Security. Eerste tentamen

Transcriptie

1 Security Eerste tentamen

2 Het tentamen normale rekenmachine mag mee.

3 Gastpresentaties Weetvragen Lees je eigen aantekeningen goed door.

4 Malware Weetvragen

5 Introductiecollege Weetvragen! Kijk naar de lijst in de 1 e aantekeningen. Kerkoff, perfecte verhulling Caesar, one time pad Etc Bewijs opstellen: Bewijs dat iets perfect verhullend is Bewijs dat iets X tijd kost om te kraken denk ook aan kansrekening

6 DES/AES Globale view van het algoritme Hoe wordt er ge-encrypt, decrypt Hoeveel rondes Wordt de hele sleutel gebruikt? Globaal termen uit kunnen leggen in de algoritmen Feitjes: S-boxen Rij-rotaties Kolom-vermenigvuldiging XOR Hoe lang zijn de sleutels? Hoe lang duurt een aanval? 2DES, 3DES Rekenen in AES Polynomiaal lichaam Ken de snelle rekenmethode Weet ook waarom het werkt! Leg liever te veel uit op je tentamen dan te weinig Kansrekenen met sleutelkraken Kijk naar de opgaven en naar het hw

7 Groepen * Om berichten te versleutelen reken we in de groep Z m * De groep Z m zijn alle getallen a die een inverse hebben a * a -1 = 1 (mod m) Wat is de intuitie hierachter? Niet alle getallen onder de m zijn even nuttig * Z m := { a ggd(a,m) = 1} dan weten we zeker dat ze een inverse hebben * We noemen Z m gesloten onder vermenigvuldiging wanneer alle vermenigvuldiging er voor zorgt dat je binnen de groep blijft Ken de basiseigenschappen van een groep: a \in Z * m, ORD(a) ɸ(m) (komen we zo op terug) Lagrange: a ɸ(m) = 1 (mod m)

8 Subgroepen en een basis Merk op dat je elk getal m kan schrijven als een product van priemgetallen: m = i x_i p i Z m = Z (p1)^x1 x Z (p2)^x2 Z (pn)^xn in het bijzonder: Z pq = Z p

9 Z pq = Z p Wat betekent dat? De 1 dimensionale ruimte is gelijk aan het product van twee 1-dimensionale ruimtes Voor elk getal g in Z pq is er een uniek paar (a, b) in Z p Z pq = Z p x Z q vermenigvuldigen / optellen van g en g in Z pq is gelijk aan verm/optellen van (a,b) en (a, b )

10 Aantal elementen in een groep * Z m := { a ggd(a,m) = 1} de nuttige elementen Z p = p-1 Z (p^k) = p k - p k-1 hoe komen we hierop? Z (p^k)(q^l) = Z (p^k) x Z (q^l) zo kun je de ɸ(m) uitrekenen voor elke m

11 Extended Euclides Oplossingen voor x*p + y*q = C 43 * x + 38 * y = 1 Ik zet altijd de grootste op x Euclides zegt: reken de ggd uit 43-1 * 38 = * 5 = * 3 = * 2 = * 1 = 0 Operaties in de hoofdruimte zijn gelijk aan operaties op de x en y-as. De x-as was 43, de y-as was 38 (1,0) - 1* (0,1) = (1, -1) (0,1) - 7* (1,-1) = (-7, 8) (1,-1) - 1* (-7,8) = (8, -9) (-7,8) - 1 * (8, -9) = (-15, 17) oftewel x = -15, y = 17 Wat nou als we vragen: 43 * x + 38 * y = 27?

12 Z pq = Z p Voor elk getal g in Z pq is er een uniek paar (a, b) in Z p Hoe weten we dat? De volgende paar slides geven het antwoord in verhaalvorm, verderop volgt er een samenvatting.

13 Z pq -> Z p Wat willen we? Een manier, om van de grote groep, naar zijn 2 subgroepen te gaan. Een manier om gegeven een getal g het paar (a,b) te vinden Een functie f, die van de hoofdgroep naar de subgroepen gaat: f :: g -> (g (mod p), g (mod q)) = (a, b) Maar hoe komen we dan weer terug? f -1 :: g <-? (a, b) Extended euclides komt altijd eerst! Zie volgende slide

14 Z 43*31 -> Z 43 x Z 31 Ik zet zelf de grootste priem altijd op x Euclides zegt: reken de ggd uit 43-1 * 31= * 12 = * 7 = * 5 = * 2 = * 1 = 0 Extended euclides zegt: operaties vertalen zich naar een basis! (1,0) - 1* (0,1) = (1, -1) (0,1) - 2* (1,-1) = (-2, 3) (1,-1) - 1* (-2,3) = (3, -4) (-2,3) - 1 * (3, -4) = (-5, 7) (3, -4) - 2 * (-5, 7) = (13, -18) oftewel... 43* * (-18) = = = 1 (mod 1333) Wat betekent dit?

15 Z 43*31 -> Z 43 x Z 31 Extended euclides vertelde ons: = 1 (mod 1333) elk getal in Z 1333 is een veelvoud van 1 oftewel, elk getal is te schrijven als een paar keer een blokje van 559 plus een paar keer een blokje van 775! We hadden een functie f:: Z 43*31 -> Z 43 x Z 31 f (x) = ( x mod 43, y mod 31) We zoeken de functie f -1 :: Z 43 x Z 31 -> Z 43*31 f -1 (a, b) =? en we weten dat elk getal in Z 1333 te schrijven is als een veelvoud van 559 en

16 Z 43 x Z 31 -> Z 43*31 f -1 ( a, b) =? = 1 Idee: wat nou, als we a maal het ene blokje nemen, en b maal het andere blokje om het oorspronkelijke getal g te vinden? maar welke hoort bij welke? Stel je wil het uit je hoofd kennen: p *13 + q * (-18) = W p of q + W p of q = = 1 dan leer ik: W p staat bij q en omgekeerd. W p = 775 = q * (-18), W q = 559 Stel je wil het snappen: 43 = p hadden we op de x-as gezet. Dus het blokje dat bij p hoort, staat voor de x-as. f( 775) = (775 mod 43, 775 mod 31) = (1, 0) Dus 775 hoort bij de x-as... de x-as was W p. dus W p = 775! Wat is nu de inverse? f -1 ( a, b) = a * W p + b * W q = 775a + 559b

17 Z p*q <-> Z p de samenvatting We zoeken een manier om tussen de hoofdgroep en de subgroepen te communiceren. We hebben een functie f:: Z p*q -> Z p ik doe altijd: p > q f (g) = ( g mod p, g mod q) We kunnen ook terug met de inverse f -1 :: Z p -> Z p*q f -1 (a, b) = W p * a + W q * b W p en W q vindt je met extended euclides p is de x-as, dus f(w p ) = (1,0) q is de y-as, dus f(w q ) = (0, 1) Een typische opgave gaat als volgt: g en g zijn getallen in Z p*q bereken g * g f(g) = (a, b) f(g ) = (a, b ) dus: g * g in de hoofdruimte is gelijk aan: (a * a, b * b ) in de subruimtes a * a (mod p) = c, b * b (mod q) = d. dus het antwoord is: (c, d) in de subruimtes We willen het antwoord in de hoofdruimte: antwoord = f -1 (c, d) = W p * c + W q * d (mod p*q)

18 Z 43*31 <-> Z 43 x Z 31 de samenvatting met getallen We hebben een functie f:: Z > Z 43 x Z 31 f (g) = ( g mod p, g mod q) We kunnen ook terug met de inverse f -1 :: Z 43 x Z 31 -> Z 1333 f -1 (a, b) = W 43 * a + W 31 * b W 43 en W 31 vindt je met extended euclides 43 is de x-as, dus f(w 43 ) = f(775) = (1,0) 31 is de y-as, dus f(w 31 ) = f(559) = (0, 1) Een typische opgave gaat als volgt: 32 en 12 zijn getallen in Z p*q bereken 32 * 12 f(32) = (32, 1) f(12) = (12, 12) dus: 32 * 12 in de hoofdruimte is gelijk aan: (32 * 12, 1 * 12) in de subruimtes 32 * 12 (mod 43) = 40, 1 * 12 (mod 31) = 12. dus het antwoord is: (40, 12) in de subruimtes We willen het antwoord in de hoofdruimte: antwoord = f -1 (40, 12) = W p * 40 + W q * 12 = 775* * 12 (mod 1333) = 384 en het klopt!

19 Worteltrekken Laat g in Z pq = Z p Vraag: wat is wortel(g)?

20 Worteltrekken Onthoud: we kunnen alleen wortels trekken in Z p voor p priem. de vraag was: Laat g in Z pq = Z p wat is wortel(g)? het enige wat we dus kunnen doen, is het uitrekenen in de subgroepen f(g) = (g (mod p), g (mod q)) = (a, b) a leeft in de ruimte Z p met p priem. Dus we zouden de wortel moeten kunnen trekken als: 4 (p+1) dan: wortel(a) = (+-) a (p+1)/4 (mod p) = (+-) c als: 4 (q+1) dan: wortel(b) = (+-) b (p+1)/4 (mod q) = (+-) d als dat niet geldt, dan zul je de wortel van a of b zelf met de hand uit moeten rekenen. We weten dus: wortel(a) en wortel(b) in de subruimtes. dit geeft 4 antwoorden: (c, d), (-c, d) (-c, -d) (c, -d) deze antwoorden zijn de antwoorden in de subgroepen, we willen het antwoord in de hoofdgroep. De 4 antwoorden worden gegeven door f -1 (c, d) f -1 (-c, d) f -1 (-c, -d) f -1 (c, -d)

21 Andere dingen die je misschien nodig hebt: Stream cipher Indisch machtsverheffen hoe snel gaat vermenigvuldigen van bits? Hexadecimale notatie Discrete log berekekenen priemfactoren NP Wet van Moore