HOOFDSTUK 0. = α g1 α g2
|
|
- Ida Lemmens
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 HOOFDSTUK 0 Acties van groepen 0.1 Groep-actie Uit de cursus Meetkunde en Lineaire Algebra van 1ste jaar Bachelor Wiskunde ([KI] in de referentielijst) weten we reeds wat een permutatiegroep G op een verzameling X is, nl. een deelgroep G van de groep (S(X), ) van alle permutaties van X. I.h.b. is de canonische injectie (G, ) (S(X), ) dan een groepshomomorfisme. We veralgemenen deze situatie als volgt. Zie ook hoofdstuk 10 in [J]. Definitie 1. Zij (G, ) een groep en X een verzameling. Een actie (of een werking) van G op X is een groepshomomorfisme α : (G, ) (S(X), ) : g α g. We zeggen ook dat G ageert (of werkt) op X d.m.v. α. Opmerking 1. Het beeld van g G door de actie α noteert men meestal α g i.p.v. α(g). De homomorfisme-eigenschap betekent dus dat α g1 g 2 = α g1 α g2 g 1, g 2 G In vele boeken definieert men acties op een andere manier en maakt men onderscheid tussen linkse en rechtse acties. Definitie 1. Een linkse actie van een groep (G, ) op een verzameling X is een afbeelding: λ : G X X die voldoet aan (i) g, h G, x X : λ(gh,x) = λ(g,λ(h,x)) (ii) x X : λ(e,x) = x (e neutraal element van G) Gelukkig bepaalt elke actie een linkse actie en omgekeerd: (bewijs als oefening) α : G S(X) actie λ : G X X : (g,x) α g (x) linkse actie λ : G X X l. a. α : G S(X) : g (α g : X X : x λ(g,x)) actie Onderzoek zelf de rechtse acties (zie literatuur) en het verband met (linkse) acties. Voorbeeld 1. (verifieer als oefening) Elke permutatiegroep G op een verzameling X definieert een actie G S(X) : g g 1
2 HOOFDSTUK 0. ACTIES VAN GROEPEN 2 Voorbeeld 2. (verifieer als oefening) Elke groep G werkt op zichzelf o.a. door (1). G S(G) : g (L g : G G : x gx) (werking door linker-translaties) (2). G S(G) : g ( R g 1 : G G : x xg 1) (werking door rechter-translaties; waarom niet g R g?) (3). G S(G) : g ( σ g : G G : x gxg 1) (werking door inwendige automorfismen) Voorbeeld 3. (verifieer als oefening) De orthogonale groep O(R 2 ) werkt niet alleen op R 2 (vgl met het 1 e voorbeeld), maar ook op de eenheidscirkel S 1 = { (x,y) R 2 x 2 + y 2 = 1 } door O(R 2 ) S(S 1 ) : F ( F S 1: S 1 S 1) Definitie 2. Een actie α : G S(X) van een groep G op een verzameling X heet getrouw indien α injectief is, m.a.w. indien Ker α = {e} Voorbeeld 4. (verifieer als oefening) De acties in voorbeelden 1, 2 (1), 2(2) en 3 zijn getrouw. Voorbeeld 5. (verifieer als oefening) De actie σ g : G G : x gxg 1 uit voorbeeld 2(3) heeft als kern Ker σ = {g G σ g = 1 G } = {g G x G : gx = xg} = Z(G), het centrum van G. Zoek een eenvoudig voorbeeld waar Z(G) {e} en dus σ niet getrouw is. Voorbeeld 6. (verifieer als oefening) Zij α : G S(X) een actie en q : G G/Ker α het quotiënthomomorfisme. Bewijs dat er juist één actie α : G/Ker α S(X) bestaat zodanig dat α q = α. Bewijs dat α getrouw is. 0.2 Transitieve acties en banen van een actie Definitie 1. Een actie α : G S(X) van een groep G op een verzameling X heet transitief indien x, y X : ( g G : α g (x) = y) en heet strikt transitief indien x, y X : (!g G : α g (x) = y) Voorbeeld 1. (verifieer als oefening) De acties G S(G) : g L g (zie voorbeeld (1)) en G S(G) : g R g 1 (zie voorbeeld (2)) zijn strikt transitief.
3 HOOFDSTUK 0. ACTIES VAN GROEPEN 3 Voorbeeld 2. (verifieer als oefening) De actie σ : G S(G) : g ( σ g : G G : x gxg 1) (zie voorbeeld (3)) is niet transitief zodra #G > 1. Inderdaad, neem e (neutraal element van G) en x G \ {e}, dan geldt: g G : σ g (e) = geg 1 = e x Voorbeeld 3. (verifieer als oefening) De groep S 3 = S({1, 2, 3}) werkt transitief op {1, 2, 3} maar niet strikt transitief. In bepaalde gevallen impliceert transitief vanzelf ook strikt transitief: Stelling 1. Zij α : G (X) een getrouwe transitieve actie van een abeliaanse groep G op een verzameling X. Dan is α strikt transitief. Bewijs. Zij x, y X en g, h G zodanig dat α g (x) = α h (x) = y. Dan geldt: z X : α g (z) = α g (α k (x)) voor een zekere k G (α transitief) = α gk (x) = α kg (x) G commutatief = α k (α g (x)) = α k (α h (x)) door keuze van g, h G = α kh (x) = α hk (x) G commutatief = α h (α k (x)) = α h (z) Dus is Vermits α getrouw is, en dus ook injectief, is α g = α h g = h α is strikt transitief. Met een actie van G op X en een element x van X kan men een bijzondere deelgroep van G en een bijzondere deelverzameling van X associëren. Definitie 2. Zij α : G S(X) een actie van een groep G op een verzameling X. Zij x X. De stabilisator (of isotropiegroep) van x is de deelgroep G x = {g G α g (x) = x} van G. De baan van x is de deelverzameling G(x) = {α g (x) g G} van X. Opmerking 1. Verifieer dat G x inderdaad een deelgroep is van G. Voorbeeld 4. (verifieer als oefening) α : G S(X) een actie van G op X is transitief x X : G(x) = X α is strikt transitief x X : G x = {e} (Geldt ook?) Voorbeeld 5. (verifieer als oefening) Zij (G, ) een groep, H een deelgroep van G en X = {xh x G} (de verzameling van linkernevenklassen van H in G). Zij α : G S(X) : g (α g : X X : xh (gx)h) Toon aan dat α een actie is van G op X. Bepaal de stabilisator en de baan van xh X. Is α transitief, strikt transitief?
4 HOOFDSTUK 0. ACTIES VAN GROEPEN De orbit-stabilizer -stelling Is G een eindige groep, dan zijn #G, #G x en #G(x) door een elegante formule verbonden. Stelling 1. ( Orbit-stabilizer -stelling ) Zij α : G S(X) een actie van een eindige groep G op een verzameling X en zij x X. Dan is G(x) een eindige verzameling en geldt #G = (#G x ) (#G(x)) Bewijs. G eindig G x eindig. De stelling van Lagrange levert: #G = (#G x ) #{linker nevenklassen van G x in G} Het aantal linker nevenklassen van G x in G (d.i. de index van G x in G) is dus ook eindig en het volstaat nu een bijectie µ : {gg x g G} G(x) te vinden. Stel nu µ(gg x ) = α g (x) µ is goed gedefinieerd, want gg x = hg x h 1 g G x α h 1 g(x) = x (α h ) 1 (α g (x)) = x α g (x) = α h (x) µ is injectief, want µ (gg x ) = µ (hg x ) α g (x) = α h (x) (α h ) 1 (α g (x)) = x α h 1 g(x) = x h 1 g G x gg x = hg x µ is surjectief, want y G(x) g G : α g (x) = y, d.w.z. y = µ (gg x )
5 HOOFDSTUK 0. ACTIES VAN GROEPEN 5 Gevolg 1. Zij α : G S(X) een transitieve actie van een eindige groep G op een verzameling X en zij x X. Dan geldt #G = (#G x ) (#X). Opmerking 1. In het ZSC-B staat een video (nr. VW-203B) over deze orbit-stabilizer theorem. Duur: 24 minuten. Een aanrader. 0.4 Oefeningen bij hoofdstuk 0 1. Zij ρ : G S(X) een actie en stel K := Kerρ. Bewijs dat (a) K = x X G x (b) indien de actie van G transitief is, dan x X : K = g 1 G x g 2. Zij G een groep en beschouw de afbeelding α : G G S(G) : (x,y) ( α (x,y) : G G : g xgy 1) g G (a) Is α een actie van G G (direct product) op G? (b) Wanneer is α getrouw? (c) Vergelijk dit met de actie van G op zichzelf door inwendige automorfismen. De hierboven beschreven actie noemt men de diagonaalactie van G op zichzelf. 3. Zij G een groep en H een deelgroep van G. Noteer X = {xh x G} de verzameling van linker nevenklassen van H in G. (a) Toon dat de afbeelding λ : G X X : (g,xh) (gx)h een linkse actie definieert van G op X. (b) Geef een voorschrift van de met λ geassocieerde actie α. (c) Is α getrouw, transitief? (d) Als H G, is dan α getrouw of niet? Verklaar. 4. Beschouw een ruimtelichaam (zoals bijvoorbeeld een kubus). (a) Wat versta je onder automorfisme van een ruimtelichaam? (b) Bepaal de orde van de automorfismengroep van de kubus. (c) Bepaal de orde van de automorfismengroep van de dodecaëder.
6 HOOFDSTUK 0. ACTIES VAN GROEPEN 6 (d) Bewijs dat de icosaëder evenveel automorfismen heeft als de dodecaëder. (e) Kan je een verklaring geven voor (d)? Wat verwacht je voor de grootte van de automorfismengroep van de octaëder? 5. In het algemeen kan eenzelfde groep op verschillende verzamelingen ageren. Deze acties kunnen nuttig zijn om de structuur van G te achterhalen. (a) Bestudeer de actie van de automorfismengroep van de kubus op de zijvlakken van de kubus en bewijs dat deze groep een deelgroep heeft van index 6. (b) Zij V een K-vectorruimte. De automorfismengroep van V noteert men GL(V). Deze groep heeft een natuurlijke actie op de punten van V, maar ageert ook op de verzameling deelruimten van V. Bewijs dit. Toon aan dat deze actie de dimensie bewaart. Beschouw de verzameling X van alle 1-dimensionale deelruimten van V en beschrijf de actie van GL(V) hierop. Bepaal de kern van deze actie. Is deze actie getrouw? Bepaal een groep die trouw ageert op X. Deze groep noteert men PGL(V) en noemt men projectieve groep. Hij zal later in de cursus nog optreden. We zagen hier een voorbeeld van geïnduceerde actie. Zij α : G S(X) een actie. Een deel D X heet G-invariant indien g G : α g (D) D. Op een G-invariant deel kan men een actie definiëren door α D : G S(D) : g α g D Verifieer dat α D wel degelijk een actie is. Men noemt dit de geïnduceerde actie van G op D. Is er een verband tussen de grootte van de stabilisator van een deel D en het G-invariant zijn van D? 6. Zij α : G S(X) een transitieve actie, x een element van X en H een deelgroep van G. Bewijs dat de actie α H transitief is als en slechts als {hg h H,g G x } = G. 7. Zij H een deelgroep van een groep G. Stel X := G\\H, de verzameling der linkernevenklassen van H in G. Definieer, zoals in voorbeeld 0.2.5, α : G S(X) : g ( α g : G\\H G\\H : xh (gx)h ) Bewijs volgende stellingen: (a) De kern van α is de grootste normaaldeler van G die omvat is in H. (b) Als H een deelgroep is van index n, dan bestaat er een normale deelgroep K van G die in H omvat is en waarvan de index in G een deler is van n!. (c) Als p het kleinste priemgetal is dat de orde van G deelt en er bestaat een H G van index p, dan is H normaal in G. (d) In een p-groep is elke deelgroep van index p een normaaldeler. (e) In elke groep is elke deelgroep van index 2 normaal.
Definitie 8.1. De groep van alle permutaties van een gegeven verzameling X is de symmetriegroep op n elementen, genoteerd als Sym(X).
Hoofdstuk 8 Werking van een groep 8.1 Permutatiegroepen Een permutatie van een verzameling X is een bijectie van die verzameling op zichzelf. Een verzameling X met n elementen heeft juist n! permutaties.
Nadere informatieDeelgroepen en normaaldelers
Hoofdstuk 2 Deelgroepen en normaaldelers 2.1 Wat is een deelgroep? Definitie 2.1. Een deelverzameling H van een groep G, is een deelgroep van G als en slechts als H niet leeg is en H, zelf een groep is.
Nadere informatieOefening 2.2. Welke van de volgende beweringen zijn waar?
Oefeningen op hoofdstuk 2 Verzamelingenleer 2.1 Verzamelingen Oefening 2.1. Beschouw A = {1, {1}, {2}}. Welke van de volgende beweringen zijn waar? Beschouw nu A = {1, 2, {2}}, zelfde vraag. a. 1 A c.
Nadere informatieEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I MAANDAG 17 JANUARI 2011 1. Theorie Opgave 1. (a) In Voorbeelden 2.1.17 (7) wordt gesteld dat de maximale lineair onafhankelijke deelverzamelingen van
Nadere informatieCongruentie deelgroepen
Congruentie deelgroepen 2 Definities Congruentie deelgroepen zijn deelgroepen van matrixgroepen met gehele elementen die bepaald worden door congruentie relaties. De eenvoudigste omgeving om die congruentie
Nadere informatieDefinitie 4.1. Als H en K normaaldelers zijn van een groep G en H K = {e} en HK = G dan noemt men G het direct product van
Hoofdstuk 4 Groepsconstructies 4.1 Direct product We gaan nu bestuderen hoe we van 2 groepen een nieuwe groep kunnen maken of hoe we een groep kunnen schrijven als een product van 2 groepen met kleinere
Nadere informatieStefan Pouwelse. Epimorfismen. Bachelorscriptie, 10 september Scriptiebegeleider: prof.dr. H.W. Lenstra
Stefan Pouwelse Epimorfismen Bachelorscriptie, 10 september 2009 Scriptiebegeleider: prof.dr. H.W. Lenstra Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden 2 Inhoudsopgave 1. Diagrammen en colimieten 4 2. Geamalgameerde
Nadere informatieopgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): 2 a 2.
opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): ℵ 0 #A, B = {b 0,..., b n 1 } voor een zeker natuurlijk getal
Nadere informatieLineaire Algebra C 2WF09
Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H.A. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09
Nadere informatieTentamen algebra 1. 8 juni 2005, , zaal A.404
Tentamen algebra 1 8 juni 2005, 13.30 16.30, zaal A.404 Schrijf je naam en collegekaartnummer of het werk dat je inlevert. Het tentamen bestaat uit 5 opgaven. Beargumenteer telkens je antwoord. Veel succes!
Nadere informatie5 Inleiding tot de groepentheorie
5 Inleiding tot de groepentheorie Oefening 5.1. Stel de Cayleytabel op voor de groep van de symmetrieën van een vierkant. Bewijs dat deze groep de viergroep van Klein bezit als deelgroep van index 2. Oplossing
Nadere informatieInleiding tot groepentheorie
Hoofdstuk Inleiding tot groepentheorie 1 Basisdefinities Een algebraïsche structuur bestaat meestal uit een verzameling waarop één of meerdere bewerkingen gedefinieerd zijn. Definitie Een inwendige bewerking
Nadere informatieAffiene ruimten. Oefeningen op hoofdstuk Basistellingen
Oefeningen op hoofdstuk Affiene ruimten. Basistellingen Oefening.. Er zijn maar een eindig aantal lineaire afbeeldingen op een eindigdimensionale vectorruimte F n q over een eindig veld F q. Tel het aantal
Nadere informatieTentamen Grondslagen van de Wiskunde A met uitwerking
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A met uitwerking 9 december 2014, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is het totaal
Nadere informatieTentamen algebra 1 Woensdag 24 juni 2015, 10:00 13:00 Snelliusgebouw B1 (extra tijd), B2, B3, 312
Tentamen algebra 1 Woensdag 24 juni 2015, 10:00 13:00 Snelliusgebouw B1 (extra tijd), B2, B3, 312 Je mag de syllabus en aantekeningen gebruiken, maar geen rekenmachine. Je mag opgaven 2.46, 2.49 en 8.13
Nadere informatieDefinitie 5.1. Cyclische groepen zijn groepen voortgebracht door 1 element.
Hoofdstuk 5 Cyclische groepen 5.1 Definitie Definitie 5.1. Cyclische groepen zijn groepen voortgebracht door 1 element. Als G wordt voortgebracht door a en a n = e, dan noteren we de groep als C n = a.
Nadere informatie1 Symmetrieën van figuren
1 Symmetrieën van figuren 1.1 Het mysterie van de hoge eik Als je door een met water gevulde reageerbuis heen de woorden DIE HOHE EICHE FÄLLT LANGSAM UM leest, waarbij de eerste drie woorden rood en de
Nadere informatieHoofdstuk 6. Dihedrale groepen. 6.1 Definitie
Hoofdstuk 6 Dihedrale groepen 6.1 Definitie Definitie 6.1. De dihaeder groep is de symmetriegroep van een regelmatige n-hoek. Dit is de verzameling van alle transformaties in het vlak die de regelmatige
Nadere informatieDefinitie 1.1. Een groep is een verzameling G, uitgerust met een bewerking waarvoor geldt dat:
Hoofdstuk 1 Eerste begrippen 1.1 Wat is een groep? Definitie 1.1. Een groep is een verzameling G, uitgerust met een bewerking waarvoor geldt dat: 1. a, b G : a b G 2. a, b, c G : a (b c) = (a b) c = a
Nadere informatie5.2.4 Varia in groepentheorie
Oefeningen op hoofdstuk 5 Algebra 5.2 Groepentheorie 5.2.1 Cayleytabellen van groepen van orde 8 Oefening 5.1. Stel de Cayleytabel op voor de groep van de symmetrieën van een vierkant. Bewijs dat deze
Nadere informatieOefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A
Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat
Nadere informatieHoofdstuk 3. Equivalentierelaties. 3.1 Modulo Rekenen
Hoofdstuk 3 Equivalentierelaties SCHAUM 2.8: Equivalence Relations Twee belangrijke voorbeelden van equivalentierelaties in de informatica: resten (modulo rekenen) en cardinaliteit (aftelbaarheid). 3.1
Nadere informatieLineaire algebraïsche groepen
J. Jin Lineaire algebraïsche groepen Bachelorscriptie juni 2009 Scriptiebegeleider: prof.dr. S.J. Edixhoven Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden 1 Inhoudsopgave 1 Basisdefinities en -theorie 4 1.1
Nadere informatieOpgaven Inleiding Analyse
Opgaven Inleiding Analyse E.P. van den Ban Limieten en continuïteit Opgave. (a) Bewijs direct uit de definitie van iet dat y 0 y = 0. (b) Bewijs y 0 y 3 = 0 uit de definitie van iet. (c) Bewijs y 0 y 3
Nadere informatieThis work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License. To view a copy of this license,
Inhoudsopgave 1 Groepen 1 1.1 Groepen, deelgroepen en voorbeelden.............. 1 1.2 Verdere definities en eigenschappen............... 8 1.3 Groepsmorfismen......................... 15 1.4 Cyclische
Nadere informatieEigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde
Faculteit Wetenschappen Vakgroep Wiskunde Eigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde Magali Victoor Promotor: Prof. dr. Hendrik Van Maldeghem Masterproef ingediend tot het behalen van de academische
Nadere informatieAlgebra. Oefeningen op hoofdstuk Groepentheorie Cayleytabellen van groepen van orde Cyclische groepen
Oefeningen op hoofdstuk 5 Algebra 5.2 Groepentheorie 5.2.1 Cayleytabellen van groepen van orde 8 Oefening 5.1. Stel de Cayleytabel op voor de groep van de symmetrieën van een vierkant. Bewijs dat deze
Nadere informatieMathieu-groepen en hun meetkunden
Faculteit Wetenschappen Departement Wiskunde Mathieu-groepen en hun meetkunden Bachelorproef Doryan Temmerman Promotor: Prof. Philippe Cara 1e Semester 2012-2013 Inhoudsopgave 1 Inleiding 1 2 Designs 1
Nadere informatieOPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010
OPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010 1. Zij V een vectorruimte en A = {v 1,..., v m } een deelverzameling van m vectoren uit V die voortbrengend is voor V, m.a.w. V = A.
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)
Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren
Nadere informatieTweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Uitwerking en opmerkingen
Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 en opmerkingen November 10, 2009 Opgave 1 Gegeven een vectorruimte V met deelruimtes U 1 en U 2. Als er geldt dim U 1 = 7, dimu 2 = 9, en dim(u 1 U 2 ) = 4, wat
Nadere informatieAntwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding
Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie
Nadere informatieWe beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.
II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;
Nadere informatieI.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules.
I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situaties het begrip functie tegengekomen; vaak als een voorschrift dat aan elk getal een ander getal toevoegt, bijvoorbeeld de functie fx = x die aan elk
Nadere informatieSupplement Verzamelingenleer. A.J.M. van Engelen en K. P. Hart
Supplement Verzamelingenleer A.J.M. van Engelen en K. P. Hart 1 Hoofdstuk 1 Het Keuzeaxioma Het fundament van de hedendaagse verzamelingenleer werd in de vorige eeuw gelegd door Georg Cantor. Cantor gebruikte
Nadere informatieKU Leuven. Algebra. Notities. Tom Sydney Kerckhove
KU Leuven Algebra Notities Tom Sydney Kerckhove Gestart 23 september 2014 Gecompileerd 28 oktober 2014 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 3 1.1 Basisbegrippen....................................... 3 1.2 De
Nadere informatieThis work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License. To view a copy of this license,
Inhoudsopgave 1 Groepen 1 1.1 Definitie en voorbeelden..................... 1 1.2 Deelgroepen en de stelling van Lagrange............ 5 1.3 Morfismen, kern, normaaldelers................. 13 1.4 Cyclische
Nadere informatieUitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015
Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen
Nadere informatieSamenvatting. Algebra 1 - Collegejaar Dictaat algebra 1. Disclaimer
Samenvatting Algebra 1 - Collegejaar 2011-2012 Dictaat algebra 1 Disclaimer De informatie in dit document is afkomstig van derden. W.I.S.V. Christiaan Huygens betracht de grootst mogelijke zorgvuldigheid
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 215 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan. Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt
Nadere informatieTentamen Grondslagen van de Wiskunde A, met uitwerkingen
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A, met uitwerkingen 8 december 2015, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is het totaal
Nadere informatie(ii) Zij e 0 een geheel getal. Bewijs: de code C is e-fouten-verbeterend d(x, y) 2e + 1 voor alle x, y C met x y.
Opgaven bij het college Topologie 1 Metrische ruimten Opgave 1.1. Geef een voorbeeld waaruit blijkt dat de doorsnede van oneindig veel open verzamelingen in een metrische ruimte niet open hoeft te zijn.
Nadere informatieDossier 1 SYMBOLENTAAL
Dossier 1 SYMBOLENTAAL basis voor wiskundige communicatie Dr. Luc Gheysens Wiskundigen hebben een eigen symbolentaal waarmee ze onderling communiceren, redeneringen en bewijzen neerschrijven, mathematische
Nadere informatieTuyaux 3de Bachelor Wiskunde WINAK
Tuyaux 3de Bachelor Wiskunde WINAK Eerste Semester 2011-2012 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Maattheorie 3 2.1 Theorie....................................... 3 2.2 Oefeningen.....................................
Nadere informatieLineaire Algebra C 2WF09
Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H.A. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09
Nadere informatieUitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00
Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 3 januari 07, 0:00 3:00 Hint: Alle karakteristiek polynomen die je nodig zou kunnen hebben, hebben gehele nulpunten. Als dat niet het geval lijkt, dan heb je dus
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 2015 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt
Nadere informatieEigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid
Hoofdstuk 3 Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid 31 Diagonaliseerbaarheid Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit
Nadere informatieLineaire Algebra C 2WF09
Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 8
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los
Nadere informatiePolyatheorie. Erik Verraedt 2011-2012
2011-2012 Inhoudsopgave 1 Inleiding 4 2 Enkele telproblemen 5 2.1 Probleem 1........................................ 5 2.2 Probleem 2........................................ 5 2.3 Probleem 3........................................
Nadere informatieV.2 Limieten van functies
V.2 Limieten van functies Beschouw een deelverzameling D R, een functie f: D R en zij c R. We willen het gedrag van f in de buurt van c bestuderen. De functiewaarde in c is daarvoor niet belangrijk, de
Nadere informatieOpgave 1.1. Geef een voorbeeld waaruit blijkt dat de doorsnede van oneindig veel open verzamelingen in een metrische ruimte niet open hoeft te zijn.
Opgaven bij het college Topologie 1 Metrische ruimten Opgave 1.1. Geef een voorbeeld waaruit blijkt dat de doorsnede van oneindig veel open verzamelingen in een metrische ruimte niet open hoeft te zijn.
Nadere informatieExamen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde. vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30. Auditorium L.00.07
Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30 Auditorium L.00.07 Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 6
Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W
Nadere informatieTentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)
Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N
Nadere informatieKU Leuven. Algebra. Notities. Tom Sydney Kerckhove. met dank aan: Katelijne Caerts Eline van der Auwera Anneleen Truijen
KU Leuven Algebra Notities Tom Sydney Kerckhove met dank aan: Katelijne Caerts Eline van der Auwera Anneleen Truijen Gestart 23 september 2014 Gecompileerd 1 juni 2015 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 6 1.1
Nadere informatieiii Tristan Kuijpers Claudine Lybaert december 2013
Voorwoord De wiskundige vorming die in de wiskundig sterke richtingen van het Vlaamse secundair onderwijs wordt aangeboden, vormt een zeer degelijke basis voor hogere studies in wetenschappelijke, technologische
Nadere informatieEnige informatie over groepen ten bate van het college Topologie en Meetkunde (Jaap van Oosten, Juni 2003)
Enige informatie over groepen ten bate van het college Topologie en Meetkunde (Jaap van Oosten, Juni 2003) Een groep is een verzameling G met daarop een operatie : G G G (die we schrijven als g, h g h),
Nadere informatieVectorruimten met inproduct
Hoofdstuk 3 Vectorruimten met inproduct 3. Inleiding In R 2 en R 3 hebben we behalve de optelling en scalairvermenigvuldiging nog meer structuur ; bij een vector kun je spreken over zijn lengte en bij
Nadere informatieII.3 Equivalentierelaties en quotiënten
II.3 Equivalentierelaties en quotiënten Een belangrijk begrip in de wiskunde is het begrip relatie. Een relatie op een verzameling is een verband tussen twee elementen uit die verzameling waarbij de volgorde
Nadere informatieGroepen- en Galoistheorie
Groepen- en Galoistheorie E. Jespers Departement Wiskunde Vrije Universiteit Brussel Faculteit Wetenschappen 2007 2008 webstek: http://homepages.vub.ac.be/ efjesper HOC+WPO: woensdag 9-12 uur, F.5.210
Nadere informatieInleiding Analyse 2009
Inleiding Analyse 2009 Inleveropgaven A). Stel f(, y) = In (0, 0) is f niet gedefinieerd. We bestuderen y2 2 + y 4. lim f(, y). (,y) (0,0) 1. Bepaal de waarde van f(, y) op een willekeurige rechte lijn
Nadere informatieOefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december A =
Oefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december 2012 Opg 1 De schaakbordmatrix A is de 8 bij 8 matrix 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 A = 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1
Nadere informatieGetallen, 2e druk, extra opgaven
Getallen, 2e druk, extra opgaven Frans Keune november 2010 De tweede druk bevat 74 nieuwe opgaven. De nummering van de opgaven van de eerste druk is in de tweede druk dezelfde: nieuwe opgaven staan in
Nadere informatieTentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking 10 december 2013, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is
Nadere informatieExamen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde. vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30
Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30 Naam: Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.
Nadere informatieGeef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.
Tentamen Lineaire Algebra maandag 3--27, 3.3-6.3 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken. Schrijf op elk
Nadere informatieONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.
ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding
Nadere informatie3 De duale vectorruimte
3 De duale vectorruimte We brengen de volgende definitie in de herinnering. Definitie 3.1 (hom K (V, W )) Gegeven twee vectorruimtes (V, K) en (W, K) over K noteren we de verzameling van alle lineaire
Nadere informatieStefan van der Lugt. Projectieve vlakken. Bachelorscriptie Scriptiebegeleider: Dr. R.S. de Jong 27 juli 2012
Stefan van der Lugt Projectieve vlakken Bachelorscriptie Scriptiebegeleider: Dr. R.S. de Jong 27 juli 2012 Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Projectieve vlakken
Nadere informatieHoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen
Hoofdstuk : Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen Partiële differentiaalvergelijkingen zijn vergelijkingen waarin een onbekende functie van twee of meer variabelen en z n partiële afgeleide(n)
Nadere informatieGeef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.
Tentamen Lineaire Algebra donderdag 29 januari 205, 9.00-2.00 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken.
Nadere informatieVelduitbreidingen. Hector Mommaerts
Velduitbreidingen Hector Mommaerts 2 Hoofdstuk 1 Basisbegrippen 1.1 Definities Definitie 1.1. Een veld L is een uitbreiding van het veld K als het ontstaat door aan K één of meerdere elementen toe te voegen.
Nadere informatieUitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra 1, najaar y y = 2x. P x. L(P ) y = x. 2/3 1/3 en L wordt t.o.v de standaardbasis gegeven door
Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra, najaar 007. Gegeven is de lineaire afbeelding L : R R, die een punt P = (x, y) langs de lijn y = x projecteert op de lijn y = x: y y = x P x L(P ) y = x Bepaal
Nadere informatie(Isomorfie en) RELATIES
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 15 maart 2009 (Isomorfie en) RELATIES. Paragrafen 10.5,11.1,11.2,11.4,11.5 Discrete
Nadere informatiePermuteerbare deelgroepen en Sylow deelgroepen
WETENSCHAPPEN WISKUNDE Permuteerbare deelgroepen en Sylow deelgroepen Bachelor Project I Shaun Bundervoet Promotor : Prof. Eric Jespers 2008-2009 Inhoudsopgave Voorwoord 1 1 Permuteerbaarheid 3 1.1 Elementaire
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie 22 maart 2009 ONEINDIGHEID
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 22 maart 2009 ONEINDIGHEID. Paragraaf 13.3. De paradox van de oneindigheid ligt slechts
Nadere informatieStelling van Jordan. Ayla Stam. 14 juli Bachelorscriptie Begeleiding: dhr. prof. dr. L.D.J. (Lenny) Taelman
Stelling van Jordan Ayla Stam 14 juli 2017 Bachelorscriptie Begeleiding: dhr. prof. dr. L.D.J. (Lenny) Taelman Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica
Nadere informatieOefening 2.3. Noteer de volgende verzamelingen d.m.v. (eenvoudig) voorschrift voor de eerste helft en d.m.v. opsomming voor de tweede helft.
Oefeningen op hoofdstuk 2 Verzamelingenleer 2.1 Verzamelingen Oefening 2.1. Beschouw A = {1, {1}, {2}}. Welke van de volgende beweringen zijn waar? Beschouw nu A = {1, 2, {2}}, zelfde vraag. a. 1 A c.
Nadere informatie1 Nilpotente en oplosbare groepen Groepen bouwen De correspondentiestelling Nilpotente en oplosbare groepen...
Inhoudsopgave 1 Nilpotente en oplosbare groepen 1 1.1 Groepen bouwen......................... 1 1.2 De correspondentiestelling.................... 7 1.3 Nilpotente en oplosbare groepen.................
Nadere informatieIngela Mennema. Roosters. Bachelorscriptie. Scriptiebegeleider: Dr. R.M. van Luijk en H.D. Visse MSc. Datum Bachelorexamen: 28 juni 2016
Ingela Mennema Roosters Bachelorscriptie Scriptiebegeleider: Dr. R.M. van Luijk en H.D. Visse MSc Datum Bachelorexamen: 28 juni 2016 Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Inhoudsopgave 1 Inleiding
Nadere informatieExamen G0U13 - Bewijzen en Redeneren,
Examen G0U13 - Bewijzen en Redeneren, 2010-2011 bachelor in de Wisunde, bachelor in de Fysica, bachelor in de Economische Wetenschappen en bachelor in de Wijsbegeerte Vrijdag 4 februari 2011, 8u30 Naam:
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Algebra 3 8 juni 2017, 14:00 17:00
Uitwerkingen tentamen Algebra 3 8 juni 207, 4:00 7:00 Je mocht zoals gezegd niet zonder uitleg naar opgaven verwijzen. Sommige berekeningen zijn hier weggelaten. Die moest je op je tentamen wel laten zien.
Nadere informatieLineaire algebra I (wiskundigen)
Lineaire algebra I (wiskundigen) Voorbeelden van toetsopgaven, 011 en (1) (a) Bepaal de afstand van het punt Q = (1,, ) R 3 tot het vlak gegeven door x + y z = 1. (b) Bepaal de hoek tussen de vectoren
Nadere informatieLineaire afbeeldingen
Hoofdstuk 4 Lineaire afbeeldingen In de algebra spelen naast algebraïsche structuren zelf ook de afbeeldingen ertussen die (een deel van de structuur bewaren, een belangrijke rol Voor vectorruimten zijn
Nadere informatieOpgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban
Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele
Nadere informatieEnkele valkuilen om te vermijden
Enkele valkuilen om te vermijden Dit document is bedoeld om per onderwerp enkele nuttige strategieën voor opgaven te geven. Ook wordt er op een aantal veelgemaakte fouten gewezen. Het is géén volledige
Nadere informatieTopologie I - WPO Prof. Dr. E. Colebunders Dr. G. Sonck 24 september 2006
Topologie I - WPO Prof. Dr. E. Colebunders Dr. G. Sonck 24 september 2006 Inhoudsopgave 1 Topologische ruimten 2 2 Metriseerbaarheid en aftelbaarheid 7 3 Convergentie en continuïteit 8 4 Separatie-eigenschappen
Nadere informatieINLEIDING GROEPENTHEORIE
INLEIDING GROEPENTHEORIE 2013-2014 webstek: http://homepages.vub.ac.be/ efjesper HOC: woensdag 8-10 uur, sem 2 WPO: donderdag 13-15 uur, sem 2 E. Jespers Vakgroep Wiskunde Vrije Universiteit Brussel Faculteit
Nadere informatieTopologie I - WPO. Prof. Dr. E. Colebunders
Topologie I - WPO Prof. Dr. E. Colebunders Academiejaar 2015-2016 Inhoudsopgave 1 Topologische ruimten 2 2 Metriseerbaarheid en aftelbaarheid 7 3 Convergentie en continuïteit 8 4 Separatie-eigenschappen
Nadere informatieOverzicht Fourier-theorie
B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van
Nadere informatieTentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 7 februari 9, 8.-.5 uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Nadere informatieJe hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015
Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. Elk vraagstuk is maximaal 10 punten waard. Begin elke opgave op een nieuw vel papier. µkw uitwerkingen 12 juni 2015 Vraagstuk 1. We kunnen
Nadere informatieTentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 5 december 8, 5.5-8. uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Nadere informatieOpgave 1 Bepaal welke van de volgende beweringen juist zijn: = Z2 Z 6 (R >0, ) = (R, +) (Z, +) = (Q, +)
Deeltentamen Groepentheorie (WISB221). A. Henriques, Nov 2012. Geef niet alleen anwoorden, maar bewijs al je beweringen. Opgave 1 Bepaal welke van de volgende beweringen juist zijn: [5pt] Z 5 = Z 4, Z
Nadere informatieArno Kret. Bachelorscriptie wiskunde onder begeleiding van professor S.J. Edixhoven Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden
"!# $% &' Arno Kret Bachelorscriptie wiskunde onder begeleiding van professor S.J. Edixhoven Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Op de voorkant: Een compacte en totaal onsamenhangende deelruimte
Nadere informatieCollege WisCKI. Albert Visser. 17 oktober, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Equivalentierelaties.
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 17 oktober, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Wat is een equivalentierelatie? Een
Nadere informatieDualiteit. Raymond van Bommel. 6 april 2010
Dualiteit Raymond van Bommel 6 april 2010 1 Inleiding Op veel manieren kan meetkunde worden bedreven. De bekendste en meest gebruikte meetkunde is de Euclidische meetkunde. In dit artikel gaan we kijken
Nadere informatieKies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen
Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet
Nadere informatie