Logica voor AI. Bisimulatie en niet-karakteriseerbaarheid. Antje Rumberg. 21 november Correspondentie.

Transcriptie

1 Logica voor AI en niet-karakteriseerbaarheid Antje Rumberg 21 november

2 Kripke Semantiek De taal L m van de modale propositielogica ϕ ::= p ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Blokje en ruitje ϕ: het is noodzakelijk dat ϕ ϕ: het is mogelijk dat ϕ 2

3 Kripke Semantiek Modelstructuur (of frame) Een modelstructuur (of frame) is een geordend paar F = W, R, waarbij W een verzameling mogelijke werelden en R W W een bereikbaarheidsrelatie is. w v u t s r 3

4 Kripke Semantiek Kripke Model Een Kripke model is een geordend drietal M = W, R, V, waarbij W, R een modelstructuur en V : W Pow(VAR) een interpretatiefunctie is. Een propositie p is waar in een wereld w desda p V(w). (p, q) w (p) v (q) u t (q) s (p) r (q) 4

5 Frame eigenschappen Zij R W W een bereikbaarheidsrelatie. R is reflexief w(wrw) R is irreflexief w (wrw) R is symmetrisch w v(wrv vrw) R is asymmetrisch w v(wrv vrw) R is anti-symmetrisch w v((wrv w v) vrw) R is transitief w v z((wrv vrz) wrz) R is euclidisch w v z((wrv wrz) vrz) R is dicht w v(wrv z(wrz zrv)) R is deterministisch w v z((wrv wrz) v = z) R is voortzettend w v(wrv) R is disconnected w v( vrw) R is universeel w v(wrv) 5

6 Frame eigenschappen Een modelstructuur F = W, R heet reflexief (symmetrisch, transitief, etc.) desda R reflexief (symmetrisch, transitief, etc.) is. Een model M = W, R, V heet reflexief (symmetrisch, transitief, etc.) desda F = W, R reflexief (symmetrisch, transitief, etc.) is. 6

7 Geldigheid in een model: M ϕ Een formule ϕ is geldig in een Kripke model M = W, R, V, notatie: M ϕ, desda voor alle werelden w W geldt M, w ϕ Geldigheid in een modelstructuur: F ϕ Een formule ϕ is geldig in een modelstructuur F = W, R, notatie: F ϕ, desda voor alle modellen M = W, R, V geldt M ϕ Geldigheid in een klasse van modelstructuren: C ϕ Een formule ϕ is geldig in een klasse C van modelstructuren, notatie: C ϕ, desda voor alle modelstructuren F = W, R, C geldt F ϕ. 7

8 Karakteriseerbaarheid Een verzameling formules Γ L m karakteriseert een klasse C van modelstructuren desda voor alle modelstructuren F geldt: F C desda F ψ voor alle ψ Γ. Modale definieerbaarheid Een klasse C van modelstructuren is modaal definieerbaar desda er is een verzameling modale formules Γ L m die deze klasse karakteriseert. 8

9 Reflexiviteit De klasse van alle reflexieve modelstructuren is modaal definieerbaar. De formule ϕ ϕ karakteriseert de klasse van alle reflexieve modelstructuren. Zij F = W, R een modelstructuur. F is reflexief desda F ϕ ϕ. 9

10 Reflexiviteit Zij F = W, R een modelstructuur. Bewijs: F is reflexief desda F ϕ ϕ. Stel dat F = W, R reflexief is. Zij M = W, R, V een willekeurige model dat op F gebaseerd is en w W een willekeurige wereld. Stel dat M, w ϕ. Omdat F reflexief is, geldt: wrw Aangezien M, w ϕ, volgt: M, w ϕ Daaruit volgt: M, w ϕ ϕ Daar dit voor alle w W geldt, volgt: M ϕ ϕ Aangezien M willekeurig gekozen was, geldt: F ϕ ϕ 10

11 Reflexiviteit Zij F = W, R een modelstructuur. F is reflexief desda F ϕ ϕ. Bewijs: Stel dat F = W, R niet reflexief is. Dan is er een wereld w W zodanig dat wrw. Beschouw M = W, R, V met p V(x) desda wrx. Dan: M, w p en M, w p Daaruit volgt: M, w p p Dus: F ϕ ϕ 11

12 Zij F = W, R een modelstructuur. F ϕ ϕ (of F ϕ ϕ) desda F is reflexief F ϕ (of F ) desda F is disconnected F ϕ ϕ (of F ϕ ϕ) desda F is symmetrisch F ϕ ϕ (of F ϕ ϕ) desda F is transitief F ϕ ϕ (of F ϕ ϕ) desda F is euclidisch F ϕ ϕ (of F ϕ ϕ) desda F is dicht F ϕ ϕ desda F is deterministisch F ϕ ϕ desda F is voortzettend 12

13 Verschillende modaliteiten epistemisch doxastisch deontisch temporeel Verschillende principes (D) ϕ ϕ (T) ϕ ϕ (B) ϕ ϕ (4) ϕ ϕ (5) ϕ ϕ 13

14 Niet-karakteriseerbaarheid De klasse van irreflexieve intransitieve asymmetrische anti-symmetrische universele modelstructuren is niet karakteriseerbaar. 14

15 Modale onderscheidbaarheid 0 (p) 1 (p) 2 (p) 3 (p)... a (p) P Voor alle ϕ Lm : M, 0 ϕ desda M, a ϕ Voor alle ϕ Lm : M ϕ desda M ϕ Voor alle ϕ Lm : als F ϕ dan F ϕ 15

16 Zijn M = W, R, V en M = W, R, V Kripke modellen. Een bisimulatie tussen M en M is een relatie Z W W zodanig dat als wzw, dan V(w) = V(w ); als wzw en wrv, dan is er een v z.d.d. w R v en vzv ; R w v Z R w Z als wzw en w R v, dan is er een v z.d.d. wrv en vzv. R w v Z v v R w Z 16

17 Voorbeeld 0 (p) 1 (p) 2 (p) 3 (p)... a (p) P Z = {< 0, a >, < 1, a >, < 2, a >, < 3, a >,... } 17

18 theorema Zijn M = W, R, V en M = W, R, V Kripke modellen. Zij Z W W een bisimulatie tussen M en M met < w, w > Z. Dan geldt voor alle formules ϕ L m : M, w ϕ desda M, w ϕ Bewijs: formule inductie 18

19 Formule inductie Zijn M = W, R, V en M = W, R, V Kripke modellen. Zij Z W W een bisimulatie tussen M en M met < w, w > Z. Stelling: Voor alle ϕ L m : M, w ϕ desda M, w ϕ Inductiebasis: Voor alle atomaire proposities p VAR : M, w p desda M, w p Inductieaanname (IA): Zij ψ L m. Als < w, w > Z, dan geldt: M, w ψ desda M, w ψ Inductiestap: Als (IA) voor ψ, θ L m geldt, dan geldt voor alle ϕ := ψ ψ θ ψ θ ψ θ ψ θ ψ ψ: M, w ϕ desda M, m ϕ 19

20 Zijn M = W, R, V en M = W, R, V Kripke modellen. Zij Z W W een bisimulatie tussen M en M met < w, w > Z. Dan geldt voor alle formules ϕ L m : M, w ϕ desda M, w ϕ Inductiebasis: Zij p VAR een atomaire propositie: Dan geldt: M, w p desda p V(w) M, w p desda p V (w ) Aangezien wzw geldt: V(w) = V(w ). Daaruit volgt: p V(w) desda p V(w ). Dus: M, w p desda M, w p 20

21 Negatie: ϕ := ψ Inductieaanname (IA): Zij ψ L m. Als < w, w > Z, dan geldt: M, w ψ desda M, w ψ Inductiestap Zij ϕ := ψ en vooronderstel dat (IA) voor ψ L m geldt. Stel dat M, w ψ. Op grond van de semantiek van volgt: M, w ψ. Aangezien (IA) voor ψ geldt, volgt: M, w ψ. Daaruit volgt: M, w ψ M, w ψ M, w ψ wordt analoog bewezen. 21

22 Conjunctie: ϕ := ψ θ Inductieaanname (IA): Zij ψ L m. Als < w, w > Z, dan geldt: M, w ψ desda M, w ψ Inductiestap Zij ϕ := ψ θ en vooronderstel dat (IA) voor ψ, θ L m geldt. Stel dat M, w ψ θ. Op grond van de semantiek van volgt: M, w ψ en M, w θ. Aangezien (IA) voor ψ en θ geldt, volgt: M, w ψ en M, w θ Daaruit volgt: M, w ψ θ M, w ψ θ M, w ψ θ wordt analoog bewezen. 22

23 Mogelijkheid: ϕ := ψ Inductieaanname (IA): Zij ψ L m. Als < w, w > Z, dan geldt: M, w ψ desda M, w ψ Inductiestap Zij ϕ := ψ en vooronderstel dat (IA) voor ψ L m geldt. Stel dat M, w ψ. Op grond van de semantiek van volgt: er is tenminste één v met wrv en M, v ψ Omdat wzw, volgt: er is een v met w R v en vzv Aangezien (IA) voor ψ geldt, volgt: M, v ψ Daaruit volgt: M, w ψ M, w ψ M, w ψ wordt analoog bewezen. 23

24 Complete bisimulatie Zijn M = W, R, V en M = W, R, V Kripke modellen. Een bisimulatie Z W W tussen M en M heet compleet voor M desda voor alle w W is er een w W met wzw. Voorbeeld: 0 (p) 1 (p) 2 (p) 3 (p)... a (p) P 24

25 Zijn M = W, R, V en M = W, R, V Kripke modellen. Zij Z W W een bisimulatie tussen M en M die compleet is voor M. Dan geldt: M ϕ M ϕ Bewijs: Stel dat M ϕ. Daaruit volgt: voor alle w W geldt M, w ϕ Zij w W een willekeurige wereld in M. Omdat de bisimulatie Z compleet is voor M, geldt: er is een w W zodanig dat wzw. Aangezien M, w ϕ, volgt met de bisimulatietheorema: M, w ϕ Daar w willekeurig gekozen was, volgt: M ϕ. 25

26 Zijn F = W, R en F = W, R modelstructuren. Als er voor elke valuatie V op F een valuatie V op F is zodanig dat er een bisimulatie Z W W tussen de resulterende modellen M = W, R, V en M = W, R, V is die compleet is voor M, dan geldt: Bewijs: Stel dat F ϕ. F ϕ F ϕ Daaruit volgt: voor alle M = W, R, V geldt M ϕ Zij V een willekeurige valuatie op F. Dan volgt uit de aanname dat er een valuatie V op F is zodanig dat er een bisimulatie Z W W tussen de resulterende modellen M = W, R, V en M = W, R, V is die compleet is voor M. Aangezien M ϕ, volgt M ϕ Daar V (en dus M ) willekeurig gekozen was, volgt: F ϕ 26

27 Niet-karakteriseerbaarheid Goldblatt-Thomason-Theorema Als een frame eigenschap E in de taal van de predicatenlogica kan worden uitgedrukt, dan is deze eigenschap E modaal definieerbaar desda als E gesloten is onder gegenereerde subframes; als E gesloten is onder disjoint unions; als E gesloten is onder p-morfismen; als het complement van E gesloten is onder ultrafilter extensions. 27

28 Niet-karakteriseerbaarheid De relatie R Zij R W W een bereikbaarheidsrelatie. R = {< w, v >: er zijn u 1,..., u n zodanig dat wru 1 R... Ru n Rv} Voorbeeld: v t w u R = {< w, w >, < w, v >, < v, v >, < v, t >, < t, t >, < u, w >, < u, t >} R = {< w, w >, < w, v >, < w, t >, < v, v >, < v, t >, < t, t >, < u, w >, < u, v >, < u, t >} 28

29 Niet-karakteriseerbaarheid Gegenereerde subframes Zij F = W, R een modelstructuur en zij w W een wereld. Het w-gegenereerde subframe van F is de modelstructuur F w = W w, R w, waarbij Ww = {v W : v = w of wr v} en Rw = R (W w W w ) = {< v, w > R : v R w en w R w }. Voorbeeld: v t v t w u w 29

30 Niet-karakteriseerbaarheid Gegenereerde subframes Zij F = W, R een modelstructuur, w W een wereld, F w = W w, R w het w-gegenereerde subframe van F en M w = W w, R w, V w een model op F w. Dan is er een model M = W, R, V op F zodanig dat er een bisimulatie Z W W w tussen M en M w is die compleet is voor M w. Bewijs: Definieer V(v) = V w (v) voor alle v W w. Z = {< v, v >: v W w } W W w is een bisimulatie tussen M en M w die compleet is voor M w. 30

31 Niet-karakteriseerbaarheid Gegenereerde subframes Zij F = W, R een modelstructuur, w W een wereld en F w = W w, R w het w-gegenereerde subframe van F. Dan geldt voor alle formules ϕ L m F ϕ F w ϕ Hoe kan je met behulp van gegenereerde subframes laten zien dat een frame eigenschap niet modaal definieerbaar is? 31

32 Niet-karakteriseerbaarheid Gegenereerde subframes Hoe kan je met behulp van gegenereerde subframes laten zien dat een frame eigenschap niet modaal definieerbaar is? Je geeft een modelstructuur F = W, R welke de gewenste eigenschap heeft en een wereld w W zodanig dat het w-gegenereerde subframe F w van F die eigenschap niet heeft. Stel dat de klasse C van alle modelstructuren die de gewenste eigenschap hebben modaal definieerbaar was. Dan is er een karakteriserende formule ϕ zodanig dat voor alle modelstructuren F geldt: F ϕ desda F C Als F C, dan geldt: F ϕ. Daaruit volgt: Fw ϕ Als F C, dan kan ϕ geen karakteriserende formule voor de klasse C zijn. 32

33 Niet-karakteriseerbaarheid Gegenereerde subframes Voorbeeld: F F w v t v t w u w 33

34 Niet-karakteriseerbaarheid Disjoint unions Zijn F 1 = W 1, R 1 en F 2 = W 2, R 2 modelstructuren. De disjoint union van F 1 en F 2 is de modelstructuur F 1 F 2 = W, R, waarbij W = {(w, i) : w Wi, i {1, 2}} R = {< (w, i), (v, i) >: wri v, i {1, 2}} Voorbeeld: F 1 F 2 F 1 F 2 v w w t (v, 1) (w, 1) (w, 2) (t, 2) 34

35 Niet-karakteriseerbaarheid Disjoint unions Zijn F 1 = W 1, R 1 en F 2 = W 2, R 2 modelstructuren. Zij F 1 F 2 = W, R de disjoint union van F 1 en F 2. F 1 F 2 ϕ F 1 ϕ en F 2 ϕ Bewijs: Zij V 1 een valuatie op F 1. Definieer V(w, 1) = V 1 (w) voor alle w W 1. Z = {< (w, 1), w >: w W 1 } W W 1 is een bisimulatie tussen M en M 1 die compleet is voor M 1. Analoog voor F 2. Stel F 1 F 2 ϕ. Dan is er een valuatie V op F 1 F 2 en een wereld (w, i) W zodanig dat M, (w, i) ϕ. Definieer V i (w) = V(w, i) voor alle w W i Z = {< (w, i), w >: w W i } W W i is een bisimulatie tussen M en M i. Aangezien M, (w, i) ϕ volgt M i, w ϕ, en dus F i ϕ 35

36 Niet-karakteriseerbaarheid Disjoint unions Hoe kan je met behulp van disjoint unions laten zien dat een frame eigenschap niet modaal definieerbaar is? Je geeft een modelstructuur F = W, R welke de gewenste eigenschap heeft en zodanig is dat de disjoint union F F die eigenschap niet heeft. Stel dat de klasse C van alle modelstructuren die de gewenste eigenschap hebben modaal definieerbaar was. Dan is er een karakteriserende formule ϕ zodanig dat voor alle modelstructuren F geldt: F ϕ desda F C Als F C, dan geldt: F ϕ. Daaruit volgt: F F ϕ Als F F C, dan kan ϕ geen karakteriserende formule voor de klasse C zijn. 36

37 Niet-karakteriseerbaarheid P-morfisme Zijn F = W, R en F = W, R modelstructuren. Een p-morfisme tussen F en F is een functie f : W W zodanig dat f is een surjectie; als wrv, dan f(w)r f(v); v R w f f v w R p als f(w)r v, dan is er een v W met wrv en f(v) = v. v R w f f v w R p 37

38 Niet-karakteriseerbaarheid P-morfismen Voorbeeld: a f(n) = a voor alle n N 38

39 Niet-karakteriseerbaarheid P-morfismen Zijn F = W, R en F = W, R modelstructuren. Zij f : W W een p-morfisme tussen F en F. Zij M = W, R, V en model op F. Dan is eer model M = W, R, V op F zodanig dat er een bisimulatie is tussen M en M die compleet is voor M. Bewijs: Definieer V(w) = V (f(w)) voor alle w W. Z = {< w, f(w) >: w W is een bisimulatie tussen M en M die compleet is voor M. 39

40 Niet-karakteriseerbaarheid P-morfismen Zijn F = W, R en F = W, R modelstructuren. Zij f : W W een p-morfisme tussen F en F. Dan geldt voor alle formules ϕ L m : F ϕ F ϕ 40

41 Niet-karakteriseerbaarheid P-morfismen Hoe kan je met behulp van p-morfismen laten zien dat een frame eigenschap niet modaal definieerbaar is? Je geeft een modelstructuur F = W, R welke de gewenste eigenschap heeft en een modelstructuur F = W, R welke die eigenschap niet heeft zodanig dat er een p-morfisme f : W W tussen F en F is. Stel dat de klasse C van alle modelstructuren die de gewenste eigenschap hebben modaal definieerbaar was. Dan is er een karakteriserende formule ϕ zodanig dat voor alle modelstructuren F geldt: F ϕ desda F C Als F C, dan geldt: F ϕ. Daaruit volgt: F ϕ Als F C, dan kan ϕ geen karakteriserende formule voor de klasse C zijn. 41

42 Niet-karakteriseerbaarheid P-morfismen Voorbeeld: a f(n) = a voor alle n N 42