Stelling van Jordan. Ayla Stam. 14 juli Bachelorscriptie Begeleiding: dhr. prof. dr. L.D.J. (Lenny) Taelman

Transcriptie

1 Stelling van Jordan Ayla Stam 14 juli 2017 Bachelorscriptie Begeleiding: dhr. prof. dr. L.D.J. (Lenny) Taelman Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam

2 Samenvatting Deze bachelorscriptie gaat over een stelling van Jordan. De stelling uit 1872 die in deze scriptie besproken wordt, is een resultaat in de eindige groepentheorie. Het laat zien dat onder een groepswerking, die voldoet aan bepaalde voorwaarden, er tenminste één groepselement is zonder vaste punten. Bovendien is er een andere stelling, met dezelfde voorwaarden, die een ondergrens geeft voor het aantal elementen zonder vaste punten. Het resultaat van de stelling van Jordan heeft toepassingen in andere gebieden in de wiskunde. Een voorbeeld hiervan is in de topologie. Hier kan iets gezegd worden over het bestaan van een continue afbeelding van de cirkel naar een topologische ruimte, die niet gelift kan worden naar een overdekking. Maar ook kan de stelling van Jordan worden toegepast in de getaltheorie. Namelijk bij een stelling die een ondergrens geeft voor de dichtheid van een verzameling priemgetallen met een bepaalde eigenschap. In deze scriptie wordt als leidraad het artikel van Jean-Pierre Serre gebruikt; On a theorem of Jordan. Titel: Stelling van Jordan Auteur: Ayla Stam, aylastam@gmail.com, Begeleiding: dhr. prof. dr. L.D.J. (Lenny) Taelman Tweede beoordelaar: dhr. dr. A.L. (Arno) Kret Einddatum: 14 juli 2017 Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Science Park 904, 1098 XH Amsterdam 2

3 Inhoudsopgave Inleiding 4 1. Stelling van Jordan en uitbreiding Stelling van Jordan Uitbreiding van de stelling van Jordan Voorbeelden Topologie Stelling van Jordan toegepast in topologie Voorbeeld Getaltheorie Stelling van Jordan toegepast in getaltheorie Voorbeelden Conclusie 22 Populaire samenvatting 23 Bibliografie 25 A. Mathematica-code 26 3

4 Inleiding De Franse wiskundige Camille Jordan (1838) heeft in zijn carrière verschillende belangrijke stellingen bewezen [7]. Deze stellingen komen onder andere uit de eindige groepentheorie, lineaire algebra (bijvoorbeeld de Jordan normaalvorm), topologie (bijvoorbeeld de Jordankromme) en Galoistheorie. De stelling die in deze scriptie besproken wordt, is een stelling uit de eindige groepentheorie. Deze is gepubliceerd in een paper van Jordan in 1872 [2]. In het vervolg van dit verslag zal deze stelling benoemd worden als de stelling van Jordan. Het wordt al snel duidelijk bij het volgen van algebra colleges dat groepswerkingen een belangrijke rol spelen in de groepentheorie. Er zijn verschillende eigenschappen die bij een groepswerking horen. Een voorbeeld hiervan is het aantal elementen die een groepselement vasthoudt onder de groepswerking. De stelling van Jordan gaat hier over. Deze stelling geeft als een groep transitief werkt op een verzameling met minstens twee elementen, dat er dan één groepselement is zonder vaste punten. Jean-Pierre Serre heeft over de stelling van Jordan en verschillende toepassingen hiervan in 2003 het artikel On an theorem of Jordan geschreven [8]. Dit artikel wordt als leidraad gebruikt in deze scriptie. Het doel van deze scriptie is om de stelling van Jordan en een uitbreiding hiervan te bewijzen. In deze uitbreiding wordt een ondergrens gegeven voor het aantal elementen in een groep zonder vaste punten. Daarnaast heeft de stelling van Jordan toepassingen in het bewijs van stellingen uit andere gebieden in de wiskunde. Een ander doel in dit verslag is dan ook het bewijzen van een stelling uit de topologie en een stelling uit de getaltheorie met gebruikmaking van de stelling van Jordan. De stelling uit de topologie geeft dat er een continue afbeelding bestaat van de cirkel naar de een topologische ruimte die niet gelift kan worden naar een overdekking van die topologische ruimte. De stelling uit de getaltheorie zegt iets over het bestaan van de dichtheid van een bepaalde verzameling priemgetallen. Daarnaast geeft de uitbreiding van de stelling van Jordan een ondergrens voor deze dichtheid. Bij een groot deel van de bovenstaande stellingen zullen ook voorbeelden gegeven worden. Ten slotte wil ik mijn begeleider Lenny Taelman bedanken voor al zijn hulp, kennis en geduld tijdens het schrijven van deze bachelorscriptie. 4

5 1. Stelling van Jordan en uitbreiding 1.1. Stelling van Jordan Allereerst een aantal definities en een stelling voordat de stelling van Jordan geïntroduceerd en bewezen wordt. Deze komen uit de syllabus algebra I hoofdstuk 8 [4]. Definitie 1.1. Een (links)werking van groep een G op een verzameling X is een afbeelding G X X gegeven door (g, x) gx met de volgende eigenschappen: (i) ex = x voor alle x X (ii) (gh)x = g(hx) voor alle g, h G en x X. In sommige situaties is het natuurlijker om een groep G van rechts op een verzameling X te laten werken. Een rechtswerking is dan een afbeelding X G X, die we noteren als (x, g) xg waarvoor geldt xe = x en x(gh) = (xg)h voor alle g, h G en x X. Opmerking. Een alternatieve definitie voor een werking van een groep G op een verzameling X is een groepshomomorfisme ϕ : G Sym(X) door g (x gx). Hierbij is Sym(X) de symmetrische groep bestaande uit alle bijecties van X naar X, ook wel genoteerd als S n. Definitie 1.2. Zij X een eindige verzameling, G een eindige groep die werkt op X, x X en g G. (i) De baan van x onder G is de verzameling Gx = {gx g G}. (ii) De stabilisator van x in G is de ondergroep G x = {g G gx = x} van G. (iii) De vaste punten van g zijn de elementen x X die door g op zichzelf afgebeeld worden, genoteerd als de verzameling X g = {x X gx = x}. (iv) De werking van G op X heet transitief als er een x X bestaat zodat Gx = X, Stelling 1.3 (Baan-stabilisatorstelling). Zij G een eindige groep die werkt op een eindige verzameling X en x X. Dan is de afbeelding f : G/G x Gx gegeven door f(ag x ) = ax een bijectie. Als gevolg hiervan geldt: Bewijs. Zie [4] stelling Gx = G x. Stelling 1.4 (Stelling van Jordan). Zij G een groep die transitief werkt op een eindige verzameling X met X 2. Dan is er een g G waarvoor geldt X g =. Elementen g G waarvoor geldt X g = noemen we ook wel elementen zonder vaste punten. 5

6 Bewijs van stelling 1.4. We mogen aannemen dat G eindig is, anders zouden we G kunnen vervangen door zijn beeld in Sym(X). Omdat G transitief werkt op X, betekent dit dat er precies één baan is van X onder G. De baan-stabilisatorstelling geeft nu dat X = G. x De stabilisator G x van een element x X heeft dus X elementen. Alle deelgroepen G x bevatten tenminste één element gemeenschappelijk, namelijk e G. Hierdoor heeft de vereniging van alle G x op zijn hoogst G x ( G x 1) + 1 = X ( G x 1) + 1 = ( X 1) x X x X elementen. Bij het laatste gelijkteken wordt de baan-stabilisatorstelling gebruikt. We kunnen nu zien dat er ten minste X 1 elementen van G zijn die in geen G x zitten. Dat wil zeggen voor ten minste X 1 elementen geldt dat X g =, ofwel hebben geen vaste punten. Er is te zien in het bewijs van de stelling van Jordan dat deze stelling eigenlijk iets sterker bewijst, namelijk: Stelling 1.5. Zij G een groep die transitief werkt op een eindige verzameling X. Dan zijn er ten minste X 1 elementen g G waarvoor geldt X g =. Opmerking. In het bewijs van de stelling van Jordan is te zien dat er precies X 1 elementen g G zonder vaste punten zijn dan en slechts dan als Gx Gy = {e} voor alle x, y X met x y Uitbreiding van de stelling van Jordan In de vorige paragraaf hebben we gezien als een groep G transitief werkt op een eindige verzameling X met X 2 dat er dan minstens één g G bestaat zonder vaste punten. De volgende stelling geeft een ondergrens voor het aantal elementen in G zonder vaste punten. Stelling 1.6. Zij G een eindige groep die transitief werkt op een eindige verzameling X. Zij G 0 de verzameling van g G zonder vaste punten, ofwel X g =. Dan geldt G 0 X. Voor het bewijs van deze stelling hebben we twee lemma s nodig (uit [9] hoofdstuk 1). Verder definiëren we χ(g) voor g G als het aantal vaste punten van g op X, ofwel χ(g) = X g. Lemma 1.7 (Lemma van Burnside). Het aantal banen van G in X is gelijk aan 1 χ(g). g G Bewijs. De verzameling van banen vormt een partitie van X. Het is dus voldoende om de stelling aan te tonen voor X en het geval dat er één baan is, ofwel G transitief werkt 6

7 op X. Dan geldt 1 g G χ(g) = 1 = 1 1 g G x X gx=x 1 x X g G gx=x = 1 G x x X = 1 G x X = 1 = 1 waarbij de Baan-stabilisatorstelling wordt toegepast in de laatste regel. Dit bewijst het lemma. 1 Lemma 1.8. Er geldt g G χ2 (g) 2. Bewijs. Zoals χ(g) het aantal vaste punten is van g op X, is χ 2 (g) het aantal vaste punten van g op X X. Lemma 1.7 geeft dat 1 g G χ2 (g) het aantal banen is van G op X X. Definieer = {(x, x) x X} als de diagonaal van X X. Dan is het complement van gegeven door (X X)\ = {(x, y) x y}. Dit laat zien dat er minstens twee banen zijn van G op X X. Bewijs van stelling 1.6. Als g / G 0 dan geldt 1 χ(g) X. Dit kunnen we omschrijven tot χ(g) 1 0 en χ(g) X 0, ofwel Vervolgens geeft dit Dit wil zeggen 1 1 (χ(g) 1)(χ(g) X ) 0. g G\G 0 (χ(g) 1)(χ(g) X ) 0. (χ(g) 1)(χ(g) X ) 1 (χ(g) 1)(χ(g) X ). g G g G 0 Waarbij de rechterkant herschreven kan worden tot 1 (χ(g) 1)(χ(g) X ) = 1 ( 1)( X ) g G 0 g G 0 = X 1 = X G 0 g G 0 en de linkerkant tot 1 (χ(g) 1)(χ(g) X ) = 1 (χ 2 (g) ( X + 1)χ(g) + X ) g G = 1 = 1 g G χ 2 (g) 1 g G 0 ( X + 1)χ(g) + 1 X g G χ 2 (g) X + 1 g G 0 g G χ(g) + X., g G 7

8 Nu kunnen we lemma 1.8 gebruiken en het feit dat we aangenomen hebben dat G transitief 1 werkt op X, ofwel g G χ(g) = 1 (Lemma van Burnside). Dit geeft 1 (χ(g) 1)(χ(g) X ) 2 ( X + 1) + X = 1. g G We kunnen nu concluderen dat 1 X G 0 en vandaar G 0 X. De ongelijkheid in stelling 1.6 is in sommige gevallen een strikte ongelijkheid. Voordat hier een stelling over geformuleerd wordt, eerst een aantal definities, lemma s en stellingen. Deze komen uit hoofdstuk 7 van [11], hoofdstuk 1 en 6 van [9]. Deze worden gegeven in de volgorde waarin ze ook worden gebruikt in het bewijs van de stelling. Definitie 1.9. Een werking van G op X heet 2-transitief als er voor elke twee paren van verschillende elementen x, y X en x, y X geldt dat er een g G bestaat zodat gx = x en gy = y. Lemma De werking van G op X is 2-transitief dan en slechts dan als de werking transitief is en 1 χ 2 (g) = 2. g G Bewijs. Stel dat G 2-transitief werkt op X. Dan bestaat er een g G zodat gx = x en gy = y voor elke twee paren x, y X en x, y X met x y en x y. Dan werkt G ook transitief op X want voor elk paar x, x X is er een g G zodat gx = x. Definieer nu = {(x, x) x X} als de diagonaal van X X. Deze verzameling is precies één baan want G werkt transitief op X dus er is een g G zodat g(x, x) = (g(x), g(x)) = (y, y) voor alle x, y X. Kijk nu naar (X X)\ = {(x, y) x y}, het complement van. Dit is ook precies één baan want door de 2-transitiviteit is er een g G zodat g(x, y) = (x, y ) voor alle paren met verschillende elementen x, y X en x, y X. Dus er zijn twee banen van G op X X, ofwel 1 Neem nu aan dat 1 g G χ2 (g) = 2. g G χ2 (g) = 2 en dat de werking van G op X transitief is. Dit betekent dat en het complement (X X)\ de twee banen zijn van X X onder G. Dat (X X)\ = {(x, y) x y} een baan is betekent dat er een g G is zodat g(x, y) = (x, y ) voor alle paren met verschillende elementen x, y X en x, y X. Dit is precies de definitief van 2-transitief. Lemma Zij X 3 en de werking van G op X 2-transitief. Dan geldt G x {e} voor alle x X. Bewijs. De werking van G op X is 2-transitief dus voor elke twee paren van verschillende elementen x, y X en x, y X geldt dat er een g G bestaat zodat gx = x en gy = y. Neem nu de paren x, y X en x, y X met x y y. Dan is er een g G zodat gx = x en gy = y. Dus er is een g e G waarvoor geldt gx = x, ofwel G x {e}. Hiermee hebben we het lemma bewezen omdat x X willekeurig was. Definitie Een werking van G op X heet trouw als er geen element g G\{e} is zodat gx = x voor alle x X. Anders gezegd, Ker(ϕ : G Sym(X)) = {e}. In het vervolg van dit hoofdstuk mogen we aannemen dat de werking van G op X trouw is. Namelijk, stel dat de werking niet trouw is. Definieer dan nu K als volgt: K = {g G gx = x voor alle x X}. Dan is K een normaaldeler van G want het is 8

9 de kern van de afbeelding ϕ : G Sym(X) en de kern van een groepshomomorfisme is een normaaldeler. De werking van G/K op X geven door gx = (gk)x = g(kx) = gx is vervolgens trouw omdat Ker(ϕ : G/K Sym(X)) = {e}. Nu geldt c 0 = G 0 = {g G Xg = } = {g G/K Xg = } K = {g G/K Xg = }. G/K Dus als de werking van G op X niet trouw is, kunnen we het quotiënt G/K beschouwen die trouw werkt op X en dit heeft geen invloed op de ratio c 0. Lemma Als (χ(g) 1)(χ(g) X ) = 0 voor alle g G\G 0, dan is er geen element g G\{e} met χ(g) 2. Bewijs. Als (χ(g) 1)(χ(g) X ) = 0 voor alle g G\G 0 impliceert dit χ(g) = X of χ(g) = 1 of χ(g) = 0 voor alle g G. Stel er is een g G met χ(g) 2 dan heeft dit element X vaste punten. Dit betekent dat gx = x voor alle x X. Omdat we aan mogen nemen dat de werking van G op X trouw is geeft dit g = e. Dus er is geen element g G\{e} met χ(g) 2. Definitie Zij G een eindige groep die trouw werkt op X. Dan heet de groep G een Frobeniusgroep op X als (i) G transitief werkt op X (ii) G x {e} voor alle x X (iii) G x G y = {e} voor alle x, y X met x y. Stelling [Stelling van Frobenius] Zij G een Frobeniusgroep. Dan is de verzameling N = G 0 {e} een normaaldeler van G. Bewijs. Zie [9] stelling 6.7 en stelling Definitie Zij G een groep met ondergroepen H en N. Dan heet G het semidirect product van H met N als (i) N G (N normaaldeler van G) (ii) N H = {e} (iii) G = NH. Als G het semidirect product is van H met N dan wordt dit ook wel genoteerd als G = N H. Lemma Zij G een eindige groep met ondergroepen H en N die voldoen aan de volgende voorwaarden (i) N G (ii) N H = {e} (iii) = N H. Dan geldt G = N H. 9

10 Bewijs. Definieer ϕ : N H G door (n, h) nh. Het beeld van ϕ is NH. Als we laten zien dat G = NH dan is G het semidirect product van H met N ofwel G = N H. Eerst laten we zien dat ϕ injectief is. Stel dat n 1 h 1 = n 2 h 2 dan n 1 2 n 1 = h 2 h 1 1 = g voor n 1, n 2 N, h 1, h 2 H en g G. Dit geeft g N en g H. Maar N H = {e} dus volgt dat g = e. Ofwel n 1 = n 2 en h 1 = h 2. Hiermee is ϕ injectief. We hebben aangenomen dat = N H = N H dus nu volgt dat ϕ ook surjectief is. Dit geeft G = NH waarmee het lemma bewezen is. Het volgende gevolg geeft dat een Frobeniusgroep G het semidirect product is van G x met N = G 0 {e}. Gevolg Zij G een Frobeniusgroep met N = G 0 {e} een normaaldeler van G en x X. Dan geldt G = N G x. Bewijs. We gaan de voorwaarden van lemma 1.17 na. Aan (i) wordt voldaan omdat G x een ondergroep en N een normaaldeler is van G (stelling 1.15). Verder geldt dat N G x = {e} omdat G x = {g G gx = x} en N = G 0 {e} = {g G gx x} {e}. Dit geeft dus (ii). Vervolgens willen we dat = N G x. Omdat G een Frobeniusgroep is geldt dat G x G y = {e} voor alle x, y X met x y. In opmerking van paragraaf 1.1 hebben we gezien dat de stelling van Jordan nu impliceert dat G 0 = X 1. Dus dan volgt N G x = ( G 0 + 1) G x = X G x =. De laatste gelijkheid omdat G transitief werkt op X. Er is nu ook aan voorwaarde (iii) voldaan dus geeft dit G = N G x. Definitie Een werking van G op X heet vrij als gx = x impliceert g = e voor alle x X. Anders gezegd, G x = {e} voor alle x X. Er geldt bovendien als een werking van G op X vrij is, dat deze dan ook trouw is. Dit is omdat {e} het enige element is van G waarvoor geldt gx = x voor alle x X. Lemma Zij G een groep die werkt op een verzameling X. Dan geldt voor elke g G gg x g 1 = G gx. Bewijs. Neem a gg x g 1, dan is er een h G x zodat a = ghg 1. Nu volgt dat a G gx uit a(gx) = (ghg 1 )(gx) = ghx = gx. Neem nu a G gx. Dan geldt agx = gx, ofwel g 1 agx = x. Dit geeft dat g 1 ag G x. Dan is er een h G x zodat g 1 ag = h, ofwel a = ghg 1. Dus a gg x g 1. Lemma Zij G een eindige groep met 2. Als voor alle x, y G\{e} er een σ Aut(G) is zodat σx = y, dan is een macht van een priemgetal p. Bewijs. We weten dat voor alle x, y G\{e} er een σ Aut(G) is zodat σx = y. Stel is deelbaar door priemgetallen p en q met p q. Kies dan x, y G met ord(x) = p en ord(y) = q. Dit geeft een tegenspraak omdat een automorfisme elementen naar elkaar stuurt met dezelfde orde. Dus een macht van een priemgetal p. Hieronder dan de stelling waarbij de ongelijkheid van stelling 1.6 een strikte ongelijkheid wordt. Stelling Zij G een eindige groep die transitief werkt op een verzameling X. Neem aan dat X geen macht is van een priemgetal. Dan geldt G 0 > X. 10

11 Bewijs. Deze stelling gaan we bewijzen door middel van contrapositie. Stel nu dat G 0 = X, dan geeft het bewijs van stelling 1.6 dat deze gelijkheid geldt dan en slecht dan als 1 g G χ2 (g) = 2 en (χ(g) 1)(χ(g) X ) = 0 voor alle g G\G 0. Lemma 1.10 geeft g G χ2 (g) = 2 dan is de werking van G op X 2-transitief. En als de werking van als 1 G op X 2-transitief is, geeft lemma 1.11 dat G x {e} voor alle x X. Verder krijgen we met lemma 1.13: als (χ(g) 1)(χ(g) X ) = 0 voor alle g G\G 0, dan is er geen element g G\{e} met χ(g) 2. Dit laatste geeft G x G y = e voor alle x, y X met x y. Er volgt nu dat G een Frobeniusgroep is op X. De stelling van Frobenius geeft dat N = G 0 {e} een normaaldeler is van G. Met gevolg 1.18 weten we nu dat G het semidirect product is van G x is met N. Omdat G transitief werkt op X krijgen we met de baan-stabilisatorstelling dat X = G x. Hieruit volgt N = X en X 1 = G 0 = 1 X. Dus = X ( X 1) en G x = X 1. We kunnen nu een werking van G x op N\{e} definiëren door (g, a) gag 1 voor a N\{e} en g G x. We gaan laten zien dat deze werking vrij is. Er geldt voor alle g G dat gg x g 1 = G gx (lemma 1.20). Dit betekent dat gag 1 = a impliceert dat a G x G gx. Dit kan niet omdat a N\{e} = G 0 dus ax x voor alle x X. Hieruit volgt g = e en is de werking dus vrij, ofwel G xa = {e} voor alle a N\{e}. Met de baan-stabilisatorstelling geeft dit G x a = G x voor alle a N\{e}, maar N\{e} en G x bevatten evenveel elementen dus G x a = N\{e}. Dit betekent dat de werking van G x op N\{e} transitief is. Nu kunnen we een automorfisme maken σ g : N N gegeven door x gxg 1 met g G x. En we weten door transitiviteit dat voor alle x, y N\{e} is er een σ g Aut(N) zodat σ g x = gxg 1 = y. Dan geeft lemma 1.21 dat N = X een macht is van een priemgetal p. We hebben nu aangetoond als G 0 = X, dan is X een macht van een priemgetal. Ofwel, als X geen macht is van een priemgetal dan G 0 > X Voorbeelden Hieronder een aantal voorbeelden van stelling 1.6. Voorbeeld Voor de groep G = S n geeft stelling 1.6 een sterkere ondergrens voor het aantal elementen in G dat geen vaste punten heeft dan de stelling 1.5. Stelling 1.5 geeft namelijk dat G 0 X 1, ofwel G 0 n 1. Terwijl stelling 1.6 geeft dat G 0 X = n! = (n 1)!. n Voorbeeld Zij q een macht van een priemgetal. Definieer vervolgens de groep G = GA(1, q) = {ϕ : F q F q gegeven door x ax + b a F q, b F q }. Deze groep werkt transitief op X = F q. Verder heeft de groep F q F q = q(q 1) elementen. Dan gaan we nu kijken hoeveel elementen uit G geen vaste punten hebben. Claim. Er zijn q 1 elementen zonder vaste punten. Dit is omdat ax + b heeft een vast punt dan en slechts dan als er een x F q is zodat ax + b = x. Anders gezegd: er is een x F q zodat (a 1)x = b. Dit geeft ax + b heeft een vast punt dan en slecht dan als a = 1, b = 0 of a 1, b alles. Dus ax + b heeft geen vaste punten als a = 1 en b 0. Hieruit volgt dat er precies q 1 elementen zijn zonder vaste punten. 11

12 We kunnen nu zien dat deze groepswerking gelijkheid geeft in stelling 1.6: G 0 = q 1 = X. Verder geven we voor X = 2, 3, 4, 5, 6 (waar mogelijk) zowel een voorbeeld met gelijkheid als een voorbeeld met strikte ongelijkheid in stelling 1.6. X = 1 X > 1 X 2 GA(1, 2) = Z/2Z 3 GA(1, 3) = S 3 A 3 4 GA(1, 4) = A 4 S 4 5 GA(1, 5) S 5 6 S 6 Tabel 1.1.: Gelijkheid en strikte ongelijkheid van stelling 1.6 Opmerking. Uit stelling 1.22 volgt dat er geen groep is die werkt op zes elementen waarbij er een gelijkheid optreedt in stelling

13 2. Topologie 2.1. Stelling van Jordan toegepast in topologie In dit hoofdstuk wordt de stelling van Jordan toegepast in de topologie. Voordat de stelling komt waarbij de stelling van Jordan wordt gebruikt, eerst een paar definities en lemma s (uit [6] hoofdstukken 24, 52, 53). Definitie 2.1. (i) Zij f : T S een continue afbeelding van een topologische ruimte T naar een topologische ruimte S. De afbeelding f heet een overdekkingsafbeelding als elk punt s S een open omgeving U in S heeft zodat U gelijkmatig overdekt wordt. Dit betekent dat f 1 (U) geschreven kan worden als disjuncte vereniging van open verzamelingen in T, die elk homeomorf afgebeeld worden door f op U. (ii) Zij S een topologische ruimte en x, y, s punten in S. Een pad in S van x naar y is een continue afbeelding α : [0, 1] S met α(0) = x en α(1) = y. Een pad waarvoor geldt α(0) = α(1) = s heet een lus met basispunt s. (iii) De verzameling van homotopieklassen van lussen met basispunt s en uitgerust met de groepsvermenigvuldiging gedefinieerd door { f(2t) 0 t 1 (f g)(t) = 2 1 g(2t 1) 2 t 1 heet de fundamentaalgroep van S met basispunt s. Deze groep wordt genoteerd als π 1 (S, s). Lemma 2.2 (Padliftlemma). Zij f : T S een overdekkingsafbeelding en neem s T zodat f( s) = s. Dan is er voor elk pad α : [0, 1] S met α(0) = s een uniek pad α : [0, 1] T met α(0) = s en α = f α. We noemen α ook wel een lift van α. Bewijs van lemma 2.2. Zie [6] lemma Zij f : T S een overdekkingsafbeelding en s S. Definieer de volgende afbeelding, φ : f 1 (s) π 1 (S, s) f 1 (s) gegeven door ( s, [γ]) s[γ] := γ(1). Hierbij is γ de unieke lift van γ met beginpunt s. Lemma 2.3. De bovenstaande afbeelding φ is een rechtswerking van π 1 (S, s) op de vezel f 1 (s). Bewijs. Zie [10] stelling Lemma 2.4. Zij T samenhangend. Dan is de groepswerking φ, gedefineerd boven stelling 2.3, transitief. 13

14 Bewijs. Laat s 0 en s 1 twee punten in de vezel f 1 (s) en γ een pad in T van s 0 naar s 1. Het pad γ = f γ is een lus in S met basispunt s en representeert dus een element van π 1 (S, s). Ook is γ een lift van γ die begint in s 0. We zien nu dat Dus de werking is transitief. s 0 [γ] = γ(1) = s 1. Hieronder de stelling waarbij de stelling van Jordan wordt toegepast in het bewijs van deze stelling. Stelling 2.5. Zij f : T S een eindige overdekking van de topologische ruimte S, s S en S 1 de cirkel. Neem aan dat: (i) f 1 (s) 2, (ii) T is samenhangend. Dan bestaat er een continue afbeelding ϕ : S 1 S die niet gelift kan worden naar de overdekking T. Dat wil zeggen: Er bestaat geen continue afbeelding ψ : S 1 T zodat ϕ = f ψ. S 1 ψ ϕ T S f Bewijs. Kies een punt s S. Zij X = f 1 (s) de vezel van s en G = π 1 (S, s) de fundamentaalgroep van S in het punt s. Uit lemma 2.3 volgt dat er een natuurlijke werking is van G op X. Verder omdat T samenhangend is, geeft lemma 2.4 dat deze werking transitief is. Omdat X 2, volgt met de stelling van Jordan dat er een g G is zonder vaste punten. Als we g representeren als een lus ϕ : (S 1, s 0 ) (S, s) waarbij s 0 een gekozen punt is in S 1, dan kan ϕ niet gelift worden naar T. Anders als ψ : S 1 T een lift van ϕ was, dan was het punt x = ψ(s 0 ) een vast punt van g Voorbeeld Dit is een voorbeeld van stelling 2.5. Voorbeeld 2.6. Zij S = T = S 1, ϕ = Id S 1 en f : { z = 1} { z = 1} gegeven door z z 2. Dan bestaat er geen continue afbeelding ψ : S 1 T zodat ϕ = f ψ. Bewijs van voorbeeld. We geven twee bewijzen. 1. Kies een punt s = e iθ S met θ [0, 2π). Laat X = f 1 (s) = ±e i θ 2 en G = π 1 (S 1, s) de fundamentaalgroep van S in het punt s. Dus G = Z. Er is een g G zonder vast punt op X. Namelijk een element g die correspondeert met 1 Z heeft geen vast punt want ±e i θ 2 1 = e i θ 2. Er volgt dat ϕ niet gelift worden naar T. Anders als ψ : S 1 T een lift van ϕ was, dan was het punt x = ψ(s 0 ) met ϕ(s 0 ) = s een vast punt van g. 14

15 2. Zij s S, s 0 S 1 en t T met f(t) = s, ϕ(s 0 ) = s en ψ(s 0 ) = t. S 1 ψ ϕ T S f Deze afbeeldingen induceren groepshomomorfismen tussen fundamentaalgroepen. π 1 (T, t) ψ f Dit geeft het volgende diagram. ϕ π 1 (S 1, s 0 ) π 1 (S, s) Z ψ Id Z Z n 2n Er is nu te zien dat er geen afbeelding ψ bestaat zodat het diagram commuteert. Hiermee hebben we het voorbeeld op twee manieren bewezen. 15

16 3. Getaltheorie 3.1. Stelling van Jordan toegepast in getaltheorie Allereerst twee definities voordat de stelling wordt gegeven waarbij de stelling van Jordan wordt toegepast. Definitie 3.1. Zij f = n m=0 a mx m een monisch polynoom met coëfficiënten in Z. Als p een priemgetal is, dan wordt het aantal nulpunten van f in F p = Z/pZ genoteerd als N p (f). Definitie 3.2. Een deelverzameling P van de verzameling van priemgetallen heeft dichtheid c als aantal p P met p x lim = c, x π(x) met π(x) het aantal priemgetallen x. In het bewijs van de volgende stelling wordt de stelling van Jordan gebruikt. Stelling 3.3. Zij f = n m=0 a mx m een monisch polynoom van graad n 2 met coëfficiënten in Z. Als f irreducibel is in Q[X], dan heeft de verzameling P 0 (f) = {p N p (f) = 0} een dichtheid c 0 (f) > 0. Bovendien kan de ondergrens van c 0 (f) in de bovenstaande stelling versterkt worden. Hierbij wordt de uitbreiding van de stelling van Jordan gebruikt (stelling 1.6 en stelling 1.22). Stelling 3.4. Zij f = n m=0 a mx m een monisch polynoom van graad n 2 met coëfficiënten in Z. Als f irreducibel is in Q[X], dan heeft de verzameling P 0 (f) = {p N p (f) = 0} een dichtheid c 0 (f) 1 n. Bovendien geldt c 0(f) > 1 n als n geen macht is van een priemgetal. Voor het bewijs van deze twee stellingen zijn er definities, stellingen en lemma s nodig. Een aantal komen uit [1] hoofdstuk 3 en 4 en [5] hoofdstuk 8 en 12. Lemma 3.5. Zij L een eindige algebraïsche uitbreiding van het lichaam K (genoteerd als L/K). Dan is equivalent: (i) L/K is normaal (ii) L is het ontbindingslichaam van een monisch polynoom f over K. Bewijs. Zie [1] stelling 4.3. Definitie 3.6. Een element α L heet separabel als α algebraïsch is over K en als het minimumpolynoom van α separabel is. Een eindige lichaamsuitbreiding L/K heet separabel als L = K(α 1,..., α r ) waarbij α 1,..., α r separabele elementen zijn van L. Lemma 3.7. Zij L/K een eindige lichaamsuitbreiding. Dan is equivalent: 16

17 (i) L/K is een Galoisuitbreiding (ii) L/K is normaal en separabel. Bewijs. Zie [1] stelling Lemma 3.8. Zij K een lichaam, f K[X] monisch, irreducibel, separabel en van graad n 2 en X = {x 1,..., x n } K de nulpunten van f. Dan (i) L = K(x 1,..., x n ) K is een Galoisuitbreiding van K (ii) Gal(L/K) bewaart X L (iii) Gal(L/K) werkt transitief op X. Bewijs. (i) Uit lemma 3.7 volgt dat we moeten laten zien dat L/K normaal en separabel is. Normaal volgt met lemma 3.5 omdat L het ontbindingslichaam van f is. Verder is L/K separabel want x 1,..., x n zijn separabel. Dit geldt omdat f het minimumpolynoom is van x 1,..., x n want dit polynoom is monisch, irreducibel en er geldt f(x i ) = 0 voor alle i {1,..., n}. (ii) We kunnen f schrijven als f(x) = n m=0 a mx m met alle a m K. Neem nu een willekeurig x i uit X. Aan beide kanten x i invullen geeft 0 = n m=0 a mx m i. Als we vervolgens een element σ Gal(L/K) gaan toepassen krijgen we σ(0) = n σ(a m x m i ) = m=0 n σ(a m )σ(x m i ) = m=0 n σ(a m )σ(x i ) m omdat σ een lichaamsautomorfisme is. Verder volgt omdat σ Gal(L/K) dat σ(a m ) = a m voor alle m {0,..., n}. Dus krijgen we 0 = n m=0 a mσ(x i ) m ofwel 0 = f(σ(x i )). Dus Gal(L/K) bewaart X. (iii) Door (ii) zien we dat Gal(L/K) werkt op de verzameling X. Stel nu dat de werking niet transitief is. Dit betekent dat er tenminste twee banen zijn. Neem nu {x 1,..., x k } voor k < n als baan van X onder Gal(L/K). Dan krijgen we dat g = k i=1 (X x i) = b 0 + b 1 X + + b k 1 X k 1 + X k L[X] het polynoom f deelt. Als we nu laten zien dat g K[X] dan geeft dit een tegenspraak aangezien we aangenomen hebben dat f irreducibel is. We willen dus dat b i K zit voor alle i {0,..., k 1}. Omdat Gal(L/K) een Galoisgroep is, volstaat het om te laten zien dat voor alle σ Gal(L/K) geldt σ(b i ) = b i. Neem σ Gal(L/K) dan volgt σ(g) = k (X σ(x i )) = i=1 m=0 k (X x i ) = g omdat voor alle i {1,..., k} geldt σ(x i ) {x 1,..., x k } vanwege dat deze elementen in dezelfde baan zitten. Dus σ(b i ) = b i voor alle σ Gal(L/K). Hiermee is (iii) bewezen. Definitie 3.9. Zij K een lichaam. Zij f een monisch, irreducibel polynoom van graad n met coëfficiënten in K en x 1..., x n nulpunten van f in een algebraïsche afsluiting K van K. Dan definiëren we G = Gal(K(x 1,..., x n )/K) als de Galoisgroep G van f. Lemma Zij f = n m=0 a mx m een monisch polynoom van graad n 2 met coëfficiënten in Z. Als een priemgetal p de discriminant van f deelt, dan heeft f modulo p een meervoudig nulpunt. i=1 17

18 Bewijs. De discriminant van f is gegeven door Disc(f) = 1 i<j n (x i x j ) met x 1,... x n nulpunten van f in een algebraïsche afsluiting Q van Q. Verder is ϕ : Z F p een ringhomomorfisme van commutatieve ringen. Omdat de discriminant invariant is onder ringhomomorfismen volgt nu Disc(f p ) = Disc(f) modulo p waarbij f p de reductie f modulo p is in F p [X]. We hebben aangenomen dat p deelt Disc(f), dus krijgen we Disc(f p ) = 0. Aan de definitie van de discriminant is te zien dat Disc(f p ) = 0 impliceert dat f p een meervoudig nulpunt heeft. Definitie Zij F p de algebraïsche afsluiting van F p. Het Frobenius automorfisme is de afbeelding: π p : F p F p geven door π p (x) = x p. Lemma Zij x F p. Dan geldt x F p dan en slechts dan als x p = x. Bewijs. Als x F p dan geeft de kleine stelling van Fermat direct x p = x. Als we aannemen dat x F p en x p = x, dan geldt dit in ieder geval voor alle x F p. Ook geldt er dat x een nulpunt is van het polynoom X p X. Omdat dit polynoom van graad p is, heeft het op zijn hoogst p nulpunten. Hieruit volgt x F p. Lemma Zij f een polynoom met coëfficiënten in F p. Dan werkt π p op de verzameling nulpunten van f. Bewijs. Er geldt met lemma 3.12 dat π p in de Galoisgroep zit van f. Het lemma volgt nu uit lemma 3.8 (ii). Lemma Zij f een monisch polynoom van graad n 2 met coëfficiënten in Z en irreducibel in Q[X]. Zij p een priemgetal dat de discriminant van f niet deelt. Zij X = {x 1,..., x n } de nulpunten van f in een algebraïsche afsluiting Q van Q en G de Galoisgroep van f. Dan (i) bestaat er een ringhomomorfisme ϕ : Z[x 1,... x n ] F p en een ander ringhomomorfisme is van de vorm ϕ σ met σ G. (ii) is ϕ p = ϕ X : X X p een bijectie waarbij X p de verzameling nulpunten is van f modulo p. (iii) geeft het identificeren van X p met X via ϕ p een permutatie σ p van X (hangt af van de keuze van ϕ). (iv) zit σ p G en is op conjugatie na goed gedefinieerd. Bewijs. Zie [8] pagina 432 en [12] pagina Voorbeeld Zij f = X 2 2. Dit polynoom is irreducibel in Q[X] want f heeft geen nulpunten in Q. De nulpunten van f in een algebraïsche afsluiting Q van Q zijn 2 en 2. Verder is Disc(f) = 8. Neem nu een priemgetal p 2, dan f p = X 2 2 F p [X]. Voor dit voorbeeld nemen we p = 3. Dan zijn i en i de nulpunten van f 3 in een algebraïsche afsluiting F 3 van F 3. Definieer nu de afbeelding ϕ : Z[ 2] F 3 door a + b 2 a + bi. Dit is een ringhomomorfisme. Verder is te zien dat de nulpunten van f naar de nulpunten van f 3 gestuurd. Dus de afbeelding ϕ 3 : { 2, 2} {i, i} is een bijectie. Lemma Zij G een eindige groep die werkt op een eindige verzameling X. Zij G 0 de verzameling van g G zonder vaste punten. Dan is G 0 een vereniging van conjugatieklassen. 18

19 Bewijs. We weten dat G een ondergroep is van S n. Dus kan elk element van G geschreven worden als product van disjuncte cycles (inclusief de cycles van lengte 1). Cycle typen die geen cycle van lengte 1 hebben, permuteren alle elementen. Dus het bijbehorende element in G zit dan in G 0. Omdat geconjugeerde permutaties dezelfde cycle typen hebben is G 0 een vereniging van conjugatieklassen. Stelling 3.17 (De dichtheidstelling van Chebotarev). Zij f = n m=0 a mx m een monisch polynoom met coëfficiënten in Z. Zij C een vereniging van conjugatieklassen van de Galoisgroep G van f. Zij S de verzameling van priemgetallen die de discriminant van f delen. Dan heeft de verzameling van priemgetallen p met p S waarvoor σ p in C zit een dichtheid. Deze dichtheid is gelijk aan C. Bewijs. Zie [12] pagina 15. Opmerking. In lemma 3.14 (iv) is te zien dat σ p niet uniek gedefinieerd is. Maar in de dichtheidstelling van Chebotarev zit σ C waarbij C een vereniging van conjugatieklassen is. Dus σ C is wel goed gedefinieerd. Bewijs van stelling 3.3 en 3.4. We gaan deze stellingen bewijzen met behulp van de stelling van Jordan (stelling 1.4), stelling 1.6 en stelling Laat x 1,..., x n de nulpunten van f in een algebraïsche afsluiting Q van Q. Definieer nu E = Q(x 1,..., x n ) als een ontbindingslichaam van f over Q en G = Gal(E/Q). Dan geeft lemma 3.8 (iii) dat G transitief werkt op de verzameling X = {x 1,..., x n }. Definieer dan G 0 als de verzameling van elementen van G zonder vaste punten. Nu geeft de stelling van Jordan G 0 > 0 en hieruit volgt G 0 > 0. Stelling 1.6 en stelling 1.22 geven bovendien G 0 1 X = 1 n met strikte ongelijkheid als n geen macht is van een priemgetal. We noteren f p als de reductie f modulo p in F p [X]. We willen nu priemgetallen p waarvoor geldt dat f p in een algebraïsche afsluiting F p van F p precies n verschillende nulpunten heeft. Er wordt hier niet aan voldaan als p de determinant van f deelt (lemma 3.10). Definieer dan de eindige verzameling S van priemgetallen die de discriminant van f delen. Neem nu p S en definieer X p als de verzameling nulpunten van f p in F p. Dan geeft lemma 3.13 dat het Frobenius automorfisme π p werkt op X p. Samen met lemma 3.12 geeft dit: f p heeft een nulpunt in F p dan en slechts dan als π p heeft een vast punt in X p. We willen nu X en X p met elkaar identificeren. Alleen E heeft karakteristiek 0 en F p karakteristiek p. Dus er bestaat geen ringhomomorfisme tussen E en F p. We gaan nu E vervangen door de ring R = Z[x 1,..., x n ] voortgebracht door de x i s. Dan R E en er is een ringhomomorfisme ϕ : R F p (lemma 3.14 (i)). Verder geeft lemma 3.14 (ii) dat er een bijectie is tussen X en X p. We hebben gezien dat π p werkt op X p en G werkt op X. Als we X p gaan identificeren met X via ϕ p dan krijgen we een permutatie σ p van X (lemma 3.14 (iii)). Dus σ p S n. Maar uit lemma 3.14 (iv) volgt er zelfs σ p G en is op conjugatie na goed gedefinieerd. Omdat we hebben gezien: f p heeft een nulpunt in F p dan en slechts dan als π p heeft een vast punt in X p, geldt nu: f p heeft een nulpunt in F p dan en slechts dan als σ p heeft een vast punt in X. Ofwel voor p S geldt N p = 0 dan en slecht dan als σ p G 0. Nu kunnen we de dichtheidstelling van Chebotarev toepassen (stelling 3.17). Neem voor C de verzameling G 0 (dit is een namelijk vereniging van conjugatieklassen volgens lemma 19

20 3.16). Dan volgt dat verzameling P 0 (f) een dichtheid heeft en deze dichtheid is gelijk aan c 0 = G 0. En we hebben gezien dat G 0 > 0 en G 0 1 n en met een stikte ongelijkheid als n geen macht is van een priemgetal. Hiermee is stelling 3.3 en stelling 3.4 bewezen Voorbeelden In deze paragraaf worden voorbeelden gegeven van monische polynomen met coëfficiënten in Z en irreducibel in Q[X]. We geven voorbeelden waarbij stelling 3.4 gelijkheid en strikte ongelijkheid geeft. We zullen ons beperken tot n = 2, 3, 4, 5, 6. Voor het nagaan of een polynoom irreducibel is in Q[X], is gebruik gemaakt van Wolfram Mathematica. Allereerst wordt de dichtheid c 0 (f) van de polynomen numeriek benaderd. Hierbij is gekeken naar de eerste priemgetallen. De Mathematica-code hiervan is te vinden in Appendix A. Er kan opgemerkt worden dat de priemgetallen die de discriminant delen ook meegenomen zijn in het bepalen van de dichtheid. Dit effect is immers verwaarloosbaar klein. Hieronder de tabel met de numerieke benadering van de dichtheid van stelling 3.4 voor een aantal polynomen. n polynoom benaderde dichtheid polynoom benaderde dichtheid 2 X X 3 + X X 3 3X X 4 + 8X X 4 + 2X X X 5 + X X 6 + 2X 2 + 3X Tabel 3.1.: Polynomen met hun benaderde dichtheid van stelling 3.4 Er is te zien dat voor de polynomen in de linker kolom gelijkheid geldt in stelling 3.4 en voor de polynomen in de rechter kolom strikte ongelijkheid. De dichtheid van de voorbeelden in tabel 3.1 kunnen theoretisch verklaard worden. We kunnen namelijk kijken naar de Galoisgroep van de polynomen. Als de Galoisgroep van een polynoom f gelijk is aan een groep in tabel 1.1, dan volgt hier direct uit wat de dichtheid c 0 (f) is (omdat c 0 = G 0, te zien in het bewijs van stelling 3.4). Om te bepalen wat de Galoisgroep van een polynoom is worden de volgende lemma s en definitie uit [1] gebruikt. Lemma 3.18 (Stelling 5.2 uit [1]). De Galoisgroep van een derdegraads irreducibel polynoom f in Q[X] is gelijk aan A 3 als de discriminant van f een kwadraat is en gelijk aan S 3 als de discriminant geen kwadraat is. Definitie 3.19 (Pagina uit [1]). Zij f = X 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d een polynoom. Dan kunnen we door transformatie van x x a/4 een polynoom krijgen in het volgende gedaante f = X 4 + px 2 + qx + r. De cubische resolvent van f is g = X 3 px 2 4rX + 4pr q 2. Lemma 3.20 (Lemma op pagina 32 uit [1]). De Galoisgroep van een vierdegraads irreducibel polynoom f in Q[X] is gelijk aan A 4 als de discriminant van f een kwadraat is en g irreducibel en gelijk aan S 4 als de discriminant geen kwadraat is en g irreducibel. Hieronder de toelichting van de dichtheid van de voorbeelden in tabel 3.1. (n = 2). Er is maar één groep van twee elementen. Hieruit volgt dat de Galoisgroep van X gelijk is aan Z/2Z en dus c 0 (X 2 + 1) =

21 (n = 3). Het polynoom X 3 + X + 1 heeft discriminant -31 en dit is geen kwadraat. Lemma 3.18 geeft nu dat de Galoisgroep van het polynoom S 3 is en hieruit volgt c 0 (X 3 + X + 1) = 1 3. Daarentegen heeft het polynoom X3 3X discriminant 81. Dit is kwadraat van 9 dus hierdoor is de Galoisgroep A 3 en wordt de dichtheid c 0 (X 3 3X 2 + 1) > 1 3. (n = 4). Het polynoom X 4 + 8X + 12 heeft als discriminant en dit is het kwadraat van 576. Verder is g irreducibel dus uit lemma 3.20 volgt dat de Galoisgroep A 4 is. Dit geeft de dichtheid c 0 (X 4 + 8X + 12) = 1 4. De discriminant van X 4 + 2X + 7 is Dit is geen kwadraat en g is irreducibel. Hierdoor is de Galoisgroep S 4 en volgt c 0 (X 4 + 2X + 7) > 1 4. (n = 5). Paragraaf 12.4 uit [3] geeft dat de Galoisgroep van X 5 3 gelijk is aan GA(1, 5). Dus hieruit volgt c 0 (X 5 3) = 1 5.Voorbeeld 5.13 in [1] geeft dat de Galoisgroep van het polynoom X 5 + X gelijk is aan S 5. Hierdoor krijgen we c 0 (X 5 + X 3 + 1) > 1 5. (n = 6). In de opmerking in paragraaf 1.3 hebben we gezien dat er geen groep is met zes elementen waarbij er gelijkheid gaat optreden in stelling 1.6. Hierdoor is er geen polynoom van graad zes waarbij de dichtheid een gelijkheid is in stelling 3.4. Verder geldt dan voor elke ander monisch irreducibel polynoom f dat c 0 (f) > 1 6. Dus geldt ook c 0 (X 6 + 2X 2 + 3X + 8) >

22 Conclusie In deze scriptie is de stelling van Jordan uit de groepentheorie bewezen en twee stellingen waarbij deze stelling is toegepast. Deze stellingen komen uit de topologie en de getaltheorie. Daarnaast zijn er bij elk van de bovengenoemde stellingen voorbeelden gegeven. Als leidraad van deze scriptie is het artikel On a theorem of Jordan van Jean-Pierre Serre gebruikt. Het artikel bevat, naast wat behandeld is in deze scriptie, nog andere interessante voorbeelden en opmerkingen die bestudeerd kunnen worden. Een voorbeeld hiervan is het relateren van de getallen N p (f) van een polynoom f met de coëfficiënten van een geschikte machtreeks. Een andere suggestie voor vervolgonderzoek is het verdiepen in het bewijs van lemma

23 Populaire samenvatting De Franse wiskundige Camille Jordan (1838) heeft in zijn carrière verschillende belangrijke stellingen bewezen. Deze stellingen komen uit verschillende gebieden in de wiskunde. De stelling die in deze scriptie besproken wordt, is een stelling uit de eindige groepentheorie. Deze is gepubliceerd in een paper van Jordan in In het vervolg noemen we deze stelling de stelling van Jordan. Voordat de stelling van Jordan geformuleerd wordt, geven we eerst een voorbeeld van deze stelling. Stel we kijken naar een driehoek met een rood (genoteerd als R), een groen (G) en een blauw (B) hoekpunt. Dan kunnen deze hoekpunten op een andere plek komen door het driehoek te draaien of te spiegelen. Dit is weergegeven in het figuur hieronder. Hierbij is e het eenheidselement. Hiermee wordt bedoeld dat er nog geen draaiing of spiegeling heeft plaatsgevonden, ofwel de beginstand. De andere twee driehoeken op de bovenste rij zijn het resultaat van een draaiing. De middelste op de bovenste rij is een draaiing van 120 graden van de beginstand en de rechter van 240 graden. Zo noteren we het groepselement dat bijvoorbeeld resulteert in de middelste driehoek op de bovenste rij als (RGB). Dit betekent dat rood naar groen gestuurd wordt, groen naar blauw en blauw vervolgens naar rood. De driehoeken op de onderste rij zijn het resultaat van spiegelingen. Als we bijvoorbeeld de beginstand gaan spiegelen door een as van het linker hoekpunt naar de rechterzijde, dan krijgen we de linker driehoek op de onderste rij. Op dezelfde manier kunnen we de beginstand ook spiegelen in een as door het rechter hoekpunt en in een as door het bovenste hoekpunt. Hierbij krijgen we de middelste respectievelijk de rechter driehoek op de onderste rij. De notatie van het groepselement dat bijvoorbeeld resulteert in de rechter driehoek op de onderste rij is (GB), want groen wordt naar blauw gestuurd en blauw naar groen. Met rood gebeurt er hier niks. De zes groepselementen die te zien zijn in het bovenstaande figuur vormen samen een groep. We zeggen dat deze groep werkt op de drie hoekpunten (deze hoekpunten samen is een voorbeeld van een verzameling). Er is te zien dat elk hoekpunt van de beginstand naar elk ander hoekpunt gestuurd kan worden door een bepaald groepselement. We noemen deze werking dan transitief. De stelling van Jordan geeft dat er een groepselement 23

24 is dat alle hoekpunten (rood, groen en blauw) niet op zijn plaats laat. Dit is bijvoorbeeld het groepselement (RBG). Meer algemeen zegt de stelling van Jordan het volgende: Als we een groep hebben die transitief werkt op een verzameling met minstens twee elementen, dan is er een groepselement dat alle elementen in de verzameling niet op zijn plaats laat. Jean-Pierre Serre heeft over de stelling van Jordan en verschillende toepassingen hiervan in 2003 het artikel On an theorem of Jordan geschreven. Dit artikel wordt als leidraad gebruikt in deze scriptie. Het doel van deze scriptie is om de stelling van Jordan en een uitbreiding hiervan te bewijzen. Daarnaast heeft de stelling van Jordan toepassingen in twee stellingen uit andere gebieden in de wiskunde. Een ander doel in dit verslag is dan ook het bewijzen van deze stellingen. 24

25 Bibliografie [1] Geer, G. van der. (2016). Syllabus Galoistheorie. Korteweg-de Vries Instituut. [2] Jordan, C. (1872). Recherches sur les substitutions. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 17, [3] Koch, R. (2015). Galois Theory. Geraadpleegd op 10 juli 2017, van [4] Lenstra, H. W. Jr., & Oort, F. (2014). Syllabus Algebra I. [5] Lenstra, H. W. Jr., & Oort, F. (2015). Ringen en lichamen. [6] Munkres, J. R. (2000). Topology. Prentice Hall. [7] O Connor, J. J., & Robertson, E. F. (z.d.). Marie Ennemond Camille Jordan. Geraadpleegd op 14 juni 2017, van [8] Serre, J. P. (2003). On a theorem of Jordan. Bulletin of the American Mathematical Society, 40(4), [9] Serre, J. P. (2016). Finite Groups: An Intoduction. International Press [10] Srinivasan, G.K. (z.d.). Lecture XVII - Action of π 1 (X, x 0 ) on the fibers p 1 (x 0 ). Geraadpleegd op 20 maart 2017, van [11] Steinberg, B. (2011). Representation theory of finite groups: an introductory approach. Springer Science & Business Media. [12] Stevenhagen, P., & Lenstra, H. W. (1996). Chebotarëv and his density theorem. The Mathematical Intelligencer, 18(2),

26 A. Mathematica-code Hieronder de Mathematica-code voor het numeriek benaderen van de dichtheid c 0 (f) van stelling 3.4 voor een polynoom. 26