Magische Vierkanten. Bart Michels PSA PRIME. Bart Michels Magische Vierkanten PSA PRIME 1 / 21

Transcriptie

1 Magische Vierkanten Bart Michels PSA PRIME Bart Michels Magische Vierkanten PSA PRIME / 2

2 Inhoud Magische vierkanten Definitie Eigenschappen Voorbeelden 2 Latijnse vierkanten Definitie onstructie Van Latijns naar magisch 3 De Siamese methode Voorbeeld Link met Latijnse vierkanten 4 n even Kroneckerproduct onway s LUX methode 5 Verdere ontwikkelingen Bart Michels Magische Vierkanten PSA PRIME 2 / 2

3 Magische vierkanten Definitie a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 3 a 2n A 2 Mat n n(g) a n a n2 a n3 a nn 8 >< a + a 2 + a a n = s. >: a n + a n2 + a n3 + + a nn = s 8 >< a + a 2 + a a n = s. >: a n + a 2n + a 3n + + a nn = s Bijkomende voorwaarden... (diagonalen) s: magische constante Bart Michels Magische Vierkanten PSA PRIME 3 / 2

4 Magische vierkanten Eigenschappen Vectorruimte (oplossingen van een zeker lineair stelsel) Traditioneel: getallen van t.e.m. n 2 (soms t.e.m. n 2 ) Magische constante: s = n n2 (n 2 +) 2 = n(n2 +) 2 Bart Michels Magische Vierkanten PSA PRIME 4 / 2

5 Magische vierkanten Voorbeelden Albrecht Dürer (54): Melencolica I B A Rijen, kolommen, diagonalen Hoeken Linkse twee - rechtse twee Middelste vier... Bart Michels Magische Vierkanten PSA PRIME 5 / 2

6 Magische vierkanten Voorbeelden Ramanujan: ( 22/2/887) B A B A + B2 2 3 A Bart Michels Magische Vierkanten PSA PRIME 6 / 2

7 Latijnse vierkanten Definitie Sudoku B A Toepassing: wedstrijd met n mensen, ieder koppel speelt keer Transformeren: rijen/kolommen verwisselen roteren transponeren Bart Michels Magische Vierkanten PSA PRIME 7 / 2

8 Latijnse vierkanten onstructie Doorschuifsysteem : 2 3 n n n n n n 3 n 2 n 2 n 2 n A Bart Michels Magische Vierkanten PSA PRIME 8 / 2

9 Latijnse vierkanten onstructie ayley-tabel van willekeurige groep: : B A 5 : B A Bart Michels Magische Vierkanten PSA PRIME 9 / 2

10 Latijnse vierkanten Van Latijns naar magisch Idee: A =(a ij )enb =(b ij )zijnn n Latijnse vierkanten met a ij = a kl =) b ij 6= b kl Dan: na + B is magisch Bestaan van zo n matrices: zie straks Voorbeeld (Ramanujan): B A + B2 2 3 A = B A Vergelijk met: B3 2 3 A + B2 2 3 A = B4 5 4 A Bart Michels Magische Vierkanten PSA PRIME / 2

11 De Siamese methode Voorbeeld Plaats ergens een A Plaats het volgende cijfer rechts boven het vorige. Wanneer op de bovenste rij en/of meest rechtse kolom, doe alsof de matrix een donut is. Indien een vakje al bezet is, ga naar onder i.p.v. rechtsboven. Probleem: diagonalen Bart Michels Magische Vierkanten PSA PRIME / 2

12 De Siamese methode Voorbeeld B A Schets van een bewijs: Methode met Latijnse vierkanten Zijdelengte n oneven In elke rij en elke kolom staat precies één getal uit elk interval [nk +, nk + n] voorallek 2 [, n ]. De getallen (modn) verschijnen volgens het patroon naar links, 2 naar onder. Dus elke rij en elke kolom bevat precies één (modn). als n oneven is.f Elke rij en elke kolom bevat precies één a (mod n) voorelke a 2 [, n]. Bart Michels Magische Vierkanten PSA PRIME 2 / 2

13 De Siamese methode Link met Latijnse vierkanten B A B A B A Bart Michels Magische Vierkanten PSA PRIME 3 / 2

14 De Siamese methode Link met Latijnse vierkanten Bijzonder soort Latijns vierkant: (orde n) Kies r met ggd(r, n) =, c willekeurig. Stel a ij =(i + rj + c) modn ggd(r, n) = =) Latijns vierkant B A B A r =, c = r = 2, c =3 r is als de richtingscoë (modulo n gezien). ciënt van de lijn waarop gelijke cijfers liggen Bart Michels Magische Vierkanten PSA PRIME 4 / 2

15 De Siamese methode Link met Latijnse vierkanten Magisch vierkant maken van orde n, Latijnse strategie: Maak A met rico r, B met rico s, ggd(r, n) = ggd(s, n) =. a ij = a kl =) b ij 6= b kl is voldaan a.s.a ggd(r s, n) =. na + B is magisch ggd(, 5) = ggd(2, 5) = ggd(2, 5) = : B A B A r =, c = s = 2, d =3 Zo n r, s bestaan enkel voor oneven n... Bart Michels Magische Vierkanten PSA PRIME 5 / 2

16 De Siamese methode Link met Latijnse vierkanten Diagonalen? Voldoende voorwaarden op A en B: ggd(r +, n) = ggd(r, n) = ( () elementen van resp. hoofd- en nevendiagonaal verschillen) Diagonaalelementen zijn allen n+ 2 (of n 2 indien men bij begint). (indien vorige niet voldaan) B A B A r =, c = s = 2, d =3 Siamese methode: ok indien eerste cijfer bovenaan in het midden. Ook als 3 n (ook voor andere s, eerste voorwaarde overbodig!) Bart Michels Magische Vierkanten PSA PRIME 6 / 2

17 n even Kroneckerproduct Siamese methode en veralgemening falen voor even n. Oplossingen? ayley-tabellen van goed gekozen groepen Terugvallen op kleinere vierkanten: n 2, n 4,...? Bart Michels Magische Vierkanten PSA PRIME 7 / 2

18 n even Kroneckerproduct Idee: magische vierkanten van orde m en n combineren tot mn. Neem n 2 kopieën van M en maak ze tot een (mn) 2 vierkant. Om alle getallen verschillend te maken tellen we iets op bij elke M in die matrix: het overeenkomstige element in N maal m 2 (J =( ) T ( ) 2 R m m ) Symbolisch: J M + m 2 N J M M M M n J n 2 J n n J M M M M n 2 J n 22 J n 2n J B m 2 M M M n n, J n n,2 J n n,n JA M M M M n n J n n2 J n nn J Bart Michels Magische Vierkanten PSA PRIME 8 / 2

19 n even onway s LUX methode John onway: de LUX-methode, voor n =4k +2 Maak een (2k + ) (2k + ) matrix met k +rijenl, riju s en k rijenx en. Wissel de middelste U om met de L erboven. Voor i =,...,(2k + ) 2,doe: Begin bij de middelste L bovenaan en ga per verhoging van i siameesgewijs naar de volgende letter. i +3 i i i +3 Vervang L door, U door en X door i + i +2 i + i +2 i i +3. i +2 i + L L L L L L L L L L L L L L L B L L U L U U L U UA X X X X X Bart Michels Magische Vierkanten PSA PRIME 9 / 2

20 Verdere ontwikkelingen Andere constructies: Strachey s methode (n =4k + 2) Reflectiemethode (n =2k) Medjig-methode (n = 2k), 26 Meer restricties: Panmagisch vierkant: elke diagonaal (doorlopend als op een torus) sommeert tot de magische constante ( veralgemeende Siamees-Latijnse strategie) Symmetrisch magisch vierkant (Latijnse methode, abelse groepen) Magisch vierkant van priemgetallen Veralgemeningen: Magische hyperkubus Magische zeshoek (bijenkorf-patroon) Magische cirkel Geomagisch vierkant Bart Michels Magische Vierkanten PSA PRIME 2 / 2

21 Verdere ontwikkelingen Priemgetallen A B A Green-Tao (24): Er zijn willekeurig lange rekenkundige rijen van priemgetallen. =) Er zijn willekeurig grote magische vierkanten met uitsluitend priemgetallen. Bart Michels Magische Vierkanten PSA PRIME 2 / 2

22 Verdere ontwikkelingen Priemgetallen A B A Green-Tao (24): Er zijn willekeurig lange rekenkundige rijen van priemgetallen. =) Er zijn willekeurig grote magische vierkanten met uitsluitend priemgetallen A Bart Michels Magische Vierkanten PSA PRIME 2 / 2