Overview. Goniometrie. Goniometrie. Loodrechte Deelruimten. Vergelijkingen en Loodrechte Projecties

Transcriptie

1 College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 9 december, 202

2 Overview 2

3 Overview 2

4 Overview 2

5 Overview 3

6 Cosinuswet Stel we hebben een driehoek ABC. Stelling We noemen a := BC, b := AC en c := AB. We hebben: c 2 = a 2 + b 2 2ab cos(γ. Figure: Driehoek We nemen C als (0, 0 en B als (a, 0. Dan wordt A = (b cos(γ, b sin(γ. 4

7 Cosinuswet 2 We hebben: c 2 = (b cos(γ, b sin(γ (a, 0 2 = (b cos(γ a, b sin(γ 2 = (b cos(γ a 2 + (b sin(γ 2 = b 2 cos 2 (γ 2ab cos(γ + a 2 + b 2 sin 2 (γ = a 2 + b 2 (sin 2 (γ + cos 2 (γ 2ab cos(γ = a 2 + b 2 2ab cos(γ De cosinus wet is een generalizatie van de stelling van Pythagoras: merk op dat cos( π 2 = 0. 5

8 Inproduct Bezie twee vectoren p en q met eindpunten P en Q. De lengtes van de zijden van driehoek OPQ zijn: OP = p, OQ = q en PQ = p q. De hoek tussen p en q is γ. We hebben: OP 2 + OQ 2 2 OP OQ cos(γ = PQ 2 OP 2 + OQ 2 2 OP OQ cos(γ = p p + q q 2 p q cos(γ PQ 2 = (p q (p q p p + q q 2 p q cos(γ = (p q (p q = (p q p (p q q = p p q p p q + q q = p p + q q 2(p q Dus p q = p q cos(γ. 6

9 Gevolgen Er volgt: twee vectoren u en v staan loodrecht op elkaar dan en slechts dan als u v = 0. De somregel voor de cosinus volgt onmiddellijk uit p q = p q cos(γ. Dit wordt op het bord voorgedaan. 7

10 Overview 8

11 Voorbeeld We werken in R 3. Bezie de lineaire deelruimte V opgespannen ( 0 ( door de vectoren u := en w := 2 0. Kunnen we alle vectoren z beschrijven die loodrecht op V staan? Dit betekent: z staat loodrecht op alle vectoren v van V. We bewijzen eerst: z staat loodrecht of u en w dan en slechts dan z staat loodrecht of V. Van rechts naar links is triviaal. Stel z staat loodrecht op u en w en v = λu + µw. Dan is: z v = z (λu+µw = z λu+z µw = λ(z u+µ(z w = λ0+µ0 = 0. Dus z staat loodrecht op v. 9

12 Voorbeeld 2 We willen: ( 0 z = 0 en z ( 2 0 = 0. M.a.w.: z 2 + z 3 = 0 en z + 2z 2 = 0. Als we dit oplossen krijgen we bijvoorbeeld: z 2 = z 3 en z = 2z 2 = 2z 3. Dus: ( ( ( z 2z3 2 z 2 = z 3 = z 3. z 3 z 3 Er volgt dus dat de deelruimte ( van vectoren die loodrecht op het 2 vlak V staan de lijn λ is. 0

13 Voorbeeld 3 Stel W is de deelruimte van R 3 opgespannen door u := ( 0. Welke vectoren z staan loodrecht op W? Dit zijn precies de vectoren die loodrecht op u staan. Die voldoen aan: z 2 + z 3 = 0. We hebben dus z 2 = z 3. Deze vectoren hebben de vorm: ( z z 2 z 3 = ( z z 3 z 3 = z ( z 3 ( 0. Dus de( vectoren die ( loodrecht staan op de lijn W vormen het vlak 0 z = λ µ.

14 Nu Algemeen Bezie een lineaire ruimte W. Zij V een lineaire deelruimte van W. We schrijven V voor alle vectoren die loodrecht staan op V. Stelling V is een lineaire deelruimte van W. Bewijs Bezie v in V en u,..., u k in V. We hebben: v (λ u + λ n u n = λ (v u + + λ n (v u n = 0. Dus (λ u + λ n u n is in V. Stelling Stel V wordt gegenereerd door v,..., v k. Dan bestaat V precies uit de vectoren die loodrecht staan of v,..., v k. Stelling V V = {0}. 2

15 Nu Algemeen 2 Stelling Stel W heeft dimensie n en V is een deelruimte van W met dimensie k. Dan heeft V dimensie n k. M.a.w., dim(v + dim(v = dim(w. Stelling Stel W heeft eindige dimensie en V is een deelruimte van W. Dan is V = V. We schrijven V + V voor de kleinste deelruimte die zowel V en V omvat. We schrijven V V voor V + V wanneer V V = {0}. Dan geldt (in het eindig dimensionale geval: dim(v V = dim(v + dim(v en W = V V. 3

16 Overview 4

17 Van Vergelijkingen naar Vector Voorstelling Stel we hebben homogene vergelijkingen: x x 2 + x 3 = 0 2x + x 2 3x 3 = 0 De oplossingen van dit stelsel kunnen gezien worden als de lineaire ( deelruimte ( van R 3 die loodrecht staat op de vectoren 2 en 3. We kunnen dit stelsel op echelonvorm brengen: x x 2 + x 3 = 0 3x 2 5x 3 = 0. x 2 = 5 3 x 3, x = 2 3 x 3. 5

18 Van Vergelijkingen naar Vectorvoorstelling 2 Dus ( x x 2 x 3 = ( 2 3 x x 3, x 3 = 3 x 3 ( Dus de oplossingenruimte wordt opgespannen door: x = ( Omdat de ruimte V opgespannen door ( en ( 2 3 twee-dimensionaal is, moest de oplossingenruimte V één-dimensionaal zijn: een lijn. 6

19 Van Vectorvoorstelling naar Vergelijkingen Bezie de lijn x = λ ( 0 in R 3. Hoe moeten we deze lijn weergeven door vergelijkingen? De lijn is een deelruimte V. We vinden eerst V. Deze ruimte bestaat uit vectoren v met x v = 0. Dus: v + v 3 = 0. Ergo: ( v v 2 v 3 = ( v3 Aangezien de lijn x = λ v 2 v 3 ( 0 de lijn gegeven wordt door: x 2 = 0 x + x 3 = 0. ( 0 = v 2 0 ( + v 3 0 gelijk is aan V hebben we dat. 7

20 Verschoven Een vlak en een lijn niet door de oorsprong worden weergegeven door x = u + λv en x = u + λv + µw. Meer in het algemeen hebben we verschoven deelruimtes van de vorm V = u + V := {u + v v V }, waar V een lineaire deelruimte is. Stel V wordt opgespannen door w,..., w n en v V, waar v = u + v voor v V. Dan hebben we: w i v = w i (u + v = w i u + w i v = w i u. Dit is een stelsel inhomogene vergelijkingen. Andersom stel w i z = w i u, voor alle i, dan is w i (z u = 0 voor alle i. Dus ligt z u in V en is z dus van de vorm u + (z u u + V = V. Elke verschoven deelruimte wordt gegeven door een stelsel inhomogene vergelijkingen. 8

21 Verschoven 2 Bezie bijvoorbeeld inhomogene vergelijkingen a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 = b a 2 x + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 Stel ( c c 2 c 3 schrijven als is een oplossing. Dan kunnen we alle oplossingen ( c c 2 c 3 + ( y a y + a 2 y 2 + a 3 y 3 = 0 a 2 y + a 22 y 2 + a 23 y 3 = 0 y 2 y 3, waar Dus de oplossingen van dit stelsel zijn een verschoven deelruimte. 9