De cryptografie achter Bitcoin
|
|
- Dries Devos
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 De cryptografie achter Bitcoin Benne de Weger augustus 2018 digitale handtekeningen 1 doel: authenticatie sterke verbinding aanleggen tussen een document en een identiteit wordt doorgaans handtekening genoemd digitale handtekening kan met behulp van asymmetrische cryptografie ondertekenaar moet iets gebruiken wat alléén zij heeft daar kan een privé-sleutel voor dienen een handtekening moet voor iedereen te checken zijn daar kan een publieke sleutel voor dienen
2 digitale handtekeningen 2 tekst tekst hash versturen hash hash ondertekenen handtekening handtekening hash privésleutel publieke sleutel sleutelpaar publieke sleutel JA of NEE digitale handtekeningen met RSA 3 Alice heeft een bericht m en een RSA sleutelpaar: publieke sleutel n, e ; privé-sleutel (n,) d Alice berekent een hash h = h(m) ondertekent met machtsverheffing met de privé-sleutel: s h d (mod n) Bob berekent onafhankelijk van Alice de hash: h = h(m) en Bob verifieert de handtekening: is s e h (mod n)?
3 digitale handtekeningen met DSA 4 parameters: groep F p * met een Discrete Logaritme-Probleem voortbrenger g van een ondergroep van orde priemgetal q (deler van p-1) Alice maakt sleutelpaar: privé-sleutel x willekeurig, 1 < x < q-1, publieke sleutel y g x (mod p) Alice ondertekent: berekent hash h kiest eenmalig getal k, 1 < k < q-1 berekent r g k (mod p) en s (h + x r) / k (mod q), handtekening: r, s Bob verifieert: berekent weer hash h berekent u 1 (h / s (mod p)) (mod q), u 2 r / s (mod q) gaat na of r (g u 1y u 2 (mod p)) (mod q) de Bitcoin-kromme 5 Bitcoin-kromme: y 2 = x x, y reëel x, y in F p met p = 397
4 optellen op de Bitcoin-kromme 6 S = P + Q P = (x,y) -P = (x,-y) S = 2P (raaklijn) addition law doubling law punt op oneindig (geen co rdinaten) P + = P P + (-P) = optelwet op Bitcoin-kromme 7 met als de nul gelden alle gewone eigenschappen van optellen commutativiteit: (volgorde doet er niet toe) P + Q = Q + P volgt direct uit de definitie associativiteit (je mag haakjes verzetten) (P + Q) + T = P + (Q + T) is echt lastig te bewijzen scalaire vermenigvuldiging: n P = P + P + + P 0 P = Bitcoin-kromme is een additieve groep
5 Bitcoin-kromme: klein voorbeeld, p = punten, er is een voortbrenger: P = (4,4) orde van een punt Q: de kleinste positieve n zodat n Q = (orde altijd een deler van aantal punten) Bitcoin-kromme is een additieve groep er zijn ondergroepen, bv. (2,9),(5,0),(2,2), voortgebracht door (2,9) deze groep lijkt wel op F p * (multiplicatieve groep) maar vertaal alles van multiplicatief naar additief: machtsverheffen wordt scalair vermenigvuldigen Bitcoin scalaire vermenigvuldiging 9 punt P met getal n vermenigvuldigen: gebruik verdubbel-en-optel-methode 23 = (binaire schrijfwijze) dus 23P = 16P +4P +2P +P kost 3 optellingen na 4 verdubbelingen: P 2P 4P 8P 16P n P kost maximaal log 2 n optellingen na log 2 n verdubbelingen
6 Bitcoin Discrete Logaritme 10 gegeven p, een voortbrenger P en een punt Q, kun je de n vinden zodat Q = np? dit is het Bitcoin Discrete Logaritme-probleem en dit is een erkend moeilijk probleem beter dan brute kracht: er is een methode die het in n 1/2 stappen doet nog steeds exponentieel er is geen sub-exponentiële methode bekend zoals voor Discrete Logaritmen over F p * de echte Bitcoin-kromme secp256k1 11 y 2 = x over F p met (hexadecimale notatie) p = FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFE FFFFFC2F voortbrenger van de kromme: G = (x G,y G ): x G = 79BE667E F9DCBBAC 55A06295 CE870B07 029BFCDB 2DCE28D9 59F2815B 16F81798 y G = 483ADA77 26A3C465 5DA4FBFC 0E1108A8 FD17B448 A C47D08F FB10D4B8 orde van G = aantal punten op de Bitcoin-kromme n = FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFE BAAEDCE6 AF48A03B BFD25E8C D dit is een priemgetal (dus er zijn geen echte ondergroepen)
7 Bitcoin Diffie-Hellman 12 alle cryptosystemen gebaseerd op Discrete Logaritmen in F p * kun je direct overzetten naar cryptosystemen op de Bitcoin-kromme Diffie-Hellman: Alice maakt privé-sleutel x A, publieke sleutel P A = x A G Bob maakt privé-sleutel x B, publieke sleutel P B = x B G Alice maakt gedeelde geheim S A = x A P B Bob maakt gedeelde geheim S B = x B P A dan geldt S A = S B Bitcoin ElGamal versleuteling 13 Alice en Bob maken een gedeeld geheim S met Bitcoin-Diffie-Hellman neem nu bv. de x-coordinaat x S van S versleutelen: c mx S (mod p) ontsleutelen: m c/x S (mod p)
8 Bitcoin ECDSA-digitale handtekening 14 Sleutelpaar van Alice: privé-sleutel: random x between 1 and n publieke sleutel: Q = x G Alice berekent een dubbele hash h = SHA256(SHA256(m)) kiest eenmalig getal k, 1 < k < n-1 berekent R = k G en r = x-co rdinaat van R berekent s (h + x r) / k (mod n), handtekening: r, s Bob verifieert: berekent weer hash h berekent u 1 h / s (mod n), u 2 r / s (mod n) gaat na of r de x-co rdinaat van R = u 1 G + u 2 Q is hashfuncties 15 doel van hashfunctie: unieke korte identificatie van digitaal bericht input: rijtje bits m van willekeurige lengte output: rijtje bits h(m) van vaste lengte n tegenwoordig van 256 bits compressie heet vaak hash, hashwaarde, digest, vingerafdruk h(m) is makkelijk uit te rekenen uit m geen geheime informatie, geen sleutel
9 hashbotsingen 16 m 1, m 2 zijn een botsing voor hashfunctie h als h(m 1 )=h(m 2 ) terwijl ik ben jou 100 verschuldigd ik ben jou 5000 verschuldigd verschillende documenten m 1 m 2 er bestaan oneindig veel botsingen dezelfde hash = botsing maar vind er maar eens een... origineel 17 gegeven h 0, dan heet m een origineel van h 0 als h(m) = h 0 originelen moeten ''onmogelijk'' te vinden zijn X
10 tweede origineel 18 gegeven m 0, dan heet m een tweede origineel van m 0 als h(m) = h(m 0 )? terwijl m m 0 tweede origineel moet ook moeilijk te vinden zijn X toepassingen van hashfuncties 19 asymmetrische digitale handtekeningen bescherming integriteit (checksum) eenrichtings-versleuteling voor bescherming van wachtwoorden commitment op kennis voorspellingen bewijs van werk cryptomunten als Bitcoin pseudo-random getallen maken enzovoorts
11 brute kracht-aanvallen op hashfuncties 20 hashlengte = k bits: om (tweede) origineel te vinden: probeer willekeurige inputs, aantal benodigd voor redelijke kans op een hit: 2 k om botsing te vinden: probeer willekeurige inputs, vergelijk alle paren aantal benodigd voor redelijke kans op een hit: 2 k/2 (verjaardagsparadox) vandaar is hashlengte altijd dubbele van symmetrische sleutellengte ontwerp SHA256 - Merkle-Damgård 21
12 ontwerp SHA256 - compressiefunctie 22 technieken lijken op ontwerp van symmetrische versleuteling voor details: zie boekje hashes als "bewijs van werk" (Bitcoin) 23 idee: een hashwaarde is zo goed mogelijk random als je een hashwaarde met structuur ziet, is er net zolang gerekend tot die structuur een keer toevallig is opgedoken temidden van alle willekeur bijvoorbeeld: probeer een input te vinden waarvan de hashwaarde de eerste 20 bits allemaal 0 heeft kans hierop: 1 op de 2 20 verwachte aantal pogingen om dit te bereiken: 2 20 de input is het bewijs: m = FRFLLCRHBXCYUOOXOTIETULOPMQFOEBTHUTYYJPPRSOJOCNHQQ de hashwaarde verifieert het bewijs SHA256(m) = 00000CC1 C71511D8 3641ED08 401A7603 D9FEB F7DCB 96B4752C A269081B
Cryptografie: de wetenschap van geheimen
Cryptografie: de wetenschap van geheimen Benne de Weger b.m.m.d.weger@tue.nl augustus 2018 Cryptografie als Informatiebeveiliging 1 beveiliging: doe iets tegen risico s informatie-risico s en eisen: informatie
Cryptografische beveiliging op het Internet
Cryptografische beveiliging op het Internet Benne de Weger b.m.m.d.weger@tue.nl augustus 2018 hybride cryptografie 1 klare symmetrische versleuteling geheimschrift versturen geheimschrift symmetrische
De wiskunde achter de Bitcoin
De wiskunde achter de Bitcoin Bas Edixhoven Universiteit Leiden NWD, Noordwijkerhout, 2015/01/31 Deze aantekeningen zal ik op mijn homepage plaatsen. Bas Edixhoven (Universiteit Leiden) De wiskunde achter
niet: achterop een ansichtkaart schrijven postbode (en wie al niet meer) leest mee
Het geheim van goede koffie Benne de Weger oktober 2013 b.m.m.d.weger@tue.nl http://www.win.tue.nl/~bdeweger versturen van geheimen hoe moet je een geheim opsturen als onderweg iemand kan afluisteren?
Elliptische krommen en digitale handtekeningen in Bitcoin
Elliptische krommen en digitale handtekeningen in Bitcoin Bas Edixhoven Universiteit Leiden KNAW Bitcoin symposium Deze aantekeningen zal ik op mijn homepage plaatsen. Bas Edixhoven (Universiteit Leiden)
Tweede Huiswerk Security 26 of 28 oktober, 11.00, Nabespreken op Werkcollege.
Tweede Huiswerk Security 26 of 28 oktober, 11.00, Nabespreken op Werkcollege. Kijk het huiswerk van je collega s na en schrijf de namen van de nakijkers linksboven en het totaalcijfer rechts onder de namen
Tweede Toets Security 9 november 2016, , Educ-α.
Tweede Toets Security 9 november 2016, 8.30 10.30, Educ-α. Motiveer je antwoorden kort! Zet je mobiel uit. Stel geen vragen over deze toets; als je een vraag niet duidelijk vindt, schrijf dan op hoe je
RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002
RSA F.A. Grootjen 8 maart 2002 1 Delers Eerst wat terminologie over gehele getallen. We zeggen a deelt b (of a is een deler van b) als b = qa voor een of ander geheel getal q. In plaats van a deelt b schrijven
Public Key Cryptography. Wieb Bosma
Public Key Cryptography de wiskunde van het perfecte kopje koffie Wieb Bosma Radboud Universiteit Nijmegen Bachelordag 2 april 2011 Nijmegen, 6 november 2010 0 Nijmegen, 6 november 2010 1 cryptografie
MCRE - Modulaire en Cryptografische Rekenmachine met Elliptische Krommen - Handleiding
1 MCRE - Modulaire en Cryptografische Rekenmachine met Elliptische Krommen - Handleiding 1. Inleiding De MCRE-software is ontwikkeld voor educatief gebruik. In de eerste plaats bevat de software een modulaire
Opgaven Discrete Logaritme en Cryptografie Security, 22 okt 2018, Werkgroep.
Opgaven Discrete Logaritme en Cryptografie Security, 22 okt 2018, Werkgroep. Gebruik deze opgaven, naast die uit het boek, om de stof te oefenen op het werkcollege. Cijfer: Op een toets krijg je meestal
Zoek- en sorteeralgoritmen en hashing
Zoek- en sorteeralgoritmen en hashing Femke Berendsen (3689301) en Merel van Schieveen (3510190) 9 april 2013 1 Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Zoek- en sorteeralgoritmen 3 2.1 Grote O notatie..........................
Code signing. Door: Tom Tervoort
Code signing Door: Tom Tervoort Wat is code signing? Digitale handtekening onder stuk software Geeft garanties over bron Voorkomt modificatie door derden Bijvoorbeeld met doel malware toe te voegen Ontvanger
Zwakke sleutels voor RSA
Zwakke sleutels voor RSA Benne de Weger, Mike Boldy en Hans Sterk 23 juni 2008 Zwakke sleutels voor RSA Benne de Weger, Mike Boldy en Hans Sterk 23 juni 2008 RSA: beroemd cryptosysteem Genoemd naar Rivest,
slides10.pdf December 5,
Onderwerpen Inleiding Algemeen 10 Cryptografie Wat is cryptography? Waar wordt cryptografie voor gebruikt? Cryptographische algoritmen Cryptographische protocols Piet van Oostrum 5 dec 2001 INL/Alg-10
Het programma ELGAMAL
Het programma ELGAMAL Gerard Tel Universiteit Utrecht, Departement Informatica 21 oktober 2005 Dit boekje is een inhoudelijke beschrijving van het programma ELGAMAL dat door Gerard Tel is geschreven voor
Cryptografie met behulp van elliptische krommen
Cryptografie met behulp van elliptische krommen Bachelorscriptie Wiskunde Erik van der Kouwe Studentnummer 1397273 E-mail: erik@erisma.nl Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit Exacte Wetenschappen Afdeling
Lesbrief knapzak-cryptografiesysteem
Lesbrief knapzak-cryptografiesysteem 1 Inleiding cryptografie Cryptografie gaat over het versleutelen (encrypten) van vertrouwelijke of geheime boodschappen. Als jij in WhatApp voor het eerst contact legt
Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002
Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002 19.a) Laat zien dat 5 een voortbrenger is van F 37. b) In het sleuteldistributiesysteem van Diffie en Hellman (met G = F 37, α =
De digitale handtekening
De digitale handtekening De rol van de digitale handtekening bij de archivering van elektronische documenten Prof. dr. Jos Dumortier http://www.law.kuleuven.ac.be/icri Probleemstelling: «integriteit» Elektronisch
Toetsbundel 2 Security 13 juli 2017, Gerard Tel, WerkCollege.
Toetsbundel 2 Security 13 juli 2017, Gerard Tel, WerkCollege. Deze bundel bevat een collectie van toetsvragen voor het vak Security. Op deze bundel geldt auteursrecht! Verwijs naar de website http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/b3sec/,
Bitcoin EEN D I G I TA LE MUNTEENHEID ALS A LT E R NAT IEF VO O R BESTA A NDE MUNTEN
Door: Begeleiding: Tim van Pelt Gerard Tel Bitcoin EEN D I G I TA LE MUNTEENHEID ALS A LT E R NAT IEF VO O R BESTA A NDE MUNTEN Is Bitcoin functionerend en veilig alternatief voor bestaande munten? Inhoud
Netwerken. Beveiliging Cryptografie
Netwerken 15 Beveiliging Cryptografie Lennart Herlaar 2 november 2016 Onderwerpen Beveiliging Cryptografie Cryptografische algoritmen en protocollen Toepassing van cryptografie in beveiliging Lennart Herlaar
8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde
8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige
We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.
II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;
Restsystemen 183 Oplossen van lineaire vergelijkingen 190 Structuren met één bewerking 192 Structuren met twee bewerkingen
Inhoud Dankwoord 15 Hoofdstuk 1 Instapwiskunde 17 1.1 Letterrekenen 18 Reële getallen 18 Reële veeltermen 23 1.2 Vergelijkingen met één onbekende 25 Lineaire vergelijkingen 25 Kwadratische vergelijkingen
Algoritmes en Priemgetallen. Hoe maak je een sleutelpaar voor RSA?
Algoritmes en Priemgetallen Hoe maak je een sleutelpaar voor RSA? Het recept van RSA Kies p q priemgetallen en bepaal N = pq Kies e Z N (publieke sleutel) Bepaal d e 1 mod φ N (privésleutel) x ed x kφ
aé=êçä=î~å=çé=åêóéíçäçöáé=éå=çé=çáöáí~äé=ü~åçíéâéåáåö= áåò~âé=çé=îéáäáöüéáç=î~å=éäéâíêçåáëåüé=áåñçêã~íáéj ìáíïáëëéäáåö
aé=êçä=î~å=çé=åêóéíçäçöáé=éå=çé=çáöáí~äé=ü~åçíéâéåáåö= áåò~âé=çé=îéáäáöüéáç=î~å=éäéâíêçåáëåüé=áåñçêã~íáéj ìáíïáëëéäáåö müáäáééé=p`eo^bmbk éêçãçíçê=w mêçñkçêkáê=cê~åë=ibjbfob = báåçîéêü~åçéäáåö=îççêöéçê~öéå=íçí=üéí=äéâçãéå=î~å=çé=öê~~ç=
Hoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken. Benne de Weger
Hoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken Benne de Weger 28 aug. / 4 sept. RSA 1/38 asymmetrisch cryptosysteem versleutelen met de publieke sleutel ontsleutelen met de bijbehorende privé-sleutel gebaseerd
Geheimschrift op de TI-83+
Geheimschrift op de TI-83+ Gerard Tel Universiteit Utrecht, Departement Informatica 11 november 2015 Wat kun je verwachten? Cryptografie is: het verzinnen en gebruiken van geheimschriften, oftewel codes
8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde
8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige
Probabilistische aspecten bij public-key crypto (i.h.b. RSA)
p. 1/21 Probabilistische aspecten bij public-key crypto (i.h.b. RSA) Herman te Riele, CWI Amsterdam Nationale Wiskunde Dagen Noordwijkerhout, 31 januari 2015 p. 2/21 verzicht Binair exponentiëren RSA Factorisatie-algoritmen
Tweede Toets Security Woensdag 8 november 2017, , Educ-α.
Tweede Toets Security Woensdag 8 november 2017, 8.30 10.30, Educ-α. Motiveer je antwoorden kort! Stel geen vragen over deze toets; als je een vraag niet duidelijk vindt, schrijf dan op hoe je de vraag
informatica. cryptografie. overzicht. hoe & wat methodes belang & toepassingen moderne cryptografie
informatica cryptografie overzicht hoe & wat methodes belang & toepassingen moderne cryptografie 1 SE is op papier hoe & wat vragen komen uit methode en verwijzingen die in de methode staan in mappen RSA
De wiskunde en toepassing. van de cryptologie
De wiskunde en toepassing van de cryptologie Honours Class TU/e 4 Januari 2010 Henk C.A. van Tilborg 1 Beschermen van digitale gegevens. Bijna alle informatie (muziek, video, foto's, documenten, bestanden)
Tweede Toets Security 2 november 2015, , Educ-α.
Tweede Toets Security 2 november 2015, 8.30 10.30, Educ-α. Motiveer je antwoorden kort! Zet je mobiel uit. Stel geen vragen over deze toets; als je een vraag niet duidelijk vindt, schrijf dan op hoe je
Toepassingen van de Wiskunde in de Digitale Wereld
Toepassingen van de Wiskunde in de Digitale Wereld Eindhoven 17 juli 2010 Henk van Tilborg Technische Universiteit Eindhoven 1 Beschermen van digitale gegevens. Bijna alle informatie (muziek, video, foto's,
Gehelen van Gauss. Hector Mommaerts
Gehelen van Gauss Hector Mommaerts 2 Hoofdstuk 1 Definities Gehelen van Gauss zijn complexe getallen van de vorm a + bi waarbij a, b Z. De verzameling van alle gehelen van Gauss noteren we met Z(i). Dus
Het RSA Algoritme. Erik Aarts - 1 -
Het RSA Algoritme Erik Aarts - 1 - 1 Wiskunde... 3 1.1 Het algoritme van Euclides... 3 1.1.1 Stelling 1... 4 1.2 Het uitgebreide algoritme van Euclides... 5 1.3 Modulo rekenen... 7 1.3.1 Optellen, aftrekken
Opgaven RSA Security, 15 okt 2018, Werkgroep.
Opgaven RSA Security, 15 okt 2018, Werkgroep. Gebruik deze opgaven, naast die uit het boek, om de stof te oefenen op het werkcollege. Cijfer: Op een toets krijg je meestal zes tot acht opgaven. 1. Rabin:
Uitwerkingen toets 12 juni 2010
Uitwerkingen toets 12 juni 2010 Opgave 1. Bekijk rijen a 1, a 2, a 3,... van positieve gehele getallen. Bepaal de kleinst mogelijke waarde van a 2010 als gegeven is: (i) a n < a n+1 voor alle n 1, (ii)
7 Deelbaarheid. 7.1 Deelbaarheid WIS7 1
WIS7 1 7 Deelbaarheid 7.1 Deelbaarheid Deelbaarheid Voor geheeltallige d en n met d > 0 zeggen we dat d een deler is van n, en ook dat n deelbaar is door d, als n d een geheel getal is. Notatie: d\n k
Geheimschrift op de TI-83+ Gerard Tel
Geheimschrift op de TI-83+ Gerard Tel Department of Information and Computing Sciences, Utrecht University Technical Report UU-CS-2006-017 www.cs.uu.nl ISSN: 0924-3275 Geheimschrift op de TI-83+ Gerard
Verzamelingen deel 3. Derde college
1 Verzamelingen deel 3 Derde college rekenregels Een bewerking op A heet commutatief als voor alle x en y in A geldt dat x y = y x. Een bewerking op A heet associatief als voor alle x, y en z in A geldt
Hash-functies onder vuur
De situatie van MD5 en SHA-1 Hash-functies onder vuur Auteur: Benne de Weger > Benne (dr B.M.M.) de Weger is universitair docent in de cryptologie-groep van de Faculteit Wiskunde en Informatica van de
Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters
Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................
De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk
De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk In het vorige college hebben jullie gezien wat R 2 (het vlak) is. Een vector v R 2 is een paar v = (x,y) van reële getallen. Voor vectoren v = (a,b) en w = (c,d) in
Algoritmes in ons dagelijks leven. Leve de Wiskunde! 7 April 2017 Jacobien Carstens
Algoritmes in ons dagelijks leven Leve de Wiskunde! 7 April 2017 Jacobien Carstens Wat is een algoritme? Een algoritme is een eindige reeks instructies die vanuit een gegeven begintoestand naar een beoogd
Bijlage C Wegwijzers. C.1 Didactische wegwijzer. C.2 Antwoorden wegwijzer
Bijlage C Wegwijzers Via weblink http://www.wiskundevoorit.be loodsen we jou zowel naar interacties, downloadbaar materiaal als de reflecteer-antwoorden per hoofdstuk. Wij houden ons ook ten allen tijde
Security. Eerste tentamen
Security Eerste tentamen Het tentamen normale rekenmachine mag mee. Gastpresentaties Weetvragen Lees je eigen aantekeningen goed door. Malware Weetvragen Introductiecollege Weetvragen! Kijk naar de lijst
Drempelbeveiling mogelijk maken voor RFID
Drempelbeveiling mogelijk maken voor RFID Philippe Jeurissen Thesis voorgedragen tot het behalen van de graad van Master in de ingenieurswetenschappen: elektrotechniek, optie Geïntegreerde elektronica
Groepen, ringen en velden
Groepen, ringen en velden Groep Een groep G is een verzameling van elementen en een binaire operator met volgende eigenschappen: 1. closure (gesloten): als a en b tot G behoren, doet a b dat ook. 2. associativiteit:
Informatie coderen en kraken
1 Introductie Informatie coderen en kraken een cryptografie workshop door Ben van Werkhoven en Peter Peerdeman In dit practicum cryptografie raak je bekend met een aantal simpele vormen van cryptografie
??? Peter Stevenhagen. 7 augustus 2008 Vierkant voor wiskunde
1 ??? Peter Stevenhagen 7 augustus 2008 Vierkant voor wiskunde 2 Wiskunde en cryptografie Peter Stevenhagen 7 augustus 2008 Vierkant voor wiskunde 3 Crypto is voor iedereen Peter Stevenhagen 7 augustus
Tweede Deeltoets Security 3 juli 2015, 8.30 10.30, Educatorium-Γ.
Tweede Deeltoets Security 3 juli 2015, 8.30 10.30, Educatorium-Γ. Motiveer je antwoorden kort! Zet je mobiel uit. Stel geen vragen over deze toets; als je een vraag niet duidelijk vindt, schrijf dan op
Cryptografie met krommen. Reinier Bröker. Universiteit Leiden
Cryptografie met krommen Reinier Bröker Universiteit Leiden Nationale Wiskundedagen Februari 2006 Cryptografie Cryptografie gaat over geheimschriften en het versleutelen van informatie. Voorbeelden. Klassieke
Definitie 1.1. Een groep is een verzameling G, uitgerust met een bewerking waarvoor geldt dat:
Hoofdstuk 1 Eerste begrippen 1.1 Wat is een groep? Definitie 1.1. Een groep is een verzameling G, uitgerust met een bewerking waarvoor geldt dat: 1. a, b G : a b G 2. a, b, c G : a (b c) = (a b) c = a
1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12
Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal
PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5
2015-2015 PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5 Inhoud Kenmerken van deelbaarheid (herhaling)...1 Ontbinden in factoren...1 Priemgetallen (herhaling)...2 Ontbinden in priemfactoren...2 KGV (Kleinste Gemene
Agenda SSN Week 3. Gastcollege Stemcomputers Gastcollege PKI Secret key Public Key Hashes DES AES Praktikum: Cryptool en RSAFAQ
Agenda SSN Week 3 Gastcollege Stemcomputers Gastcollege PKI Secret key Public Key Hashes DES AES Praktikum: Cryptool en RSAFAQ Projecten Consultancy vraag Werken in groepen van 4 Niet in de samenstelling
OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN
OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN 1.3.1. Er zijn 42 mogelijke vercijferingen. 2.3.4. De uitkomsten zijn 0, 4 en 4 1 = 4. 2.3.6. Omdat 10 = 1 in Z 9 vinden we dat x = c 0 +... + c m = c 0 +... + c m. Het getal
Elliptische krommen en hun topologische aspecten
Elliptische krommen en hun topologische aspecten René Pannekoek 25 januari 2011 Dit is een korte introductie tot elliptische krommen voor het bachelorseminarium van de Universiteit Leiden. De bespreking
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 2 Gröbnerbases 1. Vragen We hebben gezien dat de studie van stelsels polynoomvergelijkingen in meerdere variabelen op natuurlijke manier leidt
Opgaven Signatures Security, 17 okt 2018, Werkgroep.
Opgaven Signatures Security, 17 okt 2018, Werkgroep. Gebruik deze opgaven, naast die uit het boek, om de stof te oefenen op het werkcollege. Cijfer: Op een toets krijg je meestal zes tot acht opgaven.
Rekenen met cijfers en letters
Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................
Masterproef Een bibliotheek van cryptografische operaties met Lava
2014 2015 FACULTEIT INDUSTRIËLE INGENIEURSWETENSCHAPPEN master in de industriële wetenschappen: elektronica-ict Masterproef Een bibliotheek van cryptografische operaties met Lava Promotor : dr. Kris AERTS
Eerste Deeltoets Security 22 mei 2015, , Beatrix 7e.
Eerste Deeltoets Security 22 mei 2015, 13.30 15.30, Beatrix 7e. Motiveer je antwoorden kort! Zet je mobiel uit. Stel geen vragen over deze toets; als je een vraag niet duidelijk vindt, schrijf dan op hoe
Profielwerkstuk Informatica en Wiskunde Is RSA-cryptografie nu veilig genoeg en wat betekent dit voor de toekomst van digitale beveiliging?
Profielwerkstuk Informatica en Wiskunde Is RSA-cryptografie nu veilig genoeg en wat betekent dit voor de toekomst van digitale beveiliging? Door Nahom Tsehaie en Jun Feng Begeleiders: David Lans en Albert
Digitale Handtekeningen: een experimentele vergelijking
Centrum voor Wiskunde en Informatica REPORTRAPPORT Digitale Handtekeningen: een experimentele vergelijking D.E. Wilschut Modelling, Analysis and Simulation (MAS) MAS-N0001 August 31, 2000 Report MAS-N0001
Digitale geldtransacties. Stefanie Romme Wiskunde, Bachelor Begeleider: Wieb Bosma
Digitale geldtransacties Stefanie Romme 3013170 Wiskunde, Bachelor Begeleider: Wieb Bosma Radboud Universiteit Nijmegen 5 juli 2012 Samenvatting Sinds de opkomst van het internet zijn elektronische geldtransacties
FACTORISATIE EN CRYPTOGRAFIE
FACTORISATIE EN CRYPTOGRAFIE UvA-MASTERCLASS WISKUNDE 1993 P. Stevenhagen Faculteit Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam 1993 INLEIDING In deze masterclass zullen we ons voornamelijk bezighouden
2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.
Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt
6 Ringen, lichamen, velden
6 Ringen, lichamen, velden 6.1 Polynomen over F p : irreducibiliteit en factorisatie Oefening 6.1. Bewijs dat x 2 + 2x + 2 irreducibel is in Z 3 [x]. Oplossing 6.1 Aangezien de veelterm van graad 3 is,
11. Les 11 Vermenigvuldigen met 1. CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie.
11. Les 11 Vermenigvuldigen met 1 Auteur Its Academy Laatst gewijzigd Licentie Webadres 18 December 2014 CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie http://maken.wikiwijs.nl/45945 Dit lesmateriaal
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 5 J.Keijsper (TUE)
Massa punten. Hector Mommaerts
Massa punten Hector Mommaerts 2 Hoofdstuk 1 Definities Een massa punt is een paar (n, P ), waarbij n een positief getal is en het gewicht genoemd wordt en waarbij P een punt is. Soms gebruikt men ook de
Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte
Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper
Examen Algoritmen en Datastructuren III
Derde bachelor Informatica Academiejaar 2008 2009, eerste zittijd Examen Algoritmen en Datastructuren III Naam :.............................................................................. Stellingen
Code signing. Het mechanisme. Tom Tervoort
Code signing Tom Tervoort Code signing is een methode om gedistribueerde software te beveiligen en om de ontvanger van deze software een garantie te geven van authenticiteit en integriteit: dit houdt in
3.1 Haakjes wegwerken [1]
3.1 Haakjes wegwerken [1] Oppervlakte rechthoek (Manier 1): Opp. = l b = (a + b) c = (a + b)c Oppervlakte rechthoek (Manier 2): Opp. = Opp. Groen + Opp. Rood = l b + l b = a c + b c = ac + bc We hebben
ANTWOORDEN blz. 1. d. 345 + 668 = 1013; 61 007 + 50 215 = 111 222; 102 240 30 628 = 71 612; 1 000 000 1 = 999 999
ANTWOORDEN blz. 3 a. Zeer onwaarschijnlijk Zeer onwaarschijnlijk a. Dan heb je ergens een schuld uitstaan 86 Dan hadden beide een kopie van de kerfstok; om fraude te voorkomen a. MMXII, MCCCXXVII, DLXXXVI,
Quantumcryptografie Systemen brekende algoritmes
Radboud Universiteit Nijmegen Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Quantumcryptografie Systemen brekende algoritmes Auteur: Sandra van Dijk (4063252) Begeleider: Wieb Bosma Versie
verschil vervanging = (A A ) (A B ) distributie = U (A B ) inverse = A B identiteit
e. A (A B ) = A (A B ) verschil vervanging = (A A ) (A B ) distributie = U (A B ) inverse = A B identiteit = B A = B A = B A = B A Conclusie: de stelling is juist. = B A commutativiteit dubbel complement
Lessenserie Cryptografie
Een van de meest tot de verbeelding sprekende voorgestelde keuzeonderwerpen is cryptografie Onafhankelijk van elkaar gingen Monique Stienstra en Harm Bakker aan de slag om lesmateriaal te ontwikkelen en
Eigenschap (Principe van welordening) Elke niet-lege deelverzameling V N bevat een kleinste element.
Hoofdstuk 2 De regels van het spel 2.1 De gehele getallen Grof gezegd kunnen we de (elementaire) getaltheorie omschrijven als de wiskunde van de getallen 1, 2, 3, 4,... die we ook de natuurlijke getallen
Aanvullingen bij Hoofdstuk 6
Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W
DomJudge-Practicum. Open Dag UU
1 Introductie DomJudge-Practicum Open Dag UU Bij veel vakken die je volgt tijdens je studie informatica aan de UU, moet je programmeeropdrachten maken. Soms moet je die inleveren zodat ze door de docent
Proeftentamen Digitale technieken
Proeftentamen Digitale technieken André Deutz October 17, 2007 De opgaven kunnen uiteraard in willekeurige volgorde gemaakt worden geef heel duidelijk aan op welke opgave een antwoord gegegeven wordt.
Wireshark. Open Source Vroeger Ethereal Wireless kan lastig zijn
Agenda SSN Week 3 Protocolanalyse Wireshark Doorlopen boek Voorbereiding SSN Project Secret key Public Key Hashes DES AES Praktikum: Cryptool en RSAFAQ Wireshark Open Source Vroeger Ethereal Wireless kan
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 6 26 september 2016 1 Hoofdstuk 3.1 en 3.2 Matrix operaties Optellen van matrices Matrix vermenigvuldigen met een constante Matrices vermenigvuldigen Machten
in alle mogelijke mediaformaten, - bestaande en in de toekomst te ontwikkelen -, aan de Universiteit Hasselt.
Auteursrechterlijke overeenkomst Opdat de Universiteit Hasselt uw eindverhandeling wereldwijd kan reproduceren, vertalen en distribueren is uw akkoord voor deze overeenkomst noodzakelijk. Gelieve de tijd
4. Exponentiële vergelijkingen
4. Exponentiële vergelijkingen De gelijkheid 10 3 = 1000 bevat drie getallen: 10, 3 en 1000. Als we van die drie getallen er één niet weten moeten we hem kunnen berekenen. We kunnen dus drie gevallen onderscheiden:
Bijzondere kettingbreuken
Hoofdstuk 15 Bijzondere kettingbreuken 15.1 Kwadratische getallen In het vorige hoofdstuk hebben we gezien dat 2 = 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2,.... Men kan zich afvragen waarom we vanaf zeker moment alleen maar
Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014
Lineaire Algebra TW1205TI, 12 februari 2014 Contactgegevens Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http:
3.2 Basiskennis. 3.2.1 De getallenlijn. 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen. 92 Algebra. Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: Het=teken. =staat.
92 Algebra 3.2 Basiskennis Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: 3.2.1 De getallenlijn... -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5... 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen Het=teken 5+2+3=10 = geeft aan dat wat links van = staat,
RING- EN GROEPSHANDTEKENINGEN
RING- EN GROEPSHANDTEKENINGEN Kristof VERSLYPE Eindverhandeling aangeboden tot het behalen van de graad van licentiaat in de informatica 2003 2004 Promotor : Prof. Dr. ir. B. DE DECKER Faculteiten Wetenschappen
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 1 8 september 2016 1 Even voorstellen Theresia van Essen Universitair docent bij Technische Wiskunde j.t.vanessen@tudelft.nl Slides op http://homepage.tudelft.nl/v9r7r/
De index calculus methode
faculteit Wiskunde en Natuurwetenschappen De index calculus methode Bacheloronderzoek Wiskunde Mei 2015 Student: P.W. Ziengs Eerste Begeleider: Prof. Dr. J.Top. Tweede Begeleider: Prof. Dr. H.Waalkens.
Hoofdstuk 3. Equivalentierelaties. 3.1 Modulo Rekenen
Hoofdstuk 3 Equivalentierelaties SCHAUM 2.8: Equivalence Relations Twee belangrijke voorbeelden van equivalentierelaties in de informatica: resten (modulo rekenen) en cardinaliteit (aftelbaarheid). 3.1