Discrete Structuren voor Informatici

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Discrete Structuren voor Informatici"

Transcriptie

1 Discrete Structuren voor Informatici 1 Eenvoudige telproblemen Dit zijn aantekeningen voor het college Discrete Structuren voor Informatici, Blok A, herfst We behandelen een aantal telproblemen, recurrente betrekkingen, binomiaalcoëfficiënten, en belangrijke basisbegrippen uit de getaltheorie. We beginnen met een rijtje praktische telproblemen en zullen zien dat voor de oplossing ervan bepaalde technieken telkens terugkomen. Een lijstje: 1. Hoeveel rijtjes ter lengte n zijn er met de symbolen 0 en Hoeveel verschillende deelverzamelingen heeft een verzameling met n elementen. 3. Hoeveel elementen heeft het cartesisch product V W van twee verzamelingen, als V = m en W = n. 4. Hoeveel verschillende Hongaarse nummerborden zijn er (een Hongaars nummerbord bestaat uit drie letters gevolgd door drie cijfers). 5. Hoeveel relaties zijn er op een verzameling V met n elementen (een relatie R op V is per definitie een deelverzameling van V V, de verschillende soorten relaties vormen een belangrijk onderwerp van de rest van deze cursus). 6. Hoeveel getallen zijn er waarvan de cijfers allemaal verschillend zijn. 7. Hoeveel verschillende woorden zijn er van 5 letters. 8. Op hoeveel manieren kun je 10 personen in paren verbinden (bijvoorbeeld om een tennisronde te spelen). 1

2 9. Hoeveel verschillende n keer n matrices zijn er waarvan alle elementen 0 of 1 zijn. Hoeveel daarvan hebben een even, hoeveel een oneven determinant. 10. Hoeveel verschillende bridgeverdelingen zijn er. 11. Hoelang duurt het om een lijst te sorteren. 12. Hoeveel ja/nee vragen heb je nodig om iets te weten te komen. We zullen de meeste van deze vragen beantwoorden, sommige moeten nog een paar jaartjes wachten. Probleem 1: Hoeveel rijtjes ter lengte n zijn er met de symbolen 0 en 1 (zeg a n ). Voor een probleem als dit begint men, om een idee te krijgen eerst voor kleine waarden van n alle rijtjes te genereren. Voor n = 1: 0 of 1; voor n = 2: 00, 01, 10, 11; voor n = 3 vinden we zo acht rijtjes, en we zien dat het aantal elke keer verdubbelt. Dit leidt ons tot het vermoeden dat het antwoord 2 n is. Dit willen we natuurlijk bewijzen, en dat kan op tal van manieren. Het kortste bewijs is natuurlijk dat rijtjes ter lengte n precies de binaire representaties van de getallen 0 tot en met 2 n 1 geven. Maar we kunnen ook proberen te bewijzen dat er geldt a n = 2a n 1, en dan met inductie concluderen dat a n = 2 n. Waarom is a n gelijk aan 2a n 1. We onderscheiden twee soorten rijtjes, rijtjes die beginnen met 0, en rijtjes die beginnen met 1. Van beide soorten zijn er precies a n 1, omdat de rest van het rijtje gewoon weer een willekeurig rijtje met nullen en énen is, maar nu van lengte n 1. Probleem 2: Hoeveel verschillende deelverzamelingen heeft een verzameling met n elementen (zeg a n ). Ook hier beginnen we weer met kleine waarden van n. Voor n = 0 hebben we de lege verzameling, en deze heeft 1 deelverzameling, namelijk zichzelf. Voor n = 1 is de verzameling een singleton: V = {a}, en er zijn twee deelverzamelingen, en {a}. Voor n = 2 en V = {a, b} vinden we, {a}, {b} en {a, b}. Voor n = 3 vinden we 8 deelverzamelingen, en we zien weer dat het aantal elke keer verdubbelt. Kunnen we weer bewijzen dat a n = 2a n 1? Laat n > 0, en kies een element a uit V. We onderscheiden twee soorten deelverzamelingen, die welke a bevatten en die welke a niet bevatten. Van beide soorten zijn er precies a n 1, omdat de rest van de deelverzameling een 2

3 willekeurige deelverzameling van V \ {a} is. We zien dat dit probleem dezelfde oplossing heeft als het vorige en ook de bewijzen lijken sprekend op elkaar. Dit suggereert dat er een verband is tussen de twee getelde objecten. Kunnen we een bijectie (een één op één afbeelding) verzinnen tussen 0/1 rijtjes en deelverzamelingen maken zodat duidelijk is dat er van beide evenveel zijn? Probleem 3. Hoeveel elementen heeft het cartesisch product V W van twee verzamelingen. Volgens de definitie geldt V W = {(v, w) v V, w W }. Voor elke v V kunnen we W = n paren maken, dus V W = V W = mn. Deze uitkomst rechtvaardigt de notatie V W, de reden om dit tel probleem op te nemen zijn de volgende twee vragen. Probleem 4. Hoeveel Hongaarse nummerborden zijn er. Een Hongaars nummerbord kun je zien als een geordend zestal (letter,letter,letter,cijfer,cijfer,cijfer), en dus als een element van de product verzameling A A A C C C. Hier is A het alfabet, een verzameling van 26 letters, en C de verzameling cijfers, met 10 elementen. We vinden dus als antwoord Probleem 5. Hoeveel relaties zijn er op een verzameling V met n elementen. Een relatie is een deelverzameling van V V. Deze verzameling heeft n 2 elementen. Het aantal deelverzamelingen daarvan is dus 2 n2. Probleem 6. Hoeveel getallen zijn er waarvan alle cijfers verschillend zijn. Het is duidelijk dat zo n getal ten hoogste 10 cijfers heeft, verder is het eerste cijfer (per definitie) niet 0, tenzij het getal 0 is. Dit is een voorbeeld van een probleem waarbij je een object in stappen construeert, waarbij je voor elke volgende stap een aantal mogelijkheden hebt dat onafhankelijk is van de keuzes die je gemaakt hebt in de vorige stappen. Als voorbeeld kiezen we het aantal getallen met 6 cijfers. Voor het eerste cijfer hebben we 9 mogelijkheden, want 0 is verboden. Onafhankelijk van onze keuze hebben we voor het tweede cijfer 9 mogelijkheden, één cijfer is afgevallen, maar 0 is nu weer toegestaan. Voor het derde cijfer hebben we 8, daarna 7 daarna 6, daarna 5 mogelijkheden. We vinden in totaal mogelijkheden. 3

4 Probleem 7. Hoeveel woorden zijn er van 5 letters. We staan elke combinatie van 5 letters toe als woord, dus bijvoorbeeld qxntk en aartb zijn allebei toegestaan. We zien dus dat we kijken naar de verzameling A A A A A, waar A het alfabet is. Het antwoord is dus Probleem 8. Op hoeveel manieren (a n ) kunnen we 2n personen in paren verbinden. Hier kunnen we weer beginnen met kleine waarden van n. Voor n = 1 zijn er twee personen, die noodzakelijk een paar vormen. Voor n = 2 hebben we vier personen. Een willekeurige persoon heeft drie mogelijke partners, daarna ligt het tweede paar vast, dus a 2 = 3. Voor n = 3 hebben we zes personen. Een willekeurige persoon heeft 5 mogelijke partners, daarna zijn er nog 4 ongepaarde personen over, maar dit is het vorige probleem, we kunnen het dus op 3 manieren afmaken: a 3 = 5.3. We zien dat het probleem voor n eenvoudig reduceert tot het probleem voor n 1: Een willekeurige persoon heeft 2n 1 mogelijke partners. Is die gekozen dat moeten we om het af te maken de overige 2n 2 personen paren. Dus a n = (2n 1)a n 1, en er volgt a n = (2n 1)(2n 3)(2n 5) In sommige analyse leerboeken vinden we hiervoor ook wel de notatie (2n 1)!!. Probleem 9. Hoeveel n keer n matrices met nullen en énen zijn er. Dit probleem heeft niets met lineaire algebra te maken. We kunnen de rijen achter elkaar zetten, en dan krijgen we gewoon één lange 0/1 rij ter lengte n 2. Het antwoord is dus weer 2 n2. Dit is hetzelfde als het aantal relaties op een verzameling met V elementen. Vind zelf uit waarom. Hoeveel van deze matrices hebben een oneven determinant. Dit probleem hoort wel tot de lineaire algebra. Voor de liefhebbers is hier een mooie formule: (2 n 1)(2 n 2)(2 n 4)(2 n 8)... (2 n 2 n 1 ). Voor n = 3 vinden we zo 168 matrices met een oneven, en 344 met een even determinant. Probleem 10. Dit komt later. Probleem 11. Hoelang duurt het om een lijst te sorteren. Het antwoord op deze vraag hangt af van het soort vragen dat we kunnen 4

5 stellen. We gaan hier uit van de situatie dat we telkens voor twee items a en b kunnen vragen of testen: komt a voor b. Laat de lijst n items bevatten. Het totale aantal mogelijkheden waarop deze geordend kunnen zijn is dan n! = n(n 1)(n 2) Na elke test valt afhankelijk van het resultaat een gedeelte van de mogelijkheden af, of het complementaire gedeelte. Als we pech hebben is dus na elke vraag tenminste de helft van het aantal mogelijkheden overgebleven. We moeten dus verwachten m vragen te moeten stellen, waarbij n!/2 m < 2. Hoe groot is m dan? Om dat te weten te komen moeten we iets weten over hoe snel sommige functies groeien. Probleem 12. Hoeveel ja/nee vragen heb je nodig om iets te weten te komen. Bekend is het volgende probleem. Ik neem een getal onder de duizend in gedachten. Jij mag tien ja/nee vragen stellen, bijvoorbeeld is het getal even, of is het getal kleiner dan 500. Kun je na afloop het getal raden? Eenvoudiger is de volgende versie: ik heb een rijtje nullen en énen ter lengte 10 opgeschreven. Jij mag tien ja/nee vragen stellen. Kun je dan het getal vinden: het antwoord hier is duidelijk, je vraagt: is het eerste getal een nul, is het tweede getal een nul,..., is het tiende getal een nul. Mijn antwoorden verraden dan natuurlijk het getal. Het vorige probleem is een beperkte versie van dit probleem, immers alleen een bepaald soort vraag is toegestaan, en het is niet duidelijk of er altijd een geschikte vraag is om het aantal mogelijkheden ruwweg te halveren. 2 Recurrente betrekkingen We willen informatie als een rijtje nullen en énen opslaan op een schijf. Er is ruimte voor n symbolen. Om technische redenen mogen er geen twee énen naast elkaar staan. Laat a n het aantal van zulke rijtjes zijn. Natuurlijk geldt dat a n 2 n, het totale aantal 0/1-rijtjes. Ook hier kunnen we weer voor kleine n alle rijtjes genereren. n = 1: 0 en 1; n = 2 00, 01, 10; n = 3 000, 001, 010, 100, 101; voor n = 4 vinden we 8 mogelijkheden. We krijgen het rijtje 2, 3, 5, 8, 13, 21,.... We vermoeden dat elk getal in deze rij de som is van zijn twee voorgangers: a n = a n 1 + a n 2. Als dit zo is kunnen we natuurlijk razendsnel de rij genereren. Kunnen we dit bewijzen? Om dit in te zien kijken we naar het begin van een rijtje ter lengte n. Zo n rijtje begint met een 0 of met een 1, maar als het met een 1 begint, dan komt 5

6 daarna noodzakelijk een 0. We hebben dus rijtjes van de vorm 0(staart) en 10(staart). De staart kan zelf weer zo n rijtje zijn, in het eerste geval ter lengte n 1, in het tweede geval ter lengte n 2. We vinden dus inderdaad a n = a n 1 + a n 2 (voor n > 2). We zien dat de rij sterk stijgt. Het vermoeden is gerechtvaardigd dat a n ruwweg gelijk is aan c.a n voor zekere c en 1 < a < 2. Is er een rij a n van deze vorm die voldoet aan de recurrente betrekking a n = a n 1 + a n 2? Er moet dan gelden dat c.a n = c.a n 1 + c.a n 2, voor alle n. Dit zijn oneindig veel vergelijkingen met maar twee onbekenden, maar in feite zijn ze allemaal gelijkwaardig met de enkele vergelijking a 2 = a + 1, met oplossing a = (1 ± 5)/2. We zullen zien dat inderdaad geldt dat a n ongeveer gelijk is aan c.((1 + 5)/2) n voor zekere c. We maken het bovenstaande precies. We hebben gezien dat de vergelijking x 2 x 1 = 0 de twee oplossingen heeft x 1 = (1+ 5)/2 en x 2 = (1 5)/2. Hieruit volgt dat elke rij van de vorm a n = Ax n 1 + Bx n 2 voldoet aan de recurrente betrekking a n = a n 1 + a n 2. Immers a n a n 1 a n 2 = Ax n 2 1 (x 2 1 x 1 1) + Bx n 2 2 (x 2 2 x 2 1) = 0. Voor onze rij geldt a 1 = 2 en a 2 = 3. Wanneer we A en B kunnen bepalen zodat alles klopt, dan blijft het kloppen, want de rest van de rij ligt dan vast. We gaan nu recurrente betrekkingen in zijn algemeenheid bekijken. De eenvoudigste recurrente betrekking: a n = a n 1. De rij is constant, a n = a 0 voor alle n. Nog steeds eenvoudig: a n = a n 1 + c waarbij c een constante is. We hebben nu een rekenkundige reeks, a n = a 0 + nc. Eenvoudig of lastig: a n = a n 1 +c n. Hier is c n een bekende, eenvoudige of ingewikkelde functie van n. Er geldt a n = a 0 +c 1 +c c n. Voor eenvoudige functies c n is zo een expliciete formule voor a n te bepalen, bijvoorbeeld, als c n = n dan geldt a n = a n = a 0 +n(n+1)/2. Nog een typisch voorbeeld: a n = a n n, Nu krijgen we a n = a n = a n+1 2. Te reduceren tot het vorige geval is de recurrente betrekking a n = c.a n 1. We krijgen de meetkundige reeks a n = c n.a 0. We bekijken twee varianten: a n = c n.a n 1, waarbij c n weer een bekende, eenvoudige of ingewikkelde functie van n is. Er geldt nu a n = c n.c n c 1.a 0, en afhankelijk van de vorm 6

7 van c n kunnen we hieruit een formule voor a n vinden. Als a n = n.a n 1 dan zien we dat a n = n!.a 0. Als c n = (1+1/n) = (n+1)/n, dan geldt (ga na!) dat c 1.c c n = n+1 en dus a n = (n+1)a 0. Iets lastiger is het als we te maken hebben met een stoorterm s. Het eenvoudigste voorbeeld is a n = c.a n 1 +s. Voor c = 1 hebben we dit al gezien, we krijgen een rekenkundige reeks. Als c 1 dan kunnen we het probleem terugbrengen tot een eerder probleem door het verschuiven van de rij a n. Laat a n = b n + λ, voor een geschikt gekozen λ. Nu wordt onze betrekking b n + λ = c.(b n 1 + λ) + s, hetgeen we kunnen herschrijven als b n = c.b n 1 + (c 1)λ + s. Kiezen we nu λ zo dat de stoorterm (c 1)λ + s nul is, dan hebben we voor b n een eenvoudiger probleem, namelijk b n = c n.b 0. Zo krijgen we dus, met λ = s/(c 1) dat a n + s/(c 1) = c n.(a 0 + s/(c 1). Ook voor ingewikkelder stoortermen s n een bekende functie van n kan de recurrente betrekking zo soms worden opgelost a n = c.a n 1 + s n : We brengen nu het probleem terug tot een eerder probleem door een nieuwe rij b n = a n /c n te beschouwen. Hiervoor geldt: b n = b n 1 + s n /c n. Hiervan is, als boven, de oplossing b n = b 0 + s 1 /c + s 2 /c s n /c n, en dan a n = b.c n. We bekijken nu recurrente betrekkingen van de vorm a n = P a n 1 + Qa n 2. Hier zijn P en Q (bekende) constanten, en verder nemen we aan dat de eerste twee termen a 0 en a 1 gegeven zijn. Omdat elke term berekend kan worden uit de vorige twee, ligt hiermee de rij a n vast. We maken even een uitstapje naar lineaire algebra. Als we afzien van de begincondities a 0 =iets, en a 1 =ook iets, dan geldt voor de oplossingen van deze recurrente betrekking dat ze de volgende twee eigenschappen hebben: als b n en c n voldoen, dan voldoet ook de rij d n = b n + c n. Ook de rij λ.b n voldoet. Hieruit volgt dat de oplossingen van de recurrente betrekking zonder begincondities een vectorruimte vormen, en wel van dimensie 2, omdat de waarden van de rij voor n = 0 en n = 1, die vrij zijn, de rest vastleggen. Om de algemene oplossing te vinden van de recurrente betrekking te vinden volstaat het dus om twee onafhankelijke oplossingen te vinden, en dan hiervan een lineaire combinatie te maken die aan de begincondities a 0 =iets, en a 1 =ook iets voldoet. Als voorbeeld nemen we weer de rij van Fibonacci. Deze rij heeft als begin waarden f 0 = 0 en f 1 = 1. De recurrente betrekking is f n = f n 1 + f n 2, voor n 2. Zien we af van de begincondities, dan zien we dat f n = x n een oplossing is als geldt dat x n = x n 1 + x n 2 oftewel x 2 x 1 = 0. Dit geldt voor x = (1± 5)/2. De algemene oplossing voor deze recurrente betrekking is f n = a((1 + 5)/2) n + b((1 5)/2) n, waarbij a en b berekend kunnen 7

8 worden uit a + b = f 0 = 0 en a(1 + 5)/2 + b(1 5)/2 = f 1 = 1. We krijgen a = 1/ 5 en b = 1/ 5. Als tweede voorbeeld nemen we de recurrente betrekking t n = 4t n 1 4t n 2, t 0 = 1, t 1 = 1. Voor een oplossing van de vorm t n = x n geldt nu dat x 2 4x + 4 = 0, en dus x = 2. We hebben pech, de karakteristieke vergelijking heeft maar één nulpunt. In dit geval wordt een tweede oplossing gegeven door de rij t n = n.2 n, en de algemene oplossing is nu t n = (an + b).2 n. We kunnen met behulp van t 0 en t 1 nu weer a en b uitrekenen: n = 0 : b = t 0 = 1, n = 1 : 2(a + b) = 1, dus a = 1/2. Waar komt die extra oplossing t n = n.2 n eigenlijk vandaan: We kunnen de recurrente betrekking herschrijven tot t n 2t n 1 = 2(t n 1 2t n 2 ), dus voor de verschilrij v n = t n 2t n 1 geldt de eenvoudigere betrekkking v n = 2v n 1. Hiervan is de algemene oplossing v n = c.2 n, en in ons geval v n = 2 n /2 en nu moeten we nog oplossen t n = 2t n 1 2 n 1, en deze kunnen we zoals we eerder gezien hebben vereenvoudigen door u n = t n /2 n te stellen, waarna we krijgen: u n = u n 1 1/2, u 0 = 1, en dus u n = 1 n/2 en daarmee t n = (1 n/2)2 n. 3 Binomiaalcoëfficiënten Onze eerste telprobleem vroeg naar het aantal 0/1-rijtjes ter lengte n. We vragen nu meer gedetailleerd naar het aantal zulke rijtjes met precies k énen. Equivalent hiermee is de vraag naar het aantal k-deelverzamelingen van een n-verzameling. Het antwoord op deze vraag duiden we aan met ( ) n k wat we uitspreken als n boven k of ook wel als n kies k. In oudere literatuur vindt men ook wel Ck n of C n,k of varianten hiervan. Zonder een expliciete formule kunnen we natuurlijk al wel opmerken dat ( ) ( ) ( ) n n n k ( ) n = 2 n, n door het totaal aantal 0/1-rijtjes op te splitsen naar het aantal énen wat er in voorkomt, respectievelijk het totale aantal deelverzamelingen in de aantallen deelverzamelingen met een bepaalde cardinaliteit. De ( ) volgende betrekking stelt ons in staat snel een tabel te genereren ( ) ( ) voor n k voor kleine waarden van n en k. We merken eerst op dat n 0 = n n = 1, want er is maar één rijtje met alleen maar nullen, of alleen maar énen. We bekijken het geval 0 < k < n: Er geldt nu ( ) ( ) n n 1 = + k k 8 ( ) n 1. k 1

9 Als het rijtje begint met 0, dan is de staart een rijtje ter lengte n 1 met k énen. Begint het rijtje met een 1, dan is de staart een rijtje ter lengte n 1 met k 1 énen. Deze recurrente betrekking stelt ons in principe instaat elke binomiaalcoëfficiënt uit te rekenen, maar het aantal stappen wordt al snel astronomisch. Om een eenvoudige uitdrukking te krijgen gaan we eerst anagrammen tellen, met behulp van het zogenaamde schaapherdersprincipe. Dit ontleedt zijn naam aan het volgende (misschien niet erg realistische) voorbeeld. Wij liggen in de wei en zien een kudde schapen, dicht opeengepakt, zodat we alleen een grote wolk witte wol zien met hier en daar een oog of een neus. Wel kunnen we eenvoudig vaststellen dat er 80 poten op de grond staan. Er van uitgaand dat elk schaap 4 poten heeft, en dat deze allemaal op de grond staan concluderen we dat er 20 schapen zijn. We willen dus iets tellen, schapen, maar dat is lastig, iets anders, poten, is wel eenvoudig, en aangezien elk schaap hetzelfde aantal poten heeft, weten we ook het aantal schapen. Hoeveel anagrammen heeft het woord FLIPJE. Een anagram is een woord dat ontstaat door de letters in een willekeurige volgorde te zetten. Omdat FLIPJE zes verschillende letters heeft is het antwoord eenvoudig: 6! = , het totale aantal permutaties van 6 dingen. Hoeveel anagrammen heeft het woord SCHAAPS. Dit is lastiger, de letters zijn niet verschillend. Sommige permutaties van de letters leveren hetzelfde anagram op. Laten we de A s verschillend maken, de eerste heet A 1, de tweede A 2. Hetzelde voor de S en. Het aantal anagrammen van S 1 CHA 1 A 2 P S 2 is nu 7! want alle letters zijn verschillend. Dit zijn de poten, makkelijk te tellen. De schapen zijn de anagrammen, de poten de anagrammen met gelabelde A s en S en. Het is duidelijk dat elk schaap(s) op vier manieren gelabeld kan worden, de A s op twee manieren, en onafhankelijk hiervan de S en, dus hier heeft elk schaap 4 poten, en het totaal aantal schapen, dus anagrammen is 7!/4 = We bekijken een ander onzinwoord: HAHAHAHAH. Labelen we de letters, dan krijgen we 4 gelabelde H s en 3 gelabelde A s. Nu zijn de letters verschillend en het aantal permutaties (poten) is dus 7! = Hoeveel poten heeft een schaap? Van elk schaap kunnen de H s op 4! = 24 manieren gelabeld worden, en onafhankelijk daarvan de A s op 3! = 6 manieren. Elk schaap heeft dus 4!.3! = 144 poten. Het aantal schapen, dus anagrammen van HAHAHAHA is daarmee 7!/(3!.4!). Terug naar ons 0/1-probleem, vervangen we in een HAHAHAH-anagram de H s door 0 en de A s door 1, dan zien we dat we precies alle rijtje krijgen ter 9

10 lengte 7 met precies drie énen. Een rijtje ter lengte n met k énen en n k nullen is hetzelfde als een anagram van 1.(k).10.(n k).0. Kopiëren we de redenatie van boven dan vinden we dus de expliciete formule: ( n k ) = n! k! (n k)!. Voor kleine (en grote) waarden van k is het beter deze formule iets te vereenvoudigen. Door de factoren van (n k)! weg te strepen tegen corresponderende termen in de teller krijgen we ( ) n n(n 1)... (n k + 1) =. k k! In het bijzonder geldt ( ( ( ) n 1) = n, n 2) = n(n 1)/2, n 3 = n(n 1)(n 2)/6. Om ook de randgevallen ( ( ) n 0) = n n = 1 te krijgen spreken we af dat 0! = 1. Waar komt de naam binomiaalcoëfficiënten vandaan? We bekijken de machten van het binoom (tweeterm) a+b. We stellen per definitie (a+b) 0 = 1, verder is (a+b) 1 natuurlijk a+b en (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2. Als we (a+b) 3 uitrekenen, door consequent de distributiviteit van vermenigvuldigen en optellen toe te passen dan krijgen we: (a+b) 3 = aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3. We zien dat we in eerste instantie 8 = 2 3 termen krijgen, alle rijtjes ter lengte 3 met a s en b s, de anagrammen aab, aba, baa, leveren in het eindresultaat natuurlijk allemaal dezelfde term a 2 b, dus de coëfficiënten herkennen we als de binomiaal coëfficiënten ( ( ( ( ) 3 0), 3 1), 3 2) en 3 3. Algemeen geldt dat ( ) n (a + b) n = 0 a n b 0 + ( ) n a n 1 b ( ) n a n k b k k ( ) n a 0 b n. n In deze formule interpreteren we a 0 en b 0 per definitie als 1 (we hadden ze natuurlijk ook gewoon niet op kunnen schrijven). Deze formule staat bekend als het binomium van Newton. Niet omdat deze door Newton ontdekt is, want hij is al veel ouder, maar Newton had de geniale gedachte om hem te gebruiken voor onzinwaarden van n. We nemen a = 1 en b = x: (1 + x) n = 1 + ( n 1 ) 10 x + ( n 2 ) x

11 De formule ( ) n k = n(n 1)... (n k + 1)/k! heeft betekenis voor elk reëel of zelfs complex getal n, dus bijvoorbeeld (volgens deze formule) ( ) 1 = ( 1) k, en ( 1/2 2 ) = 3/8. Zo kunnen we ons dus afvragen wat de formule (1 + x) 1/2 = 1 + x/2 x 2 /8 + 3x 3 / die we krijgen door n = 1/2 te nemen zou kunnen betekenen. Nemen we voor x een klein getal, bijvoorbeeld x = 0, 0201, dan weten we enerzijds dat (1 + x) 1/2 = 1, 01, deze formule geeft ons (1, 0201) 1/2 = 1 + 0, , iets heel kleins, Meer praktisch: hoe groot is 10, we schrijven 10 = 9(1 + 1/9), dus 10 = 3 (1 + 1/9). Newton: (1 + 1/9) 1/ /18 1/648 = 683/648, dus misschien is 10 ongeveer 683/216. We berekenen (683/216) 2 = /46656, iets kleiner dan 10. We besluiten onze telaktiviteiten met een viertal problemen uit de statistiek. Drie ervan zijn we al tegengekomen, de vierde is wat lastiger, maar levert een eenvoudige binomiaalcoëffiënt op als antwoord. In een vaas bevinden zich n genummerde ballen (denk aan het trekken van winnende lotto combinaties, dus de ballen hebben nummers 1,..., n). Uit deze vaas worden k ballen getrokken, we beschouwen nu de volgende telproblemen: Hoeveel mogelijke resultaten zijn er als de volgorde van de nummers van belang is, en hoeveel als deze niet van belang is. Het eerste probleem hebben we al bekeken: hoeveel woorden zijn er met 5 verschillende letters: Hier hebben we eigenlijk hetzelfde probleem, iedere trekking levert ons een woord ter lengte k op uit een alfabet met n letters n(n 1)... (n k + 1). Als de volgorde niet van belang is, dan is het resultaat een deelverzameling van {1,..., n} ter grootte k. Dit aantal is ( ) n k, zoals we hierboven gezien hebben. We bekijken nu de volgende variant: Een getrokken bal wordt teruggelegd in de vaas. Opnieuw willen we weten hoeveel mogelijkheden er zijn voor de trekking. Als de volgorde van belang is, dan is het resultaat van een trekking eenvoudig een rijtje getallen ter lengte k, waarbij elk van de getallen 11 k

12 1, 2,..., n is. Dit is dus n k, het aantal elementen van de verzameling A k = A A... A, met k A s. Nieuw, en belangrijk, is het geval waar de ballen worden teruggelegd, maar waar de volgorde van de getrokken ballen niet van belang is. Als voorbeeld bekijken we het vijfmaal trekken met teruglegging uit een vaas met drie ballen. Wat kan het resultaat zijn, als de volgorde niet van belang is: 11111, 11112, 11113, 11122, 11123, 11133, dit zijn de mogelijkheden als drie keer 1 getrokken wordt. We zien dat elke rij bestaat uit een aantal énen, een aantal tweeën, en een aantal drieën, samen 5. Dit brengt ons op het idee om de rij te coderen door een 0/1 rij: Eerst beginnen we met zoveel 0 en als het aantal énen in de rij, dan volgt een 1. Vervolgens een aantal nullen corresponderend met het aantal 2 en in de rij, dan weer een 1, tenslotte zoveel nullen als het aantal 3 en in de rij. Onze voorbeeld rijtjes zijn dus als volgt gecodeerd: , , , , , We zien dat onze rijtjes een code opleveren met precies 5 nullen en 2 énen, maar omgekeerd levert ook elk 0/1 rijtje van deze vorm een 1/2/3 rijtje op. Het aantal rijtjes met 5 nullen en 2 énen is ( ) Veralgemenen we dit dan zien we dat een (gesorteerd) rijtje ter lengte k van elementen van de verzameling {1,..., n} gecodeerd kan worden door een 0/1 rijtje met k nullen (elk element dat voorkomt geeft een nul) en n 1 énen (tussen elk tweetal opvolgende symbolen komt een scheidingséén). Het totale aantal wordt dus gelijk aan het aantal 0/1-rijen met k nullen en n 1 énen, dus ( ) n+k 1 k. 4 Rekenen met gehele getallen De basisoperaties van het rekenen op de basisschool zijn optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Deze operaties hebben niet alleen zin voor getallen, maar ook voor meer algemene objecten, zoals functies en in het bijzonder veeltermen. Sommige eigenschappen zijn algemener geldig, andere gaan verloren bij meer algemene structuren. We beginnen dus met een preciezere studie van de gehele getallen Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}, en met name het begrip deelbaarheid. Laten a en b twee gehele getallen zijn. Als er een geheel getal q is zó dat b q = a, dan noemen we b een deler van a. Dus 2 is een deler van 6, ook is 3 een deler van 6. Elk getal is een deler van 0, in het bijzonder is 0 een deler van 0, hoewel 0/ 0 niet gedefinieerd is! 12

13 Als b 0 dan ligt q éénduidig vast en we zeggen dat q het quotiënt is van a en b. We schrijven q = a/ b. In dit geval heet a een veelvoud van b. Algemener hebben we voor elk tweetal gehele getallen de volgende stelling (delen met rest): Voor elk geheel getal a en elk positief geheel getal b bestaan er unieke gehele getallen q en r, met 0 r < b, waarvoor geldt: a = q b + r. Hoewel dit voor je gevoel misschien vanzelf spreekt, is er om dit te bewijzen het principe van volledige inductie nodig. Dit principe wordt gebruikt in vrijwel elke uitspraak over de natuurlijke getallen, dus het loont de moeite om dit nog even uitgebreid te behandelen. Stel S is een deelverzameling van de natuurlijke getallen met de eigenschap dat als s een element is van S, dan is ook het volgende getal s+1 een element van S. Hoe ziet S er dan uit? Het kan natuurlijk dat S de lege verzameling is, maar zodra S een element bevat, dan bevat hij ook een kleinste element, zeg k, en daarmee het volgende, het volgende, het volgende enzovoort. Kortom S bestaat uit alle getallen groter dan of gelijk aan k. Het principe van inductie zegt dat als we een bepaalde eigenschap P kunnen bewijzen voor zeker getal k N, en als we kunnen bewijzen dat wanneer getal t k de eigenschap P heeft, dat dan ook de opvolger van t dus t + 1 eigenschap P heeft, dan geldt eigenschap P voor alle natuurlijke getallen groter dan of gelijk aan k. Immers, de deelverzameling S van natuurlijke getallen groter gelijk aan k waarvoor eigenschap P geldt bevat als kleinste getal k, en heeft de eigenschap dat van elk getal in S ook de opvolger in S zit. Meestal gebruiken we het principe van (volledige) inductie in de volgende vorm. We willen een uitspraak bewijzen voor alle natuurlijke getallen. Voor het getal 0 is het meestal eenvoudig na te gaan dat de uitspraak waar is. Dan laten we zien dat als de uitspraak geldt voor alle getallen kleiner dan zeker getal a, de uitspraak ook geldt voor het getal a. Op die manier is duidelijk dat we de eigenschap ook weer kunnen bewijzen voor het getal a + 1, met andere woorden, we zijn precies in de vorige situatie, en de uitspraak geldt 13

14 dus voor alle natuurlijke getallen. In ons geval gaat het bewijs voor niet negatieve a nu als volgt: Als a = 0 dan is a = 0 b + 0. Bekijk vervolgens a > 0 en stel nu dat we voor alle getallen a kleiner dan a al weten dat er een schrijfwijze is a = q b + r, met 0 r < b. Als a < b dan kunnen we q = 0 en r = a nemen. Als b a dan a b 0 en a b is kleiner dan a. Dus we kunnen schrijven a b = q b + r en dus a = q b + r met q = q + 1. (Merk op dat we alleen hebben laten zien dat a zo geschreven kan worden, nog niet dat deze schrijfwijze uniek is, maar dit laten we aan de lezer over.) Een andere belangrijke eigenschap van de gehele getallen is het bestaan van een GGD (grootste gemene deler) en een KGV (kleinste gemene veelvoud). Gemeen betekent hier natuurlijk gemeenschappelijk. Het getal d heet een gemeenschappelijke deler van a en b als d zowel a als b deelt. Voor een (positief) geheel getal a geven we met D(a) de verzameling positieve delers van a aan. Dus D(6) = {1, 2, 3, 6}. De gemeenschappelijke delers van a en b (of nog meer getallen) geven we aan met D(a, b) = D(a) D(b). Het bestaan van een GGD betekent dat er een getal c is waarvoor geldt dat D(a, b) = D(c). Met andere woorden: c is een deler van a en b, en elke gemeenschappelijke deler van a en b is een deler van c. Voorbeeld: D(12, 18) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} {1, 2, 3, 6, 9, 18} = {1, 2, 3, 6} = D(6). Waarom is dit eigenlijk zo? Beschouw D(a, b), we nemen voor het gemak a, b > 0. Elke gemeenschappelijke deler van a en b is tevens deler van getallen van de vorm k a + l b, dus D(a, b) = D(a, b, a b) = D(a, b, a b, a 2b) etc. Stel nu dat a groter is dan b, dus a = q b + r als hierboven. Dan is dus D(a, b) = D(a, b, r) = D(b, r), want r = a q b en a = q b+r. Dit proces kunnen we herhalen, en de getallen worden steeds kleiner. Het eindigt als r = 0, en daar D(c, 0) = D(c), immers, elk getal is een deler van 0, vinden we dat D(a, b) = D(c) voor zeker getal c, de GGD van a en b, soms, als verwarring uitgesloten is, eenvoudig genoteerd als (a, b). We hebben al gezien dat elke gemeenschappelijke deler van a en b ook elke lineaire combinatie k a + l b deelt. Voor de GGD geldt de heel belangrijke 14

15 omkering van deze uitspraak: Als (a, b) = c dan bestaan er getallen k en l zó dat c = k a + l b. Deze getallen (k en l) kunnen worden gevonden met het (uitgebreide) algorithme van Euclides. Euclides is vooral bekend vanwege de Elementen een meetkunde (leer)boek dat de wiskundige kennis uit de oudheid samenvatte, en eeuwenlang op alle Europese scholen is onderwezen. Een voorbeeld maakt duidelijk hoe het werkt: (verzin zelf een computerprogramma dat de nodige boekhouding doet). We bepalen de GGD van de getallen 202 en 142, en vinden tegelijkertijd getallen k en l zó dat k l 142 = 2 (de GGD). 202 = = = 60 = = 22 = = 16 = = 6 = = 4 = = 2 = = 0 = Wat is hier gebeurt? Elke volgende regel ontstaat uit de vorige door een deling met rest te maken, en dan de nieuwe rest r nieuw uit te drukken in de oorspronkelijke getallen door de geschikte combinatie van de twee vorige rijen te nemen. We zien dus twee belangrijke eigenschappen van de GGD: Als c = (a, b) dan is elke gemeenschappelijke deler van a en b ook een deler van c. En c is het kleinste positieve getal van de vorm c = k a + l b (immers c is een deler van elk getal van deze vorm). Getallen paren a, b met GGD 1 heten relatief priem (of met een lelijk anglicisme ook wel copriem). Als a en b relatief priem zijn dan zijn er dus getallen k en l met k a + l b = 1 (en omgekeerd). 15

16 We besluiten met een nuttig gevolg van deze eigenschap: Als a en b relatief priem zijn, en a is een deler van b c, dan is a een deler van c. Immers: Laat k a + l b = 1. Dan c = 1 c = (k a + l b)c = k a c + l b c en we zien dat a alle termen van het rechterlid deelt (en dus c). We zijn nu in staat het volgende probleem op te lossen: Gegeven drie getallen a, b en c, vind alle paren k, l zó dat k a + l b = c. Omdat de GGD van a en b een deler is van k a + l b voor alle mogelijke paren k, l is duidelijk dat we alleen oplossingen vinden in het geval dat c een veelvoud is van de GGD (a, b). In dit geval kunnen we alles delen door deze GGD, en dan vinden we de vergelijking k a + l b = c (waarbij = /(a, b)) en nu hebben a en b GGD 1. We laten nu verder de accenten weg. Omdat we k en l kunnen vinden met k a + l b = 1 kunnen we natuurlijk ook een oplossing voor c vinden, gewoon door alles met c te vermenigvuldigen. Verder kunnen we altijd nieuwe oplossingen vinden door bij k een veelvoud van b op te tellen, en het corresponderende veelvoud van a van l af te trekken. In feite tellen we er een oplossing van de vergelijking x a + y b = 0 bij op. Maar omdat (a, b) = 1 moet in zo n oplossing x een veelvoud van b zijn (want b deelt x a en dus x want (a, b) = 1). Voorbeeld: Vind alle oplossingen van k 12 + l 18 = 24. We delen door de GGD en krijgen k 2 + l 3 = 4, met hetzij de voor de hand liggende oplossing (k, l) = (2, 0) dan wel de systematische Euclidisch Algorithme oplossing: (k, l) = ( 4, 4). De algemene oplossing wordt nu gekregen door (k, l) = (2 + 3 m, 2 m), of ook (k, l) = ( n, 4 2 n). Een belangrijke rol in de getaltheorie, en zijn recente praktische toepassingen, vormen de priemgetallen. Priemgetallen zijn getallen groter dan één die geen andere delers hebben dan één en zichzelf. De priemgetallen onder de honderd zijn 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Een algorithme uit de oudheid om een lijst van alle priemgetallen te maken staat bekend als de zeef van Erathostenes. We maken een tabel van de 16

17 getallen tot n 2 voor zekere n, bijvoorbeeld n = 10. Het getal één strepen we door. We zetten een cirkel om het volgende getal (dus twee) en strepen alle tweevouden door. We zetten een cirkel om het volgende getal (dus drie) en strepen alle drievouden door. We zetten een cirkel om het volgende getal (dus vijf) en strepen alle vijfvouden door. Als we dit ook voor zeven gedaan hebben zijn alle overgebleven getallen priem, want een niet priem onder de honderd heeft een priemdeler kleiner dan tien. Om te beginnen twee en drie: Dan vijf en zeven: Een stelling die ook de naam van Euclides draagt is de uitspraak dat er oneindig veel priemgetallen zijn. Stel je hebt een eindig lijstje van priemgetallen. Bijvoorbeeld {2, 3, 5, 7, 11, 13}. Neem het product van alle priemgetallen uit de lijst en tel er één bij op : = De kleinste deler (groter dan één) van dit getal is natuurlijk priem (in dit geval is dat 59), maar niet één van de getallen uit jouw lijst. Jouw lijst bevat dus niet alle priemgetallen. 17

18 Er is natuurlijk inmiddels veel meer bekend over priemgetallen, maar er zijn nog ook heel veel vragen onbeantwoord. Een belangrijke stelling, de Priemgetallenstelling vertelt hoeveel priemgetallen er ongeveer zijn. Naarmate een getal groter is, is het natuurlijk onwaarschijnlijker dat het priem is, immers het aantal mogelijke delers neemt telkens toe. De stelling zegt dat het aantal priemgetallen kleiner dan het getal n ongeveer gelijk is aan n/ log(n). Hierbij is log(n) de natuurlijke logarithme, soms ook aangeduid met ln(n). Met de Mathematica functie PrimePi[n] kun je het aantal priemen kleiner dan n opvragen, zo is bijvoorbeeld het aantal priemen onder de 10 9 (volgens Mathematica) gelijk aan , terwijl de schatting n/ log(n) de (afgeronde) waarde geeft. Een elementair bewijs voor deze stelling werd gegeven door Pál (Paul) Erdős, een beroemde Hongaarse wiskundige. Vooral in de cryptografie (de wetenschap van het geheimschrift, toegepast in internet security, het bankwezen, en natuurlijk defensie) wordt gebruik gemaakt van grote priemgetallen. De kans dat een getal met n (decimale) cijfers priem is, is ongeveer één op 2n (preciezer: één op n). Een snelle manier om een grote priem te vinden is gewoon: schrijf een groot getal op (van honderd cijfers) en test of het priem is. Doe dit een paar honderd keer en vrijwel zeker heb je er een gevonden, vooral als je zo slim bent geweest geen even getallen, of getallen die op een vijf eindigen op te schrijven. Ook drievouden zijn eenvoudig te vermijden. Binnenkort zien we hoe je betrekkelijk snel kunt zien of een groot getal (hoogstwaarschijnlijk) priem is. Voor een priemgetal p en een ander getal a zijn er maar twee mogelijkheden voor de GGD, of het is één, of het is p, namelijk wanneer a een veelvoud is van p. Hieruit volgt onmiddellijk de volgende belangrijke eigenschap: Als een priemgetal p een deler is van a b dan is p een deler van a of van b (of allebei natuurlijk). Hieruit volgt dan weer de meer algemene eigenschap dat als p een deler is van a 1 a 2... a k dan is p een deler van één van de factoren a 1, a 2,..., a k. Een belangrijk gevolg van deze eigenschap is de uniciteit van de priemontbinding van gehele getallen. Elk positief geheel getal n kan geschreven worden als het product van priemge- 18

19 tallen. Deze schrijfwijze is uniek, op de volgorde van de factoren na. Dus 120 = bijvoorbeeld. Dat elk getal het product is van priemgetallen is duidelijk: Het getal 1 is misschien een beetje een raar voorbeeld, want 1 heeft geen priemdelers. Wiskundigen zitten daar niet mee. Een product met nul factoren is per definitie één. Elk getal groter dan één is hetzij priem, hetzij het product van twee kleinere getallen, die (met inductie) geschreven kunnen worden als het product van priemfactoren. Nu nog de uniciteit. Stel n = p 1 p 2... p k is een manier om n te schrijven als product van priemen. Als p voorkomt in een manier om n als product van priemen te schrijven dan is p natuurlijk een deler van n, dus van p 1 p 2... p k. Maar dat betekent dat een van de p i deelbaar is door p. Omdat ook p i priem is is dus p gelijk aan p i. Maak het bewijs nu zelf af (inductie). De (unieke) ontbinding in priemfactoren levert ook een andere manier om te kijken naar de GGD en de (eigenlijk het) KGV van twee getallen. Als een priem p een deler is van de getallen a en b dan is deze priem natuurlijk ook een deler van de GGD. Preciezer, als p e de hoogste macht van p is die zowel a als b deelt, dan deelt p e ook de GGD (en wel precies ). Hieruit volgt dat de GGD van a en b het product is van deze getallen. Voor het KGV vinden we omgekeerd dat als p e de hoogste macht van de priem p is die voorkomt in a dan wel b, en we nemen het product van deze getallen, dan hebben we duidelijk een gemeenschappelijk veelvoud, en het is ook het kleinste gemeenschappelijke veelvoud, want voor elke priem p moet de exponent natuurlijk tenminste gelijk zijn aan de exponent van p in de ontbinding van a en van b om een veelvoud te kunnen zijn. Uit bovenstaande beschouwingen volgt een nuttig verband tussen GGD en KGV: Voor elk tweetal getallen a,b geldt: GGD KGV = a b. Immers, voor elke priem geldt dat hij voorkomt in het product rechts met exponent de som van zijn exponent in a en b, en links met de som van het minimum en het maximum van zijn exponent in a en b, maar hoe je het ook wendt of keert, daar komt hetzelfde uit. 19

20 Dit heeft als plezierige consequentie dat je om het KGV van twee getallen (a en b) te weten te komen de getallen niet in factoren hoeft te ontbinden (dit is namelijk een bekend moeilijk probleem, hoewel er een snel algorithme voor is dat helaas alleen werkt op zogenaamde quantumcomputers, die nog even niet bestaan), maar kunt volstaan met het berekenen van de GGD (een van de eenvoudigste algorithmen aller tijden), en vervolgens te gebruiken dat KGV = a b/ GGD. 5 Modulo rekenen In het vorige hoofdstuk hebben we gekeken naar het rekenen met gehele getallen, in het bijzonder optellen, vermenigvuldigen, deelbaarheid, en ontbinding in priemfactoren. We gaan nu kijken naar afgeleide structuren. Als kind hebben we misschien al gemerkt dat het product van twee even getallen altijd even is, en de som van twee oneven getallen altijd even. Ook is het product van twee oneven getallen altijd oneven. Even of oneven betekent niets anders dan dat de rest bij deling door twee nul is, dan wel één. Ook voor willekeurige getallen kunnen we op zo n manier rekenen. Laat n een natuurlijk getal zijn. De getallen a en b heten congruent modulo n, als a en b bij deling door n dezelfde rest hebben. Notatie: a = b mod n. Dus alle oneven getallen zijn congruent 1 modulo 2. Verder is bijvoorbeeld 13 = 7 mod 3. Een andere manier om te beschrijven dat a = b mod n is dat n a b. Congruent zijn modulo n verdeelt de gehele getallen in n verschillende congruentieklassen. Namelijk de getallen die 0, 1,..., n 1 zijn modulo n. Het is duidelijk dat als we een getal dat a modulo n is optellen bij een getal dat b modulo n is, de som gelijk is aan a + b mod n. Ook voor het product van een getal dat a modulo n is met een getal dat b modulo n is geldt dat het resultaat gelijk is aan ab modulo n. Een voorbeeld: Stel a = 3 mod 7 en b = 4 mod 7. Dus a = 7q en b = 7q Dan is ab = (7q 1 + 3)(7q 2 + 4) = 49q 1 q q q = 7(7q 1 q 2 + 4q 1 + 3q 2 + 1) + 5 = 5 mod 7. Op deze manier kunnen we met de getallen {0, 1,..., n 1} optellen en vermenigvuldigen (modulo n) op een manier die veel lijkt op optellen en vermenigvuldigen in Z. Dus a + b = b + a, a(b + c) = a b + a c etcetera. De rol 20

21 van 0 en 1 is ook hetzelfde. Ze zijn het neutrale element voor de optelling, respectievelijk de vermenigvuldiging. Een vroeger veelgebruikt hulpmiddel bij het controleren van berekeningen is de zogenaamde negenproef. Deze berust op het feit dat als je de rest wilt weten van een getal bij deling door 9, je gewoon de cijfers bij elkaar optelt, van het resultaat weer, enzovoort, net zolang totdat je een getal onder de 10 krijgt. Dit getal is dan de rest bij deling door negen. Voorbeeld: Het getal geeft na deling door negen een rest van = 45 en dus = 9 (en dus 0). Waarom is dit zo? Neem bijvoorbeeld het getal 123. De cijfers in dit getal betekenen in werkelijkheid 123 = Maar omdat 10 = 1 mod 9 en dus ook 100 = = 1 mod 9 is dit getal = 6 mod 9. De negenproef kan (kon) gebruikt worden om een optelling van veel getallen van veel cijfers snel te controleren. Van elk getal werd de rest modulo 9 bepaald met de negenproef, ook van de som, en tenslotte werd gecontroleerd of de som van de resten de rest van de som was. Minder bekend, maar op hetzelfde principe berustend, is een snelle manier om de rest van een getal bij deling door elf te bepalen. We nemen weer het getal Bij deling door 11 levert dit de rest = 5. Opnieuw is de verklaring dat opeenvolgende machten van 10 bij deling door 11 een rest hebben van 1, 1, 1, 1,.... De structuur van de getallen {0, 1,..., n 1} met optellen en vermenigvuldigen modulo n geven we aan met Z/nZ of meer vollediger (Z/nZ, +,, 0, 1), om aan te geven dat we een optelling hebben met neutraal element 0 en een vermenigvuldiging met neutraal element 1. Optellen en vermenigvuldigen in Z/nZ gedragen zich zoals verwacht. Iets totaal anders is het met delen. In Z bestaan geen inverses, dat wil zeggen, als a ±1 dan is 1/a geen geheel getal. We zeggen dat b de (multiplicatieve) inverse is van a in Z/nZ als geldt dat a b = 1 mod n. Dus bijvoorbeeld als 21

22 n = 10 dan is de inverse van 3 gelijk aan 7 omdat 3 7 = 21 = 1 mod 10. Wanneer bestaat zo n inverse? Als GGD(a, n) = 1, dan bestaan er getallen k en l zó dat k a + l n = 1. In dit geval is dus k a = 1 mod n, want k a 1 is deelbaar door n. Dus k is de inverse van a (modulo n). Omgekeerd, als k de inverse is van a in Z/nZ, dan is k a gelijk aan 1 modulo n, dus k a 1 = l n voor zekere l, dus k a l n = 1. Maar dan is de GGD van a en n dus 1. Een speciaal geval treedt op als n = p een priemgetal is. In dit geval geldt voor elk getal k met 0 < k < p dat GGD(k, p) = 1, met andere woorden, elk element ongelijk 0 in Z/pZ is inverteerbaar. In plaats van 1/k schrijven we ook vaak k 1. We nemen bijvoorbeeld p = 7: 1 1 = 2 4 = 3 5 = 6 6 = 1. Of p = 13: 1 1 = 2 7 = 3 9 = 4 10 = 5 8 = 6 11 = = 1. Voor een niet priemgetal als 15 vinden we alleen inverses voor getallen die niet door 3 of 5 deelbaar zijn: 1 1 = 2 8 = 4 4 = 7 13 = = = 1 mod 15. Merk op dat modulo 15 de vergelijking x 2 1 = 0 vier oplossingen heeft, terwijl deze vergelijking modulo een priemgetal altijd alleen maar de twee oplossingen x = 1 en x = p 1(= 1) heeft (waarom?). Het kan nog erger, we zullen zo dadelijk zien dat er modulo 105 = zelfs acht oplossingen zijn (raad zelf hoeveel oplossingen er zijn modulo 1155 = ). Met behulp van de inverse kunnen we het volgende type vergelijking oplossen in de verzameling van de gehele getallen Z. Gegeven zijn getallen a, b en n met GGD(a, n) = 1. Los op de vergelijking a x = b mod n. Dit type vergelijking heet ook wel een lineaire congruentie. Laat k de inverse zijn van a modulo n. Dan is dus k a x = k b mod n. Omdat k a = 1 mod n volgt hieruit dat x = k b mod n. Voorbeeld, los op 5 x = 4 mod 7. De inverse van 5 mod 7 is 3 want 3 5 = 15 = 1 mod 7. We vermenigvuldigen dus met 3 en vinden x = 12 mod 7, of te wel, x = 5 mod 7. Meer algemeen kunnen we nu ook oplossen de vergelijking a x = b mod n, met GGD(a, n) = c. We herhalen, de gegeven vergelijking vraagt naar alle 22

23 x zó dat n een deler is van a x b. Omdat c een deler is van n en ook een deler van a moet c noodzakelijk ook een deler zijn van b = a x q n (hierbij is q = (a x b)/n). Als dit niet het geval is zijn er dus zeker geen oplossingen. In het geval dat b wel deelbaar is door c, dan kunnen we schrijven a = c a 1, b = c b 1 en n = c n 1, met GGD(a 1, n 1 ) = 1. We zoeken alle x zó dat c n 1 een deler is van c a 1 x c b 1. Maar dit is het zelfde als n 1 is een deler van a 1 x b 1, of te wel a 1 x = b mod n 1. Dit lossen we op als voorheen en de oplossing is x = k b mod n 1 met k de inverse van a 1 modulo n 1. Voorbeeld, los op 21x = 43 mod 35. De GGD van 21 en 35 is 7. Omdat 7 geen deler is van 43 heeft deze vergelijking geen oplossingen (in Z). Los op 21x = 28 mod 35. Nu is 28 deelbaar door 7 en de vergelijking is dus equivalent met 3x = 4 mod 5. De inverse van 3 mod 5 is 2 want 2 3 = 6 = 1 mod 5, en dus is de oplossing x = 8 mod 5, of liever x = 3 mod 5. We kunnen ook iets anders naar het probleem hierboven kijken: Stel de vraag is, los op de vergelijking 21x = 28 in Z/35Z. De oplossing die we vonden was x = 3 mod 5. In onze nieuwe omgeving betekent dit dat de oplossingsverzameling gegeven wordt door {3, 8, 13, 18, 23, 28, 33}. We gaan nu kijken naar stelsels van lineaire congruenties. We beginnen eenvoudig. Los op het paar vergelijkingen: x = 0 mod 2 en x = 0 mod 3. Dus 2 is een deler van x en 3 is een deler van x. Dit betekent dus gewoon dat 2 3 = 6 een deler moet zijn van x. Meer algemeen: x = 0 mod a en x = 0 mod b heeft als oplossing x = 0 mod KGV(a, b), immers x is een veelvoud van a en van b en dus van de KGV. Voorbeeld: Los op x = 0 mod 21 en x = 0 mod 35. De KGV van 21 en 35 is 105, dus de oplossing is x = 0 mod 105. Nu maken we het iets lastiger. We bekijken het paar: x = 3 mod 5 en x = 2 mod 7. Na enig proberen vinden we een oplossing x = 23. Laat y = x 23. Dan is dus y = 0 mod 5 en y = 0 mod 7. Deze vergelijking kunnen we al aan: de oplossing is y = 0 mod 35. Dus van onze oorspronkelijke vergelijking is de oplossing x = 23 mod

24 Kunnen we de oplossing x = 23 ook systematisch vinden? Natuurlijk, dat gaat als volgt: we lossen eerst de twee vergelijkingen afzonderlijk op: x = 3 mod 5 betekent x = 5k + 3 voor zekere k, en x = 2 mod l betekent x = 7l + 2 voor zekere l. Aangezien x = x krijgen we 5k + 3 = 7l + 2 of te wel 5k 7l = 1, een oude bekende. Deze lossen we op, bijvoorbeeld met het algoritme van Euclides, en we vinden k = 4 en l = 3, en dus x = 23. We kunnen natuurlijk ook meteen het algemene antwoord vinden uit k = 4 + 7n (en l = 3 + 5n), waaruit volgt dat x = n, of gewoon x = 23 mod 35. Het bovenstaande laat zich uitbreiden tot grotere stelsels: Los op x = 0 mod 2, mod 3 en mod 5. Dus x is een gemeenschappelijk veelvoud van 2, 3 en 5 en dus van de KGV, in dit geval gewoon = 30. Het moeilijkere geval verloopt analoog: Los op x = 3 mod 5, x = 2 mod 7 en x = 2 mod 11. We kunnen natuurlijk weer eerst wat proberen, en met genoeg geduld vinden we dan de oplossing x = 233. Nemen we weer y = x 233 dan zien we dat y = 0 mod 5, 7 en 11 en dus y = 0 mod 385. We kunnen het stelsel ook in stapjes oplossen. We bekijken eerst het paar x = 3 mod 5 en x = 2 mod 7. Dit hebben we hierboven al opgelost, en we vinden x = 23 mod 35. Dan combineren we dit met x = 2 mod 11 en we lossen op 35k + 23 = 11l + 2, of te wel 35k 11l = 21. Omdat GGD(35, 11) = 1 kunnen we dit oplossen, alweer met de uitgebreide Euclides. Het is duidelijk dat we niet bij 3 vergelijkingen hoeven op te houden. In het geval dat de moduli van de verschillende vergelijkingen onderling GGD één hebben vinden we altijd een oplossing modulo het product van de moduli. Dit is de inhoud van de Chinese reststelling: Elk systeem van lineaire congruenties x = a i mod m i, i = 1, 2,..., k waarin verschillende moduli m i GGD één hebben heeft een unieke oplossing modulo m 1 m 2 m k. In het geval dat k = 2 hebben we gezien dat het waar is. Als k groter is dan 2 dan kunnnen we het eerste paar vergelijkingen vervangen door één equivalente vergelijking met modulus m 1 m 2. We hebben nu dezelfde situatie, met minder vergelijkingen. Het principe van volledige inductie maakt nu het bewijs voor ons af. Als toepassing kijken we hoeveel oplossingen de vergelijking x 2 = 1 heeft 24

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

3 Modulorekenen. 3.1 De eulerfunctie en de kleine stelling van Fermat. Oefening 3.1. Bepaal Φ(1992), Φ(2011) en Φ(2048) (83 en 2011 zijn priem).

3 Modulorekenen. 3.1 De eulerfunctie en de kleine stelling van Fermat. Oefening 3.1. Bepaal Φ(1992), Φ(2011) en Φ(2048) (83 en 2011 zijn priem). 3 Modulorekenen 3.1 De eulerfunctie en de kleine stelling van Fermat Oefening 3.1. Bepaal Φ(1992), Φ(2011) en Φ(2048) (83 en 2011 zijn priem). Oplossing 3.1 1992 = 2 3 3 83. Φ(1992) = 2 2 2 82 = 656. 2048

Nadere informatie

RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002

RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002 RSA F.A. Grootjen 8 maart 2002 1 Delers Eerst wat terminologie over gehele getallen. We zeggen a deelt b (of a is een deler van b) als b = qa voor een of ander geheel getal q. In plaats van a deelt b schrijven

Nadere informatie

Geldwisselprobleem van Frobenius

Geldwisselprobleem van Frobenius Geldwisselprobleem van Frobenius Karin van de Meeberg en Dieuwertje Ewalts 12 december 2001 1 Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Afspraken 3 3 Is er wel zo n g? 3 4 Eén waarde 4 5 Twee waarden 4 6 Lampenalgoritme

Nadere informatie

Hoofdstuk 6. Congruentierekening. 6.1 Congruenties

Hoofdstuk 6. Congruentierekening. 6.1 Congruenties Hoofdstuk 6 Congruentierekening 6.1 Congruenties We hebben waarschijnlijk allemaal wel eens opgemerkt dat bij vermenigvuldigen van twee getallen de laatste cijfers als het ware meevermenigvuldigen. Stel

Nadere informatie

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN 1.3.1. Er zijn 42 mogelijke vercijferingen. 2.3.4. De uitkomsten zijn 0, 4 en 4 1 = 4. 2.3.6. Omdat 10 = 1 in Z 9 vinden we dat x = c 0 +... + c m = c 0 +... + c m. Het getal

Nadere informatie

7.1 Het aantal inverteerbare restklassen

7.1 Het aantal inverteerbare restklassen Hoofdstuk 7 Congruenties in actie 7.1 Het aantal inverteerbare restklassen We pakken hier de vraag op waarmee we in het vorige hoofdstuk geëindigd zijn, namelijk hoeveel inverteerbare restklassen modulo

Nadere informatie

Universiteit Gent. Academiejaar Discrete Wiskunde. 1ste kandidatuur Informatica. Collegenota s. Prof. Dr.

Universiteit Gent. Academiejaar Discrete Wiskunde. 1ste kandidatuur Informatica. Collegenota s. Prof. Dr. Universiteit Gent Academiejaar 2001 2002 Discrete Wiskunde 1ste kandidatuur Informatica Collegenota s Prof. Dr. Frank De Clerck Herhalingsoefeningen 1. Bepaal het quotiënt en de rest van de deling van

Nadere informatie

Eigenschap (Principe van welordening) Elke niet-lege deelverzameling V N bevat een kleinste element.

Eigenschap (Principe van welordening) Elke niet-lege deelverzameling V N bevat een kleinste element. Hoofdstuk 2 De regels van het spel 2.1 De gehele getallen Grof gezegd kunnen we de (elementaire) getaltheorie omschrijven als de wiskunde van de getallen 1, 2, 3, 4,... die we ook de natuurlijke getallen

Nadere informatie

Combinatoriek groep 1 & 2: Recursie

Combinatoriek groep 1 & 2: Recursie Combinatoriek groep 1 & : Recursie Trainingsweek juni 008 Inleiding Bij een recursieve definitie van een rij wordt elke volgende term berekend uit de vorige. Een voorbeeld van zo n recursieve definitie

Nadere informatie

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;

Nadere informatie

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s. Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt

Nadere informatie

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal

Nadere informatie

Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015

Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015 Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. Elk vraagstuk is maximaal 10 punten waard. Begin elke opgave op een nieuw vel papier. µkw uitwerkingen 12 juni 2015 Vraagstuk 1. We kunnen

Nadere informatie

Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie

Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie Jan De Beule, Tom De Medts en Jeroen Demeyer Voorwoord 1 Voorwoord Beste leerling, Deze nota s zijn bedoeld als begeleiding bij 6 lesuren Opgeloste

Nadere informatie

Opgaven Eigenschappen van Getallen Security, 2018, Werkgroep.

Opgaven Eigenschappen van Getallen Security, 2018, Werkgroep. Opgaven Eigenschappen van Getallen Security, 2018, Werkgroep. Gebruik deze opgaven, naast die uit het boek, om de stof te oefenen op het werkcollege. Cijfer: Op een toets krijg je meestal zes tot acht

Nadere informatie

Getaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1)

Getaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1) Lesbrief 2 Getaltheorie II 1 Lineaire vergelijkingen Een vergelijking van de vorm ax + by = c, a, b, c Z (1) heet een lineaire vergelijking. In de getaltheorie gaat het er slechts om gehele oplossingen

Nadere informatie

2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen ( 15 x 3 = 45

2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (  15 x 3 = 45 15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een

Nadere informatie

Memoriseren: Een getal is deelbaar door 10 als het laatste cijfer een 0 is. Of: Een getal is deelbaar door 10 als het eindigt op 0.

Memoriseren: Een getal is deelbaar door 10 als het laatste cijfer een 0 is. Of: Een getal is deelbaar door 10 als het eindigt op 0. REKENEN VIJFDE KLAS en/of ZESDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Luc Cielen: Regels van deelbaarheid, grootste gemene deler en kleinste gemeen veelvoud 1 Deelbaarheid door 10, 100, 1000. Door

Nadere informatie

2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 = 45

2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 = 45 15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan

Nadere informatie

2. Ga voor volgende relaties na of het al dan niet functies, afbeeldingen, bijecties, injecties, surjecties zijn :

2. Ga voor volgende relaties na of het al dan niet functies, afbeeldingen, bijecties, injecties, surjecties zijn : HOOFDSTUK. VERZAMELINGEN, RELATIES EN FUNCTIES Opgaven verzamelingen, relaties en functies. Toon aan : a) (A B) C = A (B C) b) A (B C) = (A B) (A C) c) (A B) c = A c B c d) A B B c A c. Ga voor volgende

Nadere informatie

Combinatoriek groep 1

Combinatoriek groep 1 Combinatoriek groep 1 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Getallenrijen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een directe formule geeft a n in

Nadere informatie

1. REGELS VAN DEELBAARHEID.

1. REGELS VAN DEELBAARHEID. REKENEN VIJFDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Deelbaarheid door 10, 100, 1000 10: het laatste cijfer (= cijfer van de eenheden) is 0 100: laatste twee cijfers zijn 0 (cijfers van de eenheden

Nadere informatie

1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen

1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen 46 Getallen 1.5 Getaltheorie 1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen De getallen 0,1,2,3,4,... enz. worden de natuurlijke getallen genoemd (de heleverzamelingvanaldezegetallenbijelkaarnoterenwemethetteken:

Nadere informatie

Priemontbinding en ggd s

Priemontbinding en ggd s Hoofdstuk 3 Priemontbinding en ggd s 3.1 Priemgetallen Een getal > 1 dat alleen 1 en zichzelf als positieve deler heeft noemen we een priemgetal. De rij priemgetallen begint als volgt, 2, 3, 5, 7, 11,

Nadere informatie

Bijzondere kettingbreuken

Bijzondere kettingbreuken Hoofdstuk 15 Bijzondere kettingbreuken 15.1 Kwadratische getallen In het vorige hoofdstuk hebben we gezien dat 2 = 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2,.... Men kan zich afvragen waarom we vanaf zeker moment alleen maar

Nadere informatie

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4: Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 2 Extremenprincipe 4 3 Ladenprincipe 8 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel

Nadere informatie

Dossier 3 PRIEMGETALLEN

Dossier 3 PRIEMGETALLEN Dossier 3 PRIEMGETALLEN atomen van de getallenleer Dr. Luc Gheysens Een priemgetal is een natuurlijk getal met twee verschillende delers, nl. 1 en het getal zelf. De priemgetallen zijn dus 2, 3, 5, 7,

Nadere informatie

PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5

PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5 2015-2015 PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5 Inhoud Kenmerken van deelbaarheid (herhaling)...1 Ontbinden in factoren...1 Priemgetallen (herhaling)...2 Ontbinden in priemfactoren...2 KGV (Kleinste Gemene

Nadere informatie

1 Rekenen in eindige precisie

1 Rekenen in eindige precisie Rekenen in eindige precisie Een computer rekent per definitie met een eindige deelverzameling van getallen. In dit hoofdstuk bekijken we hoe dit binnen een computer is ingericht, en wat daarvan de gevolgen

Nadere informatie

Combinatoriek groep 2

Combinatoriek groep 2 Combinatoriek groep 2 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Homogene lineaire recurrente betrekkingen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een

Nadere informatie

Enkele valkuilen om te vermijden

Enkele valkuilen om te vermijden Enkele valkuilen om te vermijden Dit document is bedoeld om per onderwerp enkele nuttige strategieën voor opgaven te geven. Ook wordt er op een aantal veelgemaakte fouten gewezen. Het is géén volledige

Nadere informatie

Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels

Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Trainingsweek juni 2008 Inleiding Voor a relatief priem met m hebben we de orde van a modulo m gedefinieerd als ord m (a) = min { n Z + a n 1 (mod m) }. De verzameling

Nadere informatie

Algebra, Les 18 Nadruk verboden 35

Algebra, Les 18 Nadruk verboden 35 Algebra, Les 18 Nadruk verboden 35 18,1 Ingeklede vergelijkingen In de vorige lessen hebben we de vergelijkingen met één onbekende behandeld Deze vergelijkingen waren echter reeds opgesteld en behoefden

Nadere informatie

Hoofdstuk 3. Equivalentierelaties. 3.1 Modulo Rekenen

Hoofdstuk 3. Equivalentierelaties. 3.1 Modulo Rekenen Hoofdstuk 3 Equivalentierelaties SCHAUM 2.8: Equivalence Relations Twee belangrijke voorbeelden van equivalentierelaties in de informatica: resten (modulo rekenen) en cardinaliteit (aftelbaarheid). 3.1

Nadere informatie

Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen

Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge Roland van der Veen Modulorekenen Twee getallen a en b zijn gelijk modulo p als ze een veelvoud van p verschillen. Notatie: a = b mod p Bijvoorbeeld:

Nadere informatie

Tellen. K. P. Hart. Delft, Faculty EEMCS TU Delft. K. P. Hart Tellen

Tellen. K. P. Hart. Delft, Faculty EEMCS TU Delft. K. P. Hart Tellen Tellen Tá scéiĺın agam K. P. Hart Faculty EEMCS TU Delft Delft, 16-9-2015 Dingen om te tellen afbeeldingen injecties surjecties bijecties deelverzamelingen van diverse pluimage Wat notatie Afkorting: n

Nadere informatie

3.2 Vectoren and matrices

3.2 Vectoren and matrices we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,

Nadere informatie

II.3 Equivalentierelaties en quotiënten

II.3 Equivalentierelaties en quotiënten II.3 Equivalentierelaties en quotiënten Een belangrijk begrip in de wiskunde is het begrip relatie. Een relatie op een verzameling is een verband tussen twee elementen uit die verzameling waarbij de volgorde

Nadere informatie

Selectietoets vrijdag 10 maart 2017

Selectietoets vrijdag 10 maart 2017 Selectietoets vrijdag 10 maart 2017 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Zij n een even positief geheel getal. Een rijtje van n reële getallen noemen we volledig als voor elke gehele

Nadere informatie

Domeinbeschrijving rekenen

Domeinbeschrijving rekenen Domeinbeschrijving rekenen Discussiestuk ten dienste van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Rekenen en Taal auteur: Jan van de Craats 11 december 2007 Inleiding Dit document bevat een beschrijving van

Nadere informatie

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014 Lineaire Algebra TW1205TI, 12 februari 2014 Contactgegevens Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http:

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 1 Algebraïsch rekenen (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren............. 1. De

Nadere informatie

Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002

Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002 Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002 19.a) Laat zien dat 5 een voortbrenger is van F 37. b) In het sleuteldistributiesysteem van Diffie en Hellman (met G = F 37, α =

Nadere informatie

FACTORISATIE EN CRYPTOGRAFIE

FACTORISATIE EN CRYPTOGRAFIE FACTORISATIE EN CRYPTOGRAFIE COMPUTERPRACTICUM UvA-MASTERCLASS WISKUNDE 1993 G.C.M. Ruitenburg Faculteit Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam 1993 INLEIDING In dit computer prakticum volgen

Nadere informatie

Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2

Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2 Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van

Nadere informatie

Opmerking. TI1300 Redeneren en Logica. Met voorbeelden kun je niks bewijzen. Directe en indirecte bewijzen

Opmerking. TI1300 Redeneren en Logica. Met voorbeelden kun je niks bewijzen. Directe en indirecte bewijzen Opmerking TI1300 Redeneren en Logica College 2: Bewijstechnieken Tomas Klos Algoritmiek Groep Voor alle duidelijkheid: Het is verre van triviaal om definities te leren hanteren, beweringen op te lossen,

Nadere informatie

Combinatoriek groep 1

Combinatoriek groep 1 Combinatoriek groep 1 Recursie Trainingsweek, juni 009 Stappenplan homogene lineaire recurrente betrekkingen Even herhalen: het stappenplan om een recurrente betrekking van orde op te lossen: Stap 1. Bepaal

Nadere informatie

1 Hele getallen. Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden

1 Hele getallen. Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden 1 Hele getallen Peter Ale Martine van Schaik u i t g e v e r ij c o u t i

Nadere informatie

Volledige inductie. Hoofdstuk 7. Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen.

Volledige inductie. Hoofdstuk 7. Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen. Hoofdstuk 7 Volledige inductie Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen we het volgende: (i) 0 V (ii) k N k V k + 1 V Dan is V = N. Men ziet dit als

Nadere informatie

Inleiding tot de Problem Solving - deel 1: Combinatoriek en getaltheorie

Inleiding tot de Problem Solving - deel 1: Combinatoriek en getaltheorie Inleiding tot de Problem Solving - deel 1: Combinatoriek en getaltheorie Jan Vonk 1 oktober 2008 1 Combinatoriek Inleiding Een gebied dat vandaag de dag haast niet onderschat kan worden binnen de wiskunde

Nadere informatie

De Chinese reststelling

De Chinese reststelling De Chinese reststelling 1 Inleiding 1. De Chinese reststelling is een stelling binnen de getaltheorie. De stelling werd voor het eerst beschreven in de vierde eeuw na Chr. door de Chinese wiskundige Sunzi

Nadere informatie

handleiding ontbinden

handleiding ontbinden handleiding ontbinden inhoudsopgave inhoudsopgave de grote lijn 3 Bespreking per paragraaf 4 Applets 4 1 met gegeven product 4 ontbinden van getallen 4 3 vergelijkingen 5 4 onderzoek 6 tijdpad 9 materialen

Nadere informatie

met gehele getallen Voer de volgende berekeningen uit: 1.1 a. 873 112 1718 157 3461 + 1.2 a. 9134 4319 b. 4585 3287 b. 1578 9553 7218 212 4139 +

met gehele getallen Voer de volgende berekeningen uit: 1.1 a. 873 112 1718 157 3461 + 1.2 a. 9134 4319 b. 4585 3287 b. 1578 9553 7218 212 4139 + I Getall 0 e π 8 9 Dit deel gaat over het rek met getall. Ze kom in allerlei soort voor: positieve getall, negatieve getall, gehele getall, rationale irrationale getall. De getall, π e zijn voorbeeld van

Nadere informatie

1 Kettingbreuken van rationale getallen

1 Kettingbreuken van rationale getallen Kettingbreuken van rationale getallen Laten we eens starten met een breuk bijvoorbeeld 37/3 Laten we hier ons kettingbreuk algoritme op los, We concluderen hieruit dat 37 3 3 + 3 + + 37 3 + + + hetgeen

Nadere informatie

IMO-selectietoets I donderdag 2 juni 2016

IMO-selectietoets I donderdag 2 juni 2016 IMO-selectietoets I donderdag juni 016 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Zij ABC een scherphoekige driehoek. Zij H het voetpunt van de hoogtelijn vanuit C op AB. Veronderstel

Nadere informatie

3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen?

3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen? In deze les bekijken we de situatie waarin er mogelijk meerdere vergelijkingen zijn ( stelsels ) en meerdere variabelen, maar waarin elke vergelijking er relatief eenvoudig uitziet, namelijk lineair is.

Nadere informatie

Complexe eigenwaarden

Complexe eigenwaarden Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie

Nadere informatie

FACTORISATIE EN CRYPTOGRAFIE

FACTORISATIE EN CRYPTOGRAFIE FACTORISATIE EN CRYPTOGRAFIE UvA-MASTERCLASS WISKUNDE 1993 P. Stevenhagen Faculteit Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam 1993 INLEIDING In deze masterclass zullen we ons voornamelijk bezighouden

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper

Nadere informatie

Getallen, 2e druk, extra opgaven

Getallen, 2e druk, extra opgaven Getallen, 2e druk, extra opgaven Frans Keune november 2010 De tweede druk bevat 74 nieuwe opgaven. De nummering van de opgaven van de eerste druk is in de tweede druk dezelfde: nieuwe opgaven staan in

Nadere informatie

1 Rekenen met gehele getallen

1 Rekenen met gehele getallen 1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9

Nadere informatie

Het karakteristieke polynoom

Het karakteristieke polynoom Hoofdstuk 6 Het karakteristieke polynoom We herhalen eerst kort de definities van eigenwaarde en eigenvector, nu in een algemene vectorruimte Definitie 6 Een eigenvector voor een lineaire transformatie

Nadere informatie

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

Uitwerkingen toets 12 juni 2010

Uitwerkingen toets 12 juni 2010 Uitwerkingen toets 12 juni 2010 Opgave 1. Bekijk rijen a 1, a 2, a 3,... van positieve gehele getallen. Bepaal de kleinst mogelijke waarde van a 2010 als gegeven is: (i) a n < a n+1 voor alle n 1, (ii)

Nadere informatie

Projectieve Vlakken en Codes

Projectieve Vlakken en Codes Projectieve Vlakken en Codes 1. De Fanocode Foutdetecterende en foutverbeterende codes. Anna en Bart doen mee aan een spelprogramma voor koppels. De ene helft van de deelnemers krijgt elk een kaart waarop

Nadere informatie

Inhoudsopgave. I Theorie 1

Inhoudsopgave. I Theorie 1 Inhoudsopgave I Theorie 1 1 Verzamelingen 3 1.1 Inleiding........................................ 3 1.2 Bewerkingen met verzamelingen........................... 6 1.2.1 Vereniging (unie) van twee verzamelingen.................

Nadere informatie

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 2 Gröbnerbases 1. Vragen We hebben gezien dat de studie van stelsels polynoomvergelijkingen in meerdere variabelen op natuurlijke manier leidt

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

De partitieformule van Euler

De partitieformule van Euler De partitieformule van Euler Een kennismaking met zuivere wiskunde J.H. Aalberts-Bakker 29 augustus 2008 Doctoraalscriptie wiskunde, variant Communicatie en Educatie Afstudeerdocent: Dr. H. Finkelnberg

Nadere informatie

Diophantische vergelijkingen

Diophantische vergelijkingen Diophantische vergelijkingen 1 Wat zijn Diophantische vergelijkingen? Een Diophantische vergelijking is een veeltermvergelijking waarbij zowel de coëfficiënten als de oplossingen gehele getallen moeten

Nadere informatie

Rekenen met cijfers en letters

Rekenen met cijfers en letters Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

III.2 De ordening op R en ongelijkheden

III.2 De ordening op R en ongelijkheden III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Hoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken. Benne de Weger

Hoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken. Benne de Weger Hoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken Benne de Weger 28 aug. / 4 sept. RSA 1/38 asymmetrisch cryptosysteem versleutelen met de publieke sleutel ontsleutelen met de bijbehorende privé-sleutel gebaseerd

Nadere informatie

Algebra. Oefeningen op hoofdstuk Groepentheorie Cayleytabellen van groepen van orde Cyclische groepen

Algebra. Oefeningen op hoofdstuk Groepentheorie Cayleytabellen van groepen van orde Cyclische groepen Oefeningen op hoofdstuk 5 Algebra 5.2 Groepentheorie 5.2.1 Cayleytabellen van groepen van orde 8 Oefening 5.1. Stel de Cayleytabel op voor de groep van de symmetrieën van een vierkant. Bewijs dat deze

Nadere informatie

5.327 703 x 15.981 3.728.900 + 3.744.881. 2.160 3.007 x 15.120 6.480.000 + 6.495.120. 2.160 3.007 x 15.120 00.000 0 00.000 6.480.000 + 6.495.

5.327 703 x 15.981 3.728.900 + 3.744.881. 2.160 3.007 x 15.120 6.480.000 + 6.495.120. 2.160 3.007 x 15.120 00.000 0 00.000 6.480.000 + 6.495. Bij vermenigvuldigen van twee grote getallen onder elkaar staan de rijen onder de streep elk voor een tussenstap. De eerste rij staat voor het vermenigvuldigen met het cijfer dat de eenheden van het onderste

Nadere informatie

Uitwerking Puzzel 93-1, Doelloos

Uitwerking Puzzel 93-1, Doelloos Uitwerking Puzzel 93-1, Doelloos Wobien Doyer Lieke de Rooij Volgens de titel is deze puzzel zonder doel, dus zonder bekende toepassing. Het doel is echter nul en dat is zeker in de wiskunde niet niks.

Nadere informatie

Het RSA Algoritme. Erik Aarts - 1 -

Het RSA Algoritme. Erik Aarts - 1 - Het RSA Algoritme Erik Aarts - 1 - 1 Wiskunde... 3 1.1 Het algoritme van Euclides... 3 1.1.1 Stelling 1... 4 1.2 Het uitgebreide algoritme van Euclides... 5 1.3 Modulo rekenen... 7 1.3.1 Optellen, aftrekken

Nadere informatie

Gehelen van Gauss. Hector Mommaerts

Gehelen van Gauss. Hector Mommaerts Gehelen van Gauss Hector Mommaerts 2 Hoofdstuk 1 Definities Gehelen van Gauss zijn complexe getallen van de vorm a + bi waarbij a, b Z. De verzameling van alle gehelen van Gauss noteren we met Z(i). Dus

Nadere informatie

Uitwerkingen toets 9 juni 2012

Uitwerkingen toets 9 juni 2012 Uitwerkingen toets 9 juni 0 Opgave. Voor positieve gehele getallen a en b definiëren we a b = a b ggd(a, b). Bewijs dat voor elk geheel getal n > geldt: n is een priemmacht (d.w.z. dat n te schrijven is

Nadere informatie

De teller geeft hoeveel stukken er zijn en de noemer zegt wat de 5. naam is van die stukken: 6 taart geeft dus aan dat de taart in 6

De teller geeft hoeveel stukken er zijn en de noemer zegt wat de 5. naam is van die stukken: 6 taart geeft dus aan dat de taart in 6 Breuken Breuk betekent dat er iets gebroken is. Het is niet meer heel. Als je een meloen doormidden snijdt, is die niet meer heel, maar verdeeld in twee stukken. Eén zo n stuk is dan een halve meloen,

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper

Nadere informatie

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van

Nadere informatie

Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, juni 2016

Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, juni 2016 Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, juni 016 Opgave 1. (3+10++7+6) a. De hoogte van de beslissingsboom (lengte van het langste pad) stelt het aantal arrayvergelijkingen in de worst case voor.

Nadere informatie

7 Deelbaarheid. 7.1 Deelbaarheid WIS7 1

7 Deelbaarheid. 7.1 Deelbaarheid WIS7 1 WIS7 1 7 Deelbaarheid 7.1 Deelbaarheid Deelbaarheid Voor geheeltallige d en n met d > 0 zeggen we dat d een deler is van n, en ook dat n deelbaar is door d, als n d een geheel getal is. Notatie: d\n k

Nadere informatie

Rekenen aan wortels Werkblad =

Rekenen aan wortels Werkblad = Rekenen aan wortels Werkblad 546121 = Vooraf De vragen en opdrachten in dit werkblad die vooraf gegaan worden door, moeten schriftelijk worden beantwoord. Daarbij moet altijd duidelijk zijn hoe de antwoorden

Nadere informatie

opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): 2 a 2.

opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): 2 a 2. opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): ℵ 0 #A, B = {b 0,..., b n 1 } voor een zeker natuurlijk getal

Nadere informatie

6 Ringen, lichamen, velden

6 Ringen, lichamen, velden 6 Ringen, lichamen, velden 6.1 Polynomen over F p : irreducibiliteit en factorisatie Oefening 6.1. Bewijs dat x 2 + 2x + 2 irreducibel is in Z 3 [x]. Oplossing 6.1 Aangezien de veelterm van graad 3 is,

Nadere informatie

regel: de som van de cijfers op de even plaatsen min de som van de cijfers op de oneven plaatsen moet 0 of 11 zijn.

regel: de som van de cijfers op de even plaatsen min de som van de cijfers op de oneven plaatsen moet 0 of 11 zijn. Rekenperiode 5e klas januari - februari 1998 1. deelbaarheid door 2 2. deelbaarheid door 4 3. deelbaarheid door 8 4. opgave 5. deelbaarheid door 3 6. deelbaarheid door 9 7. opgave 8. deelbaarheid door

Nadere informatie

1 Limiet van een rij Het begrip rij Bepaling van een rij Expliciet voorschrift Recursief voorschrift 3

1 Limiet van een rij Het begrip rij Bepaling van een rij Expliciet voorschrift Recursief voorschrift 3 HOOFDSTUK 6: RIJEN 1 Limiet van een rij 2 1.1 Het begrip rij 2 1.2 Bepaling van een rij 2 1.2.1 Expliciet voorschrift 2 1.2.2 Recursief voorschrift 3 1.2.3 Andere gevallen 3 1.2.4 Rijen met de grafische

Nadere informatie

OP WEG NAAR WISKUNDE. Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl

OP WEG NAAR WISKUNDE. Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl OP WEG NAAR WISKUNDE Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl Voor kinderen die iets meer willen weten en begrijpen van wiskunde, bijvoorbeeld als voorbereiding op de middelbare

Nadere informatie

Matrices en Grafen (wi1110ee)

Matrices en Grafen (wi1110ee) Matrices en Grafen (wi1110ee) Electrical Engineering TUDelft September 1, 2010 September 1, 2010 Inleiding Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http:

Nadere informatie

GETALTHEORIE 1. de Leuke En Uitdagende Wiskunde 1, 2, 3, 4, 5, 1, 3, 6, 10, 15, 1, 4, 9, 16, 25, 1, 5, 12, 22, 35, 1, 6, 15, 28, 65,

GETALTHEORIE 1. de Leuke En Uitdagende Wiskunde 1, 2, 3, 4, 5, 1, 3, 6, 10, 15, 1, 4, 9, 16, 25, 1, 5, 12, 22, 35, 1, 6, 15, 28, 65, GETALTHEORIE 1 1, 2, 3, 4, 5, 1, 3, 6, 10, 15, 1, 4, 9, 16, 25, 1, 5, 12, 22, 35, 1, 6, 15, 28, 65, SAMENSTELLING: H. de Leuw - 1 - 1. NATUURLIJKE GETALLEN. Als kind hebben we allemaal leren tellen: 1,

Nadere informatie

Extra oefeningen hoofdstuk 4: Deelbaarheid

Extra oefeningen hoofdstuk 4: Deelbaarheid Extra oefeningen hoofdstuk 4: Deelbaarheid 4.1 Delers en veelvouden 1 Bepaal door opsomming. a) del 84 =... b) del 13 =... c) del 44 =... d) del 89 =... e) del 1 =... f) del 360 =... 2 Bepaal de eerste

Nadere informatie

Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, mei 2007

Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, mei 2007 Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, mei 007 Opgave. a. Een beslissingsboom beschrijft de werking van het betreffende algoritme (gebaseerd op arrayvergelijkingen) op elke mogelijke invoer. In

Nadere informatie