Inleiding tot groepentheorie
|
|
- Ferdinand Kuipersё
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Hoofdstuk Inleiding tot groepentheorie 1 Basisdefinities Een algebraïsche structuur bestaat meestal uit een verzameling waarop één of meerdere bewerkingen gedefinieerd zijn. Definitie Een inwendige bewerking (of samenstelling) op een verzameling A is een functie : A A! A :(a, b) 7! ((a, b)). We schrijven ook a b = ((a, b)). Merk op dat binnen de wiskunde niet alleen inwendige bewerkingen interessant zijn. Denk bijvoorbeeld aan de scalaire vermenigvuldiging R V! V in een vectorruimte V over de reële getallen. Definitie Een groep G, is een verzameling G die voorzien is van een inwendige bewerking : G G! G, waarbij voldaan is aan de volgende drie voorwaarden. (1) De bewerking is associatief: () G, heeft een neutraal element e: 8x, y, z G :(x y) z = x (y z). 9e G : 8x G : x e = e x = x. (3) Elk element x van G heeft een invers element: 8x G : 9y G : x y = y x = e. 19
2 Als een bewerking associatief is, heeft de plaats waar de haakjes staan geen belang. Een uitdrukking van de vorm x y z heeft dus een ondubbelzinnige betekenis. Definitie Een groep G, is commutatief (of abels) indien 8x, y G : x y = y x. Indien we te maken hebben met een commutatieve groep, noteren we vaak de bewerking door middel van een + i.p.v. een. We houden hierbij de groepen Z, +, Q, +, R, +,... (zie volgend onderdeel) in gedachten. We zeggen dan dat de groep additief genoteerd wordt in plaats van multiplicatief bij de -notatie. Stelling.1.1: In een groep G, is er precies één neutraal element. Bewijs. Stel dat e en e 0 beide neutrale elementen in de groep G, zijn. Dan geldt dat e = e e 0 (want e 0 is een neutraal element) = e 0 (want e is een neutraal element) Deze eigenschap laat ons dus toe om te spreken van het neutraal element van een groep G,. We zullen meestal e of e G gebruiken om het neutraal element van een groep G, aan te duiden. Bij het gebruik van de additieve notatie bij een commutatieve groep G, +noteertmenditneutraalelementvaakals0. Stelling.1.: In een groep G, heeft elk element x precies één invers element, m.a.w. 8x G : 9!y G : x y = y x = e. Bewijs. Stel dat y en y 0 beide inversen zijn van x, dusx y = y x = e = x y 0 = y 0 x. Dan geldt er dat y = y e = y (x y 0 )=(y x) y 0 = e y 0 = y 0. We kunnen dus spreken van het invers element van een gegeven element x G. We noteren dit element als x 1 in de multiplicatieve notatie of als x in de additieve notatie. 0
3 Stelling.1.3: Zij G, een groep, dan geldt 8x, y G dat (x y) 1 = y 1 x 1 en (x 1 ) 1 = x. Bewijs. Omdat en (x y) (y 1 x 1 )=x (y y 1 ) x 1 = x e x 1 = x x 1 = e (y 1 x 1 ) (x y) =y 1 (x 1 x) y = y 1 e y = y 1 y = e volgt uit Stelling.1. dat (x y) 1 = y 1 x 1.Dat(x 1 ) 1 = x volgt ook uit Stelling.1., want x en (x 1 ) 1 zijn beiden inversen van x 1. Door de voorgaande eigenschappen zijn de volgende notaties in een groep G, geoorloofd: x 0 = e, 8n N 0 : x n = x x {z x} en x n =(x n ) 1 =(x 1 ) n n keer x of in additieve notatie voor een abelse groep G, +: 0x =0, 8n N 0 : nx = x + x + + x {z } n keer x en ( n)x = (nx) =n( x) In de additieve situatie gebruiken we ook x y om x +( y) aanteduiden. Oefening: Toon aan dat x n x m = x n+m en (x n ) m = x nm voor alle elementen x in een groep G, en alle n, m Z. Enkele bekende groepen Hieronder volgen enkele voorbeelden van groepen, die we nog vaak zullen tegenkomen in deze cursus. Z, +, Q, +, R, +enc, +zijncommutatievegroepenmetneutraalelement0. R 0,, C 0, en R + 0, zijn commutatieve groepen met neutraal element 1. S 1, = {z C z =1}, is een commutatieve groep voor de vermenigvuldiging van de complexe getallen. R, + is een commutatieve groep. Herinner u dat R = {(a, b) a, b R} en dat de bewerking + componentsgewijs gedefinieerd is: +:R R! R :((a, b), (c, d)) 7! (a, b)+(c, d) =(a + c, b + d). Op analoge wijze kunnen we de groepen R n, +enc n, +invoeren. 1
4 De matrices met n rijen en m kolommen over de reële getallen vormen een commutatieve groep R n m, +voordeoptelling. Zij GL n (R) deverzamelingvanalleinverteerbarevierkanten n-matrices over de reële getallen. Dan is GL n (R), een groep die niet commutatief is voor n>1. De afkorting GL komt van General Linear Group. Met R[x] noteren we de verzameling van alle veeltermen in de veranderlijke x met coë ciënten in R, dus R[x] ={a 0 + a 1 x + a x + + a n x n n N en 8i {0, 1,...,n} : a i R}. Voor de natuurlijke optelling + is R[x], +eencommutatievegroep. De viergroep van Klein V, met V = {e, a, b, c} is gedefinieerd door de volgende samenstellingstabel of Cayleytabel:. e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e die je als volgt moet lezen: b a a b Zij n N 0 en beschouw de verzameling Z n = {[0] n, [1] n,...,[n uit n elementen. De bewerking + op Z n gedefinieerd door [x] n +[y] n =[(x + y) mod n] n 1] n } bestaande maakt van Z n een commutatieve groep. Als het duidelijk is in welke groep Z n, + gewerkt wordt, worden de elementen vaak als x of zelfs als x genoteerd in plaats van [x] n. Als voorbeeld geven we hier de Cayleytabel voor de groep Z 7, +(waarbijwe gebruik maken van de vereenvoudigde notatie van de elementen): , met o.a. 4 + = 6. In Z n is het vaak handig om de notatie [x] n ook toe te laten voor gehele getallen x die niet tot {0,...,n 1} behoren. In dit geval wordt [x] n geïdentificeerd met [x mod n] n Z n. Bijvoorbeeld, in Z 7, +is[ 10] 7 =[4] 7 =[11] 7. Onder deze identificatie zouden we de optelling + op Z n ook kunnen definiëren door [x] n +[y] n =[x + y] n.
5 Zij X een willekeurige verzameling. Neem de verzameling SX = {f : X! X f is een bijectie } van alle permutaties van X (ter herinnering: een permutatie is een bijectie van een verzameling naar zichzelf). Indien de samenstelling van afbeeldingen voorstelt, dan kan men nagaan dat SX, een groep vormt. Neem als voorbeeld X = {1,, 3}, dan heeft SX zes elementen die we voorstellen in de onderstaande figuren: 1 1 X 1 t(3) 1 t(13) t(1) 1 c 1 1 c De Cayleytabel van deze groep wordt: 1 X c 1 c t(1) t(13) t(3) 1 X 1 X c 1 c t(1) t(13) t(3) c 1 c 1 c 1 X t(13) t(3) t(1) c c 1 X c 1 t(3) t(1) t(13) t(1) t(1) t(3) t(13) 1 X c c 1 t(13) t(13) t(1) t(3) c 1 1 X c t(3) t(3) t(13) t(1) c c 1 1 X In de bovenstaande tabel hebben we twee elementen aangeduid, daardoor zien we dat t(13) = c 1 t(1) en t(3) = t(1) c 1. Dit toont aan dat de groep S{1,, 3}, verkort als S 3, genoteerd. niet commutatief is. Deze groep wordt In het algemeen noteren we met S n, de groep SX,,waarbijX = {1,,...,n} (Hoeveel elementen heeft S n?). Deze groep wordt de symmetrische groep van graad n genoemd. 3
6 Beschouw een regelmatige zeshoek in het vlak. Met D 6 duiden we alle starre bewegingen van het vlak aan die deze 6-hoek op zichzelf afbeelden. De verzameling D 6 bevat 6 rotaties: 1=rotatierondo over een hoek van 0 graden in wijzerzin. a =rotatierondo over een hoek van 60 graden in wijzerzin. a =rotatierondo over een hoek van 10 graden in wijzerzin. a 3 =rotatierondo over een hoek van 180 graden in wijzerzin. a 4 =rotatierondo over een hoek van 40 graden in wijzerzin. a 5 =rotatierondo over een hoek van 300 graden in wijzerzin. o a In D 6 zitten echter niet alleen rotaties, maar ook spiegelingen om rechten. Bekijk bijvoorbeeld de spiegeling b om de rechte B: B b 4
7 We kunnen nu ook a b berekenen: 1 1 b a a b 5 6 Dat levert de spiegeling om de rechte G op (zie figuur hieronder). Analoog vinden we dat: C B a a 3 a 4 a 5 b =spiegelingdoorf b =spiegelingdoore b =spiegelingdoord b =spiegelingdoorc D E F G Men kan intuïtief inzien dat de 6 rotaties en de 6 spiegelingen de enige elementen zijn in D 6. De Cayleytabel van D 6 ziet er als volgt uit (we verkorten a m b tot a m b): 1 a a a 3 a 4 a 5 b ab a b a 3 b a 4 b a 5 b 1 1 a a a 3 a 4 a 5 b ab a b a 3 b a 4 b a 5 b a a a a 3 a 4 a 5 1 ab a b a 3 b a 4 b a 5 b b a a a 3 a 4 a 5 1 a a b a 3 b a 4 b a 5 b b ab a 3 a 3 a 4 a 5 1 a a a 3 b a 4 b a 5 b b ab a b a 4 a 4 a 5 1 a a a 3 a 4 b a 5 b b ab a b a 3 b a 5 a 5 1 a a a 3 a 4 a 5 b b ab a b a 3 b a 4 b b b a 5 b a 4 b a 3 b a b ab 1 a 5 a 4 a 3 a a ab ab b a 5 b a 4 b a 3 b a b a 1 a 5 a 4 a 3 a a b a b ab b a 5 b a 4 b a 3 b a a 1 a 5 a 4 a 3 a 3 b a 3 b a b ab b a 5 b a 4 b a 3 a a 1 a 5 a 4 a 4 b a 4 b a 3 b a b ab b a 5 b a 4 a 3 a a 1 a 5 a 5 b a 5 b a 4 b a 3 b a b ab b a 5 a 4 a 3 a a 1 Deze tabel maakt duidelijk dat ook de groep D 6 een niet commutatieve groep is (waaruit blijkt dit?). 5
8 In het algemeen kan men analoog een groep D n invoeren voor elke n 3. Deze groep wordt de Diëdergroep van graad n genoemd en bestaat uit n rotaties 1, a,..., a n 1 en n spiegelingen b, ab,..., a n 1 b. De bewerking op D n is volledig bepaald door de volgende drie regels: a n =1, b =1enba = a 1 b. Bepaal zelf de Cayleytabel voor D 3,. Het is mogelijk om op basis van gekende groepen, nieuwe groepen te construeren. Eén van deze technieken is het direct product van twee (of meer) groepen te nemen. Definitie Het direct product van twee groepen G, en H, 3 bestaat uit de verzameling G H = {(x, y) x G, y H} voorzien van de bewerking : (G H) (G H)! (G H) : ((x 1,y 1 ), (x,y )) 7! (x 1,y 1 )(x,y )=(x 1 x,y 1 3y ). Oefening: Toon aan dat G H, inderdaad een groep is! Opmerking: Indien we voor H, 3 dezelfde groep nemen als G,, noteren we het direct product G H, als G,. In G, hebben we dus dat (g 1,g ) (g 3,g 4 )=(g 1 g 3,g g 4 ). Meer algemeen kunnen we op die manier ook G n, voor alle n N 0 invoeren. Voorbeeld: In Z 3 4, +geldtdat ([1] 4, [3] 4, [] 4 )+([1] 4, [] 4, [] 4 )=([1] 4 +[1] 4, [3] 4 +[] 4, [] 4 +[] 4 )=([] 4, [1] 4, [0] 4 ). 6
9 Werktekst: Cayleytabel van eindige groepen (Latijnse vierkanten) Een Latijns vierkant van orde n is een vierkante tabel met n rijen en n kolommen, gevuld met symbolen die elk precies één keer per rij en ook één keer per kolom voorkomen. De naam Latijns vierkant komt van Leonard Euler, die Latijnse symbolen gebruikte in zijn vierkanten. Een typisch voorbeeld is een sudoku, hier komen de cijfers van 1 tot 9 in elke rij en kolom juist eenmaal voor. Het zal je al opgevallen zijn dat ook de Cayleytabellen van eindige groepen in de cursustekst Latijnse vierkanten zijn. Een evidente vraag is dan na te gaan of dit toeval is of niet. Zou het kunnen dat elke verzameling G met een samenstellingswet, waarvan de Cayleytabel een Latijns vierkant is, automatisch een groep is? Het antwoord wordt deels gegeven door volgende oefening waar de Cayleytabel een Latijns vierkant is: Ga na dat G = {e, a, b, c, d, f}, met volgende Cayleytabel geen groep is omdat de bewerking niet associatief is. Hint: Bereken:(d c) d en d (c d). e a b c d f e e a b c d f a a b e f c d b b e a d f c c c d f b a e d d f c e b a f f c d a e b Een sluitend antwoord zullen we vinden dankzij volgende stelling: Stelling 1 Zij G, een niet-lege verzameling met associatieve samenstellingswet : G G! G, dan geldt G, is een groep m 8a, b G : 9! x G : b x = a (1) en 8a, b G : 9! y G : y b = a () 7
10 Of, anders geformuleerd: Stelling 1 Zij G, een niet-lege verzameling met associatieve samenstellingswet : G G! G, dan is G, een groep als en slechts als voor elke a en b uit G de vergelijkingen b x = a en y b = a in G unieke oplossingen hebben voor x en y. Bewijs van +: Eenvoudige oefening. Bewijs van *: Vul volgende redeneringen aan. Omdat G niet leeg is kunnen we er een element a uit kiezen. Volgens (1) bestaat er dus een unieke x G waarvoor geldt a x = a. We merken op dat dan ook voor elk willekeurig element h G geldt dat (h a) x = h a. Maar door () weten we dat elk element g G te schrijven is als g = h a voor een bepaalde h G. Toon als gevolg van vorige bedenkingen aan dat 8g G : g x = g. Toon op analoge manier aan dat 9!y G : 8g G : y g = g. Toon nu aan dat x = y. We hebben hiermee aangetoond dat er een neutraal element is in G. Waar precies heb je de associativiteit nodig gehad? Toon nu aan dat elk element van G een invers element heeft. We kunnen besluiten dat G een groep is. We hebben nu een antwoord op onze vraag, want we kunnen nu volgende stelling aantonen: Stelling Een niet-lege eindige verzameling G met samenstellingswet : G G! G is een groep als en slechts als de Cayleytabel van een Latijns vierkant is en de bewerking associatief is. Bewijs. Geef zelf het bewijs! 8
11 3 Deelgroepen Definitie Zij G, een groep en H G. DanisH een deelgroep van G, als en slechts als H, een groep is. Voorbeeld: Z, +iseendeelgroepvanq, +. R + 0, is geen deelgroep van R, +(waarom?). Z 0, is geen deelgroep van R 0, (waarom?). S 1, is een deelgroep van C 0,. Zij SL n (R) de verzameling van alle vierkante n n-matrices met determinant gelijk aan 1. Dan is SL n (R), een deelgroep van GL n (R),. De afkorting SL komt van Special Linear Group. H = {1, a, a,a 3,a 4,a 5 } is een deelgroep van D 6,. Ook K = {1,b} is een deelgroep van D 6,. De volgende eigenschap oogt misschien heel triviaal, maar moet toch eens vermeld en bewezen worden. Stelling.3.1: Zij H een deelgroep van G,. Dan geldt het volgende: (1) het neutraal element van H, is het neutraal element van G,, () voor alle x H is het invers van x in H, het invers van x in G,. Bewijs. Noem e H het neutraal element van H, en e G dat van G,. We duiden het invers van x in G, aan door x 1, terwijl we voor x H het invers van x in H, noteren als x. We vinden dat e H = e H e H (e H is neutraal in H, ) ene H = e H e G (e G is neutraal in G, ). Hieruit verkrijgen we e H e H = e H e G ) e 1 H (e H e H ) = e 1 ) (e 1 H e H) e H = (e 1 H H (e H e G ) e H) e G ) e G e H = e G e G ) e H = e G want... 9
12 Neem nu x H, dan geldt x x = x x = e H = e G = x x 1 = x 1 x en dus x = x 1 door de uniciteit van het invers element (Stelling.1.). Als we een deelverzameling H van een groep G, gegeven hebben en we willen nagaan of H, een deelgroep is, moeten we controleren of een inwendige bewerking is op H die voldoet aan de drie bijhorende voorwaarden. In de praktijk kan men dit werk echter sterk beperken. Dit wordt verklaard door de volgende stelling. Stelling.3.: Deelgroepcriterium Zij H een niet lege deelverzameling van een groep G,, dan zijn de volgende drie uitspraken equivalent: (1) H is een deelgroep van G,, () 8x, y H : x y H en x 1 H, (3) 8x, y H : x y 1 H. Bewijs. We bewijzen deze stelling volgens het schema (1) ) () ) (3) ) (1). (1) ) (): Volgt onmiddellijk uit het feit dat H, een groep is. () ) (3): Neem x, y H. Uit () volgt dat ook y 1 H. Aangezien x H en y 1 H volgt nu uit () dat x y 1 H. (3) ) (1): Neem een element h in H 6= ;. Uit (3) volgt dat h h 1 = e H. Voor alle x H impliceert (3) dat x 1 = e x 1 H. Neem nu willekeurige x, y H. Voor willekeurige x, y H weten we dus dat x en y 1 H, waaruit volgt dat x (y 1 ) 1 = x y H. We kunnen dus besluiten dat een inwendige bewerking is op H. De wet is associatief (waarom?) en e H is een neutraal element voor. Bovendien bezit elke x H een invers element x 1 dat ook tot H behoort. Dus is H, een groep. Als nu G, +eencommutatievegroepisdieadditiefwordtgenoteerdenh een niet-lege deelverzameling is van G, hebben we de volgende equivalentie: H is een deelgroep van G, +, 8x, y H : x y H. 30
13 Voorbeeld: Neem H = {(a, a) a R} R, dan is H een deelgroep van R, +. a H o a Inderdaad: H 6= ;, bv.(1, ) H. 8p, q H : p q H (we kunnen additief werken!), want neem twee willekeurige elementen p =(a, a) enq =(b, b) meta, b R, dan is p q =(a, a) (b, b) =(a b, (a b)) H. Op een analoge manier kan men aantonen dat elke rechte door o =(0, 0) een deelgroep is van R, +. 31
14 Werktekst: groepen met 6 elementen We zullen in deze sectie meer in detail kijken naar groepen met 6 elementen en hun eigenschappen. S 3 en D 3 De groep D 3 bestaat uit alle transformaties van het vlak die een gelijkzijdige driehoek op zichzelf afbeelden. Elk element kan gezien worden als een bepaalde samenstelling van de volgende twee types transformaties: een rotatie a over 10 (in wijzerzin) rond het middelpunt van de driehoek. een spiegeling b (met de middelloodlijn van een van de zijden als as). Andere elementen van D 3 zijn dan bijvoorbeeld a b of b a b b (in verkorte notatie: ab en bab. (Uiteraard geven sommige van deze samenstellingen aanleiding tot dezelfde transformatie!) Teken voor elk van de elementen van D 3 de overeenkomstige transformatie van de hoekpunten. Geef met pijlen en lussen aan wat de beelden zijn van de hoekpunten. 1 a a b ab a b We zullen nu de cayleytabel van D 3 opstellen. Je kan dit meetkundig doen, door voor elke samenstelling (zoals b a b) na te gaan wat de meetkundige interpretatie is, of je kan ook voor een meer rekentechnische benadering kiezen: Het is eenvoudig na te gaan dat a en b voldoen aan de relaties a 3 =1,b =1enba = a b. Dit kan je gebruiken om ingewikkelde samenstellingen te vereenvoudigen, bijvoorbeeld: b a b = b ba = b a =1 a = a. Vervolledig nu zelf onderstaande Cayleytabel: 1 a a b ab a b 1 1 a a b ab a b a a a 1 a b a a a b ab b b a ab ab b a b a b ab b a a 1 3
15 Anderzijds is er ook de Symmetrie-groep S 3, die alle mogelijke permutaties van de verzameling {1,, 3} beschrijft. Een Cayleytabel voor deze groep vind je op bladzijde 3. Label de hoekpunten van de driehoeken, bijvoorbeeld rechtsonder! 1, linksonder!, top! 3, en probeer elk element van S 3 te identificeren met een element van D 3. Geef de elementen van D 3 verschillende kleuren (en gebruik dezelfde kleuren voor de overeenkomstige elementen van S 3.) Schik nu de elementen in beide tabellen in dezelfde volgorde (herschrijf indien nodig), en kleur beide tabellen met de gekozen kleurcodes. Wat stel je vast? Als we de groep D 3 interpreteren als de groep van transformaties van de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek (verkregen door rotaties en spiegelingen), dan is het intuïtief duidelijk dat D 3 gezien kan worden als een deelgroep van S 3 (de permutatiegroep op 3 elementen). Omdat ze bovendien evenveel elementen bevatten, zijn beide groepen in feite hetzelfde. We zullen nu proberen deze intuïtie op een wiskundig rigoureuze manier te beschrijven. Als beide groepen hetzelfde zijn, wil dit zeggen dat het mogelijk moet zijn om een afbeelding : D 3! S 3 te construeren die de groepsstructuur bewaart. Concreet willen we dat voor alle x, y, z S 3 geldt dat z = x y ) (z) = (x) (y), en dus dat (x y) = (x) (y). Een dergelijke (niet noodzakelijk bijectieve) afbeelding wordt ook wel een (groeps)-homomorfisme genoemd. Kan je dit in verband brengen met de gekleurde Cayleytabellen van de vorige oefening? 33
16 Wanneer de afbeelding bovendien ook bijectief is, spreken we van een isomorfisme van groepen, en we zeggen dan dat de groepen D 3 en S 3 isomorfe groepen zijn. Gebaseerd op onze voorgaande exploraties lijkt de volgende keuze natuurlijk: (a) = c 1, (b) = t(1). Als we eisen dat een groepshomomorfisme is, leggen deze keuzes de rest van de afbeelding volledig vast. Inderdaad, we hebben bijvoorbeeld dat (a )= (a a) = (a) (a) =c 1 c 1 = c. Bepaal nu zelf ook de beelden van 1, ab, a b. Merk op dat dit groepsisomorfisme niet uniek is: we hadden bijvoorbeeld evengoed kunnen vertrekken met (a) =c ipv (a) =c 1. Ga na! We zijn echter wel degelijk beperkt in onze keuzes. Stel vast dat geen groepsisomorfisme kan zijn als we zouden eisen dat (b) =c 1 en (a) =t(3). Opmerking: We zouden op analoge wijze kunnen proberen om de groepen S 4 en D 4 te vergelijken. Aangezien in dit geval het aantal elementen verschillend is, kunnen we niet meer zeggen dat beide groepen isomorf zijn. Het is wel nog steeds mogelijk om D 4 te identificeren met een deelgroep van S 4 : we zouden een injectief groepshomomorfisme : D 4! S 4 kunnen construeren dat elementen van D 4 afstuurt op de elementen van S 4 die dezelfde permutaties voorstellen. * Probeer dit! Merk op dat er net als in het vorige voorbeeld soms meerdere keuzes mogelijk zijn. De cykelnotatie kan hierbij handig zijn: we schrijven bijvoorbeeld (13) geeft aan dat 1 wordt afgebeeld op, op 3, en 3 op 1 (4 blijft vast). De cykel (1)(34) geeft aan dat 1 en op elkaar afgebeeld worden, en analoog voor 3 en 4. 34
17 Commutatieve groepen met 6 elementen Maak een Cayleytabel van de volgende groepen. (Je kan eventueel gebruik maken van vereenvoudigde notaties (bv. 1 ipv [1] 6 ), maar enkel als de context duidelijk is, dus beter niet doen wanneer je elementen van twee groepen vergelijkt!) Z 6, +={[0] 6, [1] 6, [] 6, [3] 6, [4] 6, [5] 6 } (De bewerking is beschreven op p. van de cursus.) + [0] 6 [1] 6 [] 6 [3] 6 [4] 6 [5] 6 [0] 6 [1] 6 [] 6 [3] 6 [4] 6 [5] 6 Z Z 3, +(Ditiseendirectproductvangroepen,ziep.6) + ([0], [0] 3 ) ([0], [1] 3 ) ([0], [] 3 ) ([1], [0] 3 ) ([1], [1] 3 ) ([1], [] 3 ) ([0], [0] 3 ) ([0], [1] 3 ) ([0], [] 3 ) ([1], [0] 3 ) ([1], [1] 3 ) ([1], [] 3 ) We willen nu achterhalen of deze twee groepen hetzelfde zijn. De Cayley-tabel geeft hiervoor natuurlijk veel nuttige informatie. Verder kan ook het volgende criterium nuttig zijn: als twee groepen isomorf zijn, moet het ook mogelijk zijn om deelgroepen van beide groepen te identificeren. Geef voor Z 6, + en Z Z 3, + alle deelgroepen met en 3 elementen. Kan je ook deelgroepen met 4 elementen vinden? Gebruik bovenstaande informatie om een expliciet groepsisomorfisme te construeren (indien mogelijk). 35
18 D 3 versus Z 6. Dat een isomorfisme de groepsstructuur bewaart, impliceert dat twee isomorfe groepen altijd allebei commutatief (of niet-commutatief) zijn. Bijgevolg kunnen D 3, en Z 6, + niet dezelfde groep zijn, aangezien slechts een van beide commutatief is. We zullen nu expliciet laten zien dat er inderdaad geen (injectief) groepshomomorfisme mogelijk is. Een homomorfisme is een afbeelding die de groepsstructuur bewaart. Voor een homomorfisme : D 3,!Z 6, +zouditbetekenendatvoorelkex, y D 3 geldt dat (x y) = (x)+ (y). Stel dat we een dergelijke afbeelding willen construeren. Als we naar de deelgroepen van D 3 kijken, vinden we onder meer de deelgroepen {1, a, a } en {1,b}. Het lijkt logisch om elementen uit deze deelgroepen af te sturen op elementen van Z 6 die behoren tot deelgroepen met evenveel elementen, bijvoorbeeld: (a) = (b) = 3. Laat zien dat het onmogelijk is om dit verder uit te bouwen tot een injectief groepshomomorfisme. (Kan je meer algemeen aantonen dat andere kandidaatisomorfismen op dezelfde manier falen?) Stel hai := {1, a, a } en hbi := {1,b}. Beschouw nu de groep hai hbi,.metwelke van de bovenstaande groepen is deze groep isomorf? 36
19 Nog een andere groep? We kunnen ook de volgende groep definiëren: Z 7,. Groepen van dit type worden verder besproken in hoofdstuk 3. De groep bevat de elementen {1,, 3, 4, 5, 6}, en de bewerking is als volgt gedefinieerd: x y = (xy mod 7). Bepaal de Cayleytabel. Kan je verklaren waarom 0 geen element van deze groep kan zijn? Is dit een groep dan de groepen die we besproken hebben in de vorige secties? Indien ja, wat is er dan precies anders, indien nee, kan je een expliciet isomorfisme geven? Zou je nu een lijst kunnen maken van alle niet-isomorfe groepen met 6 elementen? Elke dergelijke groep is in dit document in minstens één verschijningsvorm aan bod gekomen! 37
5 Inleiding tot de groepentheorie
5 Inleiding tot de groepentheorie Oefening 5.1. Stel de Cayleytabel op voor de groep van de symmetrieën van een vierkant. Bewijs dat deze groep de viergroep van Klein bezit als deelgroep van index 2. Oplossing
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 6
Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W
Nadere informatieDefinitie 1.1. Een groep is een verzameling G, uitgerust met een bewerking waarvoor geldt dat:
Hoofdstuk 1 Eerste begrippen 1.1 Wat is een groep? Definitie 1.1. Een groep is een verzameling G, uitgerust met een bewerking waarvoor geldt dat: 1. a, b G : a b G 2. a, b, c G : a (b c) = (a b) c = a
Nadere informatieWe beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.
II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;
Nadere informatieHoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen
Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 8
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los
Nadere informatieTentamen algebra 1 Woensdag 24 juni 2015, 10:00 13:00 Snelliusgebouw B1 (extra tijd), B2, B3, 312
Tentamen algebra 1 Woensdag 24 juni 2015, 10:00 13:00 Snelliusgebouw B1 (extra tijd), B2, B3, 312 Je mag de syllabus en aantekeningen gebruiken, maar geen rekenmachine. Je mag opgaven 2.46, 2.49 en 8.13
Nadere informatiePlatonische transformatiegroepen
Platonische transformatiegroepen Luc Van den Broeck 8 augustus 2015 Samenvatting In dit document worden de transformatiegroepen van de platonische lichamen bestudeerd. Zonder te vervallen in algebraïsche
Nadere informatieII.3 Equivalentierelaties en quotiënten
II.3 Equivalentierelaties en quotiënten Een belangrijk begrip in de wiskunde is het begrip relatie. Een relatie op een verzameling is een verband tussen twee elementen uit die verzameling waarbij de volgorde
Nadere informatiePijlenklokken. 1 Inleiding
Pijlenklokken 1 Inleiding In bovenstaande tekening zie je 1 rode punten. Er staan blauwe pijlen van elk rood punt naar een ander rood punt 4 plaatsen verder op de cirkel. Een dergelijke afbeelding noemen
Nadere informatieI.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules.
I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situaties het begrip functie tegengekomen; vaak als een voorschrift dat aan elk getal een ander getal toevoegt, bijvoorbeeld de functie fx = x die aan elk
Nadere informatieHoofdstuk 6. Dihedrale groepen. 6.1 Definitie
Hoofdstuk 6 Dihedrale groepen 6.1 Definitie Definitie 6.1. De dihaeder groep is de symmetriegroep van een regelmatige n-hoek. Dit is de verzameling van alle transformaties in het vlak die de regelmatige
Nadere informatieSYMMETRIEËN VAN RUIMTELIJKE FIGUREN. Prof. dr. Ronald Meester
SYMMETRIEËN VAN RUIMTELIJKE FIGUREN Prof. dr. Ronald Meester Inleiding In dit college onderzoeken we symmetrie-eigenschappen van ruimtelijke figuren zoals driehoeken, vierkanten, kubussen en andere veelvlakken
Nadere informatieAlgebra. Oefeningen op hoofdstuk Groepentheorie Cayleytabellen van groepen van orde Cyclische groepen
Oefeningen op hoofdstuk 5 Algebra 5.2 Groepentheorie 5.2.1 Cayleytabellen van groepen van orde 8 Oefening 5.1. Stel de Cayleytabel op voor de groep van de symmetrieën van een vierkant. Bewijs dat deze
Nadere informatie1 Symmetrieën van figuren
1 Symmetrieën van figuren 1.1 Het mysterie van de hoge eik Als je door een met water gevulde reageerbuis heen de woorden DIE HOHE EICHE FÄLLT LANGSAM UM leest, waarbij de eerste drie woorden rood en de
Nadere informatieTentamen algebra 1. 8 juni 2005, , zaal A.404
Tentamen algebra 1 8 juni 2005, 13.30 16.30, zaal A.404 Schrijf je naam en collegekaartnummer of het werk dat je inlevert. Het tentamen bestaat uit 5 opgaven. Beargumenteer telkens je antwoord. Veel succes!
Nadere informatieTer Leering ende Vermaeck
Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel
Nadere informatie3.2 Vectoren and matrices
we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,
Nadere informatieWerkwinkel Permutatiepuzzels
Werkwinkel Permutatiepuzzels Karsten Naert UGent Vakgroep Wiskunde 6 november 2013 1 / 33 Over mij... Assistent en doctoraatsstudent Taken: Onderzoek Onderwijs Dienstverlening Karsten.Naert@UGent.be http:
Nadere informatieKU Leuven. Algebra. Notities. Tom Sydney Kerckhove
KU Leuven Algebra Notities Tom Sydney Kerckhove Gestart 23 september 2014 Gecompileerd 28 oktober 2014 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 3 1.1 Basisbegrippen....................................... 3 1.2 De
Nadere informatieMorenaments Ornamenten met symmetrie. Werkblad vooraf met begeleidende tekst en oplossingen
Morenaments Ornamenten met symmetrie Fien Aelter, Liesje Knaepen en Kristien Vanhuyse, studenten SLO wiskunde KU Leuven Werkblad vooraf met begeleidende tekst en oplossingen Dit werklad is een voorbereiding
Nadere informatie3 De duale vectorruimte
3 De duale vectorruimte We brengen de volgende definitie in de herinnering. Definitie 3.1 (hom K (V, W )) Gegeven twee vectorruimtes (V, K) en (W, K) over K noteren we de verzameling van alle lineaire
Nadere informatieIII.2 De ordening op R en ongelijkheden
III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.
Nadere informatieToepassingen in de natuurkunde: snelheden, versnellingen, krachten.
WIS8 8 Vectoren 8. Vectoren Vectoren Een vector met dimensie is een kolom bestaande uit twee reële getallen, bijvoorbeeld [ We kunnen deze meetkundig interpreteren als een pijl in het platte vlak van de
Nadere informatieDefinitie 5.1. Cyclische groepen zijn groepen voortgebracht door 1 element.
Hoofdstuk 5 Cyclische groepen 5.1 Definitie Definitie 5.1. Cyclische groepen zijn groepen voortgebracht door 1 element. Als G wordt voortgebracht door a en a n = e, dan noteren we de groep als C n = a.
Nadere informatieHoofdstuk 3. Equivalentierelaties. 3.1 Modulo Rekenen
Hoofdstuk 3 Equivalentierelaties SCHAUM 2.8: Equivalence Relations Twee belangrijke voorbeelden van equivalentierelaties in de informatica: resten (modulo rekenen) en cardinaliteit (aftelbaarheid). 3.1
Nadere informatie5.2.4 Varia in groepentheorie
Oefeningen op hoofdstuk 5 Algebra 5.2 Groepentheorie 5.2.1 Cayleytabellen van groepen van orde 8 Oefening 5.1. Stel de Cayleytabel op voor de groep van de symmetrieën van een vierkant. Bewijs dat deze
Nadere informatieGehelen van Gauss. Hector Mommaerts
Gehelen van Gauss Hector Mommaerts 2 Hoofdstuk 1 Definities Gehelen van Gauss zijn complexe getallen van de vorm a + bi waarbij a, b Z. De verzameling van alle gehelen van Gauss noteren we met Z(i). Dus
Nadere informatieDefinitie 8.1. De groep van alle permutaties van een gegeven verzameling X is de symmetriegroep op n elementen, genoteerd als Sym(X).
Hoofdstuk 8 Werking van een groep 8.1 Permutatiegroepen Een permutatie van een verzameling X is een bijectie van die verzameling op zichzelf. Een verzameling X met n elementen heeft juist n! permutaties.
Nadere informatieUitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015
Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen
Nadere informatieINLEIDING GROEPENTHEORIE
INLEIDING GROEPENTHEORIE 2013-2014 webstek: http://homepages.vub.ac.be/ efjesper HOC: woensdag 8-10 uur, sem 2 WPO: donderdag 13-15 uur, sem 2 E. Jespers Vakgroep Wiskunde Vrije Universiteit Brussel Faculteit
Nadere informatieMatrixoperaties. Definitie. Voorbeelden. Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten.
Definitie Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten. Voorbeelden De coëfficiëntenmatrix of aangevulde matrix bij een stelsel lineaire vergelijkingen. Een rij-echelonmatrix
Nadere informatieOPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010
OPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010 1. Zij V een vectorruimte en A = {v 1,..., v m } een deelverzameling van m vectoren uit V die voortbrengend is voor V, m.a.w. V = A.
Nadere informatieExamen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30)
Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit 2016-2017 (13:30-17:30) 1 Deel gesloten boek (theorie) (5.5pt) - indienen voor 14u30 (0.5pt) Geef de kleinste kwadratenoplossing van het stelsel AX = d,
Nadere informatieKies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen
Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet
Nadere informatieHints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde
Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints
Nadere informatieNiet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis)
Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis) Verslag ten behoeve
Nadere informatieHOOFDSTUK 0. = α g1 α g2
HOOFDSTUK 0 Acties van groepen 0.1 Groep-actie Uit de cursus Meetkunde en Lineaire Algebra van 1ste jaar Bachelor Wiskunde ([KI] in de referentielijst) weten we reeds wat een permutatiegroep G op een verzameling
Nadere informatieVerzamelingen. Hoofdstuk 5
Hoofdstuk 5 Verzamelingen In de meest uiteenlopende omstandigheden kan het handig zijn om een stel objecten, elementen, of wat dan ook, samen een naam te geven. Het resultaat noemen we dan een verzameling.
Nadere informatieONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.
ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding
Nadere informatieRuimtemeetkunde deel 1
Ruimtemeetkunde deel 1 1 Punten We weten reeds dat Π 0 het meetkundig model is voor de vectorruimte R 2. We definiëren nu op dezelfde manier E 0 als meetkundig model voor de vectorruimte R 3. De elementen
Nadere informatieThis work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License. To view a copy of this license,
Inhoudsopgave 1 Groepen 1 1.1 Groepen, deelgroepen en voorbeelden.............. 1 1.2 Verdere definities en eigenschappen............... 8 1.3 Groepsmorfismen......................... 15 1.4 Cyclische
Nadere informatieKU Leuven. Algebra. Notities. Tom Sydney Kerckhove. met dank aan: Katelijne Caerts Eline van der Auwera Anneleen Truijen
KU Leuven Algebra Notities Tom Sydney Kerckhove met dank aan: Katelijne Caerts Eline van der Auwera Anneleen Truijen Gestart 23 september 2014 Gecompileerd 1 juni 2015 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 6 1.1
Nadere informatieGetallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte
Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal
Nadere informatie2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.
Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt
Nadere informatieThis work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License. To view a copy of this license,
Inhoudsopgave 1 Groepen 1 1.1 Definitie en voorbeelden..................... 1 1.2 Deelgroepen en de stelling van Lagrange............ 5 1.3 Morfismen, kern, normaaldelers................. 13 1.4 Cyclische
Nadere informatieVector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen
Vector-en matrixvergelijkingen (a) Parallellogramconstructie (b) Kop aan staartmethode Figuur: Vectoren, optellen (a) Kop aan staartmethode, optellen (b) Kop aan staart methode, aftrekken Figuur: Het optellen
Nadere informatieVeeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm
Module 2 Veeltermen 2.1 Definitie en voorbeelden Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n met a 0,a 1,a 2,...,a n Ê en n
Nadere informatieDefinitie 4.1. Als H en K normaaldelers zijn van een groep G en H K = {e} en HK = G dan noemt men G het direct product van
Hoofdstuk 4 Groepsconstructies 4.1 Direct product We gaan nu bestuderen hoe we van 2 groepen een nieuwe groep kunnen maken of hoe we een groep kunnen schrijven als een product van 2 groepen met kleinere
Nadere informatieLineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen
Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.:
Nadere informatieV.2 Limieten van functies
V.2 Limieten van functies Beschouw een deelverzameling D R, een functie f: D R en zij c R. We willen het gedrag van f in de buurt van c bestuderen. De functiewaarde in c is daarvoor niet belangrijk, de
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper
Nadere informatieiii Tristan Kuijpers Claudine Lybaert december 2013
Voorwoord De wiskundige vorming die in de wiskundig sterke richtingen van het Vlaamse secundair onderwijs wordt aangeboden, vormt een zeer degelijke basis voor hogere studies in wetenschappelijke, technologische
Nadere informatieEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I Theorie Opgave 1. In deze opgave wordt gevraagd om een aantal argumenten of overgangen uit de cursusnota s in detail te verklaren. In delen (a) (b) peilen we naar
Nadere informatieLineaire afbeeldingen
Les 2 Lineaire afbeeldingen Als een robot bij de robocup (het voetbaltoernooi voor robots een doelpunt wil maken moet hij eerst in de goede positie komen, d.w.z. geschikt achter de bal staan. Hiervoor
Nadere informatieMeetkundige ongelijkheden Groep A
Meetkundige ongelijkheden Groep A Oppervlakteformules, sinus- & cosinusregel, de ongelijkheid van Euler Trainingsweek, juni 011 1 Oppervlakteformules We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor
Nadere informatieEigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde
Faculteit Wetenschappen Vakgroep Wiskunde Eigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde Magali Victoor Promotor: Prof. dr. Hendrik Van Maldeghem Masterproef ingediend tot het behalen van de academische
Nadere informatieVerzamelingen deel 3. Derde college
1 Verzamelingen deel 3 Derde college rekenregels Een bewerking op A heet commutatief als voor alle x en y in A geldt dat x y = y x. Een bewerking op A heet associatief als voor alle x, y en z in A geldt
Nadere informatie(iii) Enkel deze bundel afgeven; geen bladen toevoegen, deze worden toch niet gelezen!
Examen Wiskundige Basistechniek, reeks A 12 oktober 2013, 13:30 uur Naam en Voornaam: Lees eerst dit: (i) Naam en voornaam hierboven invullen. (ii) Nietje niet losmaken. (iii) Enkel deze bundel afgeven;
Nadere informatie1-ste Bachelor Wiskunde en Fysica
ALGEBRA I 1-ste Bachelor Wiskunde en Fysica 2007-2008 webstek: http://homepages.vub.ac.be/ efjesper HOC: woensdag 14-16 uur, F.5.212 WPO: donderdag 16-18 uur, F.5.211 E. Jespers Departement Wiskunde Vrije
Nadere informatiex = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1
WIS9 9 Matrixrekening 9 Vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in de n onbekenden x, x 2,, x n is een stelsel vergelijkingen van de vorm We kunnen dit
Nadere informatieM1 Wiskundig taalgebruik en notaties
M1 Wiskundig taalgebruik en notaties Verzamelingenleer Verzameling = aantal objecten samengebracht tot een geheel - Lege verzameling = verzameling die geen elementen bevat A = - Singleton verzameling =
Nadere informatieOefening 2.2. Welke van de volgende beweringen zijn waar?
Oefeningen op hoofdstuk 2 Verzamelingenleer 2.1 Verzamelingen Oefening 2.1. Beschouw A = {1, {1}, {2}}. Welke van de volgende beweringen zijn waar? Beschouw nu A = {1, 2, {2}}, zelfde vraag. a. 1 A c.
Nadere informatieFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De
Nadere informatieProjectieve Vlakken en Codes
Projectieve Vlakken en Codes 1. De Fanocode Foutdetecterende en foutverbeterende codes. Anna en Bart doen mee aan een spelprogramma voor koppels. De ene helft van de deelnemers krijgt elk een kaart waarop
Nadere informatieBasiskennis lineaire algebra
Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal
Nadere informatieBespreking Examen Analyse 1 (Augustus 2007)
Bespreking Examen Analyse 1 (Augustus 2007) Vooraf: Zoals het stilletjes aan een traditie is geworden, geef ik hier bedenkingen bij het examen van deze septemberzittijd. Ik zorg ervoor dat deze tekst op
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 1 Algebraïsch rekenen (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren............. 1. De
Nadere informatieHoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen
Hoofdstuk 9 Vectorruimten 9.1 Scalairen In de lineaire algebra tot nu toe, hebben we steeds met reële getallen als coëfficienten gewerkt. Niets houdt ons tegen om ook matrices, lineaire vergelijkingen
Nadere informatiete vermenigvuldigen, waarbij N het aantal geslagen Nederlandse munten en B het aantal geslagen buitenlandse munten zijn. Het resultaat is de vector
Les 3 Matrix product We hebben gezien hoe we matrices kunnen gebruiken om lineaire afbeeldingen te beschrijven. Om het beeld van een vector onder een afbeelding te bepalen hebben we al een soort product
Nadere informatieAppendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt
Bijlage bij Inversie Appendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt In dee paragraaf gaan we op een andere manier kijken naar inversie. We doen dat met behulp van de complexe getallen. We veronderstellen
Nadere informatie6 Ringen, lichamen, velden
6 Ringen, lichamen, velden 6.1 Polynomen over F p : irreducibiliteit en factorisatie Oefening 6.1. Bewijs dat x 2 + 2x + 2 irreducibel is in Z 3 [x]. Oplossing 6.1 Aangezien de veelterm van graad 3 is,
Nadere informatieDossier 1 SYMBOLENTAAL
Dossier 1 SYMBOLENTAAL basis voor wiskundige communicatie Dr. Luc Gheysens Wiskundigen hebben een eigen symbolentaal waarmee ze onderling communiceren, redeneringen en bewijzen neerschrijven, mathematische
Nadere informatieEenheden van orders van getallenvelden
Eenheden van orders van getallenvelden Hoofdstuk 1 Orders 1.1 Definities Definitie 1.1. Een order is een subring O van een ring A zodat 1. A is een ring die een eindig dimensionele algebra is over Q..
Nadere informatieMagidoku s en verborgen symmetrieën
Uitwerking Puzzel 92-6 Magidoku s en verborgen symmetrieën Wobien Doyer Lieke de Rooij Een Latijns vierkant van orde n, is een vierkante matrix, gevuld met n verschillende symbolen waarvan elk precies
Nadere informatieGroepen, ringen en velden
Groepen, ringen en velden Groep Een groep G is een verzameling van elementen en een binaire operator met volgende eigenschappen: 1. closure (gesloten): als a en b tot G behoren, doet a b dat ook. 2. associativiteit:
Nadere informatieExamenvragen Hogere Wiskunde I
1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies
Nadere informatie1 Limiet van een rij Het begrip rij Bepaling van een rij Expliciet voorschrift Recursief voorschrift 3
HOOFDSTUK 6: RIJEN 1 Limiet van een rij 2 1.1 Het begrip rij 2 1.2 Bepaling van een rij 2 1.2.1 Expliciet voorschrift 2 1.2.2 Recursief voorschrift 3 1.2.3 Andere gevallen 3 1.2.4 Rijen met de grafische
Nadere informatieopgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): 2 a 2.
opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): ℵ 0 #A, B = {b 0,..., b n 1 } voor een zeker natuurlijk getal
Nadere informatieExamen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde. vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30
Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30 Naam: Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.
Nadere informatiePolyatheorie. Erik Verraedt 2011-2012
2011-2012 Inhoudsopgave 1 Inleiding 4 2 Enkele telproblemen 5 2.1 Probleem 1........................................ 5 2.2 Probleem 2........................................ 5 2.3 Probleem 3........................................
Nadere informatieTweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Uitwerking en opmerkingen
Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 en opmerkingen November 10, 2009 Opgave 1 Gegeven een vectorruimte V met deelruimtes U 1 en U 2. Als er geldt dim U 1 = 7, dimu 2 = 9, en dim(u 1 U 2 ) = 4, wat
Nadere informatieLineaire afbeeldingen
Hoofdstuk 4 Lineaire afbeeldingen In de algebra spelen naast algebraïsche structuren zelf ook de afbeeldingen ertussen die (een deel van de structuur bewaren, een belangrijke rol Voor vectorruimten zijn
Nadere informatieDe partitieformule van Euler
De partitieformule van Euler Een kennismaking met zuivere wiskunde J.H. Aalberts-Bakker 29 augustus 2008 Doctoraalscriptie wiskunde, variant Communicatie en Educatie Afstudeerdocent: Dr. H. Finkelnberg
Nadere informatie4. Determinanten en eigenwaarden
4. Determinanten en eigenwaarden In dit hoofdstuk bestuderen we vierkante matrices. We kunnen zo n n n matrix opvatten als een lineaire transformatie van R n. We onderscheiden deze matrices in twee typen:
Nadere informatieOefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A
Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.
Nadere informatie3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.
3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld
Nadere informatieRSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002
RSA F.A. Grootjen 8 maart 2002 1 Delers Eerst wat terminologie over gehele getallen. We zeggen a deelt b (of a is een deler van b) als b = qa voor een of ander geheel getal q. In plaats van a deelt b schrijven
Nadere informatieLineaire Algebra C 2WF09
Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09
Nadere informatieGetallen, 2e druk, extra opgaven
Getallen, 2e druk, extra opgaven Frans Keune november 2010 De tweede druk bevat 74 nieuwe opgaven. De nummering van de opgaven van de eerste druk is in de tweede druk dezelfde: nieuwe opgaven staan in
Nadere informatieDe Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten
januari 2008 De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten Inleiding Eén van de bekendste meetkundige plaatsen is de middelloodlijn van een lijnstuk. Deze lijn bestaat uit alle punten die gelijke afstand
Nadere informatieComplexe functies 2019
Complexe functies 019 Extra opgaves Opgave A Laat zien dat R voorzien van de bewerkingen a + b := (a 1 +b 1,a +b ) a b := (a 1 b 1 a b,a 1 b +a b 1 ) isomorf is met C. Wat is i in deze representatie? Opgave
Nadere informatieVectorruimten en deelruimten
Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie
Nadere informatieWorkshop Permutatiepuzzels
Workshop Permutatiepuzzels Karsten Naert UGent Vakgroep Wiskunde January 26, 2012 Wiskunde is: Abstractie maken van de werkelijkheid Redeneren met deze abstracte gegevens (Zie ook: http://www.wiskunde.ugent.be/kiezen/wat.php)
Nadere informatieLineaire Algebra 3 en 4. Wieb Bosma
Lineaire Algebra 3 en 4 Wieb Bosma juni 2000/juni 2001 Inhoudsopgave 1 Vectorruimten 3 1.1 Inleiding........................................ 3 1.2 Lichamen....................................... 3 1.2.1
Nadere informatieEigenschap (Principe van welordening) Elke niet-lege deelverzameling V N bevat een kleinste element.
Hoofdstuk 2 De regels van het spel 2.1 De gehele getallen Grof gezegd kunnen we de (elementaire) getaltheorie omschrijven als de wiskunde van de getallen 1, 2, 3, 4,... die we ook de natuurlijke getallen
Nadere informatieVrije Universiteit Brussel Faculteit Ingenieurswetenschappen T ENE BRA S. Lineaire Algebra. Volume I. Philippe Cara
VRIJE UNIVERSITEIT BRUSSEL Vrije Universiteit Brussel Faculteit Ingenieurswetenschappen SCI EN T I A V INCERE T ENE BRA S Lineaire Algebra Volume I Philippe Cara Syllabus voor het college Lineaire algebra:
Nadere informatieOpgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Uitwerkingen worden beschikbaar gesteld op de dinsdagavond voorafgaande aan het volgende college
Nadere informatieUitwerkingen van geselecteerde opgaven (laatste update 4 Januari 2018) Zebra 50. De Wiskunde van Rubik s Kubus.
Uitwerkingen van geselecteerde opgaven (laatste update 4 Januari 2018) Zebra 50. De Wiskunde van Rubik s Kubus. Opgave 1. Niet alle mogelijke posities zijn door middel van draaien te bereiken. Het is bijvoorbeeld
Nadere informatie