De hoofdstelling van de algebra en het veld van de complexe getallen

Transcriptie

1 Hoofdstuk 6 De hoofdstelling van de algebra en het veld van de complexe getallen 6.1 Factoriseren van veeltermen 1. Een reële veelterm q(x) met hoogstegraadsterm 5x 5 heeft als nulpunten 2, 1 + 3i, 2 2i en 2 + 2i. Schrijf de veelterm als een product van veeltermen met reële coëfficiënten van maximale graad 2 Modeloplossing: Gegeven: Oplossing: q(x) = 5x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 q(x) heeft nulpunten x 1 = 2, x 2 = 1 + 3i, x 3 = 1 3i, x 4 = 2 2i, x 5 = 2 + 2i q(x) = 5(x x 1 )(x x 2 )(x x 3 )(x x 4 )(x x 5 ) q(x) = 5(x 2)(x 1 3i)(x 1 + 3i)(x 2 + 2i)(x 2 2i) q(x) = 5(x 2)(x 2 2x + 10)(x 2 4x + 8) 2. Gegeven een veelterm p(x) met reële coëfficiënten en hoogstegraadsterm x 3, waarvan 2 en 2 + i nulpunten zijn. Bepaal overige nulpunten en de ontbinding in factoren. 1

2 3. Gegeven een veelterm p(x) met reële coëfficiënten en hoogstegraadsterm 3x 4, waarvan 3 i en 4 + 2i nulpunten zijn. Bepaal overige nulpunten en de ontbinding in factoren. 4. Gegeven een veelterm p(x) met reële coëfficiënten en hoogstegraadsterm 2x 5, waarvan 3, 3i en i 2 nulpunten zijn. Bepaal overige nulpunten en de ontbinding in factoren. 6.2 Stelsels van vergelijkingen 1. Karel lost een stelsel op van twee vergelijkingen in de onbekenden x en y: 2x + 3y = 5 3x + y = 7 Om een vergelijking met alleen de onbekende y te bekomen, bekijkt hij de coëfficiënten van x in beide vergelijkingen. Hij besluit dde eerste vergelijking met 3 te vermenigvuldigen, de tweede met 2 en maakt het verschil. Hij bekomt de vergelijking: 7y = 1 met als oplossing y = 1/7. Uit een van de originele vergelijkingen vindt Karel dan ook x = 48/21. Anna heeft een gelijkaardig stelsel met complexe getallen (2 + i)x + (3 2i)y = 5 i (3 i)x + (1 i)y = i Pas Karels methode toe op Anna s stelsel en druk de oplossing uit in de cartesische vorm. Modeloplossing: Vermenigvuldig vergelijking 1 met 3 i en vergelijking 2 met 2 + i: (3 i)((2 + i)x + (3 2i)y) = (3 i)(5 i) (2 + i)((3 i)x + (1 i)y) = (2 + i)i

3 Uitwerken geeft (7 + i)x + (7 9i)y = 14 8i (7 + i)x + (3 i)y = 1 + 2i Vergelijking (1) - vergelijking (2): (7 9i 3 + i)y = (14 8i + 1 2i) (4 8i)y = (15 10i) y = y invullen in vergelijking (1): 15 10i 4 8i = i (2 + i)x + (3 2i)y = 5 i (2 + i)x + (3 2i)(7/4 + i) = 5 i (2 + i)x + (29/4 1/2i) = 5 i (2 + i)x = (5 i 29/4 + 1/2i) (2 + i)x = ( 9/4 1/2i) x = 2. Los onderstaand stelsel op. 9/4 1/2i 2 + i = 4/5 13/20i (3 + 3i)x + 4iy = 10 + i 6ix + (4 + 4i)y = i 3. Los onderstaand stelsel op. (2 i)x + (4 + 3i)y = 2 i ( 1 2i)x + (3 i)y = 7i 4. Los onderstaand stelsel op. x + y = 9 + i (2 i)x + (2 + i)y = 5 i 6.3 Eigenschappen van een veld 1. Hieronder volgt de oplossing van de vergelijking a(z + 1) = z voor a = 3 + i en met alle tussenstappen zoals toegelaten in een willekeurig

4 veld. Kies voor elke stap de bijhorende eigenschap van een veld die werd toegepast (zie theorie). (1) a (z + 1) = z (2) a z + a = z (3) (a z + a) a = z a (4) a z + (a a) = z a (5) a z + o = z a (6) a z = z a (7) z + a z = z + (z a) (8) z + a z = ( z + z) a (9) z + a z = o a (10) z + a z = a (11) ( 1 + a) z = a (12) ( 1 + a) 1 (( 1 + a) z) = ( 1 + a) 1 ( a) (13) (( 1 + a) 1 ( 1 + a)) z = ( 1 + a) 1 ( a) (14) 1 z = ( 1 + a) 1 ( a) (15) z = ( 1 + a) 1 ( a)

5 6.4 Oplossingen (x 2)(x 2 2x + 10)(x 2 4x + 8) 2. (x + 2)(x 2 i)(x 2 + i) 3. 3(x 3 i)(x 3 + i)(x 4 2i)(x 4 + 2i) 4. 2(x 3)(x + 2 i)(x i)(x 3i)(x + 3i) 1. x = 4/5 13/20i, y = 7/4 + i 2. x = 2/3 3i, y = 2 + 1/4i 3. x = /3i, y = 5/3 1/3i 4. x = 6 6i, y = 3 + 7i 1. (2) Distributiviteit van. ten opzichte van + (3) In beide leden werd het tegengestelde van a opgeteld (4) Associativiteit van + (5) Eigenschap van tegengestelde element (6) 0 is neutraal element voor + (7) In beide leden werd het tegengestelde van z opgeteld (8) Associativiteit van + (9) Eigenschap van tegengestelde element (10) 0 is neutraal element voor + (11) Distributiviteit van. ten opzichte van + (12) Beide leden vermenigvuldigd met het inverse element (13) Associativiteit van. (14) Eigenscshap van het inverse element (15) 1 is neutraal element voor.