Affiene ruimten. Oefeningen op hoofdstuk Basistellingen

Transcriptie

1 Oefeningen op hoofdstuk Affiene ruimten. Basistellingen Oefening.. Er zijn maar een eindig aantal lineaire afbeeldingen op een eindigdimensionale vectorruimte F n q over een eindig veld F q. Tel het aantal elementen in GLn q. Oefening.. Tel het aantal elementen van SLn q = {A GLn q det A = }. Oefening.3. Tel in een eindige vectorruimte V n q het aantal vectoren aantal vectorrechten aantal vectorvlakken aantal k-dimensionale deelruimten Oefening.4. Tel in een eindig affien vlak AG q het aantal punten aantal punten op een rechte aantal rechten aantal rechten door een punt Oefening.5. Tel in een affiene ruimte AGn q het aantal punten aantal rechten aantal vlakken aantal k-dimensionale deelruimten Oefening.6. Gebruik de dubbele telling om in een affiene ruimte AGn q de volgende grootheden te bepalen aantal rechten door een punt aantal vlakken door een punt aantal vlakken door een rechte aantal hypervlakken door een codimensie--ruimte aantal d-dimensionale deelruimten door een vaste k-dimensionale deelruimte voor k d n Herexamen Oefeningen LAAM II Affiene ruimten

2 . Dimensiestellingen Oefening.7. De dimensiestelling van Grassmann voor vectorruimten stelt dat voor deelruimten U en V geldt dat dim U + dim V = dim U V + dim U V. In projectieve ruimten geldt precies dezelfde gelijkheid maar in affiene ruimten is voor een dimensiestelling geen hoop. Hoe komt het dat het onmogelijk is om in affiene ruimten de dimensies van de span en van de doorsnede van twee deelruimten met elkaar in verband te brengen? Oefening.8. Wat is de minimaal nodige dimensie om een n- en een m-dimensionale deelruimte met ledige doorsnede in te bedden in een vectorruimte? In een projectieve ruimte? En in een affiene ruimte? Oefening.9. Wat zijn de mogelijke dimensies van de doorsnede van een 7- en een 9-dimensionale deelruimte van een -dimensionale affiene ruimte? Oefening. Examen 8. Beschouw twee hypervlakken H en H in AG6 q die niet parallel zijn. Wat kun je zeggen over hun doorsnede? Hoeveel punten liggen noch in H noch in H? Zo n vast punt p buiten H H bepaalt samen met H H een hypervlak H. Hoeveel punten van AG6 q hadden hetzelfde hypervlak bepaald? Hoeveel hypervlakken liggen benevens H H nog in de bundel van hypervlakken door H H?.3 Onderlinge liggingen Oefening.. Wat zijn de mogelijke liggingen van een rechte en een vlak in een AG97 q? Oefening.. Zij gegeven een rechte L en een vlak π in een AG5 q die elkaar niet snijden. Hoeveel vlakken gaan er door L die π niet snijden? Oefening.3. vlak? Hoeveel rechten in AG4 q zijn zwak parallel met een gegeven Oefening.4. Wat zijn de mogelijke liggingen van twee vlakken in AG4 q? Oefening.5. gegeven vlak? Hoeveel rechten in AG6 q hebben geen punt gemeen met een Oefening.6 Examen. Wat zijn de mogelijke onderlinge liggingen van twee disjuncte solids driedimensionale deelruimten in AG7 q? Hoeveel vierdimensionale affiene deelruimten gaan er door de ene die disjunct zijn van de andere in elk van de gevallen? Oefening.7 Examen. Zij L een rechte zwak parallel aan een solid U in een AG6 q maar er niet in gelegen. Hoeveel vlakken zijn zwak parallel aan U en hebben met L geen enkel punt gemeen? Zij M zo n vlak. Hoeveel affiene hypervlakken van AG6 q bevatten zowel L als M? Maak onderscheid in verschillende gevallen. Oefeningen LAAM II Dimensiestellingen

3 Oefening.8 Herexamen. Zij Π een hypervlak in AGn q n 3. Wat zijn de mogelijke liggingen van een rechte ten opzichte van Π en hoeveel zijn er van elke soort? Bereken al deze aantallen onafhankelijk van elkaar. Controleer dat hun som gelijk is aan het totaal aantal rechten in AGn q. Oefening.9 Examen 3. Zij n q 3 en beschouw in AG3n q een n-dimensionale deelruimte A en een n-dimensionale deelruimte B. Hoeveel kwalitatief verschillende onderlinge liggingen zijn er mogelijk voor A en B? Noem twee mogelijke liggingen kwalitatief verschillend als hun span of doorsnede een andere dimensie hebben. Stel nu dat ze snijden in een affien punt p. Hoeveel rechten snijden A B enkel in p? Hoeveel rechten zijn disjunct van A en snijden B in precies één punt? Hoeveel rechten snijden A B in precies twee affiene punten? Hoeveel rechten zijn disjunct van zowel A als B? niet uitwerken Oefening. Herexamen 3. Zij π een vast vlak van AGn q en k n. Hoeveel k-dimensionale deelruimten van AGn q snijden π in enkel een rechte? Hoeveel k-dimensionale deelruimten van AGn q zijn zwak parallel met π?.4 Homothetieën We zullen de expliciete gedaante van een homothetie opstellen en vervolgens onderzoeken hoe homothetieën onderling interageren. We volgen hiervoor deze reeks oefeningen waarvan de oplossingen een op zichzelf staand stuk theoretische opbouw vormen. We herinneren aan vier definities. Een dilatatie α is een permutatie van een affiene ruimte waarvoor geldt: x y αx αy. Voor dilataties zijn y αy en α y steeds collineair. Een dilatatie kan of fixpunten hebben tenzij het de identiteit is. In het eerste geval spreken we van translaties in het tweede van homothetieën. Van homothetieën weten we al dat ze precies één fixpunt hebben dat we het centrum c noemen. Omdat c p c αp moeten c p en αp steeds collineair zijn. Oefening.. Zijn f en g twee dilataties van een affiene ruimte. Toon aan dat f = g als er twee punten p en q bestaan zodat fp = gp en fq = gq. Bewijs dat een homothetie f uniek bepaald wordt door zijn centrum en een koppel p fp. Construeer voor een willekeurig punt q het beeld fq onder de homothetie f met gegeven centrum c en een koppel p fp. Oefeningen LAAM II Homothetieën 3

4 Oefening.. Stel de vectorgedaante op voor een homothetie met als centrum de nulvector van de vectorruimte en ga hiervoor als volgt te werk. Neem als referentiepunt o en beschouw de vectorruimte V o. Zij f een homothetie met centrum o. Voor een punt p V \ {} bestaat er een λ K zodat fp =... vul aan. Formuleer een vermoeden van hoe f er zou kunnen uitzien en noem die afbeelding H λo. Ga na dat deze o fixeert en p op fp afbeeldt. Bewijs dat het een dilatatie is. Besluit dat inderdaad f = H λo. Oefening.3. Stel de algemene vectorgedaante op voor een homothetie; doe dit als volgt. Beschouw een homothetie g met centrum c o. Wat weten we voor een punt p c en zijn beeld gp? Leid af dat er een µ K \ { } bestaat zodat gp =... vul aan. Formuleer een vermoeden van hoe g er zou kunnen uitzien en noem die afbeelding H µc. Ga na dat deze c fixeert en p op gp afbeeldt. Bewijs dat het een dilatatie is. Besluit dat inderdaad g = H µc. Oefening.4. Bewijs dat homothetieën affiene afbeeldingen zijn. Wat moet je hiervoor precies nagaan? Neem equipollente koppels v v en v 3 v 4 en laat er de homothethieën in hun vectorgedaante op los. Stel de geïnduceerde afbeelding op de vrije vectoren van V A op door als representant een vector te nemen die vertrekt uit het centrum. Stel vast dat die afbeelding lineair is. Besluit dat alle dilataties affiene afbeeldingen zijn. Oefening.5. Onderzoek de samenstelling van dilataties. Doe daarvoor het volgende. Bepaal de uitdrukking voor de samenstelling van twee homothetieën met eenzelfde centrum zegge H λc en H µc. Commuteren ze? Bepaal de samenstelling van twee homothetieën met verschillend centrum en neem voor het gemak c = o. Onder welke voorwaarde commuteren ze? De samenstellingen H λo H µd en H µd H λo zijn weer dilataties. Onder welke voorwaarde zijn het translaties? Bepaal centrum en verhouding als het homothetieën zijn. Bepaal de samenstelling van een homothetie met een translatie en omgekeerd: H λo T w en T w H λo. Oefening.6. Gebruik de informatie uit de vorige oefening om van de dilatatiegroep enkele deelgroepen te onderzoeken meerbepaald de deelgroep der translaties T en de groep van homothetieën rond eenzelfde vast centrum Diln K c = {H λc λ K }. Bepaal van beide of ze commutatief zijn. Met welke bekende groepen zijn ze isomorf? Oefening.7. Bewijs de affiene stelling van Desargues in affiene ruimten AGn K over een lichaam K: zijn D D en D 3 drie rechten van AGn K die door een punt s gaan en zijn a i b i i 3 verschillende punten van de rechte D i zodanig dat a a b b en a a 3 b b 3 dan zal ook a a 3 b b 3. Hint: beschouw een goedgekozen homothetie. Oefeningen LAAM II Homothetieën 4

5 Oefening.8. Bewijs de affiene stelling van Pappus in affiene ruimten AGn K over een veld K: zijn A en B twee rechten van AGn K die elkaar snijden in een punt s zijn a a 3 en a 5 verschillende punten van A \ {s} en zijn a a 4 en a 6 verschillende punten van B \ {s} zodanig dat a a a 4 a 5 en a a 3 a 5 a 6 dan zal ook a a 6 a 3 a 4. Hint: beschouw twee goedgekozen homothetieën. Oefening.9. Bewijs de kleine affiene stelling van Desargues in affiene ruimten AGn K: zijn D D en D 3 verschillende parallelle rechten van AGn K en zijn a i b i i 3 verschillende punten van de rechte D i zodanig dat a a b b en a a 3 b b 3 dan zal ook a a 3 b b 3. Hint: beschouw een goedgekozen translatie. Oefening.3. Bewijs de kleine affiene stelling van Pappus in affiene ruimten AGn K: zijn A en B twee parallelle rechten van AGn K en zijn a a 3 en a 5 verschillende punten van A en zijn a a 4 en a 6 verschillende punten van B zodanig dat a a a 4 a 5 en a a 3 a 5 a 6 dan zal ook a a 6 a 3 a 4. Hint: beschouw twee goedgekozen translaties. Oefeningen LAAM II Homothetieën 5

6 .5 Affiene transformaties Affiene afbeeldingen op AGn K kunnen ten opzichte van een affien referentiesysteem voorgesteld worden door x a a n x b. x n a n a nn x n b n met A K n n en b K n. Oefening.3. Zij een affien referentiesysteem van AG3 R met oorsprong O gegeven en noteer de coördinaten van een punt van de affiene ruimte tegenover dit xy referentiesysteem als. Welk van de volgende zijn affiene transformaties? Geef 5. z xy z x y z 7+µ 5 µ 6µ z hun representatie tegenover dit referentiesysteem als x Ax + b en bepaal de dimensie van hun beeld. xy y 3z+ 6. De projectie op Y =. x y+3z z x y 7. De spiegeling om Z = xy De translatie met 3 eenheden volgens de positieve z-as z xy xy 3. yz z xz 9. De schaling t.o.v. O van elk punt xy met factor zijn euclidische afstand 4. tot O met µ = x+y+z 3. De schaling t.o.v. O met factor in X-richting en 3 in Y -richting Oefening.3. Bepaal het beeld onder de overeenkomstige affiene transformatie uit oefening.3 van de volgende meetkundige objecten:. Het punt 5. Het vlak X + Y + Z =. Het vlak X 4Y + 5Z = 7 } 4. De rechte λ R { 7 λ λ λ 4. De rechte X + Y Z = X Y + Z = 6. De kegelsnede X +Y = Z = 7. De rechte Y = X = Z 8. Het vlak 3X + 7Y + 5Z = 5 Oefening.34. Toon aan dat elke twee willekeurige driehoeken van AGn K in elkaar omgezet kunnen worden door middel van een inverteerbare affiene transformatie. Bewijs hetzelfde voor parallellogrammen en geef aan waarom dit niet algemeen geldig is voor willekeurige vierhoeken. Oefeningen LAAM II Affiene transformaties 6

7 Oefening.34. Toon aan dat elke twee willekeurige driehoeken van AGn K in elkaar omgezet kunnen worden door middel van een inverteerbare affiene transformatie. Bewijs hetzelfde voor parallellogrammen en geef aan waarom dit niet algemeen geldig is voor willekeurige vierhoeken. Oefening.35 Herexamen 3. Bewijs dat er voor elke twee affiene referentiesystemen r a... a n en s b... b n van AGn K een inverteerbare affiene transformatie is die de ene op de andere afbeeldt. Oefening.36. Toon aan dat affiene afbeeldingen lineaire afbeelding plus translatie kunnen voorgesteld worden door één enkele matrixvermenigvuldiging. Hint: gebruik een uitgebreide vector die naast de coördinaatgetallen een extra bevat. Oefening.37. Hoeveel inverteerbare affiene afbeeldingen leven er op AGn q? Examen Hoeveel daarvan fixeren het hypervlak X n = puntsgewijs? Examen Hoeveel daarvan stabiliseren het hypervlak X n = verzamelingsgewijs?.6 Barycentrische coördinaten Oefening.38. Beschouw in AG3 K of AG4 K een vast affien referentiesysteem ten opzichte waarvan de punten hieronder in coördinaten staan uitgedrukt. Bepaal de barycentrische coördinaten van het opgegeven affiene punt ten opzichte van de andere punten indien mogelijk. Indien onmogelijk leg uit waarom. t.o.v. 9 t.o.v. t.o.v. t.o.v Examen 7. Oefening.39. Bepaal de parameter a zodanig dat een uniek stel barycentri- en in AG3 K K sche coördinaten heeft ten opzichte van de punten een veld. Bepaal die coördinaten. Is de oplossing onafhankelijk van de karakteristiek van het veld? Oefening.4 Examen 8. Beschouw in AG3 R de punten p p p p 3 c en q wiens coördinaten ten aanzien van een vast affien referentiesysteem gegeven worden door 3 3/ 3 3/. 5/4 Bepaal de barycentrische coördinaten van c en q ten opzichte van p p p p 3. a Oefeningen LAAM II Barycentrische coördinaten 7

8 Bepaal de waarden voor µ zodanig dat de homothetie met centrum c en verhouding µ het punt q afbeeldt in het binnengebied van het viervlak p p p p 3. Voor welke waarden van µ zal q afgebeeld worden op een punt op de rand van het viervlak? Wat zijn de beeldpunten? Controleer dat ze inderdaad op een zijvlak liggen. Oefening.4 Herexamen. Bepaal de barycentrische coördinaten van het punt p t.o.v. de vier punten en. Beschrijf de positie van p meetkundig t.o.v. het viervlak gevormd door de laatste vier punten. Oefening.4 Examen 3. Beschouw AG3 Q met een vast referentiesysteem waartegenover de punten coördinaten krijgen. Zij de driehoek door de hoekpunten a b en c. Beschouw ook de volgende affiene afbeelding die afhangt van vier parameters. x x η f : AGn Q AGn Q : y y + /3 z ξ ζ z τ Bepaal γ zodanig dat p een uniek stel barycentrische coördinaten heeft t.o.v. γ a b en c. Bepaal η ζ en ξ in functie van τ zodat de affiene afbeelding f het vlak waarin ligt verzamelingsgewijze vasthoudt. Voor welke waarden van τ beeldt f het zwaartepunt van af op een punt in het binnengebied van? Op welke zijden wordt het zwaartepunt afgebeeld voor de grenswaarden van het interval voor τ dat je bekomt? Oefening.43 Herexamen 3. Zij een affien refentiesysteem van AG K gegeven met kar K 3. Bepaal de barycentrische coördinaten van het punt met affiene coördinaten t.o.v. de drie punten. Bewijs voor /3 /3 / / / / een willekeurige driehoek in AG K dat zelf en de driehoek gevormd door de middens van de zijden van met elkaar te verbinden hetzelfde zwaartepunt hebben. Hint: kies een geschikt referentiesysteem op basis van..7 Affiene vlakken Oefening.44. Construeer het Fanovlak PG als projectieve completering van het affien vlak AG over GF. Teken de meetkundige structuur en duid de coördinaten aan. Oefening.45. Het Moultonvlak is een punt-rechtemeetkunde met als punten de punten van het reële vlak R en met rechten van drie soorten namelijk a verticale rechten d.w.z. met vergelijking x = a met a R; b niet-dalende rechten d.w.z. Oefeningen LAAM II Affiene vlakken 8

9 met vergelijking y = mx + b met b R en m ; en c gebroken rechten met name verzamelingen punten x y die voldoen aan { mx + b als x < y = mx + b als x voor een bepaalde b R en m <. Bewijs dat het Moultonvlak een axiomatisch affien vlak is. Oefening.46. Bewijs dat het Hilbertvlak zoals gedefinieerd op pagina 37 van de cursus LAAM II een axiomatisch affien vlak is. - 3 Oefeningen LAAM II Affiene vlakken 9