1 Lichamen en vectorruimten Lichamen Vectorruimten Toepassing: Codes... 13

Transcriptie

1 Voorwoord Dit zijn de aantekeningen bij de colleges Lineaire Algebra 3 en 4 voor de voorjaarskwartalen van 2006, aan eerstejaars wiskunde- en natuurkundestudenten van de Radboud Universiteit Nijmegen. Nadat in Lineaire Algebra 1 en 2 de basisbegrippen voor vectorruimten en lineaire afbeeldingen daartussen over R zijn gegeven, wordt in Lineaire Algebra 3 begonnen met generalisatie naar willekeurige grondlichamen. Om dat mogelijk te maken worden eerst enkele basisbegrippen uit de abstracte algebra ingevoerd, zoals lichamen en (polynoom)ringen, en toegelicht. Na een hoofdstuk over lineaire afbeeldingen, en de afhankelijkheid van bijbehorende matrices van de basiskeuze, volgt in Hoofdstuk 4, een aantal belangrijke constructies van vectorruimten. In Hoofdstuk 5 staat de vraag naar diagonaliseerbaarheid van matrices centraal, en komen eigenruimten, de stelling van Cayley-Hamilton, en de Jordan normaalvorm aan de orde. In de Hoofdstukken 6 en 7 komen inproductruimten aan de orde. Na een algemene inleiding over bilineaire vormen, spitst de behandeling zich toe op reële en complexe vectorruimten. In Hoofdstuk 7 wordt gekeken naar lineaire afbeeldingen die, op een of andere manier, inproducten behouden: unitaire (orthogonale) en Hermitese (symmetrische) afbeeldingen (en hun matrices), alsmede de diagonaliseerbaarheid daarvan. Tevens is een sectie over geadjungeerden, normaliteit en het verband met unitaire en Hermitese afbeeldingen toegevoegd. Aan de hand van deze aantekeningen wordt 2 uur hoorcollege per week gegeven, gedurende ongeveer 15 weken. Daarbij hoort een werkcollege van 2 uur voor het maken van wat uitgebreidere opgaven (opgenomen aan het einde van dit dictaat). Er zijn afzonderlijke tentamens over de eerste helft en de tweede helft van de stof. Mijn aantekeningen zijn hier en daar gebaseerd op het eerder gebruikte dictaat Algebra B, geschreven door Arno van den Essen, en op delen van het boek Linear Algebra van Friedberg, Insel en Spence. Wieb Bosma, december

2 2

3 Inhoudsopgave 1 Lichamen en vectorruimten Lichamen Vectorruimten Toepassing: Codes Ringen en polynomen Ringen Eenheden en Nuldelers Gehele getallen, polynomen, en deelbaarheid Factoren en Nulpunten Lineaire afbeeldingen en matrices Lineaire Afbeeldingen Matrices Determinant Toepassing: Regel van Cramer Enkele constructies Enkele Constructies van Vectorruimten Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid Diagonaliseerbaarheid Eigenruimten Cayley-Hamilton Toepassingen Jordan normaalvorm Inproductruimten Bilineaire Vormen Reëel-symmetrische bilineaire vormen Inproductruimten Transformaties van Inproductruimten Orthogonale en Unitaire Transformaties Symmetrische en Hermitese Transformaties Geadjungeerde en Normaliteit

4 4 INHOUDSOPGAVE

5 Hoofdstuk 1 Lichamen en vectorruimten Inleiding In Lineaire Algebra 1 heb je al kennis gemaakt met het begrip vectorruimte. In dit hoofdstuk gaan we dat begrip generaliseren, en wel door toe te staan dat de scalairen uit andere objecten bestaan dan slechts de reële getallen, waartoe ze tot dusverre beperkt waren. De scalairen moeten aan zekere eisen voldoen om de gegeneraliseerde definitie zinnig te maken; zo moet je scalairen kunnen optellen en met elkaar vermenigvuldigen, en moeten er scalaire elementen 1 en 0 zijn. Je krijgt de eigenschappen van vectorruimten terug wanneer je eist dat de scalairen een lichaam vormen. Onze eerste taak zal zijn om lichamen te definiëren en er voorbeelden van te geven. 1.1 Lichamen Voor een algemenere definitie van vectorruimte zullen we eigenschappen van de reële getallen bestuderen en proberen in een abstracte definitie te vangen. Vervolgens zullen we kijken naar andere objecten die aan diezelfde eigenschappen voldoen. De eigenschappen waar we op doelen zijn niet uitsluitend die van de getallen zelf, maar ook van de bewerkingen die je er op uit kunt voeren: je kunt reële getallen bij elkaar optellen, en je kunt ze met elkaar vermenigvuldigen. Een lichaam zal een verzameling zijn waar we op soortgelijke manier 2 operaties hebben die aan overeenkomstige eigenschappen voldoen. Die eigenschappen zijn dat het niet uitmaakt in welke volgorde je getallen optelt (of vermenigvuldigt), dat er speciale reële getallen zijn (namelijk 0 en 1) die bij optelling of vermenigvuldiging geen effect hebben, en de manier waarop de vermenigvuldiging zich verdeelt over de optelling (we maken dat precies in 1.1.3). Maar eerst definiëren we wat een bewerking is, omdat we meer algemene operaties willen toestaan dan alleen optelling en vermenigvuldiging. Als V een verzameling is, geven we met V V de verzameling geordende paren (v 1, v 2 ) met v 1, v 2 V, aan. Definities Een bewerking op een verzameling V is een afbeelding van V V naar V. Een bewerking is commutatief als v 1 v 2 = v 2 v 1 voor elk tweetal v 1, v 2 V, en een bewerking heet associatief als (v 1 v 2 ) v 3 = v 1 (v 2 v 3 ), voor elk drietal v 1, v 2, v 3. 5

6 6 HOOFDSTUK 1. LICHAMEN EN VECTORRUIMTEN Met andere woorden: een bewerking voegt aan elk paar elementen van V een derde element toe. Bij een commutatieve bewerking maakt het niet uit in welke volgorde je de bewerking uitvoert en voor een associatieve bewerking maakt het niet uit hoe je de haakjes zet in v 1 v 2 v 3. Voorbeelden Je kent al heel veel voorbeelden van bewerkingen: we keken al naar de optelling en vermenigvuldiging van reële getallen. Let wel op: bij een bewerking hoort een verzameling. Je kunt niet zeggen dat + een bewerking is, maar wel dat + een bewerking is op de reële getallen (of gehele getallen, enz.). (i) Optellen vormt een bewerking op de natuurlijke getallen N. Evenzo vermenigvuldigen. (ii) Aftrekken is een bewerking op de gehele getallen Z, maar niet op N. (iii) Delen is een bewerking op de verzameling Q van rationale getallen die ongelijk aan nul zijn (maar niet op de gehele getallen ongelijk 0). (iv) De gebruikelijke optelling en vermenigvuldiging van polynomen vormen bewerkingen op de verzameling R[x] van polynomen met reële coëfficiënten. (v) Zowel optellen als vermenigvuldigen is een bewerking op M n (R), de n n matrices met reële coëfficiënten. (vi) Als X een verzameling is, dan kun je aan twee afbeeldingen f en g van X naar zichzelf een nieuwe afbeelding g f toevoegen, door (g f)(x) = g(f(x)). Deze samenstelling g f van de afbeeldingen f en g is zelf ook weer een afbeelding X X. Dus is een bewerking op de verzameling afbeeldingen X X van X naar zichzelf. Als speciaal geval kun je bijvoorbeeld kijken naar alle functies van R naar R. Opgave 1. Laat zien dat de samenstelling van functies R R niet commutatief is maar wel associatief. Definitie Een lichaam is een verzameling V met daarop twee bewerkingen + en, die voldoen aan: [L1] + op V is associatief: (x + y) + z = x + (y + z), voor alle x, y, z V ; [L2] er is een (nul)element 0 V zodanig dat 0 + x = x + 0 = x voor alle x V ; [L3] bij elke x V is er een tegengestelde x V zodanig dat x + ( x) = ( x) + x = 0; [L4] + op V is commutatief: x + y = y + x voor alle x, y V ; [L5] op V is associatief: (x y) z = x (y z), voor alle x, y, z V ; [L6] er is een (eenheids)element 1 V zodanig dat 1 x = x 1 = x voor alle x V ; [L7] bij elke x V met x 0 is er een inverse x 1 V zodanig dat x x 1 = x 1 x = 1; [L8] op V is commutatief: x y = y x voor alle x, y V ; [L9] de operatie is distributief over +, dat wil zeggen: x (y + z) = (x y) + (x z) en (x + y) z = (x z) + (y z), voor alle x, y, z V. Opmerkingen Een lichaam bestaat dus uit een drietal (V, +, ), namelijk een verzameling V met twee bewerkingen daarop. In deze definitie hebben we de bewerkingen met + en aangegeven, omdat in voorbeelden die we kennen (zoals de reële getallen) dat natuurlijk is. Maar de bewerkingen hoeven helemaal geen optelling of vermenigvuldiging te zijn daarvan zien we zo voorbeelden.

7 1.1. LICHAMEN 7 Er zijn heel veel belangrijke algebraïsche strukturen die bestaan uit een verzameling V, en één of twee operaties die voldoen aan een deelverzameling van de axioma s L1 9. Zo is een groep een verzameling met een bewerking die voldoet aan L1 3, en een commutatieve groep (die meestal abelse group wordt genoemd) voldoet bovendien aan L4. Een ring met 1 is een verzameling V met operaties + en die voldoen aan L1 6 en aan L9; als deze bovendien aan L8 voldoet, is het een commutatieve ring met 1. Meer hierover in Hoofdstuk 2. In een lichaam kun je dus elk tweetal elementen optellen en aftrekken, vermenigvuldigen en delen (mits je niet door nul deelt). Een lichaam vormt een abelse groep ten opzichte van de optelling +, en de elementen die niet nul zijn vormen een abelse groep ten opzichte van de vermenigvuldiging. Als (V, +, ) een lichaam is en een deelverzameling U V vormt met dezelfde bewerkingen ook een lichaam, dan zeggen we dat (U, +, ) een deellichaam van V is. We zeggen wel dat U een deellichaam is van V (en bedoelen dan: met dezelfde bewerkingen). In een lichaam (en algemener, in een ring) (V, +, ) definiëren we de aftrekking van twee elementen nu door a b = a + ( b), en de deling van a door een element b 0 door a/b = a b 1. Opgave 2. Bewijs dat wanneer (V, +, ) een lichaam is, en U een deelverzameling van V is die 0 en 1 bevat, geldt: (U, +, ) is een lichaam dan en slechts dan als voor elk tweetal elementen a, b U met b 0 geldt a b U en a/b U. Voorbeelden We geven de belangrijkste voorbeelden van lichamen. (i) (R, +, ): de reële getallen vormen onder optelling en vermenigvuldiging een lichaam. Om dat te bewijzen moet je nagaan dat de eigenschappen L1 9 gelden. De meeste daarvan zijn flauw. (ii) (Q, +, ): de rationale getallen (breuken) vormen onder optelling en vermenigvuldiging een lichaam. Natuurlijk kun je weer alle eigenschappen waaraan een lichaam moet voldoen gaan verifiëren, maar het is eenvoudiger om de eigenschap uit de opgave te gebruiken die zegt dat (Q, +, ) een deellichaam is van (R, +, ): het is duidelijk dat de breuken een deelverzameling van de reële getallen vormen die gesloten is onder het nemen van verschillen en quotiënten. (iii) (C, +, ): de complexe getallen vormen onder optelling en vermenigvuldiging een lichaam met (R, +, ) als deellichaam! We definiëren hier de complexe getallen als paren (a, b) R 2 van reële getallen die we optellen als vectoren in R 2 en vermenigvuldigen volgens (a, b) (c, d) = ((a c) (b d), (a d) + (b c)), gebruik makend van de vermenigvuldiging (en optelling) in R. Vaak schrijven we a + bi voor (a, b) in C, waarbij dan i 2 = 1. De reële getallen kunnen we dan vereenzelvigen met de deelverzameling van paren (a, 0). (iv) De verzameling V = {0} met de gewone optelling en vermenigvuldiging vormt een lichaam dat uit maar 1 element bestaat; in het bijzonder is 0 = 1 in deze ring! Omdat dit speciale geval soms tot complicaties leidt, zullen we het vanaf nu expliciet uitsluiten, en eisen: de ringen en lichamen die wij beschouwen hebben ten minste twee verschillende elementen 0 1.

8 8 HOOFDSTUK 1. LICHAMEN EN VECTORRUIMTEN (v) De gehele getallen vormen geen lichaam onder optelling en vermenigvuldiging omdat je van z Z geen inverse in Z kunt vinden, tenzij z { 1, 1}. Voorbeeld (Z/mZ) We construeren de commutatieve ring (met 1) Z/mZ, de restklassenring modulo m, als volgt. Laat m > 1 een vast natuurlijk getal zijn (de modulus). We delen Z op in restklassen modulo m, namelijk de deelverzamelingen R i = {z : z Z k Z : z = i + k m} voor i Z. Dan is duidelijk dat R i = R j wanneer i j een veelvoud van m is, en dat R i R j = wanneer R i R j. We hebben zo precies m disjuncte restklassen gemaakt, R 0, R 1,..., R m 1. Vaak geven we de restklasse R i, waar i zelf in zit, aan met ī. Als i en j in dezelfde restklasse zitten, schrijven we i j mod m, en zeggen dat i congruent j modulo m is. Dus i j mod m R i = R j ī = j m i j. We definiëren optelling en vermenigvuldiging van ī en j door ī + j = i + j en ī j = i j. Nu is Z/mZ de verzameling van de m restklassen modulo m met deze optelling en vermenigvuldiging. Niet alle elementen (ongelijk 0) hebben een inverse in Z/mZ tenzij m een priemgetal is. Voor een priemgetal p is de ring Z/pZ wel een lichaam dat uit precies p verschillende elementen bestaat. Zo n eindig lichaam Z/pZ wordt ook wel met F p aangegeven. Later zullen we zien dat voor elke macht q = p k van een priemgetal p er een eindig lichaam F q van q elementen bestaat (en voor geen enkel ander natuurlijk getal). Bovendien is er in essentie maar één zo n lichaam. Opgave 3. Maak een opteltabel en een vermenigvuldigingstabel voor Z/7Z. Hoe lees je aan deze tabel de eigenschappen L2 4, L6 8 af? Laat zien dat Z/7Z een lichaam vormt. Opgave 4. De quaternionen van Hamilton H worden gedefinieerd als uitdrukkingen van de vorm a+bi+cj+dk met a, b, c, d R. Twee zulke uitdrukkingen a 1 +b 1 i+c 1 j+d 1 k en a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k zijn hetzelfde dan en slechts dan als a 1 = a 2 en b 1 = b 2 en c 1 = c 2 en d 1 = d 2. Optellen geschiedt componentsgewijs, hetgeen som a 1 + a 2 + (b 1 + b 2 )i + (c 1 + c 2 )j + (d 1 + d 2 )k geeft, en vermenigvuldiging vindt plaats met de regels: i 2 = j 2 = k 2 = 1 i j = k j i = k j k = i k j = i k i = j i k = j. Laat zien dat H met deze bewerkingen een niet-commutatieve ring vormt. (Voor het bewijs van associativiteit van vermenigvuldiging helpt het om a + bi + cj + dk = (a + bi) + (c + di)j te schrijven.) Geef een isomorfisme aan van H met de deelring van M 2 (C) bestaande uit matrices A I + B J + C K + D L, waar A, B, C, D R en I = ( ), J = ( i 0 0 i ), K = ( ), L = ( 0 i i 0 Laat ook zien dat a + bi + cj + dk een inverse heeft tenzij a = b = c = d = 0, door te kijken naar (a + bi + cj + dk) (a bi cj dk). De quaternionen vormen een scheeflichaam: een ring die aan alle axioma s voor een lichaam voldoet behalve de commutativiteit [L8]. ).

9 1.2. VECTORRUIMTEN Vectorruimten Nu zijn we in staat definities en stellingen uit Lineaire Algebra 1 en 2 te generaliseren. Definitie Zij L een lichaam. Een L-vectorruimte is een verzameling V met een bewerking + en een afbeelding die aan elk paar (λ, v) L V een element λv V toevoegt, die voldoen aan: [V1] de operatie + op V is associatief: (u + v) + w = u + (v + w), voor alle u, v, w V ; [V2] er is een (nul)element 0 V zodanig dat 0 + v = v + 0 = v voor alle v V ; [V3] bij elke v V is er een tegengestelde v V zodanig dat v + ( v) = ( v) + v = 0; [V4] de operatie + op V is commutatief: v + w = w + v voor alle v, w V ; [V5] 1v = v voor alle v V ; [V6] λ(v + w) = λv + λw voor alle λ L en v, w V ; [V7] (λ + µ)v = λv + µv voor alle λ, µ L en v V ; [V8] (λµ)v = λ(µv) voor alle λ, µ L en v V. Opmerkingen Vergeet niet dat de eis dat + een bewerking is oplegt dat [V0] v 1 + v 2 V voor alle v 1, v 2 V. Een afbeelding L V V, voor een lichaam L en een verzameling V, die aan V[5 8] voldoet wordt een scalaire vermenigvuldiging genoemd. Kort samengevat kunnen we dan zeggen dat een L-vectorruimte niets anders is dan een additieve groep (V, +) met daarop een scalaire vermenigvuldiging gedefinieerd. De elementen van L heten scalairen, die van V vectoren. Merk op dat bij een vectorruimte dus een lichaam hoort waaruit de scalairen komen. In Lineaire Algebra 1 werd onder vectorruimte het speciale geval van R-vectorruimte of reële vectorruimte verstaan. Het is ook mogelijk een struktuur analoog aan een vectorruimte maar dan algemener over een ring te definiëren, een zogenaamd R-moduul. Voorbeelden (i) Uit Lineaire Algebra 1 ken je de ruimte R n bestaande uit n-tallen reële getallen (geschreven als rijvector of kolomvector) met de coördinaatsgewijze optelling en scalaire vermenigvuldiging. Net zo is de verzameling van alle rijtjes van n elementen uit een lichaam L een L-vectorruimte, die we met L n aangeven (voor n 1). Per definitie is L 0 = {0}. (ii) De verzameling van oneindige rijtjes elementen x 1, x 2,... van L is een L- vectorruimte onder coördinaatsgewijze optelling en vermenigvuldiging, die we met L aangeven. (iii) De verzameling van elementen van L[x] vormt met optelling en scalaire vermenigvuldiging λ(a m x m + + a 1 x + a 0 ) = (λa m )x m + + (λa 1 )x + λa 0 een L-vectorruimte, voor elk lichaam L. (iv) Laat M m n (L) voor een lichaam L en positieve gehele getallen m, n de verzameling van m n matrices met coëfficiënten in L zijn. Dan is M m n (L) een L-vectorruimte (onder optelling), als de scalaire vermenigvuldiging λm eruit bestaat elke coëfficiënt van de matrix M met λ te vermenigvuldigen.

10 10 HOOFDSTUK 1. LICHAMEN EN VECTORRUIMTEN (v) Voor een willekeurige verzameling S vormt de verzameling van afbeeldingen φ : S L naar een lichaam L een vectorruimte als we optelling definiëren door (φ 1 + φ 2 )(s) = φ 1 (s) + φ 2 (s) voor s S, en scalaire vermenigvuldiging door (λφ)(s) = λ φ(s) voor s S, λ L. We geven die ruimte wel aan met L S. Merk op dat met S = {1, 2,..., n} we L n vinden, dat L N = L en dat M m n (L) hetzelfde is als L S voor S = {1, 2,..., m} {1, 2,..., n}. (vi) Met L = R en I een open interval van R is L S = R I de vectorruimte van reëelwaardige functies op I. Leggen we op dat de functies k-maal continu differentieerbaar zijn, dan geven we die ruimte wel met C (k) (I) aan. Zo bestaat C (0) (R) uit de continue reële functies. Opgave 5. Laat zien dat R n een Q-vectorruimte is. Is C n een R-vectorruimte? En is Q n een R-vectorruimte? Definitie Een L-lineaire deelruimte van een L-vectorruimte V is een deelverzameling U V met de eigenschap dat: (i) 0 U; (ii) u 1 + u 2 U voor alle u 1, u 2 U; (iii) λu U voor elke λ L en u U. Opmerkingen Net als in het reële geval geldt hier weer dat de naam L- lineaire deelruimte terecht suggereert dat het een deelverzameling U V is die met de van V geërfde optelling en scalaire vermenigvuldiging zelf een L-vectorruimte vormt. In veel van de definities laten we de toevoeging L- wel weg als het onbelangrijk is, of duidelijk uit de context om welk lichaam het gaat. Opgave 6. Laat zien dat de eerste voorwaarde uit gemist kan worden mits we eisen dat U niet-leeg is; laat door twee voorbeelden zien dat geen van beide andere voorwaarden gemist kan worden. Opgave 7. Laat zien dat de convergente rijtjes y 1, y 2,... een lineaire deelruimte vormen van R. Definities Een L-lineaire combinatie van elementen v 1,..., v k uit een L- vectorruimte V is een element λ 1 v 1 + +λ k v k V, waar λ i L. Het L-opspansel van v 1,..., v k is de verzameling van alle L-lineaire combinaties van v 1,..., v k : v 1,..., v k = {λ 1 v λ k v k λ 1,..., λ k L}. Een volledig stelsel (of ook wel opspannend stelsel) vectoren voor een vectorruimte V is een verzameling {v 1, v 2,..., v k } V zodat V = v 1, v 2,..., v k ; we zeggen dat de v i de ruimte V opspannen (over L). Een L-basis voor een vectorruimte V is een volledig stelsel dat bovendien onafhankelijk is over L; hier heet v 1, v 2,..., v k een onafhankelijk stelsel over L als voor λ 1,..., λ k L geldt: λ 1 v λ k v k = 0 λ 1 = λ 2 = = λ k = 0. Een stelsel dat niet onafhankelijk is heet natuurlijk afhankelijk. Op grond van de onderstaande stelling kunnen we voor de dimensie dim V van een vectorruimte V {0} het maximale aantal n van onafhankelijke vectoren in V nemen als zo n

11 1.2. VECTORRUIMTEN 11 eindig getal n bestaat; als dat niet bestaat is de dimensie oneindig. De nulruimte {0} heeft per definitie dimensie 0. Zodra een basis B = {b 1,..., b n } voor een L-vectorruimte is gekozen, kan elk element v V op unieke manier gerepresenteerd worden door een coördinatenvector v = (v 1,..., v n ) B L n, namelijk zo dat v = v 1 b v n b n. Opmerking Eigenlijk is het beter om een basis niet als verzameling te definiëren, want de volgorde doet er wel degelijk toe (voor de coördinatenvector bijvoorbeeld)! (Zie ook de opgave na ) Stelling (Hoofdstelling van de Lineaire Algebra) Als er een L-basis van de L-vectorruimte V is die uit n > 0 elementen bestaat, dan heeft elke L-basis van V precies n elementen. Stelling Zij V een vectorruimte en n 1. Als {v 1,..., v n } V een volledig stelsel vormen, is elk stelsel {w 1,..., w m } V met m > n afhankelijk. De bewijzen van deze twee stellingen in Lineaire Algebra 1 voor het geval L = R blijken op een enkel detail na (lees L in plaats van R) ook in het algemene geval te gelden: de laatste stelling bewijs je door te laten zien dat een homogeen stelsel van n vergelijkingen in m onbekenden altijd een oplossing heeft (in L) die niet de nul-oplossing is. Dan bewijs je de Hoofdstelling door te laten zien dat #B 1 #B 2 en #B 2 #B 1 als B 1 en B 2 allebei bases voor V zijn, en dus moet #B 1 = #B 2. Voorbeelden (i) De dimensie van L n is n, en L heeft oneindige dimensie. De standaardbasis E = {e 1,..., e n } van L n bestaat uit de vectoren e 1 =. 0, e 2 = (ii) M m n (L) is een vectorruimte van dimensie mn.. 0,, e n = (iii) L[x] is oneindig dimensionaal, voor elk lichaam L.. 1. Opgave 8. Is het over een willekeurig lichaam waar dat een homogeen stelsel van n vergelijkingen in m onbekenden (met m > n) oneindig veel oplossingen heeft? Opgave 9. Bewijs dat een homogeen stelsel van n vergelijkingen in m onbekenden over Z altijd oplossingen in Z heeft. Is het waar dat er altijd oneindig veel oplossingen in Z zijn als m > n? Opgave 10. Laat zien dat Q[x] een oneindig-dimensionale Q-vectorruimte vormt, door voor elke n > 0 een onafhankelijk stelsel van n elementen uit Q[x] aan te geven. Stelling Elke lineaire deelruimte U van een eindig-dimensionale vectorruimte V is eindig-dimensionaal, en er geldt dim U dim V. Ook het bewijs van deze stelling verloopt precies zo als voor het speciale geval L = R: bewijs eerst een lemma.

12 12 HOOFDSTUK 1. LICHAMEN EN VECTORRUIMTEN Lemma Als {v 1,..., v n } een onafhankelijk stelsel vormen in de vectorruimte V, en w V \ v 1,..., v n, dan is {v 1,..., v n, w} onafhankelijk. Vervolgens laat je zien dat een maximaal onafhankelijk stelsel in U V ten hoogste n = dim V elementen kan bevatten. Ook dat gaat over een willekeurig lichaam. Opgave 11. Het bewijs van het lemma over R gebruikte dat met a i, a R: a 1 u a n u n + av = 0 v = b 1 u b n u n, met b i R. Laat met een voorbeeld zien dat dit niet waar is als je eist dat a i, a, b i Z. Gevolgen In een eindig-dimensionale vectorruimte is elk onafhankelijk stelsel aan te vullen tot een basis, en is elk volledig stelsel uit te dunnen tot een basis. Opgave 12. Bewijs dat (voor elke n 1 en elk lichaam L) de diagonaalmatrices (met alleen niet-nul elementen toegestaan op de diagonaal) een lineaire deelruimte van M n n (L) vormen. Bepaal de dimensie van deze ruimte en geef een basis. Opgave 13. Laat zien dat W 1 en W 2 lineaire deelruimten van Q 5 zijn en W 3 niet; bepaal ook de dimensie en een basis voor W 1 en W 2. Hier is W 1 = { (a, b, c, d, e) Q 5 a + b = c + d }, en W 2 = { (a, b, c, d, e) Q 5 a = b = c en a + d + e = 0 }, en W 3 = { (a, b, c, d, e) Q 5 a 2 = b + 1 }. Opgave 14. Bewijs dat de doorsnede van twee lineaire deelruimten van een L-vectorruimte V weer een lineaire deelruimte van V is. Laat zien dat zelfs geldt dat i I W i een lineaire deelruimte van V is als alle W i dat zijn, voor i I. Opgave 15. Geef een voorbeeld waaruit blijkt dat de vereniging van twee lineaire deelruimten van een L-vectorruimte V niet weer een lineaire deelruimte van V hoeft te zijn. Bewijs dat zelfs geldt voor lineaire deelruimten W 1, W 2 van V dat: W 1 W 2 is een lineaire deelruimte van V dan en slechts dan als W 1 W 2 of W 2 W 1. Opgave 16. Laat zien dat voor elk lichaam L en elk geheel getal n 0 de deelverzameling { f L[x] deg f n } een lineaire deelruimte is van L[x]; deze ruimte zullen we wel met L[x] (n) aangeven. Bepaal de dimensie van L[x] (n) en geef een basis.

13 1.3. TOEPASSING: CODES Toepassing: Codes Als toepassing van vectorruimten over eindige lichamen kijken we naar foutenverbeterende codes. We benutten slechts elementaire kennis van vectorruimten, en van het standaardinproduct. Definitie Als R een commutatieve ring met 1 is en R n de verzameling van rijtjes elementen van R ter lengte n (voor een n 1), dan is het standaardinproduct op R n de functie v, w R die aan twee elementen v, w R n het element n i=1 v iw i R toevoegt. Opmerking Het is gebruikelijk om het standaardinproduct te definiëren voor het speciale geval dat R een lichaam is, en R n de standaard vectorruimte van dimensie n. Het is voor enkele van de voorbeelden verderop prettig deze algemenere definitie te hebben. Een algemenere definitie van inproducten voor een vectorruimte volgt nog in Hoofdstuk 6. Opgave 17. Is het met bovenstaande definitie altijd waar dat het inproduct v, v van een vector ongelijk aan 0 is (wanneer v niet uit louter nullen bestaat)? Definities Een lineaire (foutenverbeterende) code over F q is een lineaire deelruimte van F n q, voor een n 1. We zullen meestal simpelweg over een code C over F q spreken. De codewoorden zijn de elementen van F n q die bevat zijn in C. De dimensie dim C van de code is de dimensie van de deelruimte. De lengte van de code is de dimensie n van de ruimte waaruit de vectoren afkomstig zijn, dus de lengte van de codewoorden. Opmerkingen Merk op dat per definitie het nulwoord altijd in een code zit. Het aantal elementen van de code is gelijk aan q k, als k = dim C en q het aantal elementen van het lichaam. De verhouding tussen k en n wordt wel de rate van de code genoemd: van de n coördinaten van elk codewoord dragen er k bij aan de informatie, de overige n k zijn opvulsel, redundantie. Het doel van codetheorie is om die n k extra coördinaten efficiënt te gebruiken om ervoor te zorgen dat de informatie uit het codewoord nog te achterhalen is wanneer een deel van het codewoord onderweg verminkt of verloren is geraakt, bijvoorbeeld door ruis op de transmissielijn. Het uitgangspunt van het model dat ten grondslag ligt aan codetheorie is steeds dat de kans klein is dat informatie verminkt overkomt. Voorbeelden Het eenvoudigste voorbeeld van een foutenverbeterende code is de repetitiecode ter lengte n over F 2 : om een bit informatie (0 of 1) over te sturen wordt die bit n maal verzonden. De codewoorden zijn hier dus slechts de vectoren (1, 1,..., 1) en (0, 0,... 0) in F n 2, en de dimensie k is 1. Wanneer de ontvanger nu het woord (1, 1, 0, 1, 1) ontvangt terwijl de binaire repetitiecode van lengte 5 gebruikt wordt, zal onder de aanname dat fouten vrij zelden op treden, de conclusie moeten luiden dat hoogstwaarschijnlijk het codewoord (1, 1, 1, 1, 1) werd uitgezonden, maar dat op de derde positie een fout optrad. Ook wanneer er onderweg de uitzonderlijke pech optreedt dat twee bits worden omgezet kan de ontvanger hier nog tot de juiste conclusie komen met betrekking tot de bedoelde waarde van de bit. De repetitiecode ter lengte n is dus (n 1)/2 foutenverbeterend als n oneven is: we komen tot de juiste conclusie over het bit dat overgezonden

14 14 HOOFDSTUK 1. LICHAMEN EN VECTORRUIMTEN moest worden mits de kans op i fouten maar (veel) kleiner is dan de kans op n i fouten. Deze aanname, dat elk cijfer van de code met kleine waarschijnlijkheid onderweg wordt veranderd, en dat het uitgezonden codewoord de vector zal zijn geweest die in de code zit en op het kleinst mogelijke aantal plaatsen van de ontvangen vector afwijkt, leidt tot de methode om de informatie te achterhalen die maximale waarschijnlijkheidsdecodering wordt genoemd. Definities Het gewicht van een vector v uit F n q is het aantal posities i waarvoor de coördinaat v i F q niet nul is. De Hammingafstand h(v, w) tussen twee vectoren v, w uit F n q is het aantal posities j waarop de coördinaten v en w verschillen: h(v, w) = #{j : 1 j n v j w j }, dus 0 h(v, w) n. De minimumafstand van een code C is het kleinste positieve getal d waarvoor codewoorden v, w C bestaan met h(v, w) = d. Opgave 18. Bewijs dat h(v, w) gelijk is aan het gewicht van de vector v w. Laat ook zien dat de minimumafstand van een code gelijk is aan het minimumgewicht van de code, dat wil zeggen, de kleinste positieve g waarvoor een codewoord van gewicht g bestaat. Opgave 19. Bewijs dat de Hammingafstand een metriek definieert, dat wil zeggen, voor alle u, v, w F n q geldt: (i) h(v, w) 0; en [h(v, w) = 0 v = w]; (ii) h(v, w) = h(w, v); (iii) h(u, v) + h(v, w) h(u, w). Definitie Een code C van lengte n over F q heet e-foutenverbeterend als geldt dat voor elke vector v F n q er hoogstens één codewoord c C is met h(c, v) e. Dat betekent dat wanneer een codewoord op precies e plaatsen wordt verminkt, er nog steeds een uniek codewoord op afstand e is. De code heet dan bovendien e+1-foutendetecterend als geldt dat elke op e+1 plaatsen verminkte vector afstand minstens e + 1 tot alle codewoorden heeft. Het is mogelijk dat er dan meerdere codewoorden op afstand e + 1 liggen, zodat unieke decodering onmogelijk is, maar er liggen geen codewoorden op afstand e. Voorbeeld (parity check) Een simpel voorbeeld van een code die 1-foutdetecterend is, maar niet foutenverbeterend, is een code van lengte (zeg) 3 over F 2 die bestaat uit alle woorden van even gewicht. Wanneer er dan een woord van oneven gewicht wordt ontvangen is het duidelijk dat er minstens 1 fout is opgetreden, maar wáár is niet duidelijk. Opgave 20. Ga na dat voor elke lengte n de vectoren van even gewicht in F n 2 een code vormen, en dat de codewoorden precies die vectoren zijn waarvoor het inproduct met de vector die uit allemaal enen bestaat, nul is. Voorbeeld (UPC) Een eenvoudig voorbeeld van foutendetectie wordt gebruikt in de streepjescode die hoort bij de Universal Product Code, UPC. Deze codering, sinds 1973 in gebruik, is terug te vinden op heel veel consumptiegoederen, en bestaat uit 12 decimale cijfers, hier te representeren als een element v Z/10Z) 12. Het eerste cijfer geeft een indicatie van het type product, de volgende 5 cijfers geven de fabrikant aan, en daarna volgen 5 cijfers voor het product.

15 1.3. TOEPASSING: CODES 15 Het laatste cijfer v 12 is het zogenaamde check-cijfer en wordt geheel bepaald door de regel (3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1), v = 0 Z/10Z, dat wil zeggen, 3 6 v 2i 1 + i=1 6 v 2i = 0 Z/10Z. i=1 Voorbeeld Het international standard book number (ISBN) is een ander voorbeeld van een codering die van een check-cijfer gebruik maakt. Het ISBN is (op te vatten als) een vector w uit (Z/11Z) 10 met de restriktie dat de eerste 9 coördinaten ongelijk aan 10 zijn; ze worden elk weergegeven als decimale cijfers, en representeren land (1 tot 3 cijfers), uitgever (1 tot 5 cijfers), en boek. Het allerlaatste cijfer is weer een element dat als check-digit dient, en dat wél elk element uit Z/11Z kan zijn, weergegeven door een decimaal (de kleinste niet-negatieve representant van de restklasse) of de letter X (die de restklasse 10 representeert. De waarde ervan wordt volledig bepaald door de regel (10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1), w = 10 i=1 (11 i)w i = 0 Z/11Z. Voorbeeld Op de meeste producten wordt sinds 1 januari 2005 het European Article Number vermeld in plaats van de UPC. Dit EAN bestaat uit een vector x ter lengte 13 over Z/10Z, waar het laatste cijfer x 13 een check-digit is, bepaald door (1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1), x = 3 6 v 2i + i=1 7 v 2i 1 = 0 Z/10Z. Oude UPC aanduidingen kunnen simpel vervangen worden door een EAN door de oude vector vooraf te laten gaan door een 0. De nieuwe EAN aanduidingen geven land, fabrikant, en product met een wisselend aantal cijfers weer. Per 1 januari 2007 worden ook de oude ISB nummers vervangen door een 13-cijferige ISBN-13, die net zo is opgebouwd als de EAN; de eerste 3 cijfers van de nieuwe aanduiding (die voorlopig altijd 978 zullen zijn) staan voor het universele Bookland. i=1 Opgave 21. Ga na dat elke e foutenverbeterende code ook e 1 foutenverbeterend is. Stelling Een code met minimumafstand d is e-foutenverbeterend dan en slechts dan wanneer d 2e + 1. Bewijs. Veronderstel dat er een vector v bestaat op afstand kleiner of gelijk e van twee codewoorden w 1 en w 2. Dan is h(w 1, w 2 ) h(w 1, v) + h(v, w 2 ) 2e, hetgeen in tegenspraak is met d 2e + 1, tenzij w 1 = w 2. Dus is er hoogstens één vector op afstand ten hoogste e als de minimumafstand ten minste 2e + 1 is. Is daarentegen de minimumafstand d hoogstens 2e, dan zijn er twee codewoorden u, w op afstand d 2e van elkaar. Vorm nu een rij u = x 1, x 2,..., x d, x d+1 = w

16 16 HOOFDSTUK 1. LICHAMEN EN VECTORRUIMTEN ter lengte d + 1 van vectoren, waarbij x i+1 steeds op precies 1 coördinaat van x i verschilt. Dan is er een vector v = x d/2 die op hoogstens e coördinaten van u en op niet meer dan e coördinaten van w verschilt. Dus kunnen e fouten niet uniek verbeterd worden. Opgave 22. Laat zien dat een andere formulering van dezelfde stelling is: een code is e foutenverbeterend dan en slechts dan als alle verschillende bollen met straal e om codewoorden disjunct zijn. De centrale vraag voor de coderingstheorie is gelegen in de spanning tussen de twee eisen die we graag aan codes zouden opleggen. In de eerste plaats willen we zoveel mogelijk informatie oversturen, dat wil zeggen de rate k/n zo groot mogelijk maken (en de redundantie klein). Anderzijds willen we graag zoveel mogelijk fouten kunnen herstellen, dus e (en daarmee d volgens de Stelling) zo groot mogelijk kiezen; maar een grote minimumafstand betekent veel vectoren buiten de codewoorden, dus juist een lage rate. Er bestaan heel veel grenzen op de omvang van goede codes. We geven hier een bekende bovengrens op het aantal codewoorden als de dimensie en het aantal fouten e dat verbeterd moet kunnen worden gegeven is. Stelling (Hamming grens) Een code over F q van lengte n en minimumafstand groter of gelijk 2e + 1 heeft hoogstens e ( n i=0 i q n ) (q 1) i codewoorden. Bewijs. Alle bollen met straal e rond codewoorden moeten disjunct zijn. Deze bevatten in totaal e ( n ) #C (q 1) i i i=0 vectoren, omdat een woord op afstand i van codewoord w op ( n i ) plaatsen op (q 1) i manieren van v kan verschillen. Dit aantal vectoren is begrens door q n, waaruit de grens volgt. Opmerkingen Veronderstel nu dat we een k-dimensionale code willen construeren in een n-dimensionale vectorruimte over F q (met k < n). Het volstaat dan om k onafhankelijke vectoren te kiezen, en C te laten bestaan uit de F q -lineaire combinaties van deze k basisvectoren, die we soms schrijven als een k n matrix G. We hoeven codewoorden dan niet meer te geven door de n coördinaten uit F n q, maar het volstaat om de k coördinaten uit F q van de vector ten opzichte van de gekozen basis (de rijen van de generatormatrix) te geven! Een andere manier om een k-dimensionale deelruimte van F n q door n k onafhankelijke lineaire vergelijkingen op te schrijven en daarvan de oplossingsruimte te bepalen: de k-dimensionale ruimte is dan de kern van een n (n k) matrix H. Het verband tussen de generatormatrix G en de parity-checkmatrix H wordt dan precies gegeven door de relatie G H = 0. De codewoorden zijn die vectoren die lineaire combinatie van de rijen van G zijn, en dat zijn ook precies die vectoren die standaardinproduct 0 hebben met de kolommen van H. te bepalen, is

17 1.3. TOEPASSING: CODES 17 Voorbeeld ( binaire Hamming code ) We construeren een code ter lengte n = 7 over F 2 van dimensie k = 4. Laat de rijen van de matrix H bestaan uit alle mogelijke drietallen bits, met uitzondering van 3 nullen; een systematische manier om dat te doen is door de binaire schrijfwijze van alle getallen van 1 tot en met 7 te gebruiken. Laat deze 7 3 matrix de parity-checkmatrix van de code C 3 over F 2 zijn; de codewoorden zijn dus die rijvectoren ter lengte 7 over F 2 die inproduct nul hebben met elk van de drie kolommen van H. Daarvan zijn er 2 4. Algemener, voor r 2 schrijven we zo een 2 r 1 r parity-checkmatrix H r op door de binaire schrijfwijze van de getallen 1, 2,..., 2 r 1 in r bits als rijen te nemen. We vinden dan een code van dimensie (2 r 1) r. Deze Hammingcode is altijd 1-foutenverbeterend. Opgave 23. Wat is de rate van C r?

18 18 HOOFDSTUK 1. LICHAMEN EN VECTORRUIMTEN

19 Hoofdstuk 2 Ringen en polynomen Inleiding In dit Hoofdstuk hebben we systematisch enkele resultaten verzameld over ringen, vooral polynoomringen, die we elders willen gebruiken. 2.1 Ringen We herhalen eerst de definitie van ring. Definities Een commutatieve ring met 1, is een verzameling V met daarop twee bewerkingen + en, die voldoen aan: [L1] + op V is associatief: (x + y) + z = x + (y + z), voor alle x, y, z V ; [L2] er is een (nul)element 0 V zodanig dat 0 + x = x + 0 = x voor alle x V ; [L3] bij elke x V is er een tegengestelde x V zodanig dat x + ( x) = ( x) + x = 0; [L4] + op V is commutatief: x + y = y + x voor alle x, y V ; [L5] op V is associatief: (x y) z = x (y z), voor alle x, y, z V ; [L6] er is een (eenheids)element 1 V zodanig dat 1 x = x 1 = x voor alle x V ; [L8] op V is commutatief: x y = y x voor alle x, y V ; [L9] de operatie is distributief over +, dat wil zeggen: x (y + z) = (x y) + (x z) en (x + y) z = (x z) + (y z), voor alle x, y, z V. Als [L8] niet geldt hebben we een ring met 1, voor ons kortweg ring. Opmerkingen Een commutatieve ring met 1 voldoet dus aan alle eisen van een lichaam behalve de inverteerbaarheid van niet-nul elementen. Wanneer wij in het vervolg over een (commutatieve) ring spreken, bedoelen we altijd een (commutatieve) ring met 1. Voor een deelring U van V eisen we ook dat het eenheidselement 1 V in U zit (en daar het eenheidselement is). Opgave 24. Laat (R, +, ) een ring zijn; bewijs dat een deelverzameling S van R een deelring is als: (i) 1 R S; (ii) als a, b S dan ook a b S; (iii) als a, b S dan ook a b S. 19

20 20 HOOFDSTUK 2. RINGEN EN POLYNOMEN Opgave 25. Laat zien dat de deelverzameling van Z bestaande uit de even getallen voldoet aan L1 5 en L8 9. Dit is een commutatieve ring zonder eenheidselement, die we niet als deelring van Z beschouwen omdat 1 er niet in zit. Voorbeelden De belangrijkste voorbeelden van ringen zijn, naast de lichamen, voor ons de volgende. (i) De gehele getallen Z, met de gewone optelling en vermenigvuldiging; dit is een commutatieve ring. (ii) De ring Z/mZ, de restklassenring modulo m, voor een geheel getal m > 1, met de gebruikelijke optelling en vermenigvuldiging van restklassen, zoals gedefinieerd in Dit is steeds een commutatieve ring. (iii) Als R een commutatieve ring met 1 is (bijvoorbeeld één van de ringen of lichamen die we hierboven zagen) kun je daaruit een nieuwe ring R[x] van polynomen met coëfficiënten in R maken: de verzameling bestaat uit de polynomen of veeltermen n i=0 a ix n = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n, waar n 0 een geheel getal is. De operaties zijn de optelling van polynomen: i=0 n m a i x i + b j x j = i=0 j=0 j=0 max(m,n) i=0 k=0 (a i + b i )x i, en de vermenigvuldiging van polynomen n m m+n k ( a i x i ) ( b j x j ) = ( a i b k i )x k. Hier nemen we a i = 0 voor alle i > n en b j = 0 voor j > m. Deze polynoomring R[x] is zelf weer een commutatieve ring met 1, maar geen lichaam omdat bijvoorbeeld het polynoom x geen inverse heeft. In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met het speciale geval R = R. (iv) In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je ook gezien dat je vierkante matrices van reële getallen kunt optellen en vermenigvuldigen. Veel algemener kunnen we bij elke commutatieve ring met 1 een nieuwe ring van n n matrices M n (R) met coëfficiënten in R maken: de verzameling bestaat uit vierkante n n matrices, en de operaties zijn de optelling van matrices, waar de som van a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn en i=0 b 11 b 12 b 1n b 21 b 22 b 2n b n1 b n2 b nn gedefinieerd is door a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2n + b 2n a n1 + b n1 a n2 + b n2 a nn + b nn en vermenigvuldiging van matrices, middels het product n i=1 a 1i b n i1 i=1 a 1i b i2 n i=1 a 1i b n in i=1 a 2i b n i1 i=1 a 2i b i2 n i=1 a 2i b in n i=1 a ni b n i1 i=1 a ni b i2 n i=1 a ni b in

21 2.2. EENHEDEN EN NULDELERS 21 Met andere woorden: optellen en vermenigvuldigen van zulke matrices doe je op precies dezelfde manier als waarop je dat eerder hebt gezien in het speciale geval dat alle coëfficiënten reëel waren. Voor elke n 1 krijgen we zo (voor gegeven commutatieve ring R) een ring M n (R). Als n > 1 is die ring M n (R) niet commutatief! Opgave 26. Wat is het eenheidselement, en wat is het nulelement in R[x]? M n (R)? En in We hebben gezien dat elke ring R (dus in het bijzonder elk lichaam) in ieder geval de elementen 0, 1 bevat. Maar dan moet ook in R zitten, een element dat we gewoonlijk met 2 aangeven. Maar let op: het kan best zijn dat 2 gelijk is aan één van de elementen die we al opschreven: 0 of 1. Maar als = 1 dan moet 1 = 0 (want tel bij beide kanten de tegengestelde 1 op), en dat hebben we juist verboden (in Voorbeeld 1.1.5(iv)). Dus 2 is een nieuw element òf gelijk aan 0. Datzelfde argument kun je herhalen: R komt al voor onder {0, 1, 2} òf het is een nieuw element; in het eerste geval moet = 0 (tenzij al gold = 0). Definitie Laat R een ring zijn; als er een natuurlijk getal m bestaat zodanig dat = m 1 = 0 R, dan is de karakteristiek van R het kleinste positieve natuurlijke getal met die eigenschap; als zo n m niet bestaat is de karakteristiek per definitie 0. Als de karakteristiek van R gelijk aan 0 is, dan zijn alle elementen 1, 2, 3,... verschillend: er bestaat dan een injectie van Z R. Omgekeerd, als er zo n injectieve afbeelding bestaat moet de karakteristiek wel 0 zijn. Opgave 27. Geef voor elk natuurlijk getal m 2 twee verschillende voorbeelden van een ring van karakteristiek m. 2.2 Eenheden en Nuldelers Vervolgens kijken we naar twee speciale soorten elementen in een ring. Definities Een element r van een ring R (niet noodzakelijk commutatief) heet een eenheid in R als er een inverse voor r in R bestaat, datwil zeggen, een element t R met r t = t r = 1). De inverse van r geven we meestal met r 1 aan. Een element r R heet een nuldeler in R als r 0 en er een element s R bestaat met s 0 zodat r s = 0 of s r = 0. Opgave 28. Laat zien dat in een lichaam elk element dat niet 0 is een eenheid is. Opgave 29. Geef twee elementen r, s van M 2 (Z) met de eigenschap dat r s = 0 maar s r 0. Stelling Een eenheid in een ring R (niet noodzakelijk commutatief) kan geen nuldeler zijn.

22 22 HOOFDSTUK 2. RINGEN EN POLYNOMEN Bewijs. Laat r R een eenheid zijn, en veronderstel dat r ook een nuldeler is. Dan is r 0 en we veronderstellen dat er een s R is met s 0 en r s = 0 R. Omdat r een eenheid is, is er een t R met t r = 1. Dan is s = 1 s = (t r) s = t (r s) = t 0 = 0, dus s = 0, in tegenspraak met bovenstaande. Het geval s r = 0 gaat net zo, door rechts met t te vermenigvuldigen. De aanname dat r een nuldeler is leidt dus tot een tegenspraak. Opgave 30. Zij een bewerking op een verzameling V. Definieer voor n 3 het product v 1 v 2 v n inductief (voor v i V ) door (v 1 v 2 v n 1 ) v n. Laat (met behulp van inductie naar n) zien dat als associatief is, voor alle n 3 en alle k met 1 k n 1 geldt: (v 1 v 2 v k ) (v k+1 v n ) = v 1 v 2 v n. Opgave 31. Bewijs dat het eenheidselement 1 R uniek bepaald is. Opgave 32. Geef een voorbeeld van een ring zonder nuldelers waarin niet elk element (ongelijk aan 0) een eenheid is. Opgave 33. Laat zien dat de eenheden van een ring R een groep vormen onder. Deze groep geven we aan met R. Opgave 34. Bewijs dat M n (R) bestaat uit de n n reële matrices met determinant ongelijk aan 0. Deze groep geven we ook wel met GL n (R) aan. Waarom is dit geen ring (voor elke n > 0)? Opgave 35. Beschrijf GL n (Z), en algemener, de groep GL n (R) voor een commutatieve ring R. Opgave 36. Bewijs dat de ring Z/nZ een lichaam is dan en slechts dan als n een priemgetal is. Opgave 37. Als V een verzameling is, geven we met P (V ) de machtsverzameling van V aan: P (V ) bestaat uit de deelverzamelingen van V. Laat zien dat (P (V ), +, ) een commutatieve ring (met 1) wordt als we de optelling + en vermenigvuldiging definiëren door voor deelverzamelingen A, B V te nemen: A + B = (A B) \ (A B), A B = A B. Laat ook zien dat P (V ) zo alleen een lichaam wordt als #V = Gehele getallen, polynomen, en deelbaarheid In deze paragraaf zetten we een aantal belangrijke eigenschappen van gehele getallen en polynomen op een rijtje, vooral eigenschappen die betrekking hebben op deelbaarheid. We willen vooral laten zien hoezeer de ringen Z en L[x], voor een lichaam L, op elkaar lijken. Definities Laat R een commutatieve ring (zoals altijd met 1) zijn. Als d, f R dan is d een deler van f (notatie d f) als er een q R bestaat met f = qd; we zeggen ook dat d het element f deelt, dat f deelbaar is door d in R, en dat f een veelvoud is van d. Een gemene deler van f, g R is een d R die zowel f als g deelt; een grootste gemene deler van f en g is een gemene deler d R van f en g met de eigenschap dat elke andere gemene deler d een deler van d is. Zo n grootste gemene deler geven we aan met ggd(f, g).

23 2.3. GEHELE GETALLEN, POLYNOMEN, EN DEELBAARHEID 23 Opgave 38. Laat zien dat elk element van een commutatieve ring een deler is van 0. Opgave 39. Laat zien dat elk element van een commutatieve ring deelbaar is door 1. Definities Een polynoom over R is element van R[x], en dat is van de vorm f = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, waar a i R. Zo n polynoom bestaat dus uit een som van termen a i x i ; een polynoom dat uit één zo n term bestaat heet ook wel een monoom. De a i uit R zijn de coëfficiënten van het polynoom; gewoonlijk schrijven we alleen termen met a i 0 op (tenzij alle coëfficiënten nul zijn: we schrijven dan gewoon 0). De graad van f (notatie: deg f) is, als f 0 is, de hoogste macht van x n die met niet-nul coëfficiënt voorkomt, en de coëfficiënt van deze x n heet de kopcoëfficiënt. Als de kopcoëfficiënt 1 is noemen we het polynoom monisch. De coëfficiënt a 0 heet de constante coëfficiënt. Als a i = 0 voor alle i > 0 dan heet polynoom een constant polynoom. Het nulpolynoom is het constante polynoom 0; de graad hiervan is per definitie. De x in deze uitdrukkingen is de onbepaalde, onbekende, of variabele. De regels voor optellen en vermenigvuldigen (die R[x] tot een commutatieve ring maken) zagen we al in Net als bij vermenigvuldiging van reële getallen schrijven we vaak f g of fg voor het product f g van polynomen. Merk op dat het nulelement, respectievelijk het eenheidselement van R[x] de constante polynomen 0, respectievelijk 1 zijn. Waarschijnlijk ben je polynomen al eerder tegengekomen als functies; het is belangrijk op te merken dat we polynomen hier niet in de eerste plaats als functies beschouwen, maar als elementen van een ring. Een polynoom f R[x] definieert wel een afbeelding f : R R omdat we f kunnen evalueren: zo is f(r) = a n r n + a 1 r + a 0 1 R voor f als boven. We noemen f(r) ook wel de waarde van f in r. Een nulpunt van f in R is een r R zodanig dat f(r) = 0. Als R een deelring van S is, kunnen we elementen van R via de inbedding ook als elementen van S opvatten; dat betekent dat we in dit geval f R[x] ook kunnen evalueren in een s S: f(s) S. Zo zul je geen moeite hebben om f(π) uit te rekenen als het f het polynoom x 2 1 met gehele coëfficiënten is. Opgave 40. Laat zien dat als R geen nuldelers heeft voor de graden van polynomen geldt: deg fg = deg f + deg g. [Let op het nulpolynoom!] Sommige eigenschappen van R[x] hangen af van die van R; een heel belangrijk speciaal geval is dat waar R een lichaam is, dat we in deze paragraaf steeds met L aangeven. Opgave 41. Bewijs dat R[x] nuldelers heeft dan en slechts dan als R nuldelers heeft. We bekijken nu deling met rest, eerst voor gehele getallen. Stelling Bij elke n, m Z met m 0 bestaan er q, r Z zodat: n = q m + r, 0 r < m ; bovendien zijn deze q en r uniek bepaald. Voor polynomen geldt vrijwel eenzelfde resultaat.

24 24 HOOFDSTUK 2. RINGEN EN POLYNOMEN Stelling Laat R een commutatieve ring zijn; bij elke f, g R[x], bestaan er polynomen q, r R[x] zodat: f = q g + r, deg r < deg g; mits de kopcoëfficiënt b n van g een eenheid in R is; bovendien zijn deze q en r dan uniek bepaald. Bewijs. Eerst bewijzen we het bestaan van q en r, met inductie naar de graad m = deg f. Omdat de kopcoëfficiënt van g inverteerbaar is, is deg g 0; we mogen ook aannemen dat m = deg f deg g = n, want anders voldoen q = 0 en r = f. Als m = 0 dan is f = a 0 en g = b 0, en omdat bij aanname b n = b 0 inverteerbaar is, geldt de gevraagde gelijkheid met r = 0 en q = a 0 b 1 0. Laat nu m 1; beschouw h = f a m b 1 n xm n g. Als dit polynoom 0 is voldoen r = 0 en q = a m b 1 n xm n aan de gestelde eisen. Is dit niet het geval, dan is deg h < deg f omdat de kopcoëfficiënten van f en a m b 1 n xm n g precies tegen elkaar wegvallen. We kunnen dan op h en g de inductiehypothese toepassen: er bestaan q en r met h = q g + r en deg r < deg g; maar dan is f = h + a m b 1 n x m n g = (a m b 1 n x m n + q )g + r, en voldoen q = a m b 1 n x m n + q en r = r aan alle condities. Om de uniciteit te bewijzen veronderstellen we dat f = q g + r = q g + r, beide aan de eisen voldoen. Dan is (q q )g = r r. Stel dat r r. Dan is q q. Omdat b n R een eenheid is, is g geen nuldeler, en dus is (zie opgave): deg(r r ) = deg(q q )g = deg g + deg(q q ) deg g, hetgeen in tegenspraak is met deg r < deg g en deg r < deg g. Dus r = r, maar dan is (q q )g = 0 en moet q = q. Opgave 42. Welke aanpassingen aan bovenstaand bewijs zijn nodig om het ook te laten werken voor het geval van gehele getallen? Opgave 43. Geef twee polynomen f, g Z[x] waarbij je geen q, r Z[x] kunt vinden met f = q g + r, deg r < deg g. Om te laten zien dat gehele getallen altijd een grootste gemene deler hebben, geven we algoritme om deze te vinden. Algoritme [ Euclides ] Gegeven: m, n Z; niet beide nul Levert: de positieve grootste gemene deler d Z van m en n. [1] Initialiseer: M = 0, N = m and r = n. [2] Herhaal de volgende stappen zolang r 0: (i) vervang M door N en N door r; (ii) bepaal q, r zodanig dat M = qn + r met 0 r < N ; [3] Lever d = N af.