R naar R. Opgave 1. Laat zien dat de samenstelling van functies R R associatief is Definitie Een lichaam is een verzameling V met daarop twee bewerkingen + en, die voldoen aan: [L1] de operatie + op V is associatief: (x + y) + z = x + (y + z), voor alle x, y, z V ; [L2] er is een (nul)element 0 V zodanig dat 0 + x = x + 0 = x voor alle x V ; [L3] bij elke x V is er een tegengestelde x V zodanig dat x + ( x) = ( x) + x = 0; [L4] de operatie + op V is commutatief: x + y = y + x voor alle x, y V ; [L5] de operatie op V is associatief: (x y) z = x (y z), voor alle x, y, z V ; [L6] er is een (eenheids)element 1 V zodanig dat 1 x = x 1 = x voor alle x V ; [L7] bij elke x V met x 0 is er een inverse x 1 V zodanig dat x x 1 = x 1 x = 1; [L8] de operatie op V is commutatief: x y = y x voor alle x, y V ; [L9] de operatie is distributief over +, dat wil zeggen: x (y + z) = (x y) + (x z) en (x + y) z = (x z) + (y z), voor alle x, y, z V Opmerkingen en Definities Een lichaam bestaat dus uit een drietal (V, +, ), namelijk een verzameling V met twee bewerkingen daarop. In deze definitie hebben we de bewerkingen met + en aangegeven, omdat in voorbeelden die we kennen (zoals de reële getallen) dat natuurlijk is. Maar de bewerkingen hoeven helemaal geen optelling of vermenigvuldiging te zijn daarvan zien we zo voorbeelden. Er zijn heel veel belangrijke algebraïsche strukturen die bestaan uit een verzameling V, en één of twee operaties die voldoen aan een deelverzameling van de axioma s L1 9. Een groep is een verzameling met een bewerking die voldoet aan L1 3, en een abelse groep voldoet bovendien aan L4. Een ring met 1 is een verzameling V met operaties + en die voldoen aan L1 6 en aan L9; als deze bovendien aan L8 voldoet, is het een commutatieve ring met 1. In een lichaam kun je dus elk tweetal elementen optellen en aftrekken, vermenigvuldigen en delen (mits de deler maar niet nul is). In een ring kun je niet altijd een inverse vinden van een element, en kun je dus niet altijd delen. Een lichaam vormt een abelse groep ten opzichte 8

10 van de optelling +, en de elementen die niet nul zijn vormen een abelse groep ten opzichte van de vermenigvuldiging. Als (V, +, ) een ring (of lichaam) is en een deelverzameling U V vormt met dezelfde bewerkingen ook een ring (of lichaam), dan zeggen we dat (U, +, ) een deelring (of deellichaam) van V is. We zeggen wel dat U een deelring is van V (en bedoelen dan: met dezelfde bewerkingen). Wanneer wij in het vervolg over een ring spreken, bedoelen we altijd een ring met eenheidselement. Voor een deelring moeten we dan ook eisen dat het eenheidselement 1 V ook in U zit (en daar het eenheidselement is). Opgave 2. Laat zien dat r 0 = 0 voor elk element r in een ring R, door 0 = s s te schrijven Voorbeelden (i) (R, +, ): de reële getallen vormen onder optelling en vermenigvuldiging een lichaam. (ii) (Q, +, ): de rationale getallen (breuken) vormen onder optelling en vermenigvuldiging een lichaam. Het is duidelijk dat (Q, +, ) een deellichaam is van (R, +, ). (iii) (C, +, ): de complexe getallen vormen onder optelling en vermenigvuldiging een lichaam. Hiervan is (R, +, ) een deellichaam! (iv) De verzameling V = {0} met de gewone optelling en vermenigvuldiging vormt een ring die uit maar 1 element bestaat; in het bijzonder is 0 = 1 in deze ring! Omdat dit speciale geval soms tot complicaties leidt, zullen we het vanaf nu expliciet uitsluiten, en eisen: de ringen die wij beschouwen hebben ten minste twee verschillende elementen 0 1. (v) De gehele getallen vormen geen lichaam onder optelling en vermenigvuldiging omdat je van 0 z Z geen inverse kunt vinden, tenzij z { 1, 1}. Maar (Z, +, ) vormt wel een commutatieve ring met 1. (vi) In het college Rekenkunde heb je gezien hoe je met restklassen van de gehele getallen modulo m > 1 kunt rekenen. Deze restklassen modulo m vormen voor elke m > 1 een commutatieve ring met 1 ten opzichte van optelling en vermenigvuldiging, die we met Z/mZ aangeven. Niet alle elementen (ongelijk 0) hebben een inverse in Z/mZ tenzij m een priemgetal is: dus de ring Z/pZ is een lichaam (p is een priemgetal) onder + en dat uit precies p verschillende elementen bestaat. Zo n eindig lichaam Z/pZ wordt ook wel met F p aangegeven. Later zullen we zien dat voor elke macht m = p k van een priemgetal p er een eindig lichaam van m elementen bestaat (en voor geen enkel ander natuurlijk getal m). Bovendien is er in essentie maar één zo n lichaam. (vii) Als R een commutatieve ring met 1 is (bijvoorbeeld één van de ringen of lichamen die we hierboven zagen) kun je daaruit een nieuwe ring R[x] van polynomen met coëfficiënten in R maken: de verzameling bestaat uit de polynomen of veeltermen n i=0 a ix n = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n, waar n 0 een geheel getal is. De operaties zijn de optelling van polynomen: max(m,n) n m a i x i + b j x j = (a i + b i )x i, i=0 j=0 en de vermenigvuldiging van polynomen i=0 j=0 i=0 n m m+n k ( a i x i ) ( b j x j ) = ( a i b k i )x k. 9 k=0 i=0

11 Hier nemen we a i = 0 voor alle i > n en b j = 0 voor j > m. Deze polynoomring R[x] is zelf weer een commutatieve ring met 1, maar geen lichaam omdat bijvoorbeeld het polynoom x geen inverse heeft. (viii) In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je gezien dat je vierkante matrices van reële getallen kunt optellen en vermenigvuldigen. Veel algemener kunnen we bij elke commutatieve ring met 1 een nieuwe ring van n n matrices M n (R) met coëfficiënten in R maken: de verzameling bestaat uit vierkante n n matrices, en de operaties zijn de optelling van matrices, waar de som van a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn en b 11 b 12 b 1n b 21 b 22 b 2n b n1 b n2 b nn gedefinieerd is door a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2n + b 2n a n1 + b n1 a n2 + b n2 a nn + b nn en vermenigvuldiging van matrices, middels het product n i=1 a 1i b n i1 i=1 a 1i b i2 n i=1 a 1i b n in i=1 a 2i b n i1 i=1 a 2i b i2 n i=1 a 2i b in n i=1 a ni b n i1 i=1 a ni b i2 n i=1 a ni b in Met andere woorden: je telt zulke matrices op en je vermenigvuldigt ze op precies dezelfde manier als waarop je dat eerder hebt gezien in het speciale geval dat alle coëfficiënten reëel waren. Voor elke n krijgen we zo (voor gegeven commutatieve ring R) een nieuwe ring. Als n > 1 is die ring M n (R) niet commutatief! Opgave 3. Laat zien dat de deelverzameling van Z bestaande uit de even getallen voldoet aan L1 5 en L8 9. Dit is een commutatieve ring zonder eenheidselement, die we niet als deelring van Z beschouwen (omdat 1 er niet in zit). We hebben gezien dat elke ring R (dus in het bijzonder elk lichaam) in ieder geval de elementen 0, 1 bevat. Maar dan moet ook 1+1 in R zitten, een element dat we gewoonlijk met 2 aangeven. Maar let op: het kan best zijn dat 2 gelijk is aan één van de elementen die we al opschreven: 0 of 1. Maar als 1+1 = 1 dan moet 1 = 0 (want tel bij beide kanten de tegengestelde 1 op), en dat hebben we juist verboden. Dus 2 is een nieuw element òf gelijk aan 0. Datzelfde argument kun je herhalen: R komt al voor onder {0, 1, 2} òf het is een nieuw element; in het eerste geval moet = Definitie Laat R een ring zijn; als er een natuurlijk getal m bestaat zodanig dat = m 1 = 0 R, dan is de karakteristiek van R het kleinste positieve natuurlijke getal met die eigenschap; als zo n m niet bestaat is de karakteristiek per definitie 0. 10

12 1.2.7 Opmerkingen Als de karakteristiek van R gelijk aan 0 is, dan zijn alle elementen 1, 2, 3,... verschillend: er bestaat dan een injectie van Z R. Omgekeerd, als er zo n injectieve afbeelding bestaat moet de karakteristiek wel 0 zijn. Opgave 4. Geef voor elk natuurlijk getal m 2 een voorbeeld van een ring van karakteristiek m. Vervolgens kijken we naar twee speciale soorten elementen in een ring Definities Een element r van een ring R heet een eenheid in R als er een inverse voor r in R bestaat (dus een element s R met r s = s r = 1). De inverse van r geven we meestal met r 1 aan. Een element r R heet een nuldeler in R als er een element s R bestaat zodat r s = 0 of s r = 0 terwijl s 0. Opgave 5. Laat zien dat in een lichaam elk element dat niet 0 is een eenheid is. Opgave 6. Geef twee elementen r, s van M 2 (Z) met de eigenschap dat r s = 0 maar s r Stelling Een eenheid in een ring R kan geen nuldeler zijn. Bewijs. Laat r R een eenheid zijn, en veronderstel dat r ook een nuldeler is omdat er een t R is met r t = 0 R. (Het geval t r = 0 gaat net zo.) Omdat r een eenheid is, is er een s met s r = 1. Dan is t = 1 t = (s r) t = s (r t) = s 0 = 0, (volgens opgave 2) dus t = 0, in tegespraak met de definitie van nuldeler. In de algebra spelen naast objecten met een bepaalde struktuur, zoals groep, ring, lichaam, en vectorruimte, afbeeldingen tussen zulke objecten die de struktuur behouden een belangrijke rol Definities Een ringhomomorfisme is een afbeelding f: R S tussen ringen R en S die voldoet aan de eigenschappen: (i) f(1) = 1; (ii) f(a + b) = f(a) + f(b), voor alle a, b R; (iii) f(a b) = f(a) f(b), voor alle a, b R. Een ringisomorfisme is een bijectief ringhomomorfisme. Een ringautomorfisme is een ringisomorfisme tussen R en zichzelf. Opgave 7. Laat zien dat de afbeelding f: Z Q die aan een geheel getal n de breuk n/1 toevoegt een homomorfisme is. Is dit een ringisomorfisme? Opgave 8. Laat zien dat de afbeelding f: Z Z/nZ die aan een geheel getal n de restklasse n mod m toevoegt een homomorfisme is. Is dit een ringisomorfisme? 11

13 Opmerkingen De eis dat f(1) = 1 kunnen we stellen omdat we hebben aangenomen dat elke ring een eenheidselement heeft. De identieke afbeelding is altijd een ringisomorfisme. Een ringisomorfisme tussen twee ringen drukt uit dat de twee ringen dezelfde struktuur hebben (als ring); dit maakt het bijvoorbeeld mogelijk om preciezer uit te drukken (vgl ) dat er in essentie maar één lichaam van p elementen bestaat, voor een priemgetal p: elk lichaam van p elementen is isomorf met Z/pZ Opgaven Opgave 9. Wat is het eenheidselement, en wat is het nulelement in R[x]? En in M n (R)? Opgave 10. Zij een bewerking op een verzameling V. Definieer voor n 3 het product v 1 v 2 v n inductief (voor v i V ) door (v 1 v 2 v n 1 ) v n. Laat (met behulp van inductie naar n) zien dat als associatief is, voor alle n 3 en alle k met 1 k n 1 geldt: (v 1 v 2 v k ) (v k+1 v n ) = v 1 v 2 v n. Opgave 11. Bewijs dat het eenheidselement 1 R uniek bepaald is. Opgave 12. Laat (R, +, ) een ring zijn; bewijs dat een deelverzameling S van R een deelring is als: (i) 1 R S; (ii) als a, b S dan ook a b S; (iii) als a, b S dan ook a b S. Opgave 13. Laat zien dat de eenheden van een ring R een groep vormen onder. Deze groep geven we aan met R. Opgave 14. Geef een voorbeeld van een ring zonder nuldelers waarin niet elk element (ongelijk aan 0) een eenheid is. Opgave 15. Bewijs dat M n (R) bestaat uit de n n reële matrices met determinant ongelijk aan 0. Deze groep geven we ook wel met Gl n (R) aan. Waarom is dit geen ring (voor elke n > 0)? Opgave 16. Beschrijf Gl n (Z), en algemener, de groep Gl n (R) voor een commutatieve ring R. Opgave 17. Laat zien dat complexe conjugatie (de afbeelding die aan een complex getal a + bi het getal a bi toevoegt) een isomorfisme C C geeft. Opgave 18. Bewijs dat de ring Z/nZ een lichaam is dan en slechts dan als n een priemgetal is. Opgave 19. Als V een verzameling is, geven we met P (V ) de machtsverzameling van V aan: P (V ) bestaat uit de deelverzamelingen van V. Laat zien dat (P (V ), +, ) een commutatieve ring (met 1) wordt als we de optelling + en vermenigvuldiging definiëren door voor deelverzamelingen A, B V te nemen: A + B = (A B) \ (A B), A B = A B. Laat ook zien dat P (V ) zo alleen een lichaam wordt als #V = 1. Opgave 20. De quaternionen van Hamilton H worden gedefinieerd als uitdrukkingen van de vorm a + bi + cj + dk met a, b, c, d R. Twee zulke uitdrukkingen a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k en a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k zijn hetzelfde dan en slechts dan als a 1 = a 2 en b 1 = b 2 en c 1 = c 2 en d 1 = d 2. Optellen geschiedt componentsgewijs, hetgeen som a 1 + a 2 + (b 1 + b 2 )i + (c 1 + c 2 )j + (d 1 + d 2 )k geeft, en vermenigvuldiging vindt plaats met de regels: i 2 = j 2 = k 2 = 1 i j = k j i = k j k = i k j = i k i = j i k = j. 12

14 Laat zien dat H met deze bewerkingen een niet-commutatieve ring vormt. (Voor het bewijs van associativiteit van vermenigvuldiging helpt het om a + bi + cj + dk = (a + bi) + (c + di)j te schrijven.) Geef een isomorfisme aan van H met de deelring van M 2 (C) bestaande uit matrices A I + B J + C K + D L, waar A, B, C, D R en I = ( ) ( i 0, J = 0 i ) ( 0 1, K = 1 0 ) ( 0 i, L = i 0 Laat ook zien dat a + bi + cj + dk een inverse heeft tenzij a = b = c = d = 0, door te kijken naar (a + bi + cj + dk) (a bi cj dk). De quaternionen vormen een scheeflichaam: een ring die aan alle axioma s voor een lichaam voldoet behalve de commutativiteit [L8]. ). 13

15 1.3 Polynoomringen Eén van de belangrijkste ringen die we tegenkomen is de ring van polynomen (of veeltermen) over R in de variabele (of onbekende) x, die we aangeven met R[x]. In deze paragraaf zijn een aantal belangrijke eigenschappen van deze ringen en hun elementen op een rijtje gezet. We nemen steeds aan dat R een commutatieve ring (met 1) is Definities Een polynoom over R is element van R[x], en dat is van de vorm f = a n x n + a n 1 x n a 1 x+a 0, waar a i R. Zo n polynoom bestaat dus uit een som van termen a i x i ; een polynoom dat uit één zo n term bestaat heet ook wel een monoom. De a i zijn de coëfficiënten van het polynoom; gewoonlijk schrijven we alleen termen met a i 0 op (tenzij alle coëfficiënten nul zijn: we schrijven dan gewoon 0). De graad van f 0 (notatie: deg f) is de hoogste macht van x n die met niet-nul coëfficiënt voorkomt, en de coëfficiënt van deze x n heet de kopcoëfficient. Als de kopcoëfficiënt 1 is noemen we het polynoom monisch. De coëfficiënt a 0 heet de constante coëfficiënt. Als a i = 0 voor alle i > 0 dan heet polynoom een constant polynoom. Het nulpolynoom is het constante polynoom 0; de graad hiervan is per definitie. De x in deze uitdrukkingen is de onbepaalde, of variabele. De regels voor optellen en vermenigvuldigen (die R[x] tot een commutatieve ring maken) zagen we al in Net als bij vermenigvuldiging van reële getallen schrijven we vaak f g of fg voor het product f g van polynomen. Merk op dat het nulelement, resp. het eenheidselement van R[x] de constante polynomen 0, resp. 1 zijn. Waarschijnlijk ben je polynomen al eerder tegengekomen als functies; het is belangrijk op te merken dat we polynomen hier niet in de eerste plaats als functies beschouwen, maar als elementen van een ring. Een polynoom f R[x] definieert wel een afbeelding f : R R omdat we f kunnen evalueren: zo is f(r) = a n r n + a 1 r + a 0 1 R voor f als boven. We noemen f(r) ook wel de waarde van f in r. Een nulpunt van f in R is een r R zodanig dat f(r) = 0. Als R een deelring van S is, kunnen we elementen van R via de inbedding ook als elementen van S opvatten; dat betekent dat we in dit geval f R[x] ook kunnen evalueren in een s S: f(s) S. Opgave 21. Laat zien dat als R geen nuldelers heeft voor de graden van polynomen geldt: deg fg = deg f + deg g. [Let op het nulpolynoom!] Sommige eigenschappen van R[x] hangen af van die van R; een heel belangrijk speciaal geval is dat waar R een lichaam is, dat we in deze paragraaf steeds met K zullen aangeven. In heel veel opzichten lijkt K[x] op de ring Z: zoals we zullen zien kun je polynomen over K net als gehele getallen ontbinden in factoren, en kun je een grootste gemene deler van twee zulke polynomen vinden (en wel met hetzelfde algoritme als waarmee dat in Z kan). Opgave 22. Bewijs dat R[x] nuldelers heeft dan en slechts dan als R nuldelers heeft. In het vervolg nemen we steeds polynomen f = a m x m + a m 1 x m 1 + a 1 x + a 0 en g = b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 uit R[x], (met a m 0 en b n 0). De eerste stap bestaat uit het imiteren van de gebruikelijke deling met rest. Dat gaat goed als de deler g een inverteerbare kopcoëfficiënt heeft (dus bijvoorbeeld als g monisch is). 14

16 1.3.2 Stelling Laat f, g R[x] als boven, en veronderstel dat b n een eenheid in R is. polynomen q, r R[x] zodat: bovendien zijn deze q en r uniek bepaald. f = q g + r, deg r < deg g; Dan bestaan er Bewijs. Eerst bewijzen we het bestaan van q en r, met inductie naar de graad m = deg f. Omdat de kopcoëfficiënt van g inverteerbaar is, is deg g 0; we mogen ook aannemen dat m = deg f deg g = n, want anders voldoen q = 0 en r = f. Als m = 0 dan is f = a 0 en g = b 0, en omdat bij aanname b n = b 0 inverteerbaar is, geldt de gevraagde gelijkheid met r = 0 en q = a 0 b 1 0. Laat nu m 1; beschouw h = f a mb 1 n x m n g. Als dit polynoom 0 is voldoen r = 0 en q = a m b 1 n x m n aan de gestelde eisen. Is dit niet het geval, dan is deg h < degf omdat de kopcoëfficiënten van f en a m b 1 n x m n g precies tegen elkaar wegvallen. We kunnen dan op h en g de inductiehypothese toepassen: er bestaan q en r met h = q g + r en deg r < deg g; maar dan is f = h + a m b 1 n xm n g = (a m b 1 n xm n + q )g + r, en voldoen q = a m b 1 n xm n + q en r = r aan alle condities. Om de uniciteit te bewijzen veronderstellen we dat f = q g + r = q g + r, beide aan de eisen voldoen. Dan is (q q )g = r r. Stel dat r r. Dan is q q. Omdat b n R een eenheid is, is g geen nuldeler, en dus is (zie opgave): deg(r r ) = deg(q q )g = deg g + deg(q q ) deg g, hetgeen in tegenspraak is met deg r < deg g en deg r < deg g. Dus r = r, maar dan is (q q )g = 0 en moet q = q. Opgave 23. Geef twee polynomen f, g Z[x] waarbij je geen q, r Z[x] kunt vinden met f = q g + r, deg r < deg g. Opgave 24. Met welke veranderingen geeft bovenstaande stelling deling met rest in Z in plaats van R[x]? Definities Als d, f R[x] dan is d een deler van f (notatie d f) als er een q R[x] bestaat met f = qd; we zeggen ook dat d het polynoom f deelt, dat f deelbaar is door d in R[x], en dat f een veelvoud is van d. Merk op dat elk polynoom een deler is van 0. Een gemene deler van f, g R[x] is een d R[x] die zowel f als g deelt; een grootste gemene deler van f en g is een gemene deler d R[x] van f en g met de eigenschap dat elke andere gemene deler d een deler van d is. Zo n grootste gemene deler geven we aan met ggd(f, g). Opgave 25. Vergelijk deze definities met de overeenkomstige definities voor Z. Bestaat een grootste gemene deler in Z voor elk tweetal elementen, en als deze bestaat, is deze dan uniek bepaald? Je kunt dezelfde definities gebruiken voor een lichaam, zoals Q; heeft elk tweetal uit Q een grootste gemene deler, en in hoeverre is deze uniek? Om te laten zien dat polynomen over een lichaam altijd een grootste gemene deler hebben, geven we algoritme om deze te vinden. Achteraf bewijzen we dan dat het algoritme altijd werkt, en een juist antwoord geeft. 15

17 1.3.4 Algoritme van Euclides Gegeven: polynomen f, g K[x]; Levert: de monische grootste gemene deler d K[x] van f en g. [1] Initialiseer: F = 0, G = f and r = g. [2] Herhaal de volgende stappen zolang r 0: (i) vervang F door G en G door r; (ii) bepaal q, r zodanig dat F = qg + r met deg r < deg G; [3] Lever d = G/G k af waar G k de kopcoëfficiënt van G is. Opgave 26. Ga na: als deg g > deg f bij het begin van dit algoritme, dan is na één keer uitvoeren van stap [2] het resultaat dat f en g verwisseld zijn. Opgave 27. Wijzig het algoritme zodanig dat het resultaat grootste gemene delers in Z geeft Voorbeeld We bepalen bij wijze van voorbeeld de monische grootste gemene deler van f = x 6 +x 4 x 3 x en g = x 5 +2x 3 +x 2 +x+1 in Q[x]. In stap [2](i) wordt F 0 = 0, G 0 = f en r = g; elke keer dat in het algoritme F en G vervangen worden verhogen we in dit voorbeeld de index van F i en G i, en we geven de bijbehorende q en r dezelfde index. In stap [2](i) wordt dan F 1 = G 0 = f en G 1 = r = g. Deling met rest (bijvoorbeeld door een staartdeling) levert op dat F 1 = x G 1 + ( x 4 2x 3 x 2 2x), dat wil zeggen: q 1 = x en r 1 = x 4 2x 3 x 2 2x. Dus krijgen we F 2 = G 1 = x 5 +2x 3 +x 2 +x+1 en G 2 = x 4 2x 3 x 2 2x; waarna quotiënt q 2 = x + 2 rest r 2 = 5x 3 + x 2 + 5x + 1 geeft: F 2 = ( x + 2)G 2 + (5x 3 + x 2 + 5x + 1). Vervolgens, met F 3 = G 2 = x 4 2x 3 x 2 2x en G 3 = 5x 3 + x 2 + 5x + 1 krijgen we q 3 = 1/5x 9/25 en r 3 = 9/25x 2 + 9/25: F 3 = ( 1 5 x 9 25 )G 3 + ( 9 25 x ). Dus F 4 = G 3 = 5x 3 + x 2 + 5x + 1 en G 4 = 9 25 x , waarmee F 4 = ( x )G Met q 4 = 125/9x + 9/25 krijgen we rest 0 en daarom termineert het algoritme na het afleveren van G 4 / 9 25 = x Stelling In een polynoomring K[x] over een lichaam K heeft elk tweetal polynomen f, g een grootste gemene deler d; deze is bepaald op vermenigvuldiging met niet-nul elementen uit K na, en daarom uniek als we opleggen dat d monisch is. Het bovenstaande algoritme bepaalt deze unieke monische grootste gemene deler. Bewijs. Als f = 0 dan is g een grootste gemene deler van f en g en omgekeerd; dus we nemen nu aan (zonder beperking der algemeenheid) dat deg f deg g 0. 16

18 De crux van het bewijs is de opmerking dat als d een gemene deler is van f en g, dan ook van elke lineaire combinatie af + bg: immers, als f = ud en g = vd voor zekere u, v R[x] dan is af + bg = aud + bvd = (au + bv)d. Passen we dit toe op r = f qg, met q, r bepaald uit deling met rest, dan zien we dat d een gemene deler is van f, g dan en slechts dan als het gemene deler van g, r is: dus is de grootste gemene deler van f, g, gelijk aan de grootste gemene deler van g, r, mits één van beide bestaat. Dit argument gaan we herhalen, als in het algoritme van Euclides. Laat daartoe F 1 = f en G 1 = g en laat d een gemene deler van f en g zijn. Bepaal q 1 en r 1 zodat F 1 = q 1 G 1 + r 1 ; dan zijn de gemene delers van F 1, G 1 dezelfde als die van G 1, r 1. We vervangen daarom het paar F 1, G 1 door F 2 = G 1, G 2 = r 1, met dezelfde gemene delers, maar met deg G 2 = deg r 1 < deg G 1. Zo vinden we uit een paar F i, G i een nieuw paar F i+1, G i+1 met dezelfde gemene delers, maar met deg G i+1 < deg G i. Na eindig veel stappen vinden we G n met deg G n 0 en deg G n+1 =, dat wil zeggen, dat G n+1 = 0. We zijn terug in de situatie die we allereerst bekeken en nu hebben F n+1 = G n en G n+1 = 0 een grootste gemene deler G n. Dat toont in alle gevallen het bestaan van een grootste gemene deler aan. Uniciteit volgt omdat voor twee verschillende grootste gemene delers d en d enerzijds geldt dat d = qd en anderzijds d = q d. Tesamen is d = qq d, dus (1 qq )d = 0. Als d 0 dan moet 1 qq = 0 (want K[x] heeft geen nuldelers), dus qq = 1. Dan zijn q en q polynomen van graad 0, dus constanten. Dat bewijst dat d en d een constante factor schelen; eisen we dat de grootste gemene deler monisch is, dan is deze dus uniek bepaald. Een kleine toevoeging aan het algoritme van Euclides maakt het mogelijk niet alleen de monische grootste gemene deler d = ggd(f, g) van 2 polynomen te vinden, maar daarbij zogenaamde multiplicatoren s, t R[x] met de eigenschap dat d = s f + t g Uitgebreid Algoritme van Euclides Gegeven: polynomen f, g K[x]; Levert: de monische grootste gemene deler d alsmede s, t K[x] met d = s f + t g. [1] Initialiseer: F = 0, G = f en r = g, en ook. s = 1 en t = 0, evenals s = 0 en t = 1. [2] Herhaal de volgende stappen zolang r 0: (i) vervang F door G en G door r; (ii) bepaal q, r zodanig dat F = qg + r met deg r < deg G; (iii) bewaar s in u en t in v en vervang s door s en t door t ; (iv) vervang s door u qs en t door v qt ; [3] Lever d = G/G k, s = s /G k en t = t /G k af, waar G k de kopcoëfficiënt van G is Voorbeeld We herhalen het voorbeeld maar nu met de extra parameters. In de tabel zijn de waarden van de variabelen weergeven na n keer stap [2] van het algoritme doorlopen te hebben. De waarden van F n en G n, evenals die van r n en q n zijn precies dezelfde als in voorbeeld De laatste kolom vertelt ons dat de monische grootste gemene deler de waarde van d = G 4 / 9 25 = x2 + 1 is, maar bovendien dat de multiplicatoren s = s 4 / 9 25 = 5 9 x2 1 9 x 7 9 en t = t / 9 25 = 5 9 x x2 2 9x + 1 oplossing geven voor de vergelijking sf + tg = d. Inderdaad, ( 5 9 x2 1 9 x 7 9 ) (x6 + x 4 x 3 x) + ( 5 9 x x2 2 9 x + 1) (x5 + 2x 3 + x 2 + x + 1) = x

19 n F x 6 + x 4 x 3 x x 5 + 2x 3 + x 2 + x + 1 x 4 2x 3 x 2 2x 5x 3 + x 2 + 5x + 1 G x 5 + 2x 3 + x 2 + x + 1 x 4 2x 3 x 2 2x 5x 3 + x 2 + 5x x q x x x x r x 4 2x 3 x 2 2x 5x 3 + x x x s 1 1 x 2 5 x x x x 25 9 s x 2 5 x x t x x 2 + 2x x x x x x t 1 x x 2 + 2x x x x Stelling In K[x] bestaat bij elk tweetal polynomen f, g een tweetal s, t K[x] zodanig dat s f +t g = d waar d de monische grootste gemene deler van f en g is. Het bovenstaande algoritme bepaalt zowel d als zulke s en t. Bewijs. Een eenvoudig algoritmisch bewijs gebruikt Algoritme 1.3.7: omdat dit algoritme net als Algoritme na eindig veel stappen termineert en dezelfde F n, G n, r n en q n bepaalt, en dus ook de monisch grootste gemene deler d oplevert, hoeven we slechts te laten zien dat de uiteindelijke waarden van s /G k en t /G k oplossingen geven voor s f + t g = d. Daartoe laten we zien dat, met dezelfde notatie als voorheen, steeds na het voltooien van stap [2] van het algoritme geldt dat s j f + t j g = r j. Dat is voldoende, omdat dan ook na de voorlaatste stap geldt dat s nf + t ng = r n, en de laatste maal dat [2] doorlopen wordt, wordt r n+1 = 0, krijgt s n+1 de waarde van s n en t n+1 die van t n, terwijl G n+1 = r n hetgeen op een constante factor na de monische grootste gemene deler is. Het resultaat volgt dan na deling door de kopcoëfficiënt van G n+1. Op schematische wijze kan gezien worden dat steeds s j f +t j g = r j wanneer we we rijen voor j = 1 (met, per definitie, r 1 = f) en voor j = 0 (die correspondeert met de initialisatiestap [1] van het algoritme) toevoegen: 1 f + 0 f = r 1 0 f + 1 g = r 0 s 1 f + t 1 g = r 1 s 2 f + t 2 g = r s n f + t n g = r n s n+1 f + t n g = 0 Want hier is de j-de rij gelijk aan de (j 2)-de rij minus q j maal de (j 1)-ste rij; immers in stap [2](iii) en (iv) wordt s j verkregen uit s j 2 q js j 1 en t j uit t j 2 q jt j 1. Bovendien is voor j 1 r j = F j q j G j = G j 1 q j r j 1 = r j 2 q j r j 1, vanwege stap [2](ii) en (i). Omdat gelijkheid in de eerste twee rijen geldt, volgt hij voor de volgende rijen dan recursief. Opgave 28. Bewijs dat in het (uitgebreide) algoritme van Euclides met bovenstaande notaties voor j 0 geldt: F j+2 = G j+1 = r j. Laat ook zien dat F, G, r daardoor alle drie voldoen aan de recursieve betrekking y j = y j 2 q j y j 1 voor j 1. 18

20 In de rest van de paragraaf bemoeien we ons vooral met de vraag hoe polynomen met coëfficiënten in een lichaam in factoren uiteen vallen. Wederom is de analogie met Z treffend. De volgende eenvoudige stelling drukt uit dat in een commutatieve ring delers van graad 1 van een gegeven polynoom corresponderen met nulpunten van dat polynoom Stelling Als a R en f R[x] dan geldt: x a deelt f f(a) = 0. Bewijs. Als f deelbaar is door x a dan is f = q(x a), voor zekere q R[x]. Evalueren in a geeft f(a) = q(a) 0 = 0 R. Voor de omkering pas je deling met rest toe op f en g = x a: er is een q R en een r R[x] van graad kleiner dan 1 (dus een constante r 0 R) zodat f = q(x a) + r 0. Maar dan is 0 = f(a) = q(a) 0 + r 0, dus r 0 = 0 en f = q(x a) is deelbaar door (x a). De stelling geeft dus een eenvoudige methode om te controleren of een polynoom deelbaar is door x a: reken f(a) uit. Als de deling opgaat (dus f(a) = 0) zul je nog wel een berekening (bijvoorbeeld een staartdeling) uit moeten voeren om het quotient te vinden. Opgave 29. Ga van het polynoom f = x 6 +x 5 2x 4 +x 2 +x 2 Z[x] na door welke twee polynomen x i met i { 2, 1, 0, 1, 2} het deelbaar is. Voer de deling q = f/((x i 1 )(x i 2 )) voor die waarden ook uit. Opgave 30. Bewijs dat f R[x] door x deelbaar is dan en slechts dan als a 0 = 0. Opgave 31. Bewijs dat f R[x] door x 1 deelbaar is dan en slechts dan als a i = 0. Opgave 32. Laat f R[x] en z C; bewijs dat f(z) = 0 impliceert dat f( z) = 0 (waar z de complex geconjugeerde van z is). De stelling die we beneden willen bewijzen zal laten zien dat in K[x] we elementen (net als gehele getallen) in factoren kunnen ontbinden. Eerst moeten we de elementen definiëren die de rol van priemgetallen zullen overnemen Definitie Een element r R in een commutatieve ring R zonder nuldelers heet irreducibel in R als geldt: r 0 en r is geen eenheid maar als r = s t met s, t R dan is s een eenheid of t is een eenheid in R. Als r wel als zo n product van niet-eenheden is te schrijven heet hij reducibel Voorbeelden In een lichaam is elk element nul of een eenheid en zijn er dus geen irreducibele elementen. In Z zijn de irreducibele elementen precies de priemgetallen en de reducibele elementen de samengestelde getallen. In een polynoomring R[x] over een commutatieve ring R zonder nuldelers heten de irreducibele elementen irreducibele polynomen. Als R = K een lichaam is, dan zijn de irreducibele elementen de polynomen f R[x] met deg f 1 waarvoor geen polynomen g, h R[x] bestaan zodat f = g h en zowel deg g < deg f als deg h < deg f. Als R geen lichaam is zijn er in het algemeen ook nog irreducibele elementen uit R in R[x] (irreducibele polynomen van graad 0). 19

21 Lemma Laat p, f, g K[x] met K een lichaam. Als p irreducibel is en p is een deler van f g, dan is p een deler van f of g. Bewijs. Veronderstel dat het irreducibele polynoom p geen deler is van f. Dan is de monische grootste gemene deler van p en f dus 1, en bestaan er volgens dus polynomen s, t K[x] zodat 1 = s p + t f. Omdat p een deler is van f g is er ook een h K[x] met p h = f g. Maar bij elkaar geeft dat g = g 1 = g (s p + t f) = s p g + t f g = s p g + t p h = p (s g + t h), dus p deelt g Stelling Elk monisch polynoom f K[x] over een lichaam is te schrijven als product f = k i=1 waar de p i verschillende monische, irreducibele polynomen uit K[x] zijn; deze schrijfwijze is uniek op volgorde van de factoren p e i i na. Bewijs. Dat elke monische f een ontbinding als product van monisch irreducibele factoren heeft kan met inductie (naar de graad m van) f bewezen worden. Elke f K[x] van graad 1 is irreducibel. Is f met deg f = m > 1 zelf irreducibel, dan zijn we klaar, en anders zijn er g, h K[x] zodat f = g h, die beide graad kleiner dan m hebben en dus op grond van de inductiehypothese als product van irreducibele polynomen te schrijven zijn. Hun product geeft dan zo n ontbinding voor f, die na het bij elkaar nemen van gelijke irreducibele factoren een product als in de Stelling geeft.. De eenduidigheid hiervan is als volgt in te zien: veronderstel dat er twee ontbindingen p 1 p 2 p k = q 1 q 2 q l voor f zijn, met alle p i, q j monisch en irreducibel. Dan deelt p 1 het product van de q j, en dus op grond van het voorafgaande lemma (herhaald toegepast) tenminste één der q j, zeg q 1. Maar q 1 is irreducibel en monisch evenals p 1, dus p 1 = q 1. Nu is p 1 (p 2 p k q 2 q l ) = 0, dus p 2 p k = q 2 q l, en we kunnen hetzelfde argument herhalen. Uiteindelijk vinden we dan dat k = l en (eventueel na hernummering van de q j ) dat p i = q i voor 1 i k. Hetgeen te bewijzen was. p e i i, Opgave 33. Wat gaat er fout in de stelling als we monisch weglaten? Opmerkingen De voorgaande stelling geeft het beoogde analogon van priemfactorontbinding in Z. Een commutatieve ring zonder nuldelers waarin elk element (op volgorde van factoren en vermenigvuldiging met eenheden na) uniek als product van irreducibele elementen geschreven kan worden heet een factorontbindingsring. We weten nu dat Z en K[x] (voor elk lichaam K) een factorontbindingsring is. Algemener geldt zelfs dat R[x] een factorontbindingsring is als R het zelf is; dus geldt bijvoorbeeld ook in Z[x] eenduidige priemfactorontbinding. Maar het algemene bewijs is iets lastiger. Om de stelling te gebruiken zouden we nog graag willen kunnen herkennen wat de irreducibele polynomen zijn in K[x]; maar dat hangt sterk af van het lichaam K. De reden dat het 20