Werkwinkel Permutatiepuzzels
|
|
- Arthur Koning
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Werkwinkel Permutatiepuzzels Karsten Naert UGent Vakgroep Wiskunde 6 november / 33
2 Over mij... Assistent en doctoraatsstudent Taken: Onderzoek Onderwijs Dienstverlening http: //cage.ugent.be/~kn/permutatiepuzzels_hds.pdf 2 / 33
3 Wiskunde is: Abstractie maken van de werkelijkheid Redeneren met deze abstracte gegevens (Zie ook: Toegepast op puzzels: abstraheren = achterwege laten van details redeneren = meer te weten komen over de puzzel, met als ultiem doel hem op te lossen Doelstelling: leerlingen laten kennis maken met een vorm van wiskunde waarin rekenen een andere rol speelt dan zij gewoon zijn. (Zie verderop: rekenen met cykels.) 3 / 33
4 De Gevangene van Benda Een episode van Futurama Professor Farnsworth bouwt een machine die mensen toestaat hun geesten van lichaam te verwisselen... Maar de machine kan maar eenmaal gebruikt worden op elk paar mensen! Vraag Een aantal mensen is van hartelust van lichaam veranderd maar wil graag terug naar het eigen lichaam. Hoe lossen we dit op? 4 / 33
5 Definitie van permutatiepuzzels Een puzzel, waarbij de toestand waarin hij zich bevindt, kan omschreven worden door een bepaalde permutatie (dit is het veranderen van de volgorde) van delen ervan. De puzzel wordt opgelost door een paar basiszetten in de juiste volgorde uit te voeren 5 / 33
6 Voorbeelden van permutatiepuzzels De 15-puzzel De Rubik s Cube De Hongaarse Ringen... en vele andere voorbeelden. 6 / 33
7 Voorbeelden van permutatiepuzzels De 15-puzzel De Rubik s Cube De Hongaarse Ringen... en vele andere voorbeelden. 6 / 33
8 Voorbeelden van permutatiepuzzels De 15-puzzel De Rubik s Cube De Hongaarse Ringen... en vele andere voorbeelden. 6 / 33
9 Voorbeelden van permutatiepuzzels De 15-puzzel De Rubik s Cube De Hongaarse Ringen... en vele andere voorbeelden. 6 / 33
10 Is geen permutatiepuzzel: De square-1 puzzel: 7 / 33
11 De 15-puzzel Doel van de puzzel: de 14 en 15 omwisselen: 8 / 33
12 De onthutsende waarheid: Stelling De 15-puzzel kan niet worden opgelost! Bewijs Stap 1: doe alsof er een oplossing zou zijn Stap 2 (a): beredeneer extra informatie over deze oplossing Stap 2 (b):... beredeneer nóg meer informatie Stap 3: vind een strijdigheid. Conclusie: er bestaat geen oplossing. Details op volgende dia s 9 / 33
13 Het bewijs stap 1 We doen alsof er een oplossing is. n is het aantal zetten van deze oplossing. We willen meer informatie over n. Suggesties? Ideeën? 10 / 33
14 Het bewijs stap 2(a) We voeren een schaakbordkleuring uit: Wat is de kleur van het lege vakje bij zet 0? Wat is de kleur van het lege vakje bij zet 1? Wat is de kleur van het lege vakje bij zet 2? Wat is de kleur van het lege vakje bij zet 3?... Wat is de kleur van het lege vakje bij zet n? Conclusie? 11 / 33
15 Het bewijs stap 2(b) Notatie We gebruiken de notatie (0, i) om te zeggen: een zet die het lege vakje (met nummer 0) en het vakje i (met nummer i) van plaats verwisselt. Of nog: het vakje i verschuift en neemt de plaats van het lege vakje, waar het vakje i was, komt nu een leeg vakje We kunnen de oplossing nu noteren als volgt (0, a 1 )(0, a 2 )(0, a 3 )... (0, a n ) 12 / 33
16 Intermezzo! We abstraheren de situatie: de zet (0, a 1 ) wordt nu een abstracte permutatie van twee elementen. We kunnen de zet ook uitvoeren of laten werken op andere objecten dan de 16 vakjes van de puzzel! Als we dezelfde zetten uitvoeren op andere objecten, moet de eindsituatie hetzelfde zijn! 13 / 33
17 Het bewijs, stap 2(b) vervolg De volgende reeks zetten lost het probleem op: (0, a 1 )(0, a 2 )(0, a 3 )... (0, a n ) Ook de zet (14, 15) lost het probleem op! Dus we zullen onze n zetten uitvoeren op een ander object...! Op de kolommen van de eenheidsmatrix. De oplossing uitvoeren = de zet (14, 15) uitvoeren. 14 / 33
18 Het bewijs, stap 2(b) vervolg Voorbeeld: we voeren de zet (0, 15) uit op de eenheidsmatrix. De kolommen zijn genummerd met (1, 2,..., 15, 0) (0,15) Vraag Wat gebeurt er met de determinant? 15 / 33
19 Het bewijs, stap 2(b) vervolg Elke zet verandert het teken van de determinant. (0, a 1 )(0, a 2 )(0, a 3 )... (0, a n ) = (14, 15) Rechterlid: na één zet is de determinant = 1. Linkerlid: De determinant na zet 0? De determinant na zet 1? (Dus na (0, a 1 ))? De determinant na zet 2? (Dus na (0, a 1 )(0, a 2 ))?... De determinant na zet n? Conclusie voor n? 16 / 33
20 Het bewijs stap 3 Stel dat een oplossing bestaat in n zetten: Dan is n even redenering met schaakbordkleuring Dan is n oneven redenering met teken determinant Conclusie? 17 / 33
21 Vervolgvraag voor de 15-puzzel Hoeveel legale configuraties (waarbij lege vakje rechtsonder staat) zijn bereikbaar? (Eenvoudig theoretisch maximum: 15!.) Antwoord: 15! 2 = Bewijs: Niet zo eenvoudig! Een schets: Bewijs dat oneven permutaties onmogelijk zijn Bewijs dat elke even permutatie bereikt kan worden: bewijs dat enkele basispermutaties mogelijk zijn bewijs dat elke even permutatie met deze basispermutaties kan worden gemaakt 18 / 33
22 Vervolgvraag voor de 15-puzzel Hoeveel configuraties zijn er in het geheel bereikbaar? (Lege vakje niet noodzakelijk rechtsonder.) 19 / 33
23 Groepentheorie Citaat Groepentheorie laat iets werken op iets en vergelijkt het resultaat met wat gebeurt wanneer datzelfde werkt op iets anders, of iets anders werkt op hetzelfde Deel van de abstracte algebra. We beperken ons tot de permutatiegroepen! 20 / 33
24 Permutaties Definitie Is X = {1, 2,..., n} een verzameling van n verschillende objecten, dan is een permutatie een manier om deze in een andere volgorde te zetten. De permutatie is de afbeelding (zelfs bijectie) waarmee de nieuwe volgorde bereikt wordt en niet de nieuwe volgorde als dusdanig. 21 / 33
25 Cykelnotatie Voorbeelden Stel dat X = {A, B, C} drie objecten bevat, dan is de afbeelding A B, B A en C C een permutatie. Notatie: (A, B)(C) of zelfs (A, B). Lees als: A gaat naar B, B gaat naar A en C gaat naar zichzelf. Stel dat X = {A, B, C} drie objecten bevat, dan is de afbeelding A B, B C en C A een permutatie. Notatie: (A, B, C). Lees als: A gaat naar B, B gaat naar C en C keert terug naar A. De permutatie A B, B A, C D en D C van {A, B, C, D} wordt genoteerd met (A, B)(C, D). 22 / 33
26 Rekenen met de cykelnotatie Gegeven twee permutaties π en σ kunnen we πσ uitrekenen : doe eerst π en dan σ; dus ook bekend als σ π. We noemen πσ het product van de permutaties π en σ. Bijvoorbeeld: (1, 2)(2, 3) = (1, 3, 2). We hebben de notatie e voor de identieke permutatie (die niks doet) en π 1 voor de inverse permutatie van π. Merk op dat ππ 1 = π 1 π = e. Wat is het effect van π 1 σπ? [Antwoord: op σ doen wat π zegt!] 23 / 33
27 De Hongaarse ringen 38 bolletjes = veel = te veel. 24 / 33
28 De Hongaarse ringen Eenvoudige variant met 10 bolletjes Merk op: het wordt moeilijker door de bolletjes te nummeren (10 nummers versus 4 kleuren). Basiszetten: (1, 2, 3, 4, 5, 6) (1, 10, 3, 9, 8, 7) 25 / 33
29 De Hongaarse ringen Betekenis basiszet (1, 10, 3, 9, 8, 7): We vergeten de puzzel! We beschouwen de basiszetten als permutaties. We proberen zoveel mogelijk permutaties te maken met de basispermutaties door te rekenen met cykels. Tot we over voldoende nieuwe permutaties beschikken om tot een oplossing te komen. 26 / 33
30 De Hongaarse ringen Als Dan is x = (1, 2, 3, 4, 5, 6) y = (1, 10, 3, 9, 8, 7) (2, 10) = yx 1 y 1 x 2 yx 1 y 1 x 1 y 2 xy 3 xyx 1 yxyx 1 y 1 Dus we kunnen 2 en 10 verwisselen. (En de rest vasthouden!) Dit is helemaal niet evident om te vinden! (Maar het is voor een computer zeer eenvoudig.) 27 / 33
31 De Hongaarse ringen Nu redeneren om de puzzel verder op te lossen: We kunnen 2 en 10 verwisselen, en de andere elementen vasthouden. Dus we kunnen elke twee elementen verwisselen, en de andere vasthouden. Dus we kunnen elke mogelijke permutatie bereiken. Dus aantal mogelijke posities = 10! = ! 28 / 33
32 Het valt niet mee om deze permutatie te vinden... snapbaar alternatief? (1, 2, 3) = xy 2 xy 2 xy 2 x Aantonen dat we met a = (1, 2, 3) en b = (1, 2, 3, 4, 5, 6) ook (1, 2) kunnen maken? Ideeën? Suggesties? 29 / 33
33 Het valt niet mee om deze permutatie te vinden... snapbaar alternatief? (1, 2, 3) = xy 2 xy 2 xy 2 x Aantonen dat we met a = (1, 2, 3) en b = (1, 2, 3, 4, 5, 6) ook (1, 2) kunnen maken? Ideeën? Suggesties? (Oplossing: (12) = b 2 ab 2 ab) 29 / 33
34 Epiloog: Groepentheorie Doel: Axiomatische opbouw van deze vaststellingen. Verwerven van diepere inzichten die leiden tot meer indrukwekkende resultaten. (Rubik s cube?) Definitie Een permutatiegroep G bestaat uit een verzameling permutaties van een verzameling X = {1, 2,..., n} met de volgende eigenschappen: a, b G = ab G a G = a 1 G We zeggen ook dat de permutatiegroep G werkt op de verzameling X. 30 / 33
35 Groepentheorie Als G een groep is en H G, dan is H een deelgroep van G als H zelf een permutatiegroep is. We noteren H G. Opgave Als G een permutatiegroep is, die werkt op X, en x X, dan is G x de verzameling van elementen die x vasthouden. Bewering: G x G. 31 / 33
36 Groepentheorie Stelling (Lagrange) Stel dat G een (permutatie)groep is en H G. Noem h het aantal elementen van H en g het aantal elementen van G. Dan is h een deler van g. (Of nog: h g.) Bewijs 32 / 33
37 Groepentheorie Als x X, dan gebruiken we de notatie x G voor de verzameling van alle y Y waar de groep G het element x naartoe kan sturen. Stelling (Baanformule) G = G x x G 33 / 33
Workshop Permutatiepuzzels
Workshop Permutatiepuzzels Karsten Naert UGent Vakgroep Wiskunde January 26, 2012 Wiskunde is: Abstractie maken van de werkelijkheid Redeneren met deze abstracte gegevens (Zie ook: http://www.wiskunde.ugent.be/kiezen/wat.php)
Nadere informatieWerkwinkel Wiskunde & Jongleren met Wiskunde
Werkwinkel Wiskunde & Jongleren met Wiskunde Karsten Naert UGent Vakgroep Wiskunde 29 november 2013 Hoofdstuk 0 1 / 37 Over mij... Assistent en doctoraatsstudent Taken: Onderzoek Onderwijs Dienstverlening
Nadere informatieJongleren met Wiskunde
Jongleren met Wiskunde Karsten Naert UGent Vakgroep Wiskunde March 21, 2012 Wiskunde is: Abstractie maken van de werkelijkheid Redeneren met deze abstracte gegevens (Zie ook: http://www.wiskunde.ugent.be/kiezen/wat.php)
Nadere informatieDe WrapSlide-puzzel algebraïsch bekeken. Dimitri Geelhoed en Lotte Meester 2013
De WrapSlide-puzzel algebraïsch bekeken Dimitri Geelhoed en Lotte Meester 2013 1 Inleiding Al snel nadat we besloten om onderzoek te doen naar een wiskundig vraagstuk, kregen we het idee om een puzzel
Nadere informatieSYMMETRIEËN VAN RUIMTELIJKE FIGUREN. Prof. dr. Ronald Meester
SYMMETRIEËN VAN RUIMTELIJKE FIGUREN Prof. dr. Ronald Meester Inleiding In dit college onderzoeken we symmetrie-eigenschappen van ruimtelijke figuren zoals driehoeken, vierkanten, kubussen en andere veelvlakken
Nadere informatieInleiding tot groepentheorie
Hoofdstuk Inleiding tot groepentheorie 1 Basisdefinities Een algebraïsche structuur bestaat meestal uit een verzameling waarop één of meerdere bewerkingen gedefinieerd zijn. Definitie Een inwendige bewerking
Nadere informatie5 Inleiding tot de groepentheorie
5 Inleiding tot de groepentheorie Oefening 5.1. Stel de Cayleytabel op voor de groep van de symmetrieën van een vierkant. Bewijs dat deze groep de viergroep van Klein bezit als deelgroep van index 2. Oplossing
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper
Nadere informatiePijlenklokken. 1 Inleiding
Pijlenklokken 1 Inleiding In bovenstaande tekening zie je 1 rode punten. Er staan blauwe pijlen van elk rood punt naar een ander rood punt 4 plaatsen verder op de cirkel. Een dergelijke afbeelding noemen
Nadere informatieEindwerk wiskunde: De wiskunde achter de Rubik s kubus. Laurens Vanden Eynde 6 e jaar Latijn - Wiskunde
Eindwerk wiskunde: De wiskunde achter de Rubik s kubus Laurens Vanden Eynde 6 e jaar Latijn - Wiskunde Schooljaar 2010-2011 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Kubusnotatie 3 2.1 Design...............................
Nadere informatiePolyatheorie. Erik Verraedt 2011-2012
2011-2012 Inhoudsopgave 1 Inleiding 4 2 Enkele telproblemen 5 2.1 Probleem 1........................................ 5 2.2 Probleem 2........................................ 5 2.3 Probleem 3........................................
Nadere informatieTentamen algebra 1 Woensdag 24 juni 2015, 10:00 13:00 Snelliusgebouw B1 (extra tijd), B2, B3, 312
Tentamen algebra 1 Woensdag 24 juni 2015, 10:00 13:00 Snelliusgebouw B1 (extra tijd), B2, B3, 312 Je mag de syllabus en aantekeningen gebruiken, maar geen rekenmachine. Je mag opgaven 2.46, 2.49 en 8.13
Nadere informatieDefinitie 8.1. De groep van alle permutaties van een gegeven verzameling X is de symmetriegroep op n elementen, genoteerd als Sym(X).
Hoofdstuk 8 Werking van een groep 8.1 Permutatiegroepen Een permutatie van een verzameling X is een bijectie van die verzameling op zichzelf. Een verzameling X met n elementen heeft juist n! permutaties.
Nadere informatieDe inverse van een matrix
De inverse van een matrix Laat A een n n matrix zijn. Veronderstel dat de matrixvergelijking A X = I n de oplossing X = C heeft. Merk op dat [ A I n ] rijoperaties [ I n C ] [ I n A] inverse rijoperaties
Nadere informatie3.2 Vectoren and matrices
we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,
Nadere informatieWe beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.
II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;
Nadere informatiePrimair- & Voortgezet. Onderwijs. Spelend & onderzoekend de schoonheid van getallen ontdekken
Primair- & Voortgezet Onderwijs Spelend & onderzoekend de schoonheid van getallen ontdekken Copyright 09 Introductie Achtergrond & visie (reken- en wiskunde onderwijs) Het spel RESOLF is geboren vanuit
Nadere informatieHoofdstuk 6. Dihedrale groepen. 6.1 Definitie
Hoofdstuk 6 Dihedrale groepen 6.1 Definitie Definitie 6.1. De dihaeder groep is de symmetriegroep van een regelmatige n-hoek. Dit is de verzameling van alle transformaties in het vlak die de regelmatige
Nadere informatiex = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1
WIS9 9 Matrixrekening 9 Vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in de n onbekenden x, x 2,, x n is een stelsel vergelijkingen van de vorm We kunnen dit
Nadere informatieUitwerking puzzel 91-7: Je kunt het schudden
Uitwerking puzzel 91-7: Je kunt het schudden Het credit voor deze puzzel gaat naar Frans van Hoeve. Hij stuurde het ons, in een iets andere vorm, met titel Penny-flipping problem. Hij was het tegengekomen
Nadere informatieRubik s Kubus, Invarianten en bijna commuteren.
Rubik s Kubus, Invarianten en bijna commuteren. Rubik s Kubus ziet er in de winkel uit als een kubus die verdeeld is in 27 kleine kubusjes waar gekleurde plakkertjes op zitten en wel zo dat de negen plakkertjes
Nadere informatieIII.3 Supremum en infimum
III.3 Supremum en infimum Zowel de reële getallen als de rationale getallen vormen geordende lichamen. Deze geordende lichamen zijn echter principieel verschillend. De verzameling R is bijvoorbeeld aanzienlijk
Nadere informatie(iii) Enkel deze bundel afgeven; geen bladen toevoegen, deze worden toch niet gelezen!
Examen Wiskundige Basistechniek, reeks A 12 oktober 2013, 13:30 uur Naam en Voornaam: Lees eerst dit: (i) Naam en voornaam hierboven invullen. (ii) Nietje niet losmaken. (iii) Enkel deze bundel afgeven;
Nadere informatieKU Leuven. Algebra. Notities. Tom Sydney Kerckhove
KU Leuven Algebra Notities Tom Sydney Kerckhove Gestart 23 september 2014 Gecompileerd 28 oktober 2014 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 3 1.1 Basisbegrippen....................................... 3 1.2 De
Nadere informatieInleiding tot de Problem Solving - deel 1: Combinatoriek en getaltheorie
Inleiding tot de Problem Solving - deel 1: Combinatoriek en getaltheorie Jan Vonk 1 oktober 2008 1 Combinatoriek Inleiding Een gebied dat vandaag de dag haast niet onderschat kan worden binnen de wiskunde
Nadere informatieBasiskennis lineaire algebra
Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal
Nadere informatieGetallen, 2e druk, extra opgaven
Getallen, 2e druk, extra opgaven Frans Keune november 2010 De tweede druk bevat 74 nieuwe opgaven. De nummering van de opgaven van de eerste druk is in de tweede druk dezelfde: nieuwe opgaven staan in
Nadere informatieExamen G0Q98 Discrete Wiskunde. 8 juni 2018
Examen G0Q98 Discrete Wiskunde. 8 juni 018 Vraag 1 wordt mondeling besproken vanaf 10u00. De andere vragen zijn zuiver schriftelijk. Het ganse examen is open boek. Gelieve bij het indienen je antwoordbladen
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Nadere informatieV.4 Eigenschappen van continue functies
V.4 Eigenschappen van continue functies We bestuderen een paar belangrijke stellingen over continue functies. Maxima en minima De stelling over continue functies die we in deze paragraaf bewijzen zegt
Nadere informatieNotatie van verzamelingen. Lidmaatschap. Opgave. Verzamelingen specificeren
Overzicht TI1300: Redeneren en Logica College 10: Verzamelingenleer Tomas Klos Algoritmiek Groep Colleges 1 2: Bewijstechnieken Colleges 3 9: Propositielogica Vandaag en morgen: Verzamelingenleer Colleges
Nadere informatieStelsels Vergelijkingen
Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit
Nadere informatieDefinitie 1.1. Een groep is een verzameling G, uitgerust met een bewerking waarvoor geldt dat:
Hoofdstuk 1 Eerste begrippen 1.1 Wat is een groep? Definitie 1.1. Een groep is een verzameling G, uitgerust met een bewerking waarvoor geldt dat: 1. a, b G : a b G 2. a, b, c G : a (b c) = (a b) c = a
Nadere informatieBekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Nadere informatieHet oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b
Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen
Nadere informatieII.3 Equivalentierelaties en quotiënten
II.3 Equivalentierelaties en quotiënten Een belangrijk begrip in de wiskunde is het begrip relatie. Een relatie op een verzameling is een verband tussen twee elementen uit die verzameling waarbij de volgorde
Nadere informatieMatrixalgebra (het rekenen met matrices)
Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg
Nadere informatiePrimair- & Voortgezet Onderwijs
Primair- & Voortgezet Onderwijs Spelend & onderzoekend de schoonheid van getallen ontdekken Copyright 09 Introductie Achtergrond & visie (reken- en wiskunde onderwijs) Het spel RESOLF is geboren vanuit
Nadere informatieMagidoku s en verborgen symmetrieën
Uitwerking Puzzel 92-6 Magidoku s en verborgen symmetrieën Wobien Doyer Lieke de Rooij Een Latijns vierkant van orde n, is een vierkante matrix, gevuld met n verschillende symbolen waarvan elk precies
Nadere informatieBij een ideaal rooster voor n = 2k 1 teams speelt elk team afwisselend uit en thuis, en dat blijkt ook te kunnen.
Uitwerking Puzzel 92-5 Knikken Wobien Doyer Lieke de Rooij Als wiskundige krijg je op school al gauw de taak om te roosteren. Frans van Hoeve nam die taak ook op zich voor het maken van roosters voor een
Nadere informatieOVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π
OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π KOEN DE NAEGHEL Samenvatting. In deze nota buigen we ons over de vraag of een macht van π een irrationaal getal is. De aangereikte opbouw en bewijsmethoden zijn
Nadere informatieAlgebra. Oefeningen op hoofdstuk Groepentheorie Cayleytabellen van groepen van orde Cyclische groepen
Oefeningen op hoofdstuk 5 Algebra 5.2 Groepentheorie 5.2.1 Cayleytabellen van groepen van orde 8 Oefening 5.1. Stel de Cayleytabel op voor de groep van de symmetrieën van een vierkant. Bewijs dat deze
Nadere informatieUniversiteit Gent. Academiejaar Discrete Wiskunde. 1ste kandidatuur Informatica. Collegenota s. Prof. Dr.
Universiteit Gent Academiejaar 2001 2002 Discrete Wiskunde 1ste kandidatuur Informatica Collegenota s Prof. Dr. Frank De Clerck Herhalingsoefeningen 1. Bepaal het quotiënt en de rest van de deling van
Nadere informatieMatrixoperaties. Definitie. Voorbeelden. Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten.
Definitie Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten. Voorbeelden De coëfficiëntenmatrix of aangevulde matrix bij een stelsel lineaire vergelijkingen. Een rij-echelonmatrix
Nadere informatieUitwerkingen van geselecteerde opgaven (laatste update 4 Januari 2018) Zebra 50. De Wiskunde van Rubik s Kubus.
Uitwerkingen van geselecteerde opgaven (laatste update 4 Januari 2018) Zebra 50. De Wiskunde van Rubik s Kubus. Opgave 1. Niet alle mogelijke posities zijn door middel van draaien te bereiken. Het is bijvoorbeeld
Nadere informatieTentamen algebra 1. 8 juni 2005, , zaal A.404
Tentamen algebra 1 8 juni 2005, 13.30 16.30, zaal A.404 Schrijf je naam en collegekaartnummer of het werk dat je inlevert. Het tentamen bestaat uit 5 opgaven. Beargumenteer telkens je antwoord. Veel succes!
Nadere informatieGoochelen en wiskunde
Goochelen en wiskunde Tom Koornwinder en Dick Koornwinder T.H.Koornwinder@uva.nl, dick.koornwinder@gmail.com https://staff.fnwi.uva.nl/t.h.koornwinder/ Lezing tijdens het zesde lustrum van de Wiskundige
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Nadere informatiePlatonische transformatiegroepen
Platonische transformatiegroepen Luc Van den Broeck 8 augustus 2015 Samenvatting In dit document worden de transformatiegroepen van de platonische lichamen bestudeerd. Zonder te vervallen in algebraïsche
Nadere informatieLineaire Algebra Een Samenvatting
Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle
Nadere informatieHOOFDSTUK 0. = α g1 α g2
HOOFDSTUK 0 Acties van groepen 0.1 Groep-actie Uit de cursus Meetkunde en Lineaire Algebra van 1ste jaar Bachelor Wiskunde ([KI] in de referentielijst) weten we reeds wat een permutatiegroep G op een verzameling
Nadere informatieThe knight s tour. Het paard in schaken beweegt als volgt: Steeds 1 vakje in een richting en 2 in een andere richting, of omgekeerd.
The knight s tour In het Engels heet een paard uit schaken een Knight (Ridder). In het begin zaten er namelijk ridders op de paarden. (link wiki) Stel, je bent een paard uit het schaakspel en je staat
Nadere informatieRuimtewiskunde. college. De determinant en lineaire afbeeldingen. Vandaag. De determinant van een matrix. Toepassing: oppervlakte en inhoud
college 6 en lineaire collegejaar college build slides Vandaag : : : : 6-7 6 9 juni 27 3 2 3 van een matrix Toepassing: oppervlakte en inhoud.6-7[6] vandaag van de 2 2-matrix a b c d is gelijk aan ad bc.
Nadere informatieWeek 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren.
Combinatorische Optimalisatie, 2013 Week 1 20-02-2013 Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Opgave 1.16 Bewijs dat elke graaf een even aantal punten
Nadere informatieOpgaven Eigenschappen van Getallen Security, 2018, Werkgroep.
Opgaven Eigenschappen van Getallen Security, 2018, Werkgroep. Gebruik deze opgaven, naast die uit het boek, om de stof te oefenen op het werkcollege. Cijfer: Op een toets krijg je meestal zes tot acht
Nadere informatieLege polygonen in een graaf.
Uitwerking puzzel 94-2 Lege polygonen in een graaf. Lieke de Rooij Wobien Doyer We hebben n punten die al of niet met elkaar worden verbonden. De bedoeling is om met zo min mogelijk lijnen (=verbindingen)
Nadere informatieGoed aan wiskunde doen
Goed aan wiskunde doen Enkele tips Associatie K.U.Leuven Tim Neijens Katrien D haeseleer Annemie Vermeyen Maart 2011 Waarom? Dit document somt de belangrijkste aandachtspunten op als je een wiskundeopgave
Nadere informatieRevenge De ultieme uitdaging 2. Even voorstellen: Revenge 3. Algemene tips 8. Draaipatronen bij Revenge 19. Oplossen van Rubik s Revenge 28
Rubik s Revenge Revenge De ultieme uitdaging 2 Even voorstellen: Revenge 3 Draaitips 5 Algemene tips 8 Notatiesysteem 12 Draaipatronen bij Revenge 19 Oplossen van Rubik s Revenge 28 Er is meer Revenge
Nadere informatieI.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules.
I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situaties het begrip functie tegengekomen; vaak als een voorschrift dat aan elk getal een ander getal toevoegt, bijvoorbeeld de functie fx = x die aan elk
Nadere informatieRedeneren, Abstraheren en Structureren. Woensdag 30 november 2016
Redeneren, Abstraheren en Structureren Woensdag 30 november 2016 Een goede leraar is Vakbekwaam Didactisch onderlegd Vakbekwaamheid is absoluut Didactiek is relatief tov het publiek Sterke interactie tussen
Nadere informatieKU Leuven. Algebra. Notities. Tom Sydney Kerckhove. met dank aan: Katelijne Caerts Eline van der Auwera Anneleen Truijen
KU Leuven Algebra Notities Tom Sydney Kerckhove met dank aan: Katelijne Caerts Eline van der Auwera Anneleen Truijen Gestart 23 september 2014 Gecompileerd 1 juni 2015 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 6 1.1
Nadere informatieVerzamelingen deel 3. Derde college
1 Verzamelingen deel 3 Derde college rekenregels Een bewerking op A heet commutatief als voor alle x en y in A geldt dat x y = y x. Een bewerking op A heet associatief als voor alle x, y en z in A geldt
Nadere informatieExamenvragen Hogere Wiskunde I
1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies
Nadere informatieHieronder zie je hoe dat gaat. Opgave 3. Tel het aantal routes in de volgende onvolledige roosters van linksboven naar rechtsonder.
Groepsopdracht 1: Volledige en onvolledige roosters Voor een volledig rooster kun je de driehoek van Pascal gebruiken om te weten te komen hoeveel routes er van A naar B zijn. Bij onvolledige roosters
Nadere informatieDeterminanten. Definities en eigenschappen
Determinanten Definities en eigenschappen Definities (korte herhaling) Determinant van een 2x2-matrix: a b ad bc c d S. Mettepenningen Determinanten 2 Definities (korte herhaling) Determinant van een 3x3-matrix:
Nadere informatieTer Leering ende Vermaeck
Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel
Nadere informatieAfbeelding 12-1: Een voorbeeld van een schaakbord met een zwart paard op a4 en een wit paard op e6.
Hoofdstuk 12 Cartesische coördinaten 157 Hoofdstuk 12 CARTESISCHE COÖRDINATEN In dit hoofdstuk behandelen we: Het Cartesisch coördinatenstelsel De X-as en de Y-as De commutatieve eigenschap van optellen
Nadere informatieRedeneren, Abstraheren en Structureren
, Abstraheren en Structureren Zaterdag 17 november 2018 We trappen een open deur in als we zeggen: Een goede leraar is Vakbekwaam Didactisch onderlegd Vakbekwaamheid is een conditio sine qua non Didactiek
Nadere informatieDossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra
Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 8
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los
Nadere informatie5.2.4 Varia in groepentheorie
Oefeningen op hoofdstuk 5 Algebra 5.2 Groepentheorie 5.2.1 Cayleytabellen van groepen van orde 8 Oefening 5.1. Stel de Cayleytabel op voor de groep van de symmetrieën van een vierkant. Bewijs dat deze
Nadere informatieIII.2 De ordening op R en ongelijkheden
III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.
Nadere informatie1 Groepen van orde 24.
1 1 Groepen van orde 24. Als G een groep van orde 24 is, dan zeggen de stellingen van Sylov: Het aantal 2-Sylow-groepen van G is 1 modulo 2 en bovendien een deler van 24, dus bedraagt 1 of 3. Het aantal
Nadere informatieWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 10 13 oktober 2016 1 Samenvatting Hoofdstuk 4.1 Een constante λ is een eigenwaarde van een n n matrix A als er een niet-nul vector x bestaat, zodat Ax =
Nadere informatieMin maal min is plus
Min maal min is plus Als ik een verontruste wiskundeleraar moet geloven, is de rekenregel voor het product van twee negatieve getallen nog steeds een probleem. Hessel Pot schreef me: waarom willen we dat
Nadere informatieVan groepentheorie tot Rubiks kubus
Van groepentheorie tot Rubiks kubus Inneke Van Gelder ivgelder@vub.ac.be Inleiding We zullen volgende notaties gebruiken: N de verzameling van natuurlijke getallen, Z de verzameling van gehele getallen,
Nadere informatieAntwoorden. Magische vierkanten Vierkant voor Wiskunde Doeboek 8
Antwoorden Magische vierkanten Vierkant voor Wiskunde Doeboek 8 1 6 1 8 7 5 3 2 9 4 2 De getallen 1 tot en met 9. 3 15. 15 en 15. De som van de getallen van elke rij is 15. 4 15. De som van de getallen
Nadere informatieHints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde
Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints
Nadere informatieVERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN
I VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN Het begrip verzameling kennen we uit het dagelijks leven: een bibliotheek bevat een verzameling van boeken, een museum een verzameling van kunstvoorwerpen. We kennen verzamelingen
Nadere informatieDossier 1 SYMBOLENTAAL
Dossier 1 SYMBOLENTAAL basis voor wiskundige communicatie Dr. Luc Gheysens Wiskundigen hebben een eigen symbolentaal waarmee ze onderling communiceren, redeneringen en bewijzen neerschrijven, mathematische
Nadere informatieWiskunde D Online uitwerking oefenopgaven 4 VWO blok 1 les 1
Paragraaf 1 Wegendiagrammen en bomen Opgave 1 a) Een mogelijkheid is om 6 stukjes papier te nemen en daar de cijfers 1 tot en met 6 op te zetten. Schudt de papiertjes door elkaar. Pak één voor één de papiertjes
Nadere informatieGetaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)
Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk
Nadere informatieDeterminanten. Hoofdstuk Inleiding
Hoofdstuk 3 Determinanten 3.1 Inleiding In deze paragraaf bekijken we het stelsel Ax = b waarbij A een n n matrix is. We zagen in voorgaande dat, als A inverteerbaar is er precies één oplossing van dit
Nadere informatieEen eenvoudig algoritme om permutaties te genereren
Een eenvoudig algoritme om permutaties te genereren Daniel von Asmuth Inleiding Er zijn in de vakliteratuur verschillende manieren beschreven om alle permutaties van een verzameling te generen. De methoden
Nadere informatieGaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:
Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van
Nadere informatieUitwerking vierde serie inleveropgaven
Uitwerking vierde serie inleveropgaven Opgave 1. Gegeven is dat G een permutatiegroep is; a is een willekeurig element. St(a) is de deelverzameling van G die alle permutaties π bevat waarvoor geldt π(a)
Nadere informatieALGEBRA I. P. Stevenhagen
ALGEBRA I P. Stevenhagen 2015 INHOUDSOPGAVE ALGEBRA I 1. Wat is algebra? 7 Groepen, ringen en lichamen Symmetrieën van de ruit Rekenen modulo 8 Symmetrieën van het vierkant Permutaties van 4 elementen
Nadere informatieVerzamelingen. Hoofdstuk 5
Hoofdstuk 5 Verzamelingen In de meest uiteenlopende omstandigheden kan het handig zijn om een stel objecten, elementen, of wat dan ook, samen een naam te geven. Het resultaat noemen we dan een verzameling.
Nadere informatieFLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j
FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van
Nadere informatieAlgebra, Les 18 Nadruk verboden 35
Algebra, Les 18 Nadruk verboden 35 18,1 Ingeklede vergelijkingen In de vorige lessen hebben we de vergelijkingen met één onbekende behandeld Deze vergelijkingen waren echter reeds opgesteld en behoefden
Nadere informatieOpgaven Inleiding Analyse
Opgaven Inleiding Analyse E.P. van den Ban Limieten en continuïteit Opgave. (a) Bewijs direct uit de definitie van iet dat y 0 y = 0. (b) Bewijs y 0 y 3 = 0 uit de definitie van iet. (c) Bewijs y 0 y 3
Nadere informatieCourbois Software. Extra categoriën toevoegen aan de WebWinkel
Courbois Software Extra categoriën toevoegen aan de WebWinkel De editor handleiding is altijd te vinden op de volgende locatie : http://editor.cs-webdesign.nl 2012 Courbois Software Beuningen Fazantlaan
Nadere informatieTellen. K. P. Hart. Delft, Faculty EEMCS TU Delft. K. P. Hart Tellen
Tellen Tá scéiĺın agam K. P. Hart Faculty EEMCS TU Delft Delft, 16-9-2015 Dingen om te tellen afbeeldingen injecties surjecties bijecties deelverzamelingen van diverse pluimage Wat notatie Afkorting: n
Nadere informatieDeelgroepen en normaaldelers
Hoofdstuk 2 Deelgroepen en normaaldelers 2.1 Wat is een deelgroep? Definitie 2.1. Een deelverzameling H van een groep G, is een deelgroep van G als en slechts als H niet leeg is en H, zelf een groep is.
Nadere informatiewiskunde C pilot vwo 2017-I
wiskunde C pilot vwo 207-I De formule van Riegel en kilometertijden maximumscore 3 4 minuten en 52 seconden komt overeen met 292 seconden,07 0000 T2 = 292 2223 (seconden) (of nauwkeuriger) 500 Dat is 37
Nadere informatiePraktische opdracht Wiskunde A Formules
Praktische opdracht Wiskunde A Formules Praktische-opdracht door een scholier 2482 woorden 15 juni 2006 5,5 40 keer beoordeeld Vak Wiskunde A Inleiding Formules komen veel voor in de economie, wiskunde,
Nadere informatieFormeel Denken 2014 Uitwerkingen Tentamen
Formeel Denken 2014 Uitwerkingen Tentamen (29/01/15) 1. Benader de betekenis van de volgende Nederlandse zin zo goed mogelijk (6 punten) door een formule van de propositielogica: Als het regent word ik
Nadere informatie6 Ringen, lichamen, velden
6 Ringen, lichamen, velden 6.1 Polynomen over F p : irreducibiliteit en factorisatie Oefening 6.1. Bewijs dat x 2 + 2x + 2 irreducibel is in Z 3 [x]. Oplossing 6.1 Aangezien de veelterm van graad 3 is,
Nadere informatieDe partitieformule van Euler
De partitieformule van Euler Een kennismaking met zuivere wiskunde J.H. Aalberts-Bakker 29 augustus 2008 Doctoraalscriptie wiskunde, variant Communicatie en Educatie Afstudeerdocent: Dr. H. Finkelnberg
Nadere informatieOefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A
Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat
Nadere informatie